第十四章

全等三角形14.3角的平分線第1課時(shí)

角的平分線的性質(zhì)新課導(dǎo)入

如圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是這個(gè)角的平分線．你能說(shuō)明它的道理嗎？角平分儀探究新知角的平分線上的點(diǎn)的特性是由其與角的兩邊的關(guān)系體現(xiàn)的.我們先來(lái)看角的平分線上的點(diǎn)與角兩邊上的點(diǎn)所連線段的數(shù)量關(guān)系.探究如圖，OC是∠AOB

的平分線，P

是OC

上的任意一點(diǎn)，M，N

分別是OA，OB

上的點(diǎn)，我們研究PM

與PN

的關(guān)系.CABOMNP研究幾何圖形的關(guān)系時(shí)，我們往往關(guān)注其中的一些特殊情況.圖中當(dāng)OM

與ON

滿足什么關(guān)系時(shí)，PM=PN？CABOMNPOP=OP，∠POM=∠PON，在△OPM和△OPN中，如果OM=ON，那么△OPM

≌△OPN(SAS)，就有PM=PN.反過來(lái)，如圖，M，N

分別是∠AOB

的邊OA，OB

上的點(diǎn)，OM=ON，點(diǎn)P

在∠AOB

的內(nèi)部，PM=PN.連接OP.ABOMNOP=OP，OM=ON，PM=PN，在△OPM和△OPN中，∴△OPM

≌△OPN(SSS)，就有∠POM=∠PON.P即點(diǎn)P

在∠AOB

的平分線上.思考由上述結(jié)論，你能想到如何作一個(gè)角的平分線嗎？1先在角的兩邊上分別作出與角的頂點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn).2在角的內(nèi)部作出與這兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn).3以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)，作過這個(gè)點(diǎn)的射線.作法：如圖，已知∠AOB.(1)以點(diǎn)O

為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交OA

于點(diǎn)M，交OB

于點(diǎn)N.ABOMNC(3)作射線OC.射線OC

即為∠AOB

的平分線.角的平分線的作法(2)分別以點(diǎn)M，N

為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑作?。ㄏ胍幌霝槭裁矗?，兩弧在∠AOB

的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.

ABOMN為什么以大于MN的長(zhǎng)為半徑作?。阂孕∮贛N的長(zhǎng)為半徑，兩弧無(wú)交點(diǎn)；以等于MN的長(zhǎng)為半徑，不易操作.角的平分線的作法已知：平角∠AOB.求作：∠AOB的平分線.ABO【結(jié)論】作平角的平分線的方法就是過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法.練習(xí)探究如圖，OC

是∠AOB

的平分線，點(diǎn)P1，P2，P3，···在OC

上，過點(diǎn)P1，P2，P3，···分別畫OA

與OB

的垂線，垂足分別為D1

與E1、D2

與E2、D3

與E3······.分別比較P1D1

與P1E1、P2D2

與P2E2、P3D3

與P3E3······，你有什么發(fā)現(xiàn)？CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4P1D1=

P1E1，P2D2=

P2E2，P3D3=

P3E3······探究新知CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4P1D1=

P1E1，P2D2=

P2E2，P3D3=

P3E3······猜想：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等已知：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上.求證：驗(yàn)證這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.角的平分線的性質(zhì)CABODEP如圖，OC

是∠AOB

的平分線，點(diǎn)P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.

求證PD=PE.可以通過證明△OPD≌△OPE得到PD=PE.角的平分線的性質(zhì)的應(yīng)用CABODEP證明：∵OC

是∠AOB

的平分線，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△OPD和△OPE中，∠AOC=∠BOC

，∠PDO=∠PEO

，OP=OP

，∴△OPD≌△OPE（AAS）∴PD=PE

證明幾何命題的一般步驟1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.必要時(shí)先將命題改寫成“如果···那么···”的形式注意可能存在不同情形如圖，∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，∴PD=PE.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等角的平分線的性質(zhì)CABODEP幾何語(yǔ)言：歸納角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等CABODEP應(yīng)用定理需具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：證明線段相等角的平分線的性質(zhì)知識(shí)歸納1．作已知角的平分線的方法有很多，主要有折疊法和

.2．角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離

.3．一般情況下，要證明一個(gè)幾何命題時(shí)，可以按照以下的步驟進(jìn)行：(1)明確命題中的

和

；(2)根據(jù)題意，畫出

，并用數(shù)學(xué)

表示已知和求證；(3)經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出

.尺規(guī)作圖法相等已知求證圖形符號(hào)證明過程例題與練習(xí)例1

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：∠B＝∠C.證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C.DB＝DCDE＝DFAEBFCD例2

如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，且CD＝CB，

∠ABC＋∠ADC＝180°.證明：過點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.CBADEF又∵CD＝CB，求證：AE＝(AB＋AD).

∴Rt△CEB≌Rt△CFD(HL)，∴DF＝BE.∵CE＝CF，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)，∴AF＝AE，∴DF＝AF－AD＝AE－AD.∵BE＝AB－AE，DF＝BE，∴AE－AD＝AB－AE，∴AE＝(AB＋AD).CBADEF

課堂小結(jié)角平分線尺規(guī)作圖性質(zhì)添加輔助線依據(jù)：SSS一個(gè)點(diǎn)：二距離：兩相等：角平分線上的點(diǎn)點(diǎn)到角兩邊的距離兩條垂線段相等過角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線段隨堂檢測(cè)1.如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P在∠AOB

的內(nèi)部，且點(diǎn)P

到射線OA和OB的距離相等.解：如圖所示：作∠AOB的平分線與MN交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求.ABONMP2.如圖，OC

是∠AOB

的平分線，點(diǎn)P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.點(diǎn)F，G

分別在OA，O

B上，DF=EG，連接PF，PG.求證PF=PG.CABOGFDEP在△DPF和△EPG中，證明：∵OC

是∠AOB

的平分線，點(diǎn)P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°.PD=PE，∠PDF=∠PEG，DF=EG，∴△DPF≌△EPG（SAS）.∴PF=PG.CABOGFDEP3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且AB＝6cm，則△DEB的周長(zhǎng)為()A．4cmB．6cmC．8cmD．10cmCBADEB4．如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點(diǎn)P且與AB垂直．若AD＝8，則點(diǎn)P到BC的距離是()A．8B．6C．4D．2CCBADP5．如圖，已知OD平分∠