中職誘導(dǎo)公式題目及答案一、選擇題1.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，求\(\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)\)的值。A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{1}{4}\)答案：C解析：根據(jù)正弦的和角公式，\(\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha)=\sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha+\cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha\)。已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)，\(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，代入公式得\(\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha)=\frac{1}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}\)。由于\(\cos\alpha\)的值未知，無(wú)法直接計(jì)算，但根據(jù)選項(xiàng)，只有C符合\(\frac{3}{4}\)的形式，因此選C。2.若\(\cos\beta=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)，求\(\cos\left(\frac{\pi}{3}-\beta\right)\)的值。A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)答案：A解析：根據(jù)余弦的差角公式，\(\cos(\frac{\pi}{3}-\beta)=\cos\frac{\pi}{3}\cos\beta+\sin\frac{\pi}{3}\sin\beta\)。已知\(\cos\beta=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)，\(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，代入公式得\(\cos(\frac{\pi}{3}-\beta)=\frac{1}{2}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2})+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\beta\)。由于\(\sin\beta\)的值未知，但根據(jù)選項(xiàng)，只有A符合\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)的形式，因此選A。二、填空題3.計(jì)算\(\tan\left(\frac{5\pi}{4}-\alpha\right)\)。答案：\(-\tan\alpha\)解析：根據(jù)正切的差角公式，\(\tan(\frac{5\pi}{4}-\alpha)=\frac{\tan\frac{5\pi}{4}-\tan\alpha}{1+\tan\frac{5\pi}{4}\tan\alpha}\)。由于\(\tan\frac{5\pi}{4}=\tan(\pi+\frac{\pi}{4})=\tan\frac{\pi}{4}=1\)，代入公式得\(\tan(\frac{5\pi}{4}-\alpha)=\frac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha}\)。由于\(\frac{5\pi}{4}\)是第三象限角，正切值為負(fù)，所以\(\tan(\frac{5\pi}{4}-\alpha)=-\tan\alpha\)。4.計(jì)算\(\sin\left(\frac{7\pi}{6}+\beta\right)\)。答案：\(-\sin\beta\)解析：根據(jù)正弦的和角公式，\(\sin(\frac{7\pi}{6}+\beta)=\sin\frac{7\pi}{6}\cos\beta+\cos\frac{7\pi}{6}\sin\beta\)。由于\(\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}\)，\(\cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)，代入公式得\(\sin(\frac{7\pi}{6}+\beta)=-\frac{1}{2}\cos\beta-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\beta\)。由于\(\frac{7\pi}{6}\)是第三象限角，正弦值為負(fù)，所以\(\sin(\frac{7\pi}{6}+\beta)=-\sin\beta\)。三、解答題5.已知\(\cos\theta=\frac{1}{2}\)，求\(\sin(\theta+\frac{\pi}{3})\)的值。答案：\(\frac{\sqrt{3}+1}{4}\)解析：根據(jù)已知\(\cos\theta=\frac{1}{2}\)，可以確定\(\theta\)在第一或第四象限。由于\(\cos\theta\)為正，\(\theta\)在第一象限。因此，\(\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。根據(jù)正弦的和角公式，\(\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=\sin\theta\cos\frac{\pi}{3}+\cos\theta\sin\frac{\pi}{3}\)。代入已知值得\(\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}+1}{4}\)。6.計(jì)算\(\cos(2\pi-\alpha)\)。答案：\(\cos\alpha\)解析：根據(jù)余弦的周期性，\(\cos(2\