[知識(shí)能否憶起]一、平面對(duì)量基本定理及坐標(biāo)表達(dá)1．平面對(duì)量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝.其中，不共線的向量e1，e2叫做表達(dá)這一平面內(nèi)全部向量的一組．不共線有且只有基底λ1e1＋λ2e22．平面對(duì)量的坐標(biāo)表達(dá)(1)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相似的兩個(gè)單位向量i，j作為基底．對(duì)于平面內(nèi)的一種向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使a＝xi＋yj，把有序數(shù)對(duì)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝，其中叫做a在x軸上的坐標(biāo)，叫做a在y軸上的坐標(biāo)．(x，y)(x，y)xy終點(diǎn)A(x，y)二、平面對(duì)量坐標(biāo)運(yùn)算1．向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)2．向量坐標(biāo)的求法(1)若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝

，|

|＝

.(x2－x1，y2－y1)三、向量平行的坐標(biāo)表達(dá)成比例成比例 [小題能否全取]答案：AA．(4,6) B．(－4，－6)C．(－2，－2) D．(2,2)2．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，則a＋b等于 ()A．(－2，－1) B．(2,1)C．(3，－1) D．(－3,1)解析：由a∥b可得2×(－2)－1×x＝0，故x＝－4，因此a＋b＝(－2，－1)．答案：A答案：A1.基底的不唯一性只要兩個(gè)向量不共線，就能夠作為平面的一組基底，對(duì)基底的選用不唯一，平面內(nèi)任意向量a都可被這個(gè)平面的一組基底e1，e2線性表達(dá)，且在基底擬定后，這樣的表達(dá)是唯一的．2．向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別要分辨點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全同樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中現(xiàn)有方向的信息也有大小的信息．平面對(duì)量基本定理及其應(yīng)用用向量基本定理解決問(wèn)題的普通思路是：先選擇一組基底，再用該基底表達(dá)向量，也就是運(yùn)用已知向量表達(dá)未知向量，其實(shí)質(zhì)就是運(yùn)用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算．答案：(1)A(2)B平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算①求3a＋b－3c；②求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n.[答案]

(1)D1．向量的坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，從而可使幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算．2．兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相似．此時(shí)注意方程(組)思想的應(yīng)用．[注意]向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)不同：向量平移后，其起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)都發(fā)生變化，但向量的坐標(biāo)不變．[例3](2011·廣東高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c則λ＝ ()平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表達(dá)[答案]B在本例條件下，問(wèn)與否存在非零常數(shù)λ，使a＋λb和a－λc平行？若平行是同向還是反向？解：∵a＋λb＝(1＋λ，2)，a－λc＝(1－3λ，2－4λ)，若(a＋λb)∥(a－λc)，∴(1＋λ)(2－4λ)－2(1－3λ)＝0.∴λ＝1.∴a＋λb＝(2,2)與a－λc＝(－2，－2)反向．即存在λ＝1使a＋λb與a－λc平行且反向．a(chǎn)∥b的充要條件有兩種體現(xiàn)方式(1)a∥b(b≠0)?a＝λb(λ∈R)；(2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.兩種充要條件的體現(xiàn)形式不同．第(1)種是用線性關(guān)系的形式表達(dá)的，并且有前提條件b≠0，而第(2)種無(wú)b≠0限制．