2025年長春市初中學業(yè)考試數(shù)學

本試卷包括三道大題、共6頁．全卷滿分為120分，考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，將

本試卷和答題卡一并交回．

注意事項：

1．答題前，學生務必將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上，并將系形碼準確粘貼在條形

碼區(qū)域內(nèi)．

2．答題時、考生務必按照考試要求在各題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試卷上蘇題無

效．

3．作用可先使用鉛筆畫出_確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的．

1.中國是最早使用正、負數(shù)表示具有相反意義的量的國家．如果水位下降2m記作2m，那么水位上升3m

記作（）

A.3mB.3mC.5mD.5m

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了具有相反意義的量，正負數(shù)是一對具有相反意義的量，若水位下降用“”表示，

那么水位上升就用“”表示，據(jù)此求解即可．

【詳解】解：如果水位下降2m記作2m，那么水位上升3m記作3m，

故選：B．

2.下面幾何體中為圓錐的是（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查認識立體圖形，掌握幾種常見幾何體的形體特征是正確判斷的前提．

根據(jù)圓錐的底面是圓，側(cè)面是曲面進行判斷即可．

【詳解】解：A、該幾何體為正方體，不符合題意；

B、該幾何體為球，不符合題意；

C、該幾何體為圓錐，符合題意；

D、該幾何體為是三棱錐，不符合題意．

故選：C．

3.下列計算一定正確的是（）

A.a2a3aB.aa2a2

2

C.aaa2D.2a2a2

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了積的乘方計算，同底數(shù)冪乘法計算，合并同類項，根據(jù)相關(guān)計算法則求出對應選

項中式子的結(jié)果即可得到答案．

【詳解】解：A、a2a3a，原式計算正確，符合題意；

B、aa2a21a3，原式計算錯誤，不符合題意；

C、aa2a，原式計算錯誤，不符合題意；

2

D、2a4a2，原式計算錯誤，不符合題意；

故選：A．

4.下列不等式組無解的是（）

x2x2x2x2

A.B.C.D.

x1x1x1x1

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了求一元一次不等式組的解集，根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大

大小小找不到（無解）”求出每個選項中不等式組的解集即可得到答案．

【詳解】解：A、原不等式組的解集為x2，不符合題意；

B、原不等式組無解，符合題意；

C、原不等式組的解集為x2，不符合題意；

D、原不等式組的解集為x2，不符合題意；

故選：B．

5.如圖，已知某山峰的海拔高度為m米，一位登山者到達海拔高度為n米的點A處．測得山峰頂端B的仰

角為．則A、B兩點之間的距離為（）

mn

Amnsin米B.米

.sin

mn

C.mncos米D.米

cos

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，正確找構(gòu)直角三角形是解題的關(guān)鍵．

由題意得四邊形ABCD是矩形，則CDABn，那么BCBDCDmn，再解Rt△ACB即可．

【詳解】解：由題意得，四邊形ABCD是矩形，

∴CDABn，

∴BCBDCDmn，

由題意得，ACB90,BAC，

BC

∴sinBAC，

AB

BCmn

∴AB，

sinsin

故選：B．

6.已知點A3,y1、B3,y2在同一正比例函數(shù)ykxk0的圖象上，則下列結(jié)論正確的是（）

A.y1y2B.y1y2C.y20D.y10

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷即可求解，掌握反比例

函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵點A3,y1、B3,y2在同一正比例函數(shù)ykxk0的圖象上，

∴y13k，y23k，

∴y1y2，

∵k0，

∴正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限，當x0時y0，當x0時y0，

∵303，

∴y10，y20，

∴選項A正確，選項B、C、D錯誤，

故選：A．

7.將直角三角形紙片ABC（C90）按如圖方式折疊兩次再展開，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.MN∥DE∥PQB.BC2DE4MN

1MNDEPQ

C.ANBQNQD.

2DEPQBC

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟練掌握各知識

點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．

由折疊可得：DEAC,PQAC,MNAC，AMMDDPPC，則MN∥DE∥PQ∥BC，那

么△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，繼而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理逐一

判斷即可．

【詳解】解：由折疊可得：DEAC,PQAC,MNAC，AMMDDPPC，

∴MN∥DE∥PQ∥BC，故A正確，不符合題意；

∴△ADE∽△ACB∽△AMN，

DEAD1MNAM1

∴，，

BCAC2DEAD2

∴BC2DE，DE=2MN，

∴BC4MN，

∴BC2DE4MN，故B正確，不符合題意；

∵MN∥PQ∥BC，

PCBQ1AMAN1PMQN1

∴，，

ACAB4ACAB4ACAB2

11

∴BQANAB，QNAB，

42

1

∴ANBQNQ，故C正確，不符合題意；

2

∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，

MNAM1DEAD2PQAP3

∴，，，

DEAD2PQAP3BCAC4

MNDEPQ

∴，故D錯誤，符合題意，

DEPQBC

故選：D．

8.在功WJ一定的條件下，功率PW與做功時間ts成反比例，PW與ts之間的函數(shù)關(guān)系如圖

所示．當25t40時，P的值可以為（）

A.24B.27C.45D.50

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與實際問題的綜合，掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，代入求值的

計算方法是解題的關(guān)鍵．

先求出PW關(guān)于ts的函數(shù)解析式，再分別求出t25，t40時的函數(shù)值，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性

質(zhì)求出P的取值范圍，即可判斷．

W

【詳解】解：由題意設PW關(guān)于ts的函數(shù)解析式為：P，

t

W

代入點60,20得：20，

60

解得：W1200，

1200

∴PW關(guān)于ts的函數(shù)解析式為P，

t

12001200

當t25時，P48；當t40時，P30，

2540

∵W12000，

∴在第一象限內(nèi)，P隨著t的增大而減小，

∴30P48，

∴P的值可以為45，

故選：C．

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．

9.8的立方根是______．

【答案】2

【解析】

【分析】本題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)立方根的定義即可求解．

【詳解】解：382，

8的立方根是2．

故答案為：2．

10.寫出ab的一個同類項：_______．

【答案】2ab（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查了同類項的定義，含有相同的字母并且相同字母的指數(shù)也相同的項為同類項，據(jù)此進行

作答即可．

【詳解】解：2ab是ab的一個同類項，

故答案為：2ab（答案不唯一）．

11.已知x22x4，則代數(shù)式7x22x的值為_______．

【答案】3

【解析】

【分析】題主要考查了求代數(shù)式的值，掌握整體思想是解題的關(guān)鍵．

2

將7x22x化為7x2x，再整體代入求解即可．

【詳解】解：∵x22x4，

∴7x22x

7x22x

74

3，

故答案為：3．

2

12.若扇形的面積是它所在圓的面積的，則這個扇形的圓心角的大小是_______度．

3

【答案】240

【解析】

nR2

【分析】本題考查了扇形面積公式，圓的面積公式，掌握扇形面積S是解題的關(guān)鍵．

360

nR2

設扇形的圓心角度數(shù)為n，半徑為，由扇形面積公式和圓的面積公式得到2，即可求解．

R360

R23

【詳解】解：設扇形的圓心角度數(shù)為n，半徑為R，

nR2

由題意得2，

360

R23

解得：n240，

故答案為：240．

13.圖①是一個正十二面體，它的每個面都是正五邊形，圖②是其表面展開圖，則為_______度．

【答案】36

【解析】

【分析】本題考查的是正多邊形的內(nèi)角與外角的問題，先求解正五邊形的每一個內(nèi)角為：

360

180108，再進一步求解即可.

5

360

【詳解】解：∵正五邊形的每一個內(nèi)角為：180108，

5

∴360310836，

故答案為：36

14.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．點E在線段OA上．連接BE，

作CFBE于點F，交OB于點P．給出下面四個結(jié)論：

①OCPOBE；

②OEOP；

③當CECB時，BPEF；

④點A與點F之間的距離的最小值為252．

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有_______．

【答案】①②④

【解析】

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得COP90BFP，結(jié)合CPOBPF，可得OCPOBE，

故①符合題意；證明COP≌BOE，可得OPOE，故②符合題意；當CECB時，CFBE，可

得EFBF，BFP90，可得BPBFEF，故③不符合題意；如圖，取BC的中點R，連接AF,RF，

可得F在以R為圓心，BC為直徑的圓上，當A,F,R共線時，AF最小，再進一步可判斷④.

【詳解】解：∵正方形ABCD，

∴ABBCCDAD，DABABCBCDADC90，ACBD，OAOBOCOD，

∵CFBE，

∴COP90BFP，

∵CPOBPF，

∴OCPOBE，故①符合題意；

∵COP90BOE，OCOB，

∴COP≌BOE，

∴OPOE，故②符合題意；

當CECB時，CFBE，

∴EFBF，BFP90，

∴BPBFEF，故③不符合題意；

如圖，取BC的中點R，連接AF,RF，

∵CFB90，

∴F在以R為圓心，BC為直徑的圓上，

當A,F,R共線時，AF最小，

∵ABBC4，

∴RFRB2，

∴AR422225，

∴AF252，

∴點A與點F之間的距離的最小值為252．故④符合題意；

故答案為：①②④

【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，勾股定理的應用，三角形的內(nèi)角和定理的應用，全等三角形的判定

與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，點到圓上各點距離的最小值的含義，本題難度較大，作出合適的輔助線是解

本題的關(guān)鍵.

三、解答題：本題共10小題、共78分．

2

15.先化簡．再求值：1x2x，其中x3．

【答案】x21，4

【解析】

【分析】本題主要考查整式的混合運算，根據(jù)完全平方公式將括號展開后合并得最簡結(jié)果，再把x3代

入計算即可．

2

【詳解】解：1x2x

12xx22x

x21，

2

當x3時，原式31314．

16.長春市人民廣場是中心景觀類環(huán)島型交通廣場，以開闊的空間、精美的建筑和多彩的綠化而馳名．甲、

乙兩輛車從人民大街由南向北駛?cè)肴嗣駨V場，它們各自從A、B、C三個出口中隨機選擇一個出口駛出．用

畫樹狀圖（或列表）的方法，求甲、乙兩輛車從同一出口駛出的概率．

1

【答案】

3

【解析】

【分析】本題主要考查了樹狀圖或列表法求解概率，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．

先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．

【詳解】解：由題意得，可畫樹狀圖為：

由樹狀圖可知一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中甲、乙兩輛車從同一出口駛出的結(jié)果數(shù)有3種，

31

∴這甲、乙兩輛車從同一出口駛出的概率是．

93

17.如圖，ABCD的對角線AC、BD相交于點O,AB5,OA4,OB3．求證：ABCD是菱形．

【答案】見解析

【解析】

【分析】本題考查了菱形的判定，勾股定理逆定理，熟練掌握菱形的幾種判定定理是解題的關(guān)鍵．

先由勾股定理逆定理得到AOB90，再根據(jù)對角線垂直的平行四邊形是菱形即可證明．

【詳解】證明：∵AB5,OA4,OB3，

∴OB2OA2324225，AB25225，

∴OB2OA2AB2，

∴AOB90，

∴ACBD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是菱形．

18.小吉和小林從同一地點出發(fā)跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，結(jié)果小吉比小林少用40秒到

達終點．求小林跑步的平均速度．

【答案】小林跑步的平均速度為4米每秒

【解析】

【分析】本題考查了分式方程的實際應用，正確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

設小林跑步的平均速度為x米每秒，則小吉的平均速度為1.25x米每秒，分別表示出時間，根據(jù)“小吉比小

林少用40秒到達終點”建立分式方程求解，再檢驗即可．

【詳解】解：設小林跑步的平均速度為x米每秒，則小吉的平均速度為1.25x米每秒，

800800

由題意得：40，

1.25xx

解得：x4，

經(jīng)檢驗，x4是原方程的解，且符合題意，

∴原方程的解為：x4，

答：小林跑步的平均速度為4米每秒．

19.圖①、圖②、圖③均是43的網(wǎng)格，其中每個小方格都是邊長相等的正方形，其頂點稱為格點．只用

無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作VABC，使VABC的頂點均在格點上．

（1）在圖①中，VABC是面積最大的等腰三角形；

（2）在圖②中，VABC是面積最大的直角三角形；

（3）在圖③中，VABC是面積最大的等腰直角三角形．

【答案】（1）見解析（2）見解析

（3）見解析

【解析】

【分析】本題主要考查了格點作圖，勾股定理及其逆定理，網(wǎng)格中求三角形面積，熟知相關(guān)知識是解題的

關(guān)鍵．

（1）如圖所示，取格點A、B、C，順次連接A、B、C，則VABC即為所求；

（2）如圖所示，取格點A、B、C，順次連接A、B、C，則VABC即為所求；

（3）如圖所示，取格點A、B、C，順次連接A、B、C，則VABC即為所求．

【小問1詳解】

解：如圖所示，VABC即為所求；

【小問2詳解】

解；如圖所示，VABC即為所求；

【小問3詳解】

解：如圖所示，VABC即為所求．

20.某校綜合實踐活動中，數(shù)學活動小組要研究九年級男生臂展（兩臂左右平伸時兩手中指指尖之間的距離）

與身高的關(guān)系．小組成員在本校九年級男生中隨機抽取20名男生，測量他們的臂展與身高，并對得到的數(shù)

據(jù)進行了整理、描述和分析．下面給出了部分的信息：

a．20名男生的臂展與身高數(shù)據(jù)如下表：

編號12345678910

身高

166169169171172173173173174174

/cm

臂展

161162164166164165167169169170

/cm

編號11121314151617181920

身高

175176177177178179180180181183

/cm

臂展

169167173172173170177174176185

/cm

b．20名男生臂展與身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表：

平均中位眾

數(shù)數(shù)數(shù)

身高

175m173

/cm

臂展

170169n

/cm

c．20名男生臂展的頻數(shù)分布直方圖如圖①：（將臂展數(shù)據(jù)分成5組：160a165，

165a170,170a175,175a180,180a185）

d．20名男生臂展與身高的散點圖如圖②，活動小組發(fā)現(xiàn)圖中大部分點落在一條直線附近的狹長帶形區(qū)域

內(nèi)．他們利用計算機和簡單統(tǒng)計軟件得到了描述臂展ycm與身高xcm之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的直線l．

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）寫出表中m、n的值：m，n；

（2）該校九年級有男生240人，估計其中臂展大于或等于170cm的男生人數(shù)；

（3）圖②中直線l近似的函數(shù)關(guān)系式為y1.2x40，根據(jù)直線l反映的趨勢，估計身高為185cm男生的

臂展長度．

【答案】（1）174.5；169

（2）108人

（3）身高為185cm男生的臂展長度約為182cm.

【解析】

【分析】本題考查的是從統(tǒng)計圖表，以及函數(shù)圖象中獲取信息，利用樣本估計總體；

（1）根據(jù)中位數(shù)與眾數(shù)的含義可得答案；

9

（2）由表格信息可得臂展大于或等于170cm的男生人數(shù)的占比為，再乘以總?cè)藬?shù)即可；

20

（3）把x185代入y1.2x40即可得到答案.

【小問1詳解】

1

解：由表格信息可得：m174175174.5cm；

2

n169cm；

【小問2詳解】

解：該校九年級有男生240人，估計臂展大于或等于170cm的男生人數(shù)為：

9

240108（人）；

20

【小問3詳解】

解：∵y1.2x40，

當x185時，y1.218540182，

∴身高為185cm男生的臂展長度約為182cm.

21.隨著我國人工智能科技的快速發(fā)展，智能機器人已經(jīng)走進我們的生活．某快遞公司使用甲、乙兩臺不同

型號的智能機器人進行快遞分揀工作，它們工作時各自的速度均保持不變．已知某天它們同時開始工作，

甲機器人工作一段時間后、停工保養(yǎng)．保養(yǎng)結(jié)束后又和乙機器人一起繼續(xù)工作．甲、乙兩臺機器人分揀快

遞的總數(shù)量y（件）與乙機器人工作時間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

（1）甲機器人停工保養(yǎng)的時間為分鐘，m；

（2）求AB所在直線對應的函數(shù)表達式；

（3）若該快遞公司當天分揀快遞的總數(shù)批為5450件，則乙機器人工作時間為分鐘．

【答案】（1）20，3800

（2）y55x600

（3）該快遞公司當天分揀快遞的總數(shù)批為5450件，則乙機器人工作時間為110分鐘.

【解析】

【分析】本題考查的是一次函數(shù)的實際應用；

（1）由圖象可得：甲機器人停工保養(yǎng)的時間，再計算甲乙機器人的工作效率，再列式計算求解m的值即可；

（2）由甲乙機器人的效率為每分鐘55件，可得AB所在直線對應的函數(shù)表達式為：y270055x60，

再化簡即可；

（3）把y5450代入y55x600，進一步即可得到答案.

【小問1詳解】

解：由圖象可得：甲機器人停工保養(yǎng)的時間為604020分鐘；

∵22004055，

∴m27008060553800（件）；

【小問2詳解】

解：∵甲乙機器人的效率為每分鐘55件，

∴AB所在直線對應的函數(shù)表達式為：y270055x6055x600；

【小問3詳解】

解：當y5450時，

∴55x6005450，

解得：x110，

∴該快遞公司當天分揀快遞的總數(shù)批為5450件，則乙機器人工作時間為110分鐘.

22.數(shù)學活動：探究平面圖形的最小覆蓋圓

【定義】我們稱能完全覆蓋某平面圖形的圓（即該平面圖形上所有的點均在圓內(nèi)或圓上）為該平面圖形的

覆蓋圓．其中，能完全覆蓋平面圖形的最小的圓（即直徑最?。┓Q為該平面圖形的最小覆蓋圓．

【探究一】線段的最小覆蓋圓

線段AB的覆蓋圓有無數(shù)個，其中，以AB為直徑的圓是其最小覆蓋圓．

理由如下：易知線段AB的最小覆蓋圓一定經(jīng)過點A、點B．如圖①，以AB為直徑作O，再過A、B兩

點作O（O與O不重合），連結(jié)OA,OB．在OAB中，有OAOBAB（▲）．

OAOB，

2OAAB，即O的直徑大于O的直徑．

O是線段AB的最小覆蓋圓．“▲”處應填寫的推理依據(jù)為．

【探究二】直角三角形的最小覆蓋圓

要確定直角三角形的最小覆蓋圓，我們可先將其轉(zhuǎn)化為【探究一】中線段的最小覆蓋圓問題．這樣就可以

先確定直角三角形最長邊（斜邊）的最小覆蓋圓，再判斷直角頂點與這個圓的位置關(guān)系，從而確定直角三

角形的最小覆蓋圓．如圖②，在Rt△ABC中，ACB90．O是以AB為直徑的圓．請你判斷點C與

O的位置關(guān)系，并說明理由．

又由【探究一】可知，O是Rt△ABC最長邊AB的最小覆蓋圓，所以，O是Rt△ABC的最小覆蓋圓．

【拓展應用】矩形的最小覆蓋圓

如圖③，在矩形ABCD中，AB1cm，BC2cm．

（1）用圓規(guī)和無刻度的直尺在圖③中作矩形ABCD的最小覆蓋圓：（不寫做法，保留作圖痕跡，作圖確定

后必須用黑色字跡的簽字筆描點）

（2）該矩形ABCD的最小覆蓋圓的直徑為cm；

（3）若用兩個等圓完全覆蓋矩形ABCD．則這樣的兩個等圓的最小直徑為cm．

【答案】探究一：三角形的任意兩邊之和大于第三邊；探究二：C在O上；證明見解析；拓展應用：（1）

作圖見解析；（2）5；（3）2；

【解析】

【分析】探究一：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得答案；

探究二：利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)證明OCOAOB即可得到答案；

拓展應用：（1）連接AC,BD，交于點O，以O為圓心，OA為半徑作圓即可；

（2）結(jié)合矩形性質(zhì)與勾股定理計算即可；

（3）作AD的垂直平分線LJ，交AD于L，交BC于J，可得四邊形ABJL，DCJL是兩個全等的矩形，

ALDL1BJCJ，用兩個等圓完全覆蓋矩形ABCD，可得兩圓一定過L,J，再進一步解答即可.

【詳解】解：探究一：

理由如下：易知線段AB的最小覆蓋圓一定經(jīng)過點A、點B．如圖①，以AB為直徑作O，再過A、B兩

點作O（O與O不重合），連結(jié)OA,OB．在OAB中，有OAOBAB（三角形的任意兩邊之和

大于第三邊）．

OAOB，

2OAAB，即O的直徑大于O的直徑．

O是線段AB的最小覆蓋圓．“▲”處應填寫的推理依據(jù)為三角形的任意兩邊之和大于第三邊．

故答案為：三角形的任意兩邊之和大于第三邊；

探究二：∵ACB90，O為AB的中點，

∴OCOAOB，

∴C在O上；

拓展應用：（1）如圖，O即為矩形ABCD的最小覆蓋圓；

（2）∵矩形ABCD，AB1cm，BC2cm，

∴ABC90，BDAC12225cm；

（3）作AD的垂直平分線LJ，交AD于L，交BC于J，

∴四邊形ABJL，DCJL是兩個全等的矩形，

∴ALDL1BJCJ，

∵用兩個等圓完全覆蓋矩形ABCD，

∴兩圓一定過L,J，

連接AJ,BL,CJ,DJ，交點分別為Q,K，

同理可得：這樣的兩個等圓的最小直徑為AJ或BL或CL或DJ，

∴最小直徑為12122，

如圖，作AB的垂直平分線交AB,CD于V,W，

同法作Q，K，此時不是直徑最小的等圓；

綜上：用兩個等圓完全覆蓋矩形ABCD．則這樣的兩個等圓的最小直徑為2cm.

【點睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理的應用，點與圓的

位置關(guān)系，多邊形的外接圓的含義，矩形的判定與性質(zhì)，熟練的作圖是解本題的關(guān)鍵.

23.如圖，在VABC中，C90，ACBC4，點D為邊AC的中點，點E為邊AB上一動點，連

接DE．將線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)45得到線段EF．

（1）線段AB的長為；

（2）當EF∥AC時，求AE的長；

（3）當點F在邊BC上時，求證：ADE≌BEF；

（4）當點E到BC的距離是點F到BC距離的2倍時，直接寫出AE的長．

【答案】（1）42

（2）2

4

（3）證明見解析（4）AE的長為424或42.

3

【解析】

【分析】（1）利用勾股定理計算即可；

（2）如圖，求解AB45，ADCD2，證明FEBA45，結(jié)合DEF45，可得

DEB90AED，再進一步求解即可；

（3）證明BEFADE，結(jié)合AB45，DEFE，從而可得結(jié)論；

（4）如圖，當F在BC的左邊時，結(jié)合題意可得：EGBC，F(xiàn)QBC，EG2FQ，過D作DHAB

于H，過F作FKEG于K，可得FQGKGE，結(jié)合（1）可得：DHAH2，證明

DHE≌EKF，可得EKDH2，再進一步解得即可；如圖，當F在BC的右邊時，過D作

DHAB于H，過F作FKEG于K，同法可得答案.

【小問1詳解】

解：∵在VABC中，C90，ACBC4，

∴ABAC2BC242；

【小問2詳解】

解：如圖，在VABC中，C90，ACBC4，點D為邊AC的中點，

∴AB45，ADCD2，

∵EF∥AC，

∴FEBA45，而DEF45，

∴DEB90AED，

2

∴AEADcos4522；

2

【小問3詳解】

證明：∵旋轉(zhuǎn)，

∴DEDF,DEF45，

如圖，∵DEFBEFDEBAADE，DEFA45，

∴BEFADE，

∵AB45，DEFE，

∴ADE≌BEF；

【小問4詳解】

解：如圖，當F在BC的左邊時，結(jié)合題意可得：EGBC，F(xiàn)QBC，EG2FQ，

過D作DHAB于H，過F作FKEG于K，

∴四邊形FKGQ為矩形，

∴FQGKGE，

結(jié)合（1）可得：DHAH2，

∵EGBC，B45，

∴GEBB45，

∴GBGE2GK2EK，

∵DEF45，

∴DEFGEB90，

∴DEHFEK90，

∵DHE90HDEHED，

∴HDEKEF，

∵DEEF，

∴DHE≌EKF，

∴EKDH2，

∴EGBG22，

∴BEEG2BG24，

∴AE424；

如圖，當F在BC的右邊時，過D作DHAB于H，過F作FKEG于K，

同理：EKDH2，

四邊形四邊形FKGQ為矩形，

∴FQGK，

∵GE2FQ，

∴GE2GK，

222

∴EG，GKFQ，

33

22224

同理可得：EGBG，BE2，

333

4

∴AE42；

3

4

綜上：AE的長為424或42.

3

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩

形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

24.在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線yx2bx經(jīng)過點3,3．點A、B是該拋物線上的兩

點，橫坐標分別為m、m1，已知點M1,1，作點A關(guān)于點M的對稱點C，作點B關(guān)于點M的對稱點D，

構(gòu)造四邊形ABCD．

（1）求該拋物線所對應的函數(shù)表達式；

（2）當A,B兩點關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱時，求點C的坐標；

（3）設拋物線在A、B兩點之間的部分（含A、B兩點）為圖象G．當0m1時，若圖象G的最高點與

最低點的縱坐標之差為1．求m的值；

2

（4）連結(jié)OA、OB，當AOBOADOBC時，直接寫出m的取值范圍（這里AOB、OAD、

OBC均是大于0且小于180的角）．

【答案】（1）yx22x

311

（2）C,

24

22

（3）1或

22

5

（4）m4

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，將點3,3代入yx2bx即可求解．

（2）通過拋物線對稱軸公式確定對稱軸，利用對稱點橫坐標中點在對稱軸上求m值，再根據(jù)點關(guān)于點對

稱的中點公式求對稱點坐標．

（3）根據(jù)拋物線頂點及開口方向，確定區(qū)間m,m1與頂點位置關(guān)系，分情況討論最高點坐標，利用縱坐

標差建立方程求解m．

（4）先利