PAGE2015年深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)(理科)試題選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、已知集合，集合，則＝（）A.B。C。D。Oxy圖11-12、已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則Oxy圖11-1A.B。C。D。3、若函數(shù)的部分圖象如圖1所示，則A.B。C.D。4、已知實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（）A.3B。4C。6D。9已知直線，平面，且，，則“”是“”的（）充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件圖26、執(zhí)行如圖2所示的程序框圖，則輸出S的值為（）圖2A.16B。25C。36D。497、在中，分別為所對的邊，若函數(shù)有極值點(diǎn)，則的范圍是（）A.B。C。D。8、如果自然數(shù)的各位數(shù)字之和等于8，我們稱為“吉祥數(shù)”。將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列…，若，則（）A.83B。82C。39D。37填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分。本大題分為必做題和選做題兩部分必做題：第9、10、11、12、13題為必做題，每道試題考生必須做答。的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字表示）已知向量，，若，則的最小值為已知圓C：經(jīng)過拋物線E：的焦點(diǎn)，則拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得弦長為設(shè)P是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值為選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)算第一題的得分。圖3（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，曲線：與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，則｜AB｜＝圖3（幾何證明選講選做題）如圖3，在中，，，D是AB邊上的一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙與AC相切于點(diǎn)E。若BC＝6，則DE的長為三、解答題16、（本小題滿分12分）函數(shù)（）的最小正周期是．（1）求的值；（2）若，且，求的值．17、（本小題滿分12分）空氣質(zhì)量指數(shù)（簡稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，其數(shù)值越大說明空氣污染越嚴(yán)重，為了及時(shí)了解空氣質(zhì)量狀況，廣東各城市都設(shè)置了實(shí)時(shí)監(jiān)測站．下表是某網(wǎng)站公布的2015年深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)(理科)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則．二、對計(jì)算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分?jǐn)?shù)．一、選擇題：本大題每小題5分，滿分40分．12345678CDACBCDA二、填空題：本大題每小題5分，滿分30分．9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．．三、解答題16．解：（1）的周期，即，…………1分，由，得，即．……3分．………………5分（2）由得，………………7分又，，……………8分，…………9分．．…………12分【說明】本小題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，同角三角函數(shù)的關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，兩角和與差和二倍角的三角函數(shù)公式，考查了簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．17、解:（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，完成表格如下：空氣質(zhì)量優(yōu)質(zhì)良好輕度污染中度污染AQI值范圍[0,50)[50，100）[100,150)[150,200)城市頻數(shù)21261…………………2分（2）按分層抽樣的方法，從“良好”類城市中抽取個(gè)，…………………3分從“輕度污染”類城市中抽取個(gè)，……………4分所以抽出的“良好”類城市為個(gè)，抽出的“輕度污染”類城市為個(gè)．根據(jù)題意的所有可能取值為：．,，．………8分的分布列為：所以．………………11分答：的數(shù)學(xué)期望為個(gè)．…………………12分【說明】本題主要考察讀圖表、分層抽樣、概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡單實(shí)際問題的能力，數(shù)據(jù)處理能力．Az圖1O(BAz圖1O(B)PyCx由三視圖知和是直角三角形．……3分（2）（法一）：如圖2，過作交于點(diǎn)，由三視圖知為等腰三角形，，，，取的中點(diǎn)，過作且交于點(diǎn)，連接，，EFHAz圖2OEFHAz圖2O(B)PyCx且面，所以，又由，所以面，由面，所以，，所以面，由面，所以，所以是二面角的平面角．………6分，，，，……8分在直角中，有．所以，二面角的正切值為．………9分（法二）：如圖3，過作交于點(diǎn)，由三視圖知為等腰三角形，HAz圖3HAz圖3O(B)PyCx由圖3所示的坐標(biāo)系，及三視圖中的數(shù)據(jù)得：，，，，則，，，,設(shè)平面、平面的法向量分別為、．設(shè)，由，，得，令，得，，即．…6分設(shè)，由，，得，令，得，，即．………7分，．…8分而二面角的大小為銳角，所以二面角的正切值為．…9分（法一）：記到面的距離為，由（1）、（2）知，，，………………12分三棱錐的體積，……13分由，可得：．………14分（法二）：由（2）知，平面的法向量，記到面的距離為，．………………14分【說明】本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，三視圖及幾何體的直觀圖，二面角，三棱錐的體積，空間坐標(biāo)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問題的能力．19、解：（1）（法一）：數(shù)列的首項(xiàng)，公差，，，………2分，……………3分整理得解得或（舍去）．……………4分因此，數(shù)列的通項(xiàng)．………5分（法二）：由題意得，…………………1分?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，，……………2分，即．………3分又，，解得或（舍去）．…………………4分因此，數(shù)列的通項(xiàng)．………5分（2）=1\*GB3①，．…………6分令，則有，．當(dāng)時(shí)，，．………8分因此，數(shù)列的通項(xiàng)．………9分=2\*GB3②，，，………10分若數(shù)列為等比數(shù)列，則有，即，解得或．………11分當(dāng)時(shí)，，不是常數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，，數(shù)列為等比數(shù)列．所以，存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列為等比數(shù)列．………………14分【說明】考查了等差數(shù)列的基本量的計(jì)算、遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列裂項(xiàng)求和公式、等比數(shù)列的定義，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想．20、解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，故橢圓的方程可設(shè)為，則橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過右焦點(diǎn)傾斜角為的直線方程為．………2分設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)記為，由消去，得，解得，因?yàn)?，解得．故橢圓的方程為．……………………4分（2）（法一）（=1\*romani）當(dāng)切線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得，……5分消去并整理，得，…………6分因?yàn)橹本€和橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，，………7分化簡并整理，得．…………8分因?yàn)橹本€與垂直，所以直線的方程為：，聯(lián)立解得………9分，把代入上式得．=1\*GB3①…………………11分（=2\*romanii）當(dāng)切線的斜率為時(shí)，此時(shí)，符合=1\*GB3①式．…………12分（=3\*romaniii）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)或，符合=1\*GB3①式．………13分綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為．………14分（法二）：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，（=1\*romani）當(dāng)切線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)的方程為，同解法一，得，=1\*GB3①…………8分因?yàn)橹本€與垂直，所以直線的方程為：，聯(lián)立解得=2\*GB3②…9分=2\*GB3②代入=1\*GB3①并整理，有，…10分即，由點(diǎn)與點(diǎn)不重合，，，=3\*GB3③……………………11分（=2\*romanii）當(dāng)切線的斜率為時(shí)，此時(shí)，符合=3\*GB3③式．…………12分（=3\*romaniii）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)或，符合=3\*GB3③式．………13分綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為．………14分（法三）：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，（=1\*romani）當(dāng)切線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)的方程為，整理，得的方程為，5分聯(lián)立直線和橢圓的方程，得，消去并整理，得，……6分因?yàn)橹本€和橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，，………7分化簡并整理，得，=1\*GB3①………8分因?yàn)榕c直線垂直，有，=2\*GB3②……9分=2\*GB3②代入=1\*GB3①并整理，有，…10分即，點(diǎn)與點(diǎn)不重合，，，=3\*GB3③………………11分（=2\*romanii）當(dāng)切線的斜率為時(shí)，此時(shí)，符合=3\*GB3③式．…………12分（=3\*romaniii）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)或，符合=3\*GB3③式．………13分綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為．………14分【說明】本題主要考查軌跡方程和橢圓的定義、直線方程、直線與橢圓相切的位置關(guān)系，弦長問題，考查學(xué)生運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想．21、解：（1）為奇函數(shù)，．當(dāng)時(shí)，，則，………2分時(shí)，，，，的值域?yàn)椋?分圖a（2）①函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，方程圖a有三個(gè)實(shí)根；當(dāng)或時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)或時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根．（法一）：由，解得，的值域?yàn)椋恍柩芯亢瘮?shù)在上的圖象特征．設(shè)，，，令，得，．圖b當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，圖b又，即，由，，得，的大致圖象如圖所示．根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖像僅有一個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，記零點(diǎn)為，則分別在區(qū)間、、上，根據(jù)圖像，方程有兩個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．…………5分類似地，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上僅有零點(diǎn)，因此函數(shù)有、、這三個(gè)零點(diǎn)．………………6分當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)是，另一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，因此函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．…………7分當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，且這兩個(gè)零點(diǎn)均在內(nèi)，因此函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)．……………8分當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，因此函數(shù)沒有零點(diǎn)．………9分（法二）：，令，得，，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得極大值．圖c（Ⅰ）當(dāng)?shù)臉O大值，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，因此函數(shù)無零點(diǎn)．圖c（Ⅱ）當(dāng)?shù)臉O大值，即時(shí)，，函數(shù)的圖像如圖所示，函數(shù)有零點(diǎn)．由圖可知方程有兩不等的實(shí)根，因此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．圖d（Ⅲ）當(dāng)?shù)臉O大值且，圖d即時(shí)，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，函?shù)的圖像如圖所示，函數(shù)在存在唯一零點(diǎn)，其中．圖e由圖可知方程有兩不等的實(shí)根，因此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．圖e（Ⅳ）當(dāng)?shù)臉O大值且，即時(shí)：由，得，由，得，圖f根據(jù)法一中的證明有．圖f（?。┊?dāng)時(shí)，，，函數(shù)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)，其中．由圖可知方程有兩不等的實(shí)根，因此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)．圖g由圖可知方程有三個(gè)不等的實(shí)根，因此函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．圖g（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)的圖像如圖所示，函數(shù)在