云南省楚雄彝族自治州2024-2025學年高二下學期期末教育學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測楚雄州中小學2024—2025學年下學期期末教育學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測高中二年級數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一、二冊占，選擇性必修第一、二冊占，選擇性必修第三冊第六、七章占．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1已知集合，，，則（）A. B. C. D.2.已知復數(shù)，且，則（）A. B. C. D.3.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.21 B.23 C.28 D.304.如圖，在三棱錐中，是的中點，點在上，，記，則（）A. B.C. D.5.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：mg/L）與時間（單位：）之間的關系為，其中，是正的常數(shù)，則對于的瞬時變化率為（）A. B. C. D.6.如圖，二面角的大小為，點分別在半平面內(nèi)，于點于點.若，則直線與所成角的余弦值為（）A B. C. D.7.已知，則（）A B. C. D.8.已知雙曲線，點（不與原點重合）在的一條漸近線上，若點到另一條漸近線的距離與到軸的距離相等，則的離心率為（）A.2 B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關于點對稱 B.的圖象關于直線對稱C.當時，有極值 D.曲線在點處的切線方程為10.已知數(shù)列的通項公式為，前項和為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是遞減數(shù)列C. D.11.五人進行丟骰子游戲，最后統(tǒng)計每人所丟骰子的點數(shù)之和，點數(shù)之和最大的獲勝．已知每人每次丟完后都等可能地隨機傳向另外4人中的1人．第1次由將骰子傳出，記第次傳骰子之后骰子在或手上的概率為，記第次傳骰子之后骰子在手上的概率為，則（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量滿足，且，則__________．13.已知拋物線的準線為，點在上，直線，點到直線的距離與到直線的距離之和的最小值是_____________.14.如圖，在圓的內(nèi)接四邊形中，，的面積為，的面積為，則四邊形的周長為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．16.甲、乙、丙三人各投籃1次．已知甲、乙、丙投籃命中率分別是0.5，0.6，0.8．每個人能否投中相互獨立．（1）在甲、乙、丙三人共投中2次條件下，求其中有1次是甲投中的概率；（2）記甲、乙、丙三人共投中次，求的分布列和期望．17.已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．（1）求橢圓的方程．（2）直線與橢圓交于點．①求；②記直線的斜率分別為，求．18.如圖，直四棱柱的底面是菱形，，為銳角，分別是的中點．（1）證明：平面．（2）求二面角的余弦值的最大值．19.已知函數(shù)與，若存在，使得，則稱點為與的一個“關鍵點”．（1）請寫出函數(shù)與的一個“關鍵點”的坐標（不需要證明）．（2）判斷函數(shù)與是否存在“關鍵點”．若存在，求出該“關鍵點”的坐標；若不存在，請說明理由．（3）已知函數(shù)和的一個“關鍵點”的坐標是，且，證明：．楚雄州中小學2024—2025學年下學期期末教育學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測高中二年級數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一、二冊占，選擇性必修第一、二冊占，選擇性必修第三冊第六、七章占．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集和并集的定義可求得集合.【詳解】因為集合，，，則，故.故選：C.2.已知復數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復數(shù)的模長公式，求出的值，得到的值，最后得出共軛復數(shù)【詳解】復數(shù)，，所以，解得所以，共軛復數(shù)，故選：B3.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.21 B.23 C.28 D.30【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得出，即可求出前7項的和.【詳解】由題意，，在等差數(shù)列中，前項和為，若，，∴，故選：C.4.如圖，在三棱錐中，是的中點，點在上，，記，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的加減法則，將逐步轉(zhuǎn)化為已知向量、、的線性組合.【詳解】是的中點，，又，由，.故選：.5.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：mg/L）與時間（單位：）之間的關系為，其中，是正的常數(shù)，則對于的瞬時變化率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用簡單復合函數(shù)的求導法則對兩邊求導可得答案【詳解】對求導數(shù)得：故選：D6.如圖，二面角的大小為，點分別在半平面內(nèi)，于點于點.若，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在半平面內(nèi)作于點，且，通過平行線轉(zhuǎn)化所求異面直線的角為，結(jié)合線面垂直的判定及性質(zhì)計算線段長可得結(jié)果.【詳解】如圖，在半平面內(nèi)作于點，且，連接，則四邊形為矩形，且為二面角的平面角，即，所以，，，所以直線與所成的角為直線與所成的角，且是正三角形，故.因為平面，所以平面，因為，所以平面，因為平面，所以，故，所以，即直線與所成角的余弦值為.故選：B.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設函數(shù)即可判斷a，c的大小，再找中間值即可判斷b，c的大小【詳解】設函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即；因為，，故；故選：D8.已知雙曲線，點（不與原點重合）在的一條漸近線上，若點到另一條漸近線的距離與到軸的距離相等，則的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可知為的角平分線，可得漸近線的傾斜角，進而可得離心率.【詳解】設點在另一條漸近線、軸上的投影分別為，則，可知為的角平分線，即，根據(jù)對稱性可得，即，可知漸近線的傾斜角，斜率，所以的離心率.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關于點對稱 B.的圖象關于直線對稱C.當時，有極值 D.曲線在點處的切線方程為【答案】AD【解析】【分析】對于AB，由即可判斷；對于C，求導可得函數(shù)在上單調(diào)遞增即可判斷；對于D，由導數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】對于AB，因為，所以的圖象關于點對稱，故A正確，B錯誤；對于C，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，，所以曲線在點處的切線方程為，故D正確.故選：AD.10.已知數(shù)列的通項公式為，前項和為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是遞減數(shù)列C. D.【答案】ACD【解析】【分析】A選項，代入計算出A正確；BC選項，作差法得到，所以是遞增數(shù)列，，B錯誤，C正確；D選項，分組求和，結(jié)合等比數(shù)列求和公式得到，D正確.【詳解】A選項，，A正確；BC選項，，故，所以是遞增數(shù)列，，B錯誤，C正確；D選項，，故，D正確.故選：ACD.11.五人進行丟骰子游戲，最后統(tǒng)計每人所丟骰子的點數(shù)之和，點數(shù)之和最大的獲勝．已知每人每次丟完后都等可能地隨機傳向另外4人中的1人．第1次由將骰子傳出，記第次傳骰子之后骰子在或手上的概率為，記第次傳骰子之后骰子在手上的概率為，則（）A. B.C D.【答案】AC【解析】【分析】由題意可得，由全概率公式可得，即得到，由等比數(shù)列通項公式可得，當時，計算可得，同理化簡可得.【詳解】由題意可得，第1次由將骰子傳出，傳到或手上的概率為，故A正確；設第次傳到或手上的概率為，則次傳到或手上的概率為，則，即，因為，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即，故C正確；當時，，故B錯誤；同理第次傳到手上的概率為，則次傳到手上的概率為，則，即，因為，，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即，故D錯誤故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量滿足，且，則__________．【答案】1【解析】【分析】利用向量數(shù)量積運算律計算即可求解.【詳解】由題意可知，，，所以，解得，所以.故答案為：113.已知拋物線的準線為，點在上，直線，點到直線的距離與到直線的距離之和的最小值是_____________.【答案】3【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為拋物線的焦點到直線的距離，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的焦點為，由拋物線的定義知，點到直線的距離等于點到點的距離，因此點到直線的距離與到直線的距離之和的最小值，即為點到直線的距離，即為.故答案為：3.14.如圖，在圓的內(nèi)接四邊形中，，的面積為，的面積為，則四邊形的周長為__________．【答案】16【解析】【分析】由幾何知識求出與的關系，利用平方和、三角形面積公式和余弦定理即可求出四邊形的周長.【詳解】由題意，在圓的內(nèi)接四邊形中，，的面積為，的面積為，由幾何知識得，，即,由正弦定理得，，，解得：，，由余弦定理得，，即，，即，∵，，∴，，由幾何知識得，四邊形的四邊均為正數(shù)，∴，，設四邊形的周長為，，故答案為：16.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由累加法即可求解；（2）由裂項相加法即可求解.【小問1詳解】因為，所以，…，．累加得，，所以，則，當時，上式也成立，所以的通項公式為．【小問2詳解】．記數(shù)列的前項和為，則．16.甲、乙、丙三人各投籃1次．已知甲、乙、丙投籃的命中率分別是0.5，0.6，0.8．每個人能否投中相互獨立．（1）在甲、乙、丙三人共投中2次條件下，求其中有1次是甲投中的概率；（2）記甲、乙、丙三人共投中次，求的分布列和期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學期望1.9【解析】【分析】（1）求出甲、乙、丙三人共投中2次的概率，再求出在此條件下有1次是甲投中的概率；（2）寫出的所有可能取值，求出對應概率，列出分布列，求出數(shù)學期望【小問1詳解】記“甲、乙、丙三人共投中2次”為事件，“甲投中”為事件．，．【小問2詳解】的所有可能取值為0，1，2，3．，，，，所以的分布列為01230.040.260.460.2417.已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．（1）求橢圓的方程．（2）直線與橢圓交于點．①求；②記直線的斜率分別為，求．【答案】（1）（2）①；②0【解析】【分析】（1）由題意列方程求得即可得解；（2）①聯(lián)立直線方程與橢圓方程得，由韋達定理結(jié)合弦長公式計算即可；②由斜率公式結(jié)合韋達定理即可得解.【小問1詳解】因為點在橢圓上，所以．又橢圓的離心率為，且，解得，所以橢圓的方程為．【小問2詳解】①設．聯(lián)立得，則，故．②，．又，所以．18.如圖，直四棱柱的底面是菱形，，為銳角，分別是的中點．（1）證明：平面．（2）求二面角的余弦值的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證法一：連接，設，連接，由線面平行的判定即可證明；證法二：設的中點分別為，連接,由線面平行的判定及性質(zhì)即可證明；．（2）建立空間直角坐標系，由面面角余弦向量公式及基本不等式即可求解．【小問1詳解】證法一：連接，設，連接．在中，分別是的中點，所以．在中，分別是的中點，所以，則．因為平面，平面，所以平面．證法二：設的中點分別為，連接,如圖所示．因為，所以四邊形為平行四邊形，所以．因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以．因為平面，平面，所以平面．因為，平面，平面，所以平面．因為平面，平面，，所以平面平面．因為平面，所以平面．【小問2詳解】過點作交于點．以為坐標原點，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐