2025年陜西省初中試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1．本試卷分為第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）．全卷共8頁，總分120分，考

試時(shí)間120分鐘．

2．領(lǐng)到試卷和答題卡后，請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆，分別在試卷和答題卡上填寫姓名和

準(zhǔn)考證號(hào)，同時(shí)用2B鉛筆在答題卡上填涂對(duì)應(yīng)的試卷類型信息點(diǎn)（A或B）．

3．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上各題的指定區(qū)域內(nèi)作答，否則作答無效．

4．作圖時(shí)，先用鉛筆作圖，再用規(guī)定簽字筆描黑．

5．考試結(jié)束，本試卷和答題卡一并交回．

第一部分（選擇題，共24分）

一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）

1.計(jì)算：54（）

A.1B.1C.9D.9

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可作答．

【詳解】解：541，

故選：B．

2.上馬石是古人上下馬的工具，形狀如圖①．它可以看作圖②所示的幾何體，該幾何體的俯視圖為（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查三視圖，考生解答本題需要熟悉三視圖，會(huì)觀察幾何體的三視圖．根據(jù)俯視圖是從上方

看到的解答即可．

【詳解】解：該幾何體的俯視圖為：

，

故選：D．

3.如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OD平分AOC．若152，則2的度數(shù)為（）

A.76B.74C.64D.52

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了角平分線的定義，先根據(jù)OD平分AOC，得COD152，故

2180COD176，即可作答．

【詳解】解：∵OD平分AOC，

∴COD152，

∴2180COD176，

故選：A．

4.計(jì)算2a2ab的結(jié)果為（）

A.4a2bB.4a3bC.2a2bD.2a3b

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，根據(jù)系數(shù)相乘，同底數(shù)冪相乘，進(jìn)行計(jì)算，即可作答．

【詳解】解：2a2ab2a3b，

故選：D．

5.如圖，在VABC中，ACB90，A20，CD為AB邊上的中線，DEAC，則圖中與A

互余的角共有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【解析】

【分析】該題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出B70，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出

CDADBD，根據(jù)等邊對(duì)等角得出DCAA20,DCBB70，再結(jié)合DEAC根據(jù)

三角形內(nèi)角和定理求出CDE70,ADE70，最后根據(jù)余角的性質(zhì)求解即可．

【詳解】解：∵在VABC中，ACB90，A20，

∴B180AACB902070，

∵CD為AB邊上的中線，

∴CDADBD，

∴DCAA20,DCBB70,CDB2A40，

∵DEAC，

∴CDE18090DCA70,ADE18090A70，

∴圖中與A互余的角是B,DCB,CDE,ADE，共有4個(gè)，

故選：C．

6.在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)1,0，0,2的直線向上平移3個(gè)單位長度，平移后的直線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)

可以是（）

A.1,3B.1,3C.3,2D.3,2

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)的平移性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，先根據(jù)點(diǎn)1,0，0,2，求出這條直線

的解析式為y2x2，結(jié)合平移的性質(zhì)，得平移后的直線解析式為y2x5，再將每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，

即可作答．

【詳解】解：設(shè)過點(diǎn)1,0，0,2的直線解析式為ykxbk0，

把點(diǎn)1,0，0,2分別代入ykxb，

0kb

得，

20b

k2

∴，

b2

∴y2x2，

∵過點(diǎn)1,0，0,2的直線向上平移3個(gè)單位長度，

∴平移后的直線解析式為y2x232x5，

當(dāng)x1時(shí)，則y2153，

即1,3在直線y2x2上，故B選項(xiàng)符合題意，故A選項(xiàng)不符合題意；

當(dāng)x3時(shí)，則y2351，

即3,-1在直線y2x2上，故D選項(xiàng)不符合題意；

當(dāng)x3時(shí)，則y23511，

即-3,11在直線y2x2上，故C選項(xiàng)不符合題意；

故選：B

7.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，EFEC，則△CEF的面積為

（）

A.10B.8C.5D.4

【答案】C

【解析】

【分析】該題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得出ABADBC4,AB90，AEBE2，勾股定理求出

CE，證明AEF∽BCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF，即可求出△CEF的面積．

【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，

ABADBC4,AB90

∵E為AB的中點(diǎn)，

AEBE2，

∴CEBE2BC2224225，

∵EFEC，

∴AEFBEC90，

又BCEBEC90，

∴AEFBCE，

△AEF∽△BCE，

AEEF2EF

∴，即，

BCCE425

∴EF5，

11

∴△CEF的面積EFEC5255．

22

故選：C．

2

8.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yax2axa3a0的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)

分別位于y軸兩側(cè)，則下列關(guān)于該函數(shù)的結(jié)論正確的是（）

A.圖象的開口向下B.當(dāng)x0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大

C.函數(shù)的最小值小于3D.當(dāng)x2時(shí)，y0

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且位于y軸兩側(cè)，說明對(duì)

應(yīng)方程的兩根異號(hào)，即常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相反，結(jié)合開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)及特定點(diǎn)函數(shù)值分析選項(xiàng)

即可.

【詳解】解：由題意可得：方程ax22axa30的兩根異號(hào)，

a3

∴xx0，

12a

解得0<a<3，

∴二次項(xiàng)系數(shù)a0，開口向上，故A不符合題意；

2a

∵yax22axa3a0的對(duì)稱軸為直線x1，

2a

∴當(dāng)x1時(shí)，y隨x增大而增大，故B不符合題意；

∵當(dāng)x1時(shí)，y=3，

∴最小值為3，故C不符合題意；

當(dāng)x2時(shí)，y4a4aa3a3，

∵0<a<3，

∴此時(shí)y0，故D符合題意；

故選：D

二、填空題（共6小題，每小題3分，計(jì)18分）

9.滿足2a5的整數(shù)a可以是______（寫出一個(gè)符合題意的數(shù)即可）．

【答案】3（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，先整理得122，結(jié)合2a5，即可作答．

【詳解】解：∵124，

∴122，

∵2a5，

∴整數(shù)a可以是3，

故答案為：3（答案不唯一）

10.生活中常按圖①的方式砌墻，小華模仿這樣的方式，用全等的矩形按規(guī)律設(shè)計(jì)圖案，如圖②，第1個(gè)圖

案用了3個(gè)矩形，第2個(gè)圖案用了5個(gè)矩形，第3個(gè)圖案用了7個(gè)矩形，……則第10個(gè)圖案需要用矩形的

個(gè)數(shù)為______．

【答案】21

【解析】

【分析】本題主要考查的是圖案的變化，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖案歸納出圖案?jìng)€(gè)數(shù)的變化規(guī)律．根據(jù)第1

個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)：123；第2個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)：1225；第3個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)：

1237；…第n個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)：12n，算出第10個(gè)圖案中矩形個(gè)數(shù)即可．

【詳解】解：∵第1個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)：123；

第2個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)：1225；

第3個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)：1237；

…

第n個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)：12n，

∴則第10個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)為：121021，

故答案為：21．

11.草莓熟了，學(xué)校組織同學(xué)們參加勞動(dòng)實(shí)踐，幫助果農(nóng)采摘草莓．小康和小悅采摘的時(shí)長相同，采摘結(jié)束

后，小康采摘的草莓比小悅多2.4kg．已知小康平均每小時(shí)采摘6kg，小悅平均每小時(shí)采摘4kg，小康采

摘的時(shí)長是______小時(shí)．

【答案】1.2

【解析】

【分析】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)采摘的質(zhì)量得出等式是解題關(guān)鍵．利用小康采摘的草

莓比小悅多2.4kg得出等式求出答案．

【詳解】解：設(shè)兩小組采摘了x小時(shí)，

依題意：6x4x2.4，

解得：x1.2，

因此，兩小組采摘了1.2小時(shí)．

故答案為：1.2．

12.如圖，AB為O的直徑，BCBD，CDB24，則ACD的度數(shù)為______．

【答案】66

【解析】

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題

的關(guān)鍵．先根據(jù)AB為O的直徑，BCBD，則AACD90，再根據(jù)BCBC，即

ACDB24，代入ACD90A進(jìn)行計(jì)算，即可作答．

【詳解】解：∵AB為O的直徑，BCBD，

∴ABCD，

即AACD90，

∵BCBC，

∴ACDB24，

則ACD90A902466，

故答案為：66．

k

13.如圖，過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)yk0的圖象交于Am,n，Bm6,n6兩點(diǎn)，則k的

x

值為______．

【答案】9

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，求反比例函數(shù)的解析式，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的性

k

質(zhì)，先根據(jù)題意得出mm6，nn6，解得m3，n3，即A3,3，再把A3,3代入y

x

進(jìn)行計(jì)算，即可作答．

k

【詳解】解：∵過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)yk0的圖象交于Am,n，Bm6,n6兩點(diǎn)，

x

∴Am,n，Bm6,n6兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，

即A的橫坐標(biāo)與B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，A的縱坐標(biāo)與B的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，

∴mm6，nn6，

∴m3，n3，

∴A3,3，

k

把A3,3代入y，

x

k

得3，

3

解得k9，

故答案為：9．

14.如圖，在ABCD中，AB6，AD8，B=60．動(dòng)點(diǎn)M，N分別在邊AB，AD上，且AMAN，

以MN為邊作等邊△MNP，使點(diǎn)P始終在ABCD的內(nèi)部或邊上．當(dāng)△MNP的面積最大時(shí)，DN的長

為______．

【答案】5

【解析】

【分析】如圖，在ABCD中，得出BAD120，根據(jù)△MNP是等邊三角形，得出

MPNPMN,MPN60，連接AP，證明AMP≌ANP，得出1260,3430，

則AMP90，作BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，證明ABE是等邊三角形，得出ABAEBE，

3

根據(jù)BAE1，得出直線AP和直線AE重合，確定點(diǎn)P在AE上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)△MNP的面積MP2，

2

得出MP最大時(shí)，△MNP的面積最大，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，△MNP的面積最大，此時(shí)，根據(jù)等邊三角

形的性質(zhì)得BMAM3，則ANAM3，得出DN835．

【詳解】解：如圖，在ABCD中，AB6，AD8，B60，

則BAD18060120，

∵△MNP是等邊三角形，

∴MPNPMN,MPN60，

連接AP，

∵AMAN,MPNP,APAP，

∴AMP≌ANPSSS，

∴1260,3430，

∴AMP1801390，

作BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，

∵BBAEDAE60，

∴ABE是等邊三角形，

∵BAE1，

∴直線AP和直線AE重合，

即點(diǎn)P在AE上運(yùn)動(dòng)，

3

∵△MNP的面積MPMPsin60MP2，

2

則MP最大時(shí)，△MNP的面積最大，

根據(jù)題意可得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，MP最大，即△MNP的面積最大，

此時(shí)，如圖，

則BMAM3，

∴ANAM3，

∴DN835，

故答案為：5．

【點(diǎn)睛】該題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三

角形等知識(shí)點(diǎn)，確定點(diǎn)P的軌跡是解題的關(guān)鍵．

三、解答題（共12小題，計(jì)78分．解答應(yīng)寫出過程）

0

15.計(jì)算：3122π3．

【答案】7

【解析】

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．

先計(jì)算二次根式的乘法、化簡(jiǎn)二次根式、化簡(jiǎn)絕對(duì)值、零次冪，再合并即可．

0

【詳解】解：3122π3

3621

621

7．

x35

16.解不等式組：

2x1x1

【答案】3x2

【解析】

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，

大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．

x35①

【詳解】解：

2x1x1②

由①得，x2；

由②得，x3，

∴原不等式組的解集為：3x2．

1x1

17.化簡(jiǎn)：1．

x2x24x4

【答案】x2

【解析】

【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)分式的減法運(yùn)算，再將除法化為乘法計(jì)算．

1x1

【詳解】解：1

x2x24x4

2

x21x2

x2x2x1

2

x1x2

x2x1

x2．

18.如圖，已知AOB50，點(diǎn)C在邊OA上．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AOB的內(nèi)部求作一點(diǎn)P，使得

AOP25，且CP∥OB．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】作圖見解析

【解析】

【分析】本題考查尺規(guī)基本作圖—作角的平分線，作一角等于已知角，平行線的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)基本

作圖是解題的關(guān)鍵．先作AOB的平分線OE，再在OA同側(cè)作ACF，使ACFAOB50，CF

交OE于P即可．

【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求；

理由如下：

由作圖可知：OE是AOB的平分線，

11

∴AOPAOB5025，

22

∵ACFAOB，

∴CP∥OB，

∴點(diǎn)P即為所求．

19.如圖，點(diǎn)D是VABC的邊BC延長線上一點(diǎn)，BDAB，DE∥AB，DEBC．求證：BEAC．

【答案】見解析

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

先根據(jù)平行得到BDEABC，再證明△BDE≌△ABCSAS即可．

【詳解】證明：∵DE∥AB，

∴BDEABC，

∵BDAB，DEBC，

∴△BDE≌△ABCSAS，

∴BEAC．

20.某班開展主題為“我愛陜西”的綜合實(shí)踐活動(dòng)，班委會(huì)決定設(shè)置“山水”“歷史”“文學(xué)”“藝

術(shù)”“科技”（分別記作A，B，C，D，E）共五個(gè)研究方向，并采取小組合作的研究方式．同學(xué)們?cè)?/p>

五張完全相同的不透明卡片的正面繪制了如圖所示的圖案，卡片背面保持完全相同．

（1）將這五張卡片背面朝上洗勻后，從中隨機(jī)抽取一張，抽到的卡片內(nèi)容是“科技”的概率為______；

（2）各小組從這五張卡片中隨機(jī)抽取一張，將卡片內(nèi)容作為本小組的研究方向．將這五張卡片背面朝上洗

勻后，小秦代表第一小組從中隨機(jī)抽取一張，記下結(jié)果，放回，背面朝上洗勻后，小博代表第二小組從中

隨機(jī)抽取一張．請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩個(gè)小組研究方向不同的概率．

1

【答案】（1）

5

4

（2）

5

【解析】

【分析】本題考查了用列表或畫樹狀圖求概率，概率公式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．

（1）理解題意，得一共有五張卡片，卡片內(nèi)容是“科技”的有一張，運(yùn)用概率公式進(jìn)行計(jì)算，即可作答．

（2）先理解題意，再畫樹狀圖，得到一共有25種等可能的結(jié)果，其中這兩個(gè)小組研究方向不同的等可能

結(jié)果有20種，運(yùn)用概率公式進(jìn)行計(jì)算，即可作答．

【小問1詳解】

解：依題意，一共有五張卡片，卡片內(nèi)容是“科技”的有一張，

1

∴將這五張卡片背面朝上洗勻后，從中隨機(jī)抽取一張，抽到的卡片內(nèi)容是“科技”的概率為，

5

1

故答案為：．

5

【小問2詳解】

解：依題意，畫樹狀圖如下所示：

∴一共有25種等可能的結(jié)果，其中這兩個(gè)小組研究方向不同的等可能結(jié)果有20種，

204

∴這兩個(gè)小組研究方向不同的概率．

255

21.小涵和小宇想測(cè)量公園山坡上一個(gè)信號(hào)桿的高度．在征得家長同意后，他們帶著工具前往測(cè)量．測(cè)量示

意圖如圖所示，他們?cè)谄旅鍲B上的點(diǎn)D處安裝測(cè)角儀DE，測(cè)得信號(hào)桿頂端A的仰角為45，DE與

坡面的夾角為72.5，又測(cè)得點(diǎn)D與信號(hào)桿底端B之間的距離DB為22m．已知DE1.7m，點(diǎn)A，B，

C在同一條直線上，AB，DE均與水平線FC垂直．求信號(hào)桿的高AB．（參考數(shù)據(jù)：sin72.50.95，

cos72.50.30，tan72.53.17）

【答案】信號(hào)桿的高AB為16m

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，正確掌

握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先理解題意，得出DBHBDE72.5，再在RtDBH中，運(yùn)用

HDBDsin72.5，BHBDcos72.5，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，得出HD,BH的值，然后證明四邊形

EDHI是矩形，故EIHD20.9m，根據(jù)AEI45，AIE90，得EAI45，

AIEI20.9m，把數(shù)值代入ABAIIHBH進(jìn)行計(jì)算，即可作答．

【詳解】解：過點(diǎn)E作EIAC于點(diǎn)I，過點(diǎn)D作DHAC于點(diǎn)H，如圖所示：

∵AB，DE均與水平線FC垂直．

∴DE∥AC,

∴DBHBDE72.5，

∵DHAC

∴DHI90

DH

在RtDBH中，BD22m,sin72.5，

BD

則HDBDsin72.5220.9520.9m，

BH

在RtDBH中，BD22m,cos72.5，

BD

則BHBDcos72.5220.306.6m，

∵過點(diǎn)E作EIAC于點(diǎn)I，過點(diǎn)D作DHAC于點(diǎn)H，DE∥AC,

∴EDHDHIHIE90，

∴四邊形EDHI是矩形

∴EIHD20.9m，

∵AEI45，AIE90，

∴EAI45，

∴AIEI20.9m，

∴ABAIIHBH20.91.76.616m，

信號(hào)桿的高AB為16m．

22.研究表明，一定質(zhì)量的氣體，在壓強(qiáng)不變的條件下，氣體體積yL與氣體溫度x℃成一次函數(shù)關(guān)系．某

實(shí)驗(yàn)室在壓強(qiáng)不變的條件下，對(duì)一定質(zhì)量的某種氣體進(jìn)行加熱，測(cè)得的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

氣體溫度x℃…253035…

氣體體積yL…596606616…

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）為滿足下一步的實(shí)驗(yàn)需求，本次實(shí)驗(yàn)要求氣體體積達(dá)到700L時(shí)停止加熱．求停止加熱時(shí)的氣體溫度．

【答案】（1）y2x546

（2）77℃

【解析】

【分析】該題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意．

（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

（2）令y700L，求解即可．

【小問1詳解】

解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為ykxb，

59625kbk2

則，解得，

60630kbb546

故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y2x546．

【小問2詳解】

解：令y700L，

則2x546700，解得：x77，

答：停止加熱時(shí)的氣體溫度為77℃．

23.為了讓同學(xué)們了解我國航天事業(yè)取得的成就并普及航天知識(shí)，某校在“中國航天日”當(dāng)天開展了研學(xué)活

動(dòng)，隨后采取自愿報(bào)名的方式，組織了航天知識(shí)競(jìng)賽．競(jìng)賽結(jié)束后，從競(jìng)賽成績(jī)（單位：分滿分100分均

不低于60分）中用科學(xué)的抽樣方法隨機(jī)抽取部分成績(jī)，并進(jìn)行整理，繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖：

其中B組共有15個(gè)成績(jī)，從高到低分別為：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，

80．

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）B組15個(gè)成績(jī)的平均數(shù)為______分；

（2）本次被抽取的所有成績(jī)的個(gè)數(shù)為______，本次被抽取的所有成績(jī)的中位數(shù)為______分；

（3）學(xué)校決定對(duì)本次競(jìng)賽成績(jī)90分及以上的學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，該校共有500名學(xué)生參加競(jìng)賽，請(qǐng)估計(jì)本次

競(jìng)賽的獲獎(jiǎng)人數(shù)．

【答案】（1）84

（2）50，80

（3）120人

【解析】

【分析】本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估算總體，平均數(shù)，中位數(shù)的含義．

（1）直接利用平均數(shù)公式計(jì)算即可；

（2）由B組人數(shù)除以其百分比即可得到總數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，再利用中位數(shù)的含義求解中位數(shù)即可；

（3）由總?cè)藬?shù)乘以本次競(jìng)賽成績(jī)90分及以上的學(xué)生的百分比即可得到答案.

【小問1詳解】

解：B組15個(gè)成績(jī)的平均數(shù)為：

1

898888868585858584838181808080

15

1

1260

15

84；

【小問2詳解】

解：∵1530%50，

∴本次被抽取的所有成績(jī)的個(gè)數(shù)為50，

∵5024%12，而12152725，

所抽取的50個(gè)成績(jī)分?jǐn)?shù)排序后排在第25個(gè)，第26個(gè)分?jǐn)?shù)落在B組，

而B組成績(jī)排序后為：

從高到低分別為：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．

1

∴第25個(gè)，第26個(gè)分?jǐn)?shù)808080，

2

本次被抽取的所有成績(jī)的中位數(shù)為80分；

【小問3詳解】

解：學(xué)校決定對(duì)本次競(jìng)賽成績(jī)90分及以上的學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，該校共有500名學(xué)生參加競(jìng)賽，則本次競(jìng)賽的

獲獎(jiǎng)人數(shù)為50024%120（人）.

24.如圖，點(diǎn)O在VABC的邊AC上，以O(shè)C為半徑的⊙O與AB相切于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E，EF為

⊙O的直徑，F(xiàn)D與AC相交于點(diǎn)G，F(xiàn)45．

（1）求證：ABAC；

3

（2）若sinA，AB8，求DG的長．

5

【答案】（1）證明見解析

122

（2）DG

7

【解析】

【分析】（1）如圖，連接OD，證明ODAB，DOE2F90，即EFOD，可得AB∥EF，

進(jìn)一步證明BC，可得ABAC；

3ODr3

（2）求解AC8，設(shè)O的半徑為r，結(jié)合sinA，可得，可得：r3，

5AO8r5

FGOF3

AD=AO2-DO2=4，求解DF323232，證明OFG∽ADG，可得，進(jìn)

DGAD4

一步可得答案.

【小問1詳解】

解：如圖，連接OD，

∵以O(shè)C為半徑的⊙O與AB相切于點(diǎn)D，

∴ODAB，

∵F45，

∴DOE2F90，即EFOD，

∴AB∥EF，

∴DOEC=DB，

∵OEOC，

∴COEC，

∴BC，

∴ABAC；

【小問2詳解】

解：∵AB8，ABAC，

∴AC8，

設(shè)O的半徑為r，

3

∴AO8r，ODr，而ADO90，sinA，

5

ODr3

∴，

AO8r5

解得：r3，

∴OFOD3，AO5，AD=AO2-DO2=4，

∵ODEF，則DOF90，

∴DF323232，

∵EF∥AB，

∴OFG∽ADG，

FGOF3

∴，

DGAD4

44122

∴DGDF32.

3477

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與

性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

25.某景區(qū)大門上半部分的截面示意圖如圖所示，頂部L1，左、右門洞L2，L3均呈拋物線型，水平橫梁

AC16m，L1的最高點(diǎn)B到AC的距離BO4m，L2，L3關(guān)于BO所在直線對(duì)稱．MN，MP，NQ為

框架，點(diǎn)M，N在L1上，點(diǎn)P，Q分別在L2，L3上，MN∥AC，MPAC，NQAC．以O(shè)為原

點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，以BO所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

（1）求拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式；

325

（2）已知拋物線L的函數(shù)表達(dá)式為yx4，NQm，求MN的長．

3162

1

【答案】（1）yx24

16

（2）MN12m

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，二次函數(shù)的解析式，因式分解法進(jìn)行解方程，正確掌握相關(guān)性

質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．

2

（1）理解題意，先設(shè)拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式為yax04，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性得

2

A8,0,C8,0，再代入yax04進(jìn)行求解，即可作答．

51

（2）理解題意，得出yyy，再結(jié)合拋物線L，L的函數(shù)表達(dá)式分別為yx24，

NQ21316

3252

yx4，代入yyy，整理得x212x36x60，再解方程，可作答．

16NQ2

【小問1詳解】

解：∵BO4m，

∴拋物線L1的頂點(diǎn)B坐標(biāo)為0,4，

2

設(shè)拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式為yax04，

∵AC16m，

∴結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性得A8,0,C8,0，

2

將C8,0代入yax04，

得064a4

1

則a，

16

1

∴yx24；

16

【小問2詳解】

1

解：由（1）得拋物線L的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)x24，

116

532

∵M(jìn)N∥AC，MPAC，NQAC．NQm，且拋物線L的函數(shù)表達(dá)式為yx4，

2316

1325

∴yyyx24x4，

NQ16162

2

整理得x23x424，

∴x23x224x4824，

2

∴x212x36x60，

解得x1x26，

∴MN2612m．

26.問題探究

（1）如圖①，在VABC中，請(qǐng)畫出一個(gè)BDEF，使得點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上；

（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB4，BC6，P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足S△BPC9，BPC

周長的最小值；

問題解決

（3）為了進(jìn)一步提升游客的體驗(yàn)感，某公園管理部門準(zhǔn)備在花海邊沿與游客服務(wù)中心之間的草地上選址修

建一條筆直的步道及一個(gè)觀景臺(tái)．如圖③所示，VABC區(qū)域?yàn)椴莸兀€段BC為花海邊沿，點(diǎn)A為游客服

務(wù)中心，線段PQ為步道，點(diǎn)P和點(diǎn)Q為步道口，點(diǎn)O為觀景臺(tái)．按照設(shè)計(jì)要求，點(diǎn)P，Q分別在邊AB，AC

上，且滿足BP:AQ2:3，O為PQ的中點(diǎn)，為保證觀賞花海的最佳效果，還需使BOC最大．已知

AB120m，ACBC180m，請(qǐng)你幫助公園管理部門確定觀景臺(tái)的位置（在圖中畫出符合條件的點(diǎn)），

并計(jì)算此時(shí)步道口P與游客服務(wù)中心A之間的距離PA．（步道的寬及步道口、觀景臺(tái)、游客服務(wù)中心的大

小均忽略不計(jì)）

80

【答案】（1）見詳解（2）626（3）APm

3

【解析】

【分析】（1）先作ADEB，DE交AC于點(diǎn)E，得出DE∥BF，再以點(diǎn)B為圓心，以DE的長為

半徑畫弧，交線段BC于一點(diǎn)F，連接EF，則DEBF，故四邊形BDEF是平行四邊形，即可作答．

（）過點(diǎn)作于點(diǎn)，解得，故在線段上運(yùn)動(dòng)的，整理，

2PPHBCHPH3PMNCBPCBPCP6

經(jīng)過分析當(dāng)BPCP有最小值時(shí)，則BPC的周長有最小值，即作B點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B，當(dāng)B,P,C

三點(diǎn)共線時(shí)，BPCP有最小值，即BC的長，結(jié)合矩形的性質(zhì)以及勾股定理列式計(jì)算，得

BCBB2BC262，即可作答．

（3）取AB的中點(diǎn)M，取AC的中點(diǎn)N，連接MN，得MN是VABC的中位線，再過點(diǎn)P作PD∥AC，

PBAB1202

證明△PBD∽△ABC，整理，故AQPD，再證明四邊形APDQ是平行四邊形，

PDAC1803

因?yàn)镺是PQ的中點(diǎn)，得AOOD，11

OEOD1

、證明ADH∽ODE，，理解題意，得OE為定值，則點(diǎn)O在VABC的中位線MN上

AHAD2

運(yùn)動(dòng)，作BOC的外接圓eT，當(dāng)且僅當(dāng)eT與MN相切時(shí)，BOC的值最大，先得出

1BKBM

MBAB60m，CMAB，運(yùn)用三角函數(shù)得cosABC，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，即

2BMBC

可作答．