專題02勾股定理

【知識回顧】

【思維導(dǎo)圖】

【勾股定理知識清單】

1.勾股定理概念：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么4+62=/

變式：

1)a2=c2-b2

2)b2=c2-a2

2.適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因

而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形。

【勾股定理的證明知識清單】

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法

1

用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：

①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變

②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理

方法一：4SA+S正方形=S正方形，4X—(7/7+(/?—a)2=c~1化間可證.

方法二：

四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.

四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4x—ab+c2=2ab+c2

2

大正方形面積為S=(a+b)2=a2+lab+b2

所以a2+b2=c2

方法三：S梯形=；(a+6)-(a+，)，S梯形=25^+5^=2]"+#,化簡得證/+/

【勾股數(shù)知識清單】

1.勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即片+〃=°2中，a,b，c

為正整數(shù)時，稱a,b,c為一組勾股數(shù)

2.常見的勾股數(shù)：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

擴(kuò)展：用含字母的代數(shù)式表示〃組勾股數(shù)：

1)n2-l,2n,n2+1(〃之2,幾為正整數(shù))；

2)2n+1,2n2+2n,In1+2H+1(〃為正整數(shù))

2

3）m2-n2,2mn,m2+n2（m>n,m,〃為正整數(shù)）

注意：每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍，也是勾股數(shù)。

【勾股定理的逆定理知識清單】

1.內(nèi)容：如果三角形三邊長。，b,C滿足°2+62=。2,那么這個三角形是直角三角形，其中C為斜

邊

注意：

①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來

確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時，可用兩小邊的平方和/+6?與較長邊的平方作比較，

②定理中a,b,c及/+62=°2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a,b,

c滿足4+°2=k，那么以*b,c為三邊的三角形是直角三角形，但是6為斜邊

【勾股定理的方法技巧】

1.方程勾股，利用勾股定理構(gòu)建方程求解

2.等面積法

二、【考點(diǎn)類型】

考點(diǎn)L勾股定理

典例1：（23-24八年級上?四川成都?階段練習(xí)）如圖，在AaBC中，4ABe=90°,AC=20,BC=12.

（1）設(shè)點(diǎn)P在線段4B上，連接PC,若NP4C=NPG4,求4P的長;

（2）設(shè)點(diǎn)M在線段力C上，若AMBC是等腰三角形，求力M的長.

【變式1］（2024八年級下.全國.專題練習(xí)）如圖，在AABC中，NACB=90。，CD1于點(diǎn)。，4C=

20,BC=15,求：

3

c

⑴CD的長;

(2)力。的長.

【變式2】(23-24七年級上?山東青島.期末)如圖，在Rt△ABC中，48=90。，ED是4C的垂直平分

線，交2C于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.

(1)若NB4E=24°,求NC的度數(shù).

(2)若AB=3,AC=5,求BE的長.

【變式3](22-23七年級下?陜西咸陽?階段練習(xí))如圖，AABC是等腰三角形，AB=4C,點(diǎn)。是邊BC

上的一點(diǎn)，連接力D.

(1)若△力BC的周長是32,CD=6,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，求AD的長；

(2)若BD=9,AD=12,AB=15,求ATlBC的面積.

【變式4】(23-24九年級上?江蘇?期末)在AaBC中，ZX=30°,ZB=105°,AB=12.

4

⑴求BC的長；

（2）求△力8C的面積.（結(jié)果保留根號）

【變式5】（23-24八年級上?江蘇揚(yáng)州?期末）已知：如圖，在AaBC中，Z/1=90°.

/AX.

/

cz--------X

（1）用直尺和圓規(guī)在線段AB邊上找一點(diǎn)。，使得4C2+4D2=BD2；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）的條件下，若4B=8,AC=6,連接CD,求CD的長.

考點(diǎn)2：勾股定理的證明

典例2：（23-24八年級上.貴州貴陽?期中）如圖①，直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b（a<b）,

斜邊長為c.

探究：

（1）用四個這樣的直角三角形拼成一大一小兩個正方形（如圖②）.

①小正方形的邊長為c,大正方形的邊長為；

②由大正方形面積的不同表示方式可以得出等式,整理得a?+=?2,從而驗(yàn)證勾股定理；

5

圖①

應(yīng)用：

（2）將兩個這樣的直角三角形按圖③所示擺放，使BC和CD在一條直線上，連接4E.請你類比（1）

中的方法用圖③驗(yàn)證勾股定理.

圖③

【變式1］（23-24八年級下?廣東中山?開學(xué)考試）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法,

借助圖的直觀性，可以幫助我們更容易理解數(shù)學(xué)問題.如圖1,現(xiàn)有4張大小形狀相同的直角三角形

紙片，三邊長分別是a、b、c,將它們拼成如圖2的大正方形，請利用圖2證明“勾股定理”.

【變式2】（23-24八年級上?吉林長春?期中）如圖，在△力BC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c.延

長CB到點(diǎn)D,使BD=b；過點(diǎn)。作CD的垂線并在垂線上截取DE=a,連結(jié)BE和2E.求證：

6

WAB=BE,AB1BE.

（2）利用此圖的面積表示式證明a?+/=c2.

【變式3］（2023八年級上?全國?專題練習(xí)）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，

其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都

可以用“面積法”來證明，請你利用圖1或圖2證明勾股定理（其中ND4B=90。），求證：a?+爐=c2.

【變式4］（23-24八年級上?山西太原?期中）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

勾股定理又稱畢達(dá)哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，大

約有五百多種證明方法，下面是我國三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽和意大利著名畫家達(dá)?芬奇的證明方法.

趙爽利用4個全等的直角三角形拼成如圖1所示的“弦圖”（史稱“趙爽弦圖”），其中a,b和。分別表示直

7

角三角形的兩直角邊和斜邊，四邊形4BDE和四邊形CFGH是正方形.

達(dá)?芬奇用如圖2所示的方法證明，其中剪開前的空白部分由2個正方形和2個全等的直角三角形組成，面

積記為工；剪開翻轉(zhuǎn)后的空白部分由2個全等的直角三角形和1個正方形組成，面積記為52.

任務(wù):

(1)下面是小穎利用趙爽弦圖驗(yàn)證勾股定理的過程，請你幫她補(bǔ)充完整.

證明：由圖1,知S正方形ABDE=4S-BC+S正方形CFGH，正方形CFGH的邊長為一.

5正方形4BDE=，SUBC=_，S正方形⑦6//=_，

???c2—4x^ab+(a—b)2—2ab+a2—2ab+b2,即

(2)請你參照小穎的驗(yàn)證過程，利用圖2及圖中標(biāo)明的字母寫出勾股定理的驗(yàn)證過程.

【變式5](23-24八年級上?山東棗莊?階段練習(xí))利用圖形整體面積等于部分面積之和可以證明勾股

定理.

8

①如圖（1）所示可以證明勾股定理，因?yàn)榇笳叫蚊娣e表示為（a+b）2,又可表示為c2+4x[a6,

所以（a+6）2=°?+4x[ab,所以a?+=c?+2a6,所以即直角三角形兩

直角邊的平方和等于斜邊的平方.

②美國第20屆總統(tǒng)伽菲爾德利用圖（2）證明了勾股定理，請你用①的方法證明勾股定理；

③如圖（3）請你用①的方法證明勾股定理；

④如圖（4）請你用①的方法證明勾股定理.

考點(diǎn)3：勾股定理的應(yīng)用

典例3：【梯子問題】（23-24八年級上?寧夏中衛(wèi)?階段練習(xí)）一架長13米的梯子，如圖那樣斜靠在

豎直的墻上，這時梯子底端離墻5米

（1）此時梯子頂端離地面多少米？

（2）若梯子頂端下滑1米，那么梯子底端將向左滑動多少米？

【變式1】【旗桿問題】（23-24八年級上?河南駐馬店?期末）周末，小明和小亮去漢風(fēng)公園放風(fēng)箏,

為了測得風(fēng)箏的垂直高度CE,他們進(jìn)行了如下操作：

9

①測得水平距離BD的長為12米；

②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線BC的長為20米;

③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.65米.

BL_____D

有If

(1)求風(fēng)箏的垂直高度CE；

(2)如果小明想風(fēng)箏沿CD方向下降7米，則他應(yīng)該往回收線多少米?

【變式2】【樹枝折斷問題】(22-23八年級上.陜西西安?期中)我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中

記載“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲傷有

病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部3尺遠(yuǎn).問：原處還有多高的竹子？

（1丈=10尺）

【變式3】【筷子與水杯問題】(23-24八年級上.遼寧阜新?期中)在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》

中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形.在

水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)

岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各為多少？

10

【變式4】【臺風(fēng)是否影響、超速問題】（2023八年級下?全國?專題練習(xí)）如圖，某沿海城市A接到

臺風(fēng)警報，在該市正南方向150km的8處有一臺風(fēng)中心正以20km/h的速度向8C方向移動，己知城市

4至！JBC的距離4D=90km,那么：

（1）臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從2點(diǎn)移到。點(diǎn)？

（2）如果在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都有受到臺風(fēng)破壞的危險，為讓。點(diǎn)的游人脫離危險，游人

必須在接到臺風(fēng)警報后的幾小時內(nèi)撤離（撤離速度為6km/h）最好選擇什么方向？

【變式5】【最短路徑問題】（22-23八年級上.海南?？?期末）問題情境：如圖①，一只螞蟻在一個

長為100cm,寬為50cm的長方形地毯上爬行，地毯上堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱平行且

等于寬4。，木塊從正面看是一個邊長為20cm的等邊三角形，求一只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走

的最短路程.

11

圖①圖②

(1)數(shù)學(xué)抽象：將螞蟻爬行過的木塊的側(cè)面“拉直”“鋪平”，“化曲為直”，請在圖②中用虛線補(bǔ)全木塊的

側(cè)面展開圖，并用實(shí)線連接4C；

(2)線段4C的長即螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程，依據(jù)是；

⑶問題解決：求出這只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程.

考點(diǎn)4：勾股數(shù)

典例4：(23-24八年級上?江蘇徐州?階段練習(xí))定義：a,瓦c為正整數(shù),若c2=a2+F,則稱c為“完

美勾股數(shù)”，a,6為c的“伴侶勾股數(shù)”.如132=52+122,則13是“完美勾股數(shù)”，5,12是13的“伴侶

勾股數(shù)”.

⑴數(shù)10“完美勾股數(shù)”(填“是”或“不是”);

(2)已知△ABC的三邊a,b,c滿足a?+b2+c2-6a-8b-10c+50=0.求證：c是“完美勾股數(shù)”.

【變式1](22-23八年級下?全國?課時練習(xí))閱讀下列材料，完成文后任務(wù)：

清朝皇帝康熙的數(shù)學(xué)專著中，有一文《積求勾股法》中記載了三邊長為3,4,5的整數(shù)倍的三角形,

如果已知面積，求三邊長的方法，把這種方法翻譯成我們今天的數(shù)學(xué)語言是：如果三角形的三邊長分

別是3,4,5的整數(shù)倍，設(shè)它的面積為S,則第一步：求設(shè)等于加；第二步：求標(biāo)，設(shè)等于k；第

12

三步：分別用3,4,5乘以k得三邊長分別為3k,4k,5k.

康熙皇帝

任務(wù)：

(1)求當(dāng)面積為96時，用康熙的“積求勾股法”求三角形的三邊長.

(2)你能證明康熙這種“積求勾股法”的正確性嗎？請寫出你的理由.

【變式2】(22-23八年級下?山東濟(jì)寧?期末)已知：在RtAABC中，NC=90。，乙4、4B、NC所對的

邊分別記作。、b、c.如圖1,分別以△力BC的三條邊為邊長向外作正方形，其正方形的面積由小到

大分別記作工、52、S3,則有Si+S2=S3,

圖4

⑴如圖2,分別以△力BC的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分S1、S2、S3,請問Si+S2

與S3有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(2)分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作SI、S2Sa,根

據(jù)(2)中的探索，直接回答S1+S2與S3有怎樣的數(shù)量關(guān)系;

(3)若RM4BC中，AC=6,BC=8,求出圖4中陰影部分的面積.

【變式3](22-23八年級下?江西南昌?期中)勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家

稱之為畢達(dá)哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代

數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”(如圖1),后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

13

圖1圖2圖3圖4

圖5圖6圖7

(1)①如圖2,3,4,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面

積分別為S「S2,S3,利用勾股定理，判斷這3個圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2=$3的有..個.

②如圖5,分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月牙形圖案(圖中陰影部分)的面積分

別為Si，S2,直角三角形面積為S3,也滿足S1+S2=53嗎？若滿足，請證明；若不滿足，請求出S「

S2,S3的數(shù)量關(guān)系.

(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形,

重復(fù)這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”.在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正

方形M的邊長為定值相，四個小正方形A,B,C,。的邊長分別為a,b,c,d,則a2+b2+c2+

d2=_______

【變式4](22-23八年級下?山東德州?期中)勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家

稱之為畢達(dá)哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代

數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”(如圖1),后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

(1)①請敘述勾股定理.

②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明

14

該定理.(以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件)

專S.

ba

7ha

圖1圖2圖3

(2)①如圖4,5,6,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這

三個圖形中面積關(guān)系滿足Si+S2=S3的有___________個

S、

圖4圖5圖6圖7

②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月牙形圖案(圖中陰影部分)的面

積分別為S1，52,直角三角形面積為S3,請寫出S1，52,S3的數(shù)量關(guān)系：___________.

(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，

重復(fù)這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正

方形M的邊長為定值小，四個小正方形4B,C,。的邊長分別為a,b,c,d,則

a2+b2+c2+d2=_________.

幸

M

圖8知9

【變式5](23-24八年級上?江蘇鎮(zhèn)江?期中)滿足(^+廿=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

(1)請把下列三組勾股數(shù)補(bǔ)充完整:

①.,8,10；②5,,13；③8,15,

22

(2)任取兩個正整數(shù)MI和〃(m>n),請你證明這三個整數(shù)2nm,m+n,m?—/是勾股數(shù).

15

考點(diǎn)5：勾股定理逆定理

典例5：(22-23八年級下?貴州銅仁?階段練習(xí))如圖，在AZBC中,CE14B于點(diǎn)E,BC=3,AC=4,

(1)求4E的長；

(2)求證：△ABC是直角三角形.

【變式1](22-23八年級上?廣東深圳?期末)定義：在邊長為1的小正方形方格紙中，把頂點(diǎn)落在方

格交點(diǎn)上的線段、三角形、四邊形分別稱為格點(diǎn)線段、格點(diǎn)三角形、格點(diǎn)四邊形，請按要求畫圖：

rTr7r「r7rTrF

—

—

Ill—

—1III1lII

kTkU

u」4uu44T44k4T

----

—

——

—

—

——

-_-1-——

l_-

—

—

—

_(—|I

lFT

r7r1r7FTrnFTr7r「rTrTrn

I—l

—iIli

—

I—

—

—

—

I)I1I1III—

H4u

HbF4H4-H4n4bTH4K4^

1

--

-1

_

圖1圖2圖3圖4

(1)在圖1中畫出一個面積為1的格點(diǎn)等腰直角三角形A8C；

(2)在圖2中畫出一個面積為13的格點(diǎn)正方形DEFG；

(3)在圖3中畫出一條長為5,且不與正方形方格紙的邊平行的格點(diǎn)線段修；

(4)在圖4中畫出一個周長為3/+JIU的格點(diǎn)直角三角形/KL.

16

【變式2］（23-24八年級上?甘肅酒泉?期末）如圖，每個小正方格的邊長為1.用（-1,-1）表示點(diǎn)

A的位置，用（3,1）表示點(diǎn)C的位置.

（1）畫出平面直角坐標(biāo)系.

（2）點(diǎn)8關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為

（3）圖中格點(diǎn)三角形ABC的面積為.

（4）判斷三角形ABC的形狀，并說明理由.

【變式3】（23-24八年級上.福建福州?期末）有一塊四邊形草地4BCD（如圖），測得2B=2。=5,

CD=13,BC=12,N4=60°.

⑴求乙48c的度數(shù)；

⑵求四邊形草地4BCD的面積.

【變式4］（23-24八年級上?河南南陽?期末）為貫徹《關(guān)于全面加強(qiáng)新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》

的方針政策,幫助同學(xué)們更好地理解勞動的價值與意義,培養(yǎng)學(xué)生的勞動情感、勞動能力和勞動品質(zhì)，

學(xué)校給八（1）班、八（2）班各分一塊三角形形狀的勞動試驗(yàn)基地.

（1）當(dāng)班主任測量出八（1）班試驗(yàn)基地的三邊長分別為5m,12m,13m時，一邊的小明很快給出這塊

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試驗(yàn)基地的面積.你求出的面積為m2.

(2)八(2)班的勞動實(shí)踐基地的三邊長分別為48=15m,BC=14m,4C=13m如圖),你能幫助

他們求出面積嗎？

【變式5】(23-24八年級上?江蘇鎮(zhèn)江?期中)【問題初探】勾股定理神奇而美妙，它的證法多種多樣，

在學(xué)習(xí)了教材中介紹的拼圖證法以后，小華突發(fā)靈感，給出了如圖①的拼圖：兩個全等的直角三角板

4BC和直角三角板DEF,頂點(diǎn)/在BC邊上，頂點(diǎn)C、。重合,連接力E、EB.設(shè)力B、DE交于點(diǎn)G.N4CB=

ZDFE=90°,BC=EF=a,AC=DFb(a>b'),AB=DE=c.請你回答以下問題：

C(D)FB(D)

圖①圖②

(1)4B與DE的位置關(guān)系為______.

(2)填空：S四邊形(用含。的代數(shù)式表示).

(3)請嘗試?yán)么藞D形證明勾股定理.

【問題再探】平移直角三角板DEF,使得頂點(diǎn)8、。重合，這就是大家熟悉的“K型圖”，如圖②，此

時三角形ABE是一個等腰直角三角形.

請你利用以上信息解決以下問題：

己知直線allb及點(diǎn)P,作等腰直角APAB,使得點(diǎn)A、B分別在直線隊6上且乙4PB=90。.(尺規(guī)作

圖，保留作圖痕跡)

P

----------------------------------b

【問題拓展】請你利用以上信息解決以下問題：

已知△ABC中，=45。，NB=22.5。，BC=6,則AABC的面積=

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