高考備考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列函數(shù)中，其定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R的是：

A.$y=\frac{1}{x}$

B.$y=\sqrt{x^2-1}$

C.$y=\ln(x)$

D.$y=\sqrt[3]{x}$

2.若函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，則下列說法正確的是：

A.$f(x)$在$x=2$處有極值

B.$f(x)$在$x=2$處無極值

C.$f(x)$在$x=2$處有拐點(diǎn)

D.$f(x)$在$x=2$處無拐點(diǎn)

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為d，且$a_1+a_3=8$，$a_2+a_4=12$，則該等差數(shù)列的前n項(xiàng)和$S_n$等于：

A.$4n^2+2n$

B.$4n^2-2n$

C.$4n^2+2n+8$

D.$4n^2-2n+8$

4.若直線$y=kx+b$與圓$x^2+y^2=1$相切，則下列關(guān)于k的說法正確的是：

A.$k>0$

B.$k<0$

C.$k=0$

D.無法確定

5.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，若$f'(x)$的零點(diǎn)個數(shù)為：

A.1

B.2

C.3

D.4

6.下列數(shù)列中，不是等比數(shù)列的是：

A.$\{2,4,8,16,32,\ldots\}$

B.$\{1,2,4,8,16,\ldots\}$

C.$\{1,3,9,27,81,\ldots\}$

D.$\{1,1,1,1,1,\ldots\}$

7.若函數(shù)$f(x)=2^x+3$在區(qū)間[0,1]上的最大值為5，則下列說法正確的是：

A.$f(0)=5$

B.$f(1)=5$

C.$f'(0)=5$

D.$f'(1)=5$

8.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為d，且$a_1=3$，$a_3+a_5=20$，則該等差數(shù)列的第10項(xiàng)$a_{10}$等于：

A.15

B.16

C.17

D.18

9.若直線$y=kx+b$與拋物線$y=x^2-2x+1$相切，則下列關(guān)于k的說法正確的是：

A.$k>0$

B.$k<0$

C.$k=0$

D.無法確定

10.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}+\ln(x)$，若$f'(x)$的零點(diǎn)個數(shù)為：

A.1

B.2

C.3

D.4

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列關(guān)于函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$的說法中，正確的是：

A.$f(x)$在$x=1$處有極值

B.$f(x)$在$x=2$處有拐點(diǎn)

C.$f(x)$在$x=3$處有極值

D.$f(x)$在$x=4$處有拐點(diǎn)

2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前n項(xiàng)和為$S_n$，公差為d，首項(xiàng)為$a_1$，則下列關(guān)于$S_n$的表達(dá)式中，正確的是：

A.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

B.$S_n=\frac{n(a_1+a_2)}{2}$

C.$S_n=\frac{n(a_1+a_3)}{2}$

D.$S_n=\frac{n(a_2+a_n)}{2}$

3.下列關(guān)于直線$y=kx+b$與圓$x^2+y^2=r^2$的位置關(guān)系的說法中，正確的是：

A.當(dāng)$k^2+1<r^2$時，直線與圓無交點(diǎn)

B.當(dāng)$k^2+1=r^2$時，直線與圓相切

C.當(dāng)$k^2+1>r^2$時，直線與圓有兩個交點(diǎn)

D.當(dāng)$k^2+1=0$時，直線與圓相切

4.下列關(guān)于數(shù)列$\{a_n\}$的說法中，正確的是：

A.若$\{a_n\}$是等差數(shù)列，則$\{a_n^2\}$也是等差數(shù)列

B.若$\{a_n\}$是等比數(shù)列，則$\{a_n^2\}$也是等比數(shù)列

C.若$\{a_n\}$是等差數(shù)列，則$\{a_n^3\}$也是等差數(shù)列

D.若$\{a_n\}$是等比數(shù)列，則$\{a_n^3\}$也是等比數(shù)列

5.下列關(guān)于函數(shù)$f(x)=\ln(x)+\sqrt{x}$的說法中，正確的是：

A.$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增

B.$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減

C.$f(x)$在$(0,+\infty)$上有極小值

D.$f(x)$在$(0,+\infty)$上有極大值

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$等于______。

2.等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=3$，公差$d=2$，則第10項(xiàng)$a_{10}$等于______。

3.圓$x^2+y^2=1$的半徑r等于______。

4.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}+\ln(x)$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)$f'(1)$等于______。

5.數(shù)列$\{a_n\}$的前n項(xiàng)和$S_n$為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，若$a_1=2$，$d=3$，則數(shù)列的第5項(xiàng)$a_5$等于______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

\[f(x)=\sqrt[3]{x^2}-\frac{1}{x^2}\]

2.求函數(shù)$g(x)=x^3-6x^2+9x+1$的極值點(diǎn)，并確定這些極值點(diǎn)是極大值還是極小值。

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前n項(xiàng)和$S_n=3n^2+3n$，求首項(xiàng)$a_1$和公差$d$。

4.計(jì)算直線$y=2x-3$與圓$x^2+y^2=4$的交點(diǎn)坐標(biāo)。

5.求解方程組：

\[\begin{cases}

x^2+4y^2=1\\

x-y=2

\end{cases}\]

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識點(diǎn)詳解：

1.B。根號內(nèi)的表達(dá)式$x^2-1$必須大于等于0，所以定義域?yàn)?x\leq-1$或$x\geq1$。

2.D。$f(x)$在$x=2$處導(dǎo)數(shù)為0，且二階導(dǎo)數(shù)不為0，因此有拐點(diǎn)。

3.A。根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_3=a_1+2d$，$a_4=a_1+3d$，代入已知條件求解得到$a_1=2$，$d=2$。

4.C。直線與圓相切的條件是直線到圓心的距離等于圓的半徑。

5.A。$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得到$x=1$或$x=\frac{2}{3}$，計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)可知$x=1$處為極小值。

6.D。這是一個常數(shù)數(shù)列，每一項(xiàng)都相等。

7.B。$f'(x)=2^x\ln(2)+\frac{1}{x}$，在$x=1$處，$f'(1)=2\ln(2)+1>5$。

8.A。根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_{10}=a_1+9d=3+9\cdot2=21$。

9.C。直線與拋物線相切的條件是它們的判別式為0。

10.B。$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}$，令$f'(x)=0$得到$x=1$，計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)可知$x=1$處為極小值。

二、多項(xiàng)選擇題答案及知識點(diǎn)詳解：

1.A、C。$f(x)$在$x=1$處導(dǎo)數(shù)為0，且二階導(dǎo)數(shù)不為0，因此有極值。$f(x)$在$x=3$處導(dǎo)數(shù)為0，且二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，因此有極大值。

2.A、D。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。

3.A、B、C。直線與圓的位置關(guān)系取決于直線到圓心的距離與圓的半徑的關(guān)系。

4.B、C。等比數(shù)列的性質(zhì)決定了其平方數(shù)列和立方數(shù)列的性質(zhì)。

5.A、C。$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，并且有一個極小值點(diǎn)。

三、填空題答案及知識點(diǎn)詳解：

1.$f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}+2x^{-3}$。

2.$a_1=2$，$d=3$。

3.$r=1$。

4.$f'(1)=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$。

5.$a_5=a_1+4d=2+4\cdot3=14$。

四、計(jì)算題答案及知識點(diǎn)詳解：

1.$f'(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{1}{3}}+\frac{2}{x^3}$。

2.$g'(x)=3x^2-12x+9$，令$g'(x)=0$得到$x=1$或$x=3$，$g''(x)=6x-12$，$g''(1)=-6<0$，$g''(3)=6>0$，所以$x=1$處為極大值，$x=3$處為極小值。

3.$S_n=3n^2+3n$，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_1+a_n=6n$，所以$a_1=3$