復(fù)旦大學(xué)專升本數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)，則\(f'(x)\)的零點(diǎn)為：

A.\(x=1\)

B.\(x=2\)

C.\(x=3\)

D.\(x=4\)

2.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)等于：

A.1

B.0

C.無窮大

D.無定義

3.已知向量\(\mathbf{a}=(1,2,3)\)，\(\mathbf=(2,3,4)\)，則\(\mathbf{a}\cdot\mathbf\)的值為：

A.11

B.9

C.13

D.15

4.若\(A\)是一個(gè)\(3\times3\)的矩陣，且\(\det(A)=0\)，則矩陣\(A\)的秩為：

A.1

B.2

C.3

D.無限大

5.設(shè)\(y=e^x\sinx\)，則\(y'\)等于：

A.\(e^x\cosx\)

B.\(e^x\sinx\)

C.\(e^x(\sinx+\cosx)\)

D.\(e^x(\sinx-\cosx)\)

6.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)=f(b)\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上必定有：

A.一個(gè)極大值

B.一個(gè)極小值

C.一個(gè)拐點(diǎn)

D.無極大值和極小值

7.若\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)，則\(\int_{0}^{1}(2x+1)dx\)等于：

A.1

B.2

C.3

D.4

8.設(shè)\(\mathbf{A}\)是一個(gè)\(2\times2\)的矩陣，且\(\mathbf{A}\)的行列式為5，則\(\mathbf{A}^{-1}\)的行列式為：

A.5

B.1/5

C.25

D.1/25

9.若\(y=\lnx\)，則\(\frac{dy}{dx}\)等于：

A.\(\frac{1}{x}\)

B.\(\frac{1}{x^2}\)

C.\(x\)

D.\(x^2\)

10.設(shè)\(f(x)=x^3-3x^2+4x-6\)，則\(f(x)\)的極值點(diǎn)為：

A.\(x=-1\)

B.\(x=1\)

C.\(x=2\)

D.\(x=3\)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，哪些是偶函數(shù)？

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=e^x\)

C.\(f(x)=\sinx\)

D.\(f(x)=\cosx\)

E.\(f(x)=\lnx\)

2.下列哪些是線性方程組？

A.\(\begin{cases}2x+3y=6\\x-y=1\end{cases}\)

B.\(\begin{cases}x^2+y^2=1\\x+y=0\end{cases}\)

C.\(\begin{cases}3x-2y=5\\2x+y=3\end{cases}\)

D.\(\begin{cases}x^3+y^3=0\\x^2+y^2=1\end{cases}\)

E.\(\begin{cases}x+y=0\\x-y=0\end{cases}\)

3.下列哪些是矩陣的秩為1的情況？

A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)

E.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\0&0\end{pmatrix}\)

4.下列哪些是三角函數(shù)的周期函數(shù)？

A.\(\sinx\)

B.\(\cosx\)

C.\(\tanx\)

D.\(\cscx\)

E.\(\secx\)

5.下列哪些是多元函數(shù)的極值點(diǎn)？

A.\(f(x,y)=x^2+y^2\)在\((0,0)\)

B.\(f(x,y)=x^2-y^2\)在\((0,0)\)

C.\(f(x,y)=e^{x^2+y^2}\)在\((0,0)\)

D.\(f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\)在\((0,0)\)

E.\(f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}\)在\((0,0)\)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)\(f(x)=2x^3-9x^2+12x\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)\)為______。

2.若\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\)存在，則該極限的值為______。

3.向量\(\mathbf{a}=(3,-4)\)和\(\mathbf=(2,5)\)的點(diǎn)積\(\mathbf{a}\cdot\mathbf\)為______。

4.三階行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)的值為______。

5.若\(\int_{0}^{2}x^3dx\)的值為______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限\(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\cdots\right)\)。

2.解線性方程組\(\begin{cases}2x+3y-z=8\\x-y+2z=1\\3x+2y-4z=0\end{cases}\)。

3.計(jì)算向量\(\mathbf{a}=(1,2,3)\)和\(\mathbf=(4,5,6)\)的叉積\(\mathbf{a}\times\mathbf\)。

4.求函數(shù)\(f(x)=e^x\sinx\)在\(x=0\)處的泰勒展開式的前三項(xiàng)。

5.設(shè)\(f(x,y)=x^2+y^2-2xy\)，求\(f(x,y)\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切平面方程。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.B.\(x=2\)——函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，求導(dǎo)后令導(dǎo)數(shù)為0找極值點(diǎn)。

2.A.1——利用洛必達(dá)法則或直接代入原函數(shù)求極限。

3.A.11——向量的點(diǎn)積公式\(\mathbf{a}\cdot\mathbf=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)。

4.B.2——矩陣的秩是其非零行的最大數(shù)目，該矩陣有兩行非零。

5.C.\(e^x(\sinx+\cosx)\)——利用乘積法則和鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)。

6.D.無極大值和極小值——由費(fèi)馬定理，若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，且在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0，則該點(diǎn)可能是極值點(diǎn)。

7.B.2——利用積分基本定理和定積分計(jì)算。

8.B.1/5——矩陣的逆的行列式是原行列式的倒數(shù)。

9.A.\(\frac{1}{x}\)——對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

10.A.\(x=-1\)——使用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的增減性來判斷極值點(diǎn)。

二、多項(xiàng)選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.AD——偶函數(shù)滿足\(f(-x)=f(x)\)，奇函數(shù)滿足\(f(-x)=-f(x)\)。

2.AE——線性方程組是指方程組中的每個(gè)方程都是線性方程，即變量的最高次項(xiàng)為1。

3.ABE——矩陣的秩為1意味著矩陣的列向量線性相關(guān)，并且有非零的行向量。

4.ABD——三角函數(shù)中，正弦和余弦是周期函數(shù)，其余弦和正割是周期函數(shù)。

5.AD——多元函數(shù)的極值點(diǎn)通常在函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為0的位置附近。

三、填空題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.\(6x^2-18x+12\)——使用冪函數(shù)的求導(dǎo)法則。

2.4——分子和分母同時(shí)除以\(x-2\)后，使用洛必達(dá)法則或直接代入。

3.6——向量點(diǎn)積公式\(\mathbf{a}\cdot\mathbf=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)。

4.0——三階行列式的計(jì)算，對(duì)任意一行或一列進(jìn)行展開。

5.\(\frac{8}{3}\)——使用定積分的基本定理和冪函數(shù)的積分。

四、計(jì)算題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.\(\frac{1}{2}\)——這是一個(gè)等比數(shù)列的和的極限，當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，和趨近于\(\frac{1}{1-\frac{1}{x}}\)。

2.解為\(x=2,y=1,z=1\)——使用高斯消元法或矩陣的逆求解線性方程組。

3.\(\mathbf{a}\times\mathbf=(-3,6,-3)\)——使用叉積公式計(jì)算。

4.\(f(x,y)\approx1+x-y\)——使用泰勒展開式，保留到\(x^