章末復(fù)習(xí)第十五章

軸對稱【2025新教材】人教版數(shù)學(xué)

八年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********第十五章

軸對稱一、本章學(xué)習(xí)目標(biāo)理解軸對稱圖形和成軸對稱的概念，能準(zhǔn)確區(qū)分兩者，掌握軸對稱的基本性質(zhì)。探索并掌握線段垂直平分線、角平分線的性質(zhì)與判定，熟練運(yùn)用其解決幾何問題。深入學(xué)習(xí)等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)與判定，提升幾何推理與證明能力。學(xué)會運(yùn)用軸對稱的知識解決最短路徑等實(shí)際問題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。二、知識要點(diǎn)詳解（一）軸對稱圖形與成軸對稱概念軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸

。例如，圓、正方形、等腰三角形都是軸對稱圖形，圓有無數(shù)條對稱軸，正方形有4條對稱軸，等腰三角形有1條對稱軸。成軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)。例如，兩個全等的三角形，通過適當(dāng)?shù)姆胖茫梢躁P(guān)于某條直線成軸對稱。性質(zhì)對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。軸對稱圖形（或成軸對稱的兩個圖形）沿對稱軸對折后，兩部分完全重合。（二）線段垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等。幾何語言：若\(CD\)垂直平分線段\(AB\)，點(diǎn)\(P\)在\(CD\)上，則\(PA=PB\)。判定定理：與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。幾何語言：若\(PA=PB\)，則點(diǎn)\(P\)在線段\(AB\)的垂直平分線上。應(yīng)用：常用于證明線段相等，確定線段的中點(diǎn)等幾何問題。（三）角平分線性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。幾何語言：若\(OC\)平分\(\angleAOB\)，\(PD\perpOA\)于\(D\)，\(PE\perpOB\)于\(E\)，則\(PD=PE\)。判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。幾何語言：若\(PD\perpOA\)，\(PE\perpOB\)，且\(PD=PE\)，則\(OC\)平分\(\angleAOB\)。實(shí)際應(yīng)用：可用于解決與角相關(guān)的距離問題，如確定角內(nèi)某點(diǎn)是否在角平分線上等。（四）等腰三角形性質(zhì)等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）

。判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）。（五）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于\(60^{\circ}\)；三條邊都相等；具有等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，且有3條對稱軸。判定三條邊都相等的三角形是等邊三角形。三個角都相等的三角形是等邊三角形。有一個角是\(60^{\circ}\)的等腰三角形是等邊三角形。（六）含\(30^{\circ}\)角的直角三角形在直角三角形中，如果一個銳角等于\(30^{\circ}\)，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。反之，若直角三角形中一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對的銳角為\(30^{\circ}\)。（七）最短路徑問題將軍飲馬模型：通過作對稱點(diǎn)，將直線同側(cè)兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的距離和轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的線段長度，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”求解。造橋選址模型：通過平移，將橋的長度轉(zhuǎn)化到路徑中，再利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定橋的位置。三、典型例題例1已知：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(D\)是\(BC\)的中點(diǎn)，\(DE\perpAB\)于\(E\)，\(DF\perpAC\)于\(F\)。求證：\(DE=DF\)。證明：因?yàn)閈(AB=AC\)，\(D\)是\(BC\)中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形“三線合一”，可得\(AD\)平分\(\angleBAC\)。又因?yàn)閈(DE\perpAB\)，\(DF\perpAC\)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，所以\(DE=DF\)。例2如圖，要在燃?xì)夤艿繺(l\)上修建一個泵站，分別向\(A\)、\(B\)兩鎮(zhèn)供氣。泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？解析：作點(diǎn)\(A\)關(guān)于直線\(l\)的對稱點(diǎn)\(A'\)，連接\(A'B\)，交直線\(l\)于點(diǎn)\(P\)，則點(diǎn)\(P\)即為泵站的位置。此時\(AP+BP=A'P+BP=A'B\)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，\(A'B\)為最短輸氣管線長度。四、課堂練習(xí)下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（

）A.矩形B.菱形C.平行四邊形D.正方形已知\(\triangleABC\)中，\(\angleB=\angleC\)，\(AB=5\)，則\(AC\)的長為（

）A.2B.3C.4D.5如圖，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，\(BC=3\)，求\(AB\)的長。五、課后作業(yè)復(fù)習(xí)本章所有概念、性質(zhì)和判定定理，整理筆記。完成教材本章對應(yīng)的習(xí)題，包括基礎(chǔ)題、提高題和拓展題。觀察生活中的軸對稱現(xiàn)象，收集相關(guān)圖片或?qū)嵗?，并嘗試用本章知識進(jìn)行分析。以上內(nèi)容系統(tǒng)梳理了“第十五章

軸對稱”知識。若你覺得某部分講解深度不夠，或想增加更多題型，可隨時和我說。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解知識框架生活中的軸對稱軸對稱等腰三角形等邊三角形作對稱軸畫軸對稱的圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系知識梳理知識點(diǎn)1軸對稱的概念與性質(zhì)1.軸對稱：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠__________，這個圖形就叫作軸對稱圖形，這條直線就是它的________.折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫作________.互相重合對稱軸注意：對稱軸要用_____線表示.虛對稱點(diǎn)2.成軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形______，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線__________.重合成軸對稱知識點(diǎn)1軸對稱的概念與性質(zhì)3.軸對稱與成軸對稱：區(qū)別聯(lián)系軸對稱圖形一個圖形本身的特性對稱點(diǎn)在同一個圖形上兩個圖形成軸對稱兩個圖形的位置關(guān)系對稱點(diǎn)分別在兩個圖形上軸對稱圖形兩個圖形關(guān)于對稱軸成軸對稱對稱部分看成兩個圖形看成一個整體4.軸對稱的性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形中，連接對稱點(diǎn)的線段被對稱軸________.垂直平分舉一反三訓(xùn)練1.傳統(tǒng)文化瓷器上的紋飾是中國古代傳統(tǒng)文化的重要載體之一.下面的瓷器紋飾圖案不是軸對稱圖形的是（）CA.B.C.D.舉一反三訓(xùn)練2.如圖，等邊三角形ABC的邊長為1，D，E

分別是AB，AC

上的點(diǎn)，將△ADE

沿直線DE

折疊，使點(diǎn)A

落在點(diǎn)A′處，且點(diǎn)A′在△ABC

的外部，則陰影部分的圖形的周長之和為______.3解析：由折疊的性質(zhì)可得AD

=

A′D，AE

=

A′E，∴陰影部分的圖形的周長之和為：

BD+A′D+BC

+

A′E

+CE

=

BD+AD+BC+AE+CE

=

AB+BC+AC

=

1+

1+

1

=3.知識點(diǎn)2互逆命題與互逆定理1.互逆命題：兩個命題的題設(shè)、結(jié)論正好______.如果把其中一個叫作原命題，那么另一個叫作它的________.相反逆命題2.互逆定理：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是________，那么它也是一個定理，這兩個定理叫作________，其中一個定理叫作另一個定理的______.真命題注意：原命題成立時，它的逆命題_________________________.可能成立，也可能不成立互逆定理逆定理知識點(diǎn)3線段的垂直平分線1.定義：經(jīng)過線段______并且______于這條線段的______，叫作這條線段的垂直平分線.中點(diǎn)垂直直線2.性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離______.相等3.判定：與線段兩個端點(diǎn)__________的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.距離相等知識點(diǎn)3線段的垂直平分線4.作法：AB(1)分別以點(diǎn)A

和點(diǎn)B

為圓心，大于AB

的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；(2)作直線CD.CD

就是線段AB

的垂直平分線.CD也可以用這種方法確定線段的中點(diǎn)中點(diǎn)知識點(diǎn)3線段的垂直平分線5.經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線：ABC(1)以點(diǎn)C

為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交直線AB

于點(diǎn)D

和點(diǎn)E；ED(2)分別以點(diǎn)D

和點(diǎn)E

為圓心，大于DE

的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F；(3)作直線CF.F舉一反三訓(xùn)練1.如圖，在△ABC

中，AB

和AC

的垂直平分線分別交BC

于點(diǎn)D，E，且點(diǎn)D

在點(diǎn)E

的左側(cè).若BC=6，則△ADE

的周長是（）DA.3 B.12C.9 D.6舉一反三訓(xùn)練2.如圖，在△ABC

中，AB=AC，在BC

的下方作∠CBM=∠ABC.請根據(jù)要求完成以下任務(wù)：(1)利用直尺與圓規(guī)，作BC

的垂直平分線DE，垂足為E，交BM

于點(diǎn)D（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若AB=6，求BD

的長.ABCMED解：(1)如圖所示.舉一反三訓(xùn)練ABCM解：(2)

∵AB

=

AC，∴BC的垂直平分線過點(diǎn)A.ED∴△BED≌△BEA(ASA).∴BD

=

AB

=

6.∠DBE

=∠ABE

，BE=BE，∠DEB

=∠AEB

，在△BED

和△BEA

中，知識點(diǎn)4與軸對稱有關(guān)的作圖1.作對稱軸：找出圖形中的任意一對________后連接，作出所連線段的____________，該直線即成軸對稱的兩個圖形或軸對稱圖形的對稱軸.對稱點(diǎn)垂直平分線2.畫軸對稱的圖形：畫出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）的_______，按順序連接這些_______，就可以得到與原圖形成軸對稱的圖形.對稱點(diǎn)對稱點(diǎn)知識點(diǎn)4與軸對稱有關(guān)的作圖3.用坐標(biāo)表示軸對稱：點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(___，___)；x–y–xy點(diǎn)(x，y)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(___，___).舉一反三訓(xùn)練1.如圖，將已知圖形分別在格點(diǎn)圖中補(bǔ)成關(guān)于已知直線l

對稱的圖形.①②③④llll舉一反三訓(xùn)練2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC

的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.(1)作出△ABC

關(guān)于y

軸對稱的△A1B1C1，并寫出△A1B1C1

三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)(不寫作法，點(diǎn)A，B，C

的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A1，B1，C1)；(2)求△ABC

的面積；1123423–1–2–3–4–1–2–35–5–4–545OxyACB(3)在x

軸上畫出點(diǎn)P，使PA+PC

最小.1123423–1–2–3–4–1–2–35–5–4–545OxyACB舉一反三訓(xùn)練解：(1)△A1B1C1如圖.A1(–1，2)，B1(–3，1)，C1(–4，3)．A1C1B1(2)S△ABC

=(3)點(diǎn)P

如圖所示.A2P知識點(diǎn)5等腰三角形的性質(zhì)和判定1.性質(zhì)：等腰三角形的兩個_____相等——“__________”；等腰三角形底邊上的______、____及__________重合——“__________”.底角等邊對等角中線三線合一高頂角平分線2.判定：有____________的三角形是等腰三角形

——“____________”.兩個角相等等角對等邊舉一反三訓(xùn)練1.如圖，在△ABC

中，AC=BC，點(diǎn)D

和點(diǎn)E

分別在AB

和AC

上，且AD=AE，連接DE，過點(diǎn)A

的直線GH

與DE

平行.若∠C=40°，則∠GAD=_____°.55舉一反三訓(xùn)練證明：

∵BD是△ABC的角平分線，∴∠CBD

=∠EBD.∵DE

//

BC，∴∠CBD

=∠EDB，∴∠EBD

=∠EDB.2.如圖，BD

是△ABC

的角平分線，DE

//

BC，交AB

于點(diǎn)E.（1）求證：∠EBD=∠EDB.舉一反三訓(xùn)練解：CD

=

ED.理由如下：∵AB

=

AC，∴∠C

=∠ABC.∵DE//BC，∴∠ADE

=∠C，∠AED

=∠ABC，∴∠ADE

=∠AED，∴AD

=

AE，∴CD

=

BE.由(1)得，∠EBD

=∠EDB，∴BE

=

DE，∴CD

=

ED.（2）當(dāng)AB=AC

時，請判斷CD

與ED

的大小關(guān)系，并說明理由.知識點(diǎn)6等邊三角形的性質(zhì)和判定1.性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都_____，并且每一個角都等于______.相等60°2.判定：______________的三角形是等邊三角形；有______________的等腰三角形是等邊三角形.三個角都相等一個角是60°3.在直角三角形中，如果一個銳角等于______，那么它所對的直角邊等于斜邊的_______.30°一半舉一反三訓(xùn)練1.如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面5m處折斷倒下，倒下部分與地面成30°夾角，則這棵大樹在折斷前的高度為________

m.15舉一反三訓(xùn)練2.如圖，在等邊三角形ABC

中，點(diǎn)D

在邊AB

上，點(diǎn)E

在邊AC

上，將△ADE

沿DE

折疊，點(diǎn)A

恰好落在邊BC

上的點(diǎn)F

處，求∠BDF+∠CEF

的度數(shù).舉一反三訓(xùn)練解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A

=∠B

=∠C

=

60°，∴∠ADE+