/2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期期末抽測高一年級數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再求出共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：A.2.某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2，圓心角為π的扇形，則該圓錐的高為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】求出圓錐底面圓半徑，再利用圓錐的結(jié)構(gòu)特征求出高.【詳解】依題意，圓錐的母線長，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，依題意，，解得，所以圓錐的高.故選：B3.已知一組數(shù)據(jù)4，8，9，3，3，5，7，9，則（）A.這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為8 B.這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)C.這組數(shù)據(jù)的極差為5 D.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合上四分位數(shù)、眾數(shù)、極差、平均數(shù)的意義依次判斷即得.【詳解】對于A，給定數(shù)據(jù)由小到大排列3，3，4，5，7，8，9，9，而，所以這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，A錯(cuò)誤；對于B，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3和9，B錯(cuò)誤；對于C，這組數(shù)據(jù)的極差為6，C錯(cuò)誤；對于D，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，D正確.故選：D4.已知，是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則使得成立的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.【詳解】對于A：若，，則或若，又，則與可能平行、相交（不垂直）、異面（不垂直）、相交垂直、異面垂直，若，又，則與可能平行、異面（不垂直）、異面垂直，故A錯(cuò)誤；對于B：若，，，則，故B錯(cuò)誤；對于C：若，，則，又，所以，故C錯(cuò)誤；對于D：若，，則與可能平行或相交（不垂直）或垂直或，又，此時(shí)不能保證成立，如，此時(shí)與可能平行、異面（不垂直）、異面垂直，故D錯(cuò)誤；故選：C5.將撲克牌4種花色的K，Q共8張洗勻，若甲已抽到了2張K后未放回，則乙抽到2張Q的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用縮小空間的方法，結(jié)合古典概率求解即得.【詳解】甲抽到了2張K后未放回，則乙從余下6張牌中任取2張有種方法，抽到2張Q有種方法，所以乙抽到2張Q的概率為.故選：B6.以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為“勒洛三角形”．在如圖所示的勒洛三角形中，已知，點(diǎn)在上，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直于方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，所以，即，?所以,所以.故選：A.7.已知，，，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把兩個(gè)方程移項(xiàng)平方以后再相加即可判斷AB，然后再根據(jù)三角函數(shù)值以及角的范圍計(jì)算出和即可判斷CD.【詳解】由得，兩邊平方得：，①由得，兩邊平方得：，②①+②得：，因?yàn)?，所以，由可得：，即，所以，又，所以，所以，故A錯(cuò)誤；由，兩邊平方得，③由得，兩邊平方得：，④③+④得：，因?yàn)?，所以，故，由，，可得，故C正確，D錯(cuò)誤；綜上不是定值，故B錯(cuò)誤.故選：C8.在矩形中，，，將沿對角線折起，使到，形成三棱錐，則異面直線與所成角的范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，可知初始狀態(tài)時(shí)直線與直線所成的角為，由于，可得異面直線與不垂直，翻折過程中當(dāng)平面與平面重合時(shí)，與所成銳角為異面直線與所成角的臨界值，求出.，即可得到答案.【詳解】由題可知，四邊形是矩形，，所以初始狀態(tài)時(shí)直線與直線所成的角為，已知矩形中，，，，翻折過程中，如下圖，因?yàn)椋?，則與平面不垂直，因?yàn)椋?，所以異面直線與不垂直，翻折過程中，當(dāng)平面與平面重合時(shí)，與所成銳角為異面直線與所成角的臨界值，如下圖：因?yàn)榫匦沃校?，，，所以，同理，所以，即異面直線與所成角的臨界值為,所以異面直線與所成角的范圍為；故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.盒子里有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中不放回地依次取出2個(gè)球，設(shè)事件“兩個(gè)球顏色相同”，“第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”，“兩個(gè)球顏色不同”．則（）A.與互為對立事件 B.與互斥 C.A與B相互獨(dú)立 D.【答案】AD【解析】【分析】依次列出樣本空間，事件、、、包含的基本事件，由事件的基本關(guān)系及概率公式一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】依題意可設(shè)個(gè)紅球?yàn)?，，?個(gè)白球?yàn)?，，則樣本空間為：，共個(gè)基本事件.事件，共個(gè)基本事件.事件，共個(gè)基本事件.事件，共個(gè)基本事件.事件，共個(gè)基本事件.對于A，顯然、不可能同時(shí)發(fā)生，且與中一定有一個(gè)會發(fā)生，所以與互為對立事件，故A正確；對于B：注意到，則與不互斥，故B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)?，則，故與不獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；對于D：，故D正確.故選：AD10.已知，，，，則下列說法正確的是（）A.為純虛數(shù) B.C.的最大值為 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷C，設(shè)所對應(yīng)的向量為，所對應(yīng)的向量為，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律判斷D.【詳解】對于A：因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)?，，所以，故B正確；對于C：設(shè)，則，又，所以，所以點(diǎn)為以為圓心，為半徑的圓上的點(diǎn)所以，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離，因?yàn)椋?，故C正確；對于D：設(shè)所對應(yīng)的向量為，所對應(yīng)的向量為，因?yàn)?，則，所以，所以，所以，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.在正四棱臺中，，，，點(diǎn)E在內(nèi)部（含邊界），則（）A.平面 B.二面角的大小為C.該四棱臺外接球的體積為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，為中點(diǎn)，證明證得平面；對于B，幾何法求二面角的大小；對于C，先假設(shè)球心的位置，利用勾股定理與半徑相等建立方程組進(jìn)而確定的位置，可求得球的半徑并計(jì)算體積；對于D，先判斷落在上，再進(jìn)一步判斷與重合時(shí)，取得最小值.詳解】對于A，如圖1，設(shè)底面對角線交于點(diǎn)，由棱臺的結(jié)構(gòu)特征易知與的延長線必交于一點(diǎn)，故共面，又面面，而面面，面面，故，即；由，，，得，，即；所以四邊形是平行四邊形，故，而面，面，所以平面，故A正確；對于B，正四棱臺中，為中點(diǎn)，，則，由，則有，所以二面角的平面角為，，，為正三角形，所以二面角的大小為，故B正確；對于C，如圖2，設(shè)為的中點(diǎn)，為正四棱臺外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，則，在等腰梯形中，易得，為方便計(jì)算，不妨設(shè)，則由，即，得，又，解得，即與重合，故，故球的體積為，故C錯(cuò)誤；對于D，由圖2易得，，，面，故面，不妨設(shè)落在圖3(在外)處，過作，交于，則面，面，故，故中，（直角邊小于斜邊）；同理，，所以，故動點(diǎn)只有落在上，才有可能取得最小值；再看圖4，由AB選項(xiàng)可知，，，和都為正三角形，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，可知，即與重合時(shí)，有最小值，故D正確；故選：ABD.點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)為難點(diǎn)，關(guān)鍵點(diǎn)在于確定點(diǎn)的位置，先假設(shè)在外(記為)，由勻股邊小于斜邊推得，進(jìn)而得到只有落在上，再利用推得與重合時(shí)，有最小值；對于動點(diǎn)，我們一般要考慮特殊位置，可提高我們做題速度.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，則________．【答案】1【解析】【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量模的坐標(biāo)表示求解即得.【詳解】向量，，則，所以.故答案為：113.已知，且，則________．【答案】或【解析】【分析】把代入方程解方程即可.【詳解】，解得：或，因?yàn)?，所以?故答案為：或.14.在中，，分別在邊上，且平分，平分，若，則________，________．【答案】①.②.【解析】【分析】使用角平分線定理直接計(jì)算出，即可得到的值；根據(jù)條件，結(jié)合余弦定理，即可得到.【詳解】設(shè)三個(gè)內(nèi)角所對的邊的長度分別為，則由角平分線定理可得，結(jié)合知，；同理有，.故.而，故，.故由可得，即.從而.故.由于題目中的條件和所求的量均只涉及線段間的長度比，故可以不妨設(shè)，從而.展開，合并同類項(xiàng)，即得.由于，故，從而.所以.同時(shí)，之前得到的又等價(jià)于，故，所以.從而，這就得到，故.假設(shè)，則，矛盾，故.從而由上面已經(jīng)得到的，就有.故，結(jié)合和就有.這就得到.所以.這就得到.最后，設(shè)，則，且.故，所以，即，從而或.而，故，所以，即.由于，故.而，故，從而.又因?yàn)?，?所以，故，從而，這得到，故，從而由知.將弧度轉(zhuǎn)換為角度，就得到.故答案為：，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對角平分線定理和余弦定理的使用.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，．（1）若，求；（2）若，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出，再由二倍角公式計(jì)算可得；（2）由數(shù)量積的坐標(biāo)表示、兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式求出，即可求出，最后根據(jù)兩角和的余弦公式計(jì)算可得.【小問1詳解】因?yàn)?，且，所以，則，所以.【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以，則，所以，則，所以，又，所以，所以，所以.16.2024年4月25日，搭載神舟十八號載人飛船的長征二號F遙十八運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，航天員葉光富、李聰、李廣蘇開始了他們的太空征程．為紀(jì)念中國航天事業(yè)所取得的成就，發(fā)掘并傳承中國航天精神，某市隨機(jī)抽取2000名學(xué)生進(jìn)行了航天知識競賽，將成績（滿分：150分）整理后分成五組，從左到右依次記為[50,70），[70,90），[90,110），[110,130），[130,150]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估計(jì)這2000名學(xué)生成績的平均數(shù)、求85%分位數(shù)（求平均值時(shí)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）現(xiàn)從以上各組中采用分層抽樣的方法抽取200人，若第三組中被抽取的學(xué)生成績的平均數(shù)為94，方差為1，第四組中被抽取的學(xué)生成績的平均數(shù)為124，方差為2，求這200人中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[90,130）的學(xué)生成績的方差．【答案】（1）平均數(shù)是88；85%分位數(shù)是120（2）217.4【解析】【分析】（1）利用所有數(shù)據(jù)頻率之和為1算出的頻率，再根據(jù)平均數(shù)和分位數(shù)的概念直接計(jì)算即可.（2）直接利用分層抽樣方差公式計(jì)算即可.【小問1詳解】頻率為，所以該組數(shù)據(jù)的縱坐標(biāo)為，補(bǔ)齊的直方圖如圖：平均數(shù)為，因?yàn)榍叭M的頻率之和，而前四組的頻率之和，所以第分位數(shù)為第四組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)即.【小問2詳解】設(shè)第三組的平均數(shù)是，權(quán)重為，方差為，設(shè)第四組的平均數(shù)是，權(quán)重為，方差為，兩組的平均數(shù)是，方差為，由直方圖可知則，，則，根據(jù)分層抽樣方差公式得：.17.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若點(diǎn)D在邊BC上，且，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再借助三角恒等變換求解即得；（2）由向量關(guān)系式，平方得邊的關(guān)系即可求解.【小問1詳解】在中，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?結(jié)合題意知，所以，所以，因?yàn)?，所以【小?詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，化簡得，因?yàn)?，所以，所?18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，平面平面，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱PD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AF上．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）設(shè)直線與平面，平面，平面所成的角分別為，，，求的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）連接，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，再由，即可得證；（2）利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離；（3）連接，，取的中點(diǎn)，連接，確定直線與平面，平面，平面所成的角，再根據(jù)銳角三角函數(shù)得到，設(shè)，，利用換元法求出函數(shù)的最大值.【小問1詳解】連接，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，且，所以、為等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面；【小?詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，又，，，所以，所以，又，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離.【小問3詳解】連接，，則且，又平面，所以平面，則為直線與平面所成的角，即，所以，取的中點(diǎn)，連接，則且，又為中點(diǎn)，所以，又，所以，由平面，平面，所以，，又，平面，所以平面，則平面，又，平面，所以平面，連接，，則為直線與平面所成的角，即，所以，為直線與平面所成的角，即，所以，所以，又，設(shè)，，所以，所以，令，則，所以，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)取得最大值，且最大值為，所以.19.在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，對于任意相鄰三點(diǎn)都不共線的有序整點(diǎn)列：，，，…，與；，，，…，，其中，若同時(shí)滿足：①兩點(diǎn)列的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同；②，其中，2，3，…，，則稱與互為正交點(diǎn)列．（1）求：，，的正交點(diǎn)列；（2）判斷：，，，是否存在正交點(diǎn)列？并說明理由；（3）證明：，