一、背景高三學(xué)習(xí)的主旋律是復(fù)習(xí)，教師通過系統(tǒng)的復(fù)習(xí)課來讓學(xué)生回顧知識與方法，整合與完善高中數(shù)學(xué)知識的框架，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。高三復(fù)習(xí)課與新授課的區(qū)別在于，前者更重視對挖掘知識深度，延伸知識的廣度，積淀知識的厚度，而實現(xiàn)這樣的教學(xué)效果則需教師回歸基礎(chǔ)、回歸教材，挖掘教材與高考真題之間的聯(lián)系，提高復(fù)習(xí)的針對性與實效性。每年的數(shù)學(xué)高考題都會引起一線教師極大的關(guān)注，高考真題經(jīng)命題者反復(fù)斟酌、打磨后最終定型，是高三數(shù)學(xué)教師在復(fù)習(xí)課的設(shè)計上需要反復(fù)研究的。因此在高三復(fù)習(xí)過程中，教師有意識、有自的地對高考試題進行反思探討，挖掘高考試題與教材的內(nèi)在聯(lián)系，可以有效提高教學(xué)效率。本文以解析幾何中熱點問題定點、定直線問題為依托，引入人教A版教材選擇性必修一第三章的一道例題，結(jié)合兩道高考真題，引導(dǎo)學(xué)生在解析幾何問題時要注重幾何性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)合代數(shù)特征與幾何特征才能降低運算量，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、非對稱轉(zhuǎn)化為對稱問題、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法。二、教學(xué)過程簡錄（一）筑：教材引入，精設(shè)問題選擇性必修一第108頁例3：設(shè)A？B兩點的坐標分別為（-5，0）和（5，0）.直線相交于點M且它們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程。學(xué)生能夠采用直接翻譯條件的方式迅速得到點M的軌跡是挖去左右兩個定點的橢圓。教師提問：（1）橢圓中的和b分別是什么？（2）與這個橢圓有何關(guān)聯(lián)？從而提煉得一般性的判定：定點A（-a，0），B（a，0）0），動點M滿足則動點M在橢圓上（除去A點和B點）。教師（提問）：滿足斜率積條件的動點的軌跡方程是橢圓的一部分，則橢圓上的動點與左右頂點的斜率積為定值，是否可以將左右頂點推廣至更一般性的點？學(xué)生迅速得到一般性的結(jié)論：已知A∨B是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P在橢圓上。當PA、PB斜率存在時，則有kpt'km=e2-1=-2教師（總結(jié)）：事實上，在雙曲線中也有類似結(jié)論，這是大家熟知的第三定義。而這個定義成立的前提是橢圓與雙曲線本身具有的中心對稱性，代數(shù)結(jié)論背后隱藏的是圓錐曲線的幾何特征，體現(xiàn)了解析幾何中的數(shù)與形的結(jié)合。回歸教材，我們不僅是要重溫重要的結(jié)論，更要體會結(jié)論生成的原因與教材例題呈現(xiàn)結(jié)論的延展。我們將一般性結(jié)論推廣至雙曲線：在雙曲線c-=1（agt;0，bgt;0）中，A、B是關(guān)于原點對稱的兩點，P是雙曲線上異于A？B的一點，若存在，則有：kPAkpB=e2-1=b2（同理可證）（二）練：思維啟迪，鑄就素養(yǎng)例1：（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)lt;理gt;試題）橢2+=1（agt;0，bgt;）的左頂點為A，點PQ均在c上，且關(guān)于y軸對稱。若直線的斜率之積為，則c的離心率為（）學(xué)生解法一：設(shè)學(xué)生解法二：直接利用斜率積的結(jié)論進行轉(zhuǎn)化，將Q點關(guān)于x軸對稱，得到點，例2：已知是橢圓與雙曲線x2的公共頂點，P是雙曲線上的一點，PA：，PB交橢圓于M，N若MN過橢圓的焦點為F，且，則橢圓的離心率為。學(xué)生解法：利用橢圓與雙曲線的斜率積關(guān)系，點P在雙曲線上，因而有，且點P也在橢圓上，也有kpB=b2，，對比兩個等式可得，由橢圓與雙曲線的軸對稱性可知M，N兩點關(guān)于x軸對稱。設(shè)點，由，學(xué)生在處理這個題目時容易得到兩個斜率積關(guān)系，很多學(xué)生停在這個地方無法動筆，容易忽略M，N兩點的對稱性，其根本原因是未能將斜率積關(guān)系轉(zhuǎn)化出來的代數(shù)關(guān)系與圓錐曲線的幾何特征結(jié)合起來，而這正是解析幾何問題的重點和難點。教師設(shè)置這道例題正是希望學(xué)生除了關(guān)注代數(shù)特征，還需要有意識地判斷其可以與哪些幾何特征結(jié)合起來，這也正是本節(jié)復(fù)習(xí)課的初衷。例3：已知橢圓c：2，過c中心的直線交c于M，N兩點，點P在x軸上，其橫坐標是點M橫坐標的3倍，直線NP交c于點Q，若直線QM恰好是以MN為直徑的圓的切線，則c的離心率為（）A.√22學(xué)生解法：設(shè)，則，設(shè)分別為直線MN，QM，NP的斜率，則直線QM是以MN為直徑的圓的切線，所以O(shè)M⊥MN，kik2=-1，所以k2k=--，又因Q在直線NP上，所以k=2+y，因M、Q在2上，且兩點關(guān)于原點對稱，故即本題中M，Q在橢圓上，且兩點關(guān)于原點對稱，他們的斜率積關(guān)系一旦確定，就等于橢圓的離心率已經(jīng)確定。本題在本節(jié)課中起承上啟下的作用，與例2有關(guān)聯(lián)，為思考下一環(huán)節(jié)中難度較大的兩道高考真題做好鋪墊。（三）探：強化探究，思維拓展例4：（2020·新課標I，文21理20）已知分別為橢圓的左、右頂點，G為E的上頂點，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為與E的另一交點為D。證明：直線CD過定點。學(xué)生思路一：設(shè)點，通過P點表示（2，分別寫出直線AP與直線BP的方程為：與，將兩直線分別與橢圓聯(lián)立，通過\"設(shè)而要求\"的思路，借用韋達定理分別求得點c坐標為，點D坐標為此時結(jié)合橢圓的對稱性，可以判定直線的定點在x軸上，根據(jù)兩點坐標寫出直線CD方程為，令y=0，可得直線過定點學(xué)生思路二：通過幾何關(guān)系發(fā)現(xiàn)直線AP與直線BP的斜率關(guān)系為，因為c點在橢圓上，則（204號，結(jié)合兩個斜率關(guān)系，以為橋梁，則，設(shè)，直線CD：x=my+t與橢圓聯(lián)立得：。本題從韋達非對稱問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的斜率積下的定點模型，代人得，化簡得：，利用韋達定理整體代人可得：t=學(xué)生第一次解本題時，下意識地將直線CD設(shè)為y=kx+t，根據(jù)直線AP與直線BP的斜率關(guān)系為，建立一個非對稱的兩根關(guān)系式：y，往下計算涉及不對稱韋達定理的處理，計算量較大，對學(xué)生來說是難度較大的。而學(xué)生在課堂上提出的第二種思路，則要求學(xué)生首先對橢圓的斜率積過定點的模型非常熟悉，并且對橢圓中的斜率積關(guān)系能夠靈活應(yīng)用，將代數(shù)特征與幾何關(guān)系結(jié)合到一起，從而將韋達非對稱問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生非常熟悉的定點模型。例5：（2023·新高考全國I改編）已知雙曲線c的方程為：2，記c的左、右頂點分別為，過點（-4，0）的直線與c的左支交于M，N兩點，直線與交于點P證明：點P在定直線上。學(xué)生解法：設(shè)，所以設(shè)直線MN線的方程為x=my-4，且與2聯(lián)立可得，且0，則y+y=4，直線的方程為，直線的方程為2），聯(lián)立可得，由可得x=-1，即，據(jù)此可得點P在定直線x=-1上運動。教師提問學(xué)生點與點的位置有何特殊性，試圖引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中也蘊含了斜率積關(guān)系，從而將韋達非對稱問題轉(zhuǎn)化為對稱問題，引導(dǎo)學(xué)生提出第二種方法。解法二：設(shè)，所以設(shè)直線MN的方程為x=my-4，且與聯(lián)立可得：，且，則直線的方程為y=，直線的方程為，聯(lián)立可得x+2（2號，又因為，因此，原式可以轉(zhuǎn)化為x+2，以下解法同解法一。這兩道例題都體現(xiàn)了在解析幾何中，將斜率積這個代數(shù)特征與題中現(xiàn)有的斜率關(guān)系即幾何關(guān)系結(jié)合后，能夠極大地簡化運算，將陌生的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的題型，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想教師提問：（1）點P的軌跡方程是什么？（2）點P軌跡的形成與本節(jié)引入的教材例3的聯(lián)系是什么？此處設(shè)問是將此道高考真題與教材題進行聯(lián)系。通過本節(jié)課的引例，學(xué)生可知動點與兩定點的斜率積為定值，可得軌跡為橢圓的一部分，而例4則是動點與兩定點的斜率之商為定值，此時動點的軌跡為直線的一部分。由此可見，例3與例4兩道高考真題其實是來源于教材又高于教材的例題，不僅體現(xiàn)在對具體知識點的應(yīng)用，還體現(xiàn)在對知識的進一步延伸與探究。而教材的探究也不止步于動點與兩定點的斜率之積為定值的軌跡問題，在這個章節(jié)的章末習(xí)題的第九題如下：已知兩點的坐標分別是（-1，0）（1，0），直線相交于點M，且它們的斜率之和是2，求點M的軌跡方程。教師在此環(huán)節(jié)給學(xué)生留下探究的余地，提出一系列探究問題：（1）若斜率之積為2，則點M的軌跡方程是什么？（2）若斜率之商為2，則點M的軌跡方程是什么？（3）若點M的斜率之差為2，則點M的軌跡方程是什么？（四）策：由表及里，思維升華教師引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課的知識與方法進行小結(jié)，在知識層面需要理解并學(xué)會應(yīng)用橢圓與雙曲線中的斜率積關(guān)系，其中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想、將韋達非對稱轉(zhuǎn)化成對稱的韋達定理，更重要的是數(shù)形結(jié)合的思想，將代數(shù)特征與圓錐曲線中的幾何特征（本節(jié)課的幾何特征基本體現(xiàn)在對稱性上）結(jié)合應(yīng)用，才能真正達到降低運算量的目的，這正是教材與高考真題所反饋的一個重要信息?；貧w課本，學(xué)生應(yīng)該重視教材例題與習(xí)題中呈現(xiàn)的知識點與解決問題所采取的思想與方法。三、高三復(fù)習(xí)課應(yīng)注重的三個問題（一）重視高考真題使用與歸類高考真題體現(xiàn)了命題者對考試內(nèi)容的深思熟慮，對學(xué)科素養(yǎng)的高度認識，它們是最好的復(fù)習(xí)資源。教師認真研究與思考高考真題，理解與回顧命題者的命題思路和涉誤角度，對高三復(fù)習(xí)課有事半功倍的效果。那么如何在復(fù)習(xí)課的設(shè)計中利用高考真題，讓其發(fā)揮最大效應(yīng)，是高三教師思考的方向。在本案例中，教師通過引入一道課本例題，讓學(xué)生回顧橢圓與雙曲線的第三定義，并理解這種代數(shù)關(guān)系成立的原因是橢圓具有中心對稱性，例1恰好體現(xiàn)引例中代數(shù)特征與幾何對稱性的結(jié)合。例3與例4兩道高考真題分別考查求定點與定值的問題，再利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，可歸類為解析幾何中對稱性的韋達定理的整體代入。（二）重視教材的例題與典型習(xí)題教材中的例題的解題方法與其中蘊含的思想方法具有典型性，通?？梢酝茝V至一般題型，形成推論。教師在進行高三教學(xué)設(shè)計時要利用例題的教學(xué)價值，歸類通性通法，挖掘數(shù)學(xué)思想。本課的教材例題作為引例，其證明過程包含了“點差法”，這是解析幾何中的中點弦問題的常用方法，其內(nèi)涵在于圓錐曲線的對稱性?！皥A錐曲線”在高考中常出現(xiàn)定點與定值問題，在新教材的課題及課后習(xí)題中都涉及直線的定點問題或定值問題。本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生掌握定點、定值這類問題的解題策略，更能深刻體會高考真題源于教材而又高于教材。高三教師應(yīng)在復(fù)習(xí)課中重視對教材例題及課后習(xí)題的研究，進行拓展延伸，將教材的例題與高考真題進行銜接。（三）重視通法與數(shù)學(xué)思想的灌輸在本節(jié)課中，教師注重