2025年中考數學總復習《圓的拓展探究?？紵狳c題型》專項測試卷(附

答案)

學校:姓名：班級：考號：

1.【定義新知】定義：有一個角是其對角一半的圓內接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角.

【初步應用】

(1)如圖1,已知四邊形ABCD是圓美四邊形，/A是美角，連接QB、OD、BD.

①寫出/A的度數是,/BCD的度數是,N3OD的度數是；

②點C為8。的中點，10的半徑為5,求線段8。的長；

【拓展提升】

(2)如圖2,已知四邊形A38是圓美四邊形，/BAD是美角,連接C4,若C4平分4CD,)0的半經為6,

則3C+CD的最大值是.

2.【問題提出】小慧同學遇到這樣一道問題，如圖①，在VABC中，點。為邊AC的中點，以點。為圓心，AC為

直徑作圓，NACB的平分線交此圓于點尸，點尸在，ABC內部，連接3尸.

求證，3PC的面積等于VABC面積的一半.

【問題解決】小慧的做法是連接AP并延長，交BC于點。，利用-ACQ形狀的特殊性解決問題，請你利用小慧的做

法完成【問題提出】中的證明；

【問題拓展】如圖②，在四邊形ABCD中，AC平分44D.ACLBC,BD=8,AB-AD=3,則△BCD面積的

最大值為

3.如圖1,四邊形ABCE內接于。，E是ACB的中點，連結AC.

【初步嘗試】

(1)在弦AC上有一點。，且4>=3C,連結求證：AADE%ABCE；

【變式應用】

(2)如圖2,在(1)的條件下，若48恰為。的直徑，且AE=8,N54C=15。，求弦AC的長；

【拓展延伸】

(3)如圖3,若AC恰為。的直徑，過點E作所上BC,交BC的延長線于點RCE=5,砂=4,求8尸的長.

4.【基礎鞏固】

(1)如圖1,點A,F,8在同一直線上，若ZA=NB=NEFC,求證：Z^AFE^Z\BCF；

【嘗試應用】

(2)如圖2,43是半圓0的直徑，弦長AC=8C=4,E,尸分別是AC,AB上的一點，NCFE=45。，若設=

AE=y,求出,與x的函數關系.

【拓展提問】

(3)己知。是等邊VABC邊48上的一點，現將VABC折疊，使點C與O重合，折痕為砂，點E,歹分別在AC和

BC上.如圖3,如果AD:3O=1:〃，求CE:C產的值(用含”的代數式表示).

cCA

AFBAOFB公

B/FC

圖1圖2圖3

5.閱讀材料：如圖(1),在VA03中，ZO=90°,a4=03,點尸在A8邊上，PELQ4于點E,尸產，03于點孔

則PE+P/=Q4.(此結論不必證明，可直接應用)

DCDC

圖⑴圖⑵圖⑶

(1)【理解與應用】

如圖(2),正方形ABC。的邊長為2,對角線AC、3D相交于點。，點P在AB邊上，PE1.OA于點、E,PFLOB于

點、F,貝(JPE+PF=；

⑵【類比與推理】

如圖(3),矩形ABCD的對角線AC、加＞相交于點O,AB=4,AD=3,點尸在AB邊上，PE〃O8交AC于點E,

PF〃OA交BD于點、F,求尸E+尸尸的值；

(3)【拓展與延伸】

四邊形A3C。是半徑為4的圓內接四邊形，對角線AC、9相交于點O,至=/近=8,點尸在弦BC上，PE//AC

交BD于點、E,PF〃BD交AC于點F,當NABC=90。時，試判斷PE+PR的值是否為定值，若是請求出該定值并

求出四邊形PEO/面積的最大值；若不是定值，請說明理由.

圖1圖2圖3

【基礎鞏固】

⑴如圖1,當點E在邊AB上時，DELDF,且3,C,F三點共線，求證：AE=CF；

【類比應用】

(2)如圖2,當點E在正方形ABCD外部時，DELDF,AE±EF,且E、C、尸三點共線，若AE=2,CE=4,求

點。到直線EF的距離；

【拓展遷移】

(3汝口圖3,當點E在正方形ABCD外部時，AE1EC,AEYAF,DEYBE,且。，F,E三點共線，DE與AB

交于G點，若。尸=3,AE=2近,求正方形ABCD的邊長.

7.已知：A、8為圓上兩定點，點C在該圓上，/C為AB所對的圓周角.

知識回顧

⑴如圖①，。中，B、C位于直線A0異側，ZAOB+ZC=135°.

①求/C的度數；

②若。的半徑為5,AC=8,求BC的長；

逆向思考

(2)如圖②，P為圓內一點，且NAP3<120。，PA=PB,ZAPB=2ZC.求證：P為該圓的圓心；

拓展應用

(3)如圖③，在(2)的條件下，若/AP3=90。，點C在P位于直線AP上方部分的圓弧上運動.點。在P上，滿

足Cr>=^CB-C4的所有點。中，必有一個點的位置始終不變.請證明.

8.閱讀材料，某個學習小組成員發(fā)現：在等腰VABC中，平分一區(qū)4C,=BD=CD,：.笠=粵,

他們猜想：在任意VA2C中，一個內角角平分線分對邊所成的兩條線段與這個內角的兩邊對應成比例.

圖1圖2

【證明猜想】如圖1所示，在VABC中，平分NA4C,

丹丹認為，可以通過構造相似三角形的方法來證明;

思思認為，可以通過比較△ABD和ACD面積的角度來證明.

(1)請你從上面的方法中選擇一種進行證明.

(2)【嘗試應用】如圖2,。是MABC的外接圓，點E是。上一點(與B不重合，S.AB=AE,連結AE,并延

長AE,BC交于點。,“為AE的中點，連結出/交AC于點G,求笠的值.

(3)【拓展提高】如圖3,在(2)的條件下，延長3”交一。于點凡若BE=EF,GH=x,求：。的直徑(用尤的

代數式表示).

9.小雯同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題

變得非常容易.

D

1D

B/'CBC

圖1圖2圖3圖4

【問題發(fā)現】例如：如圖1,在VA3C中，AB=AC,NB4c=90。,。是VABC外一點，且AD=AC,求/BDC的

度數.若以點A為圓心，A3長為半徑作輔助圓A,如圖2所示，則C,。兩點必在A上，/A4c是，A的圓心

角，/BDC是：A的圓周角，則ZBDC=_。.

【初步運用】

(1)如圖3,已知線段和直線/,用直尺和圓規(guī)在/上作出所有的點P,使得/APF=30°(不寫作法，保留作圖

痕跡，你作圖過程中用到哪些數學原理？請寫出一條.

【問題拓展】

(2)如圖4,已知矩形ABCD,AB=2,BC=m,M為邊CD上的點.若滿足NAMB=45。的點,恰好有兩個，則

m的取值范圍為.

10.【問題原型】如圖①，在。。中，弦8c所對的圓心角NBOC=90。，點A在優(yōu)弧BC上運動(點A不與點8、C

重合)，連接AB、AC.

圖①圖②

(1)在點A運動過程中，/A的度數是否發(fā)生變化？請通過計算說明理由.

(2)若8c=2,求弦AC的最大值.

(3)【問題拓展】如圖②，在AABC中，BC=4,ZA=6Q°.若M、N分別是A3、BC的中點，則線段MN的最大值

為.

11.問題背景:

圖1,等腰AABC中,AB=AC,NBAC=120。,過點A作ADXBC于點D,則D為BC的中點，/BAD=^ZBAC=60°；

2

〒曰BC2BDr-

于是IF詞=5

D

(1)遷移應用:

如圖2,AABC和AADE都是等腰三角形，ZBAC=ZDAE=120°,D,E,C三點在同一條直線上，連接BD.求證:

CD=6AD+BD；

(2)拓展延伸

如圖圖3,在菱形ABCD中，ZABC=120°,在NABC內作射線BM,作點C關于BM的對稱點E,連接AE并延

長交BM于點F,連接CE,CF.若AE=5,CE=2,求BF的長.

12.如圖，在］。中，直徑A3長為4石，弦8c的長為8,點。是上一點，過點。作OD的垂線交直線AB于點

⑴求NCBO的正切值.

(2)當80。與V5DE相似時，求的長.

⑶以點E為圓心，EQ長為半徑畫一E,試根據線段2。的長度情況探究E和。的位置關系.

13.如圖，是。的直徑，點C是」。上一點，過點C作弦CD_LAB于E,點、F是BD上一點，AF交C。于點

H,過點/作一條直線交C。的延長線于交的延長線于G,HM=FM.

(2)若ACMG,試探究及2HF,M尸之間的關系，并說明理由;

4

⑶在(2)的條件下，若tanG=g,AH=2,求OG的長.

14.如圖，點A、E在::。上，與OE的夾角為“(0°<〃<90。)，連結AE,過A點作<。的切線4V.

(1)試求的V的度數(用含有〃的代數式表示)；

(2)在AE的延長線上取一點。，以線段為一邊作矩形ABCD,點C在射線AN上.

①當AC=2OE時，在〃的變化過程中，探究線段BC與C。、OE之間是否存在某固定的數量關系？若存在，試求

出它們的數量關系；若不存在，請說明理由；

4AR

②連結CE,當4。=2。￡=w0￡時，試求出——的值.

3BC

15.如圖，在平面直角坐標系中，的斜邊在y軸上，邊AC與無軸交于點。，AE平分一區(qū)4c交邊

于點E,經過點A、D、E的圓的圓心P恰好在y軸上，尸與y軸相交于另一點G.

(1)求證：BC是:E的切線；

⑵若點A、。的坐標分別為A(0,-1),0(2,0),求產的半徑；

⑶在(2)的條件下，求CE的長；

(4)試探究線段AG、AD.CD三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論.

參考答案

1.(1)①60。,120。,120。；②56；(2)12

【分析】(1)①根據定義和圓周角定理求角即可；②根據垂徑定理和特殊角的三角函數值進行解答即可；

(2)延長。C到點使得CM=CB,連接MB,得到CM?是等邊三角形，證明D3N-ABC,則AC=。暇,

進一步證明AC=BC+CD,當AC是直徑時，AC取最大值12,即可求出答案.

【詳解】解：(1)①???四邊形45。是圓美四邊形，-A是美角，

ZBCD=2ZA,ZBCD+ZA=180°,

/.2Z4+ZA=180°,

解得ZA=60。，

NBCD=2ZA=120°,ZBOD=2ZA=120°

故答案為：60°,120°,120°.

②連接OC交。于點P,

AOP±BD,PD=PB^-BD

一2

OB=DO,

：.NBOP=NDOP=-ZBOD=60°,

2

OP=-OB=-^

22

BP=y/OB2-OP2=—,

2

，BD=2BP=5y/3.

(2)如圖，延長。C到點M,使得CM=CB,連接MB,

:四邊形ABC。是圓美四邊形，NA4。是美角,

NBCD=2NBAD,NBCD+ZBAD=180°,

2ZBAD+ZR4D=180°,

解得/&4D=60。，

，ZBCD=120°,

C4平分ZBGD,

???ZBCM=ZACB=ZACD=60°,

???是等邊三角形，

:?BC=BM,ZABD=/CBM=60。,

：.ZABD+ZDBC=Z.CBM+ZDBC,

???ZABC=NDBM,

ZBAC=ZBDM

?；［/ABC=NDBM,

BC=BM

???一DBMWABC(AAS),

???AC=DM,

,:DM=CM+CD,

：.AC=BC+CD.

〈AC是。的一條弦，

???當AC是直徑時，AC取最大值12,

即3C+CD的最大值是12.

故答案為：12

【點睛】本題考查了新定義問題，等邊三角形的判定和性質，圓的內接四邊形的性質，三角形全等的判定和性質,

圓周角定理、垂徑定理、勾股定理等知識，熟練掌握圓的性質是解題的關鍵.

2.問題解決：見詳解；問題拓展：6

【分析】本題為幾何探究題，考查圓與三角形的綜合問題，解題關鍵是熟練掌握圓與三角形的性質；

問題解決：根據提示作圖，通過三角形中線將三角形面積等分證明.

問題拓展：延長8CAD交于點E,通過三角形三線合一得到。為陽中點，通過中線將三角形面積平分可得△5CD

面積最大時，VBD￡面積最大，即BD為高時滿足題意.

【詳解】問題解決：解：如圖，連接AP并延長，交邊5C于點

〈AC為。的直徑,

???ZAPC=90°.

：.ZAPC=ZQPC=90°.

CP平分ZAC3,

/.AACP=AQCP.

■:CP=CP,

：.ACP^QCP(ASA).

：.AC=QC.

,：ZAPC=90°.

，點P為A。的中點.

，3尸C的面積等于VABC面積的一半.

問題拓展：延長8CAD交于點E,

AC平分—54。且AC_LBC,

"E為等腰三角形，點C為3E中點,

,"%BCD=S'CDE=萬S、BDE，

當△BCD的面積最大時，V3DE面積最大，

即滿足題意，

DE=AB-AD=3,BD=8,

：.△38面積的最大值為'工8?。石=\!*8*3=6.

2222

故答案為：6.

3.(1)見解析；(2)4石+4；(3)y

【分析】(1)根據題意得=結合同弧所對的圓周角相等得/皿＞=/EBC,即可證明ADE注BCE；

(2)過點E作EF_LAC,交AC于點尸，則NA￡B=90。,ZE45=N￡BA,可得NE4F=30。，則有

EF=-AE,AF=~AE,結合等腰三角形的性質得CF=￡F,可得AC=AF+CF；

22

(3)連結8E,過E作90LAC交AC于點設3C=x,利用勾股定理得CP,根據題意得AE=3E,可證明

AAME^ABFE和aEMCWEFC,則AM=3尸和AC=AM+MC,再次利用勾股定理即可求得x,即可求得

【詳解】（1）證明：E為AC8的中點,

AE=BE.

又?，NEAD=NEBC,AD=BC,

ADE/BC石(SAS),

(2)解：過點石作EF,AC,交AC于點尸，如圖,

石為AC3的中點，A3為。的直徑,

\O個B

ZAEB=90°,ZEAB=ZEBA=45°,

ABAC=15°,

.\ZE4F=30°,

ZAFE=90°,

:.EF=-AE=4,AF=—AE=4y/3,

22

ZECA=ZEBA=45°,

,\CF=EF=4.

AC=AF+CF=4y/3+4；

(3)連結過E作石以LAC交AC于點M,如圖,

^BC=x,

EF.LBCf

222

:.CF+EF=EC9

:.CF=3.

E為ACB的中點,

AE=BE.

又二/EAC=NEBC,

ZAME=ZBFE=90°,

AME當BFE(AAS).

：.AM=BF^x+3,EM=EF,

?：ZF=ZEMC=90°,EC=EC,

.EM8EFC(HL),

：.AC=AM+MC=x+6,

又-AC為C。的直徑，

AE2+EC2=AC2,

即(X+3)2+42+52=(X+6)2.

7

解得：x=-^

【點睛】本題主要考查同弧所對的圓周角相等、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、含30度角的直角

三角形的性質和勾股定理，解題的關鍵是熟悉圓的性質和全等三角形的判定和性質.

4.(1)見解析；(2)y=-^尤?+VxV4>/^)；(3)CE:CJF=(7Z+2):(2"+1)

【分析】(1)利用已知得出/E=NC7布，進而利用相似三角形的判定方法得出即可；

(2)利用(1)得出△AEESABCF,由相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可得到>和x的數量關系，進而

求出y與x的函數關系式；

(3)首先證明△ADEs△班D,表示出￡/),DF,EA,DB,AD,BF,再利用相似三角形的性質解決問題即

可.

【詳解】(1)證明：:ZA=NEFC,ZA+ZE+ZEFA=180°=ZEFA+ZEFC+ZCFB,

：.ZE+ZEFA=ZEFA+ZCFB,

ZE=/CFB,

?/ZA=Z.B,

/.AAFES^BCF；

(2)解：是。的直徑，

ZACS=90°,

AB=yjAC2+BC2=4-72-

AC=BC,

：.ZA=ZB=45°,

ZA=ZB=ZCFE=45°,

由(1)可得△AFESA5CF,

.AEAF日口y4^/2-%

1

BFBCx4

y=-^x2+夜光(0W40)；

(3)解：連接DE,DF,

A

??,一￡FC與一EEC)關于EF對稱，

：.ZEDF=ZECF=60°,EC=ED,FC=FD,

,:ZBDF+^EDF=ZBDE=ZA+ZDEA,

?：ZEDF=ZA=60°

:,ZBDF=ZDEA

^ADE^ABFD,

設AD=x,CE=DE=a,CF=DF=b,

*/AD:BD=l:n,

??DB—TTJC，

AB=(〃+1)%=AC=BC,

AE=nx—a,BF=nx—b,

?:/\ADE^ABFD,

.DEEAAD

??而一麗一壽’

?_a-_n_x__—_a______x_____

bnx(n+l)x—Z??

由前兩項得，wx="(〃+l)x—。］①，

由后兩項得，［〃++。］=,

n2+n+l

解得，ax,

2n+l

/八n2+n+l

由⑴得〃_（九+1）.-〃_戶2.+]1〃+2，

bnxnx2n+l

ACE:CF=（zz+2）:（2w+l）.

【點評】本題是圓的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質，圓的有關知識，勾股定理以及二次函數最值等知識,

解題的關鍵是學會利用參數解決問題.

5.⑴夜

（2）1

（3）PE+PF=4,四邊形PEO歹面積的最大值為4

【分析】（1）證：OA=OB,ZAOB=90°,直接運用閱讀材料中的結論即可解決問題.

(2)證：OA=OB=OC=OD=~,然后由條件〃。民?產〃4?可證▲AE7尢%493,BFPsBOA,從而可得

2

EPFPAPBP1?5e5

-----1-----=-----H------=1,進而求出EP+FP=—.

OBOAABAB2

(3)證：四邊形P￡O尸是矩形，四邊形ABC。是正方形，即可求出PE+PF=4,因而尸E+尸尸是定值.設PE=x,

則PF=4-x,利用矩形的面積和二次函數的性值求出最值即可.

【詳解】(1)解:如圖，

???四邊形ABCD是正方形，

???OA=OB=OC=OD,ZABC=ZAOB=90°.

,:AB=BC=2,

AC=272.

??OA=?

,,,OA=OB,ZAOB=90。,PE_LOA,PF_LOB,

PE+PF=OA=屈.

DC

N

(2)解：如圖,

DC

???四邊形ABC。是矩形，

OA=OB=OC=OD,ZDAB=90°,

AB=4,AD=3f

BD=5,

：.OA=OB=OC=OD=-,

2

QPE〃OB,PF〃AO,

AEP^AOB,BFPsBOA,

.EP_APFP_BP

EPFPAPBP1

,OBOAABAB'

EPFP,

*,55

22

：,EP+FP=~.

2

(3)解：當/ABC=90。時，尸E+尸尸是定值.

理由：連接Q4、OB、OC、OD,

四邊形ABC。是的圓內接四邊形，

ZADC=180°-90°=90°,OA=OB=OC=OD,

AC、是四邊形ABCD的對角線，對角線AC、相交于點。,

ZDAB=ZADC=ZDCB=ZABC=90°,

四邊形ABC。是矩形，

:.OA=OB=OC=OD=-AC=-BD=4,

22

QAB=AD=CD,

四邊形ABC。是正方形，

QPE〃AC,PF〃BD,

ZBOC=90°,PE±OB,PFLOC,

:.PE+PF=OC=4,

設尸E=X,則尸尸=4-x,

四邊形PEO尸是矩形，

二四邊形PEO廠面積=PE-PB=X(4—X)=—X2+4X=—(X—2)2+4,

-l<0,

，當尸E=x=2時，四邊形尸EO尸面積有最大值，最大值為4.

【點睛】本題考查了正方形的性質、矩形的判定和性質、圓的內接四邊形、相似三角形的判定與性質，二次函數的

應用等知識，考查了類比聯想的能力，有一定的綜合性.要求尸E+尸尸的值，想到將相似所得的比式相加是解決本

題的關鍵.

6.(1)見解析

(2)3

⑶回

【分析】(1)證明VZM￡nDCF(ASA),可得結論；

(2)證明VZM￡^VDCF(ASA),得DE=DF,推出EF=CE*+CF=6,過點。作“/_L￡F于H,推出

DH=EH=FH=-EF,計算即可；

2

(3)連接AC,取AC的中點。，連接。石，OD,過點A作于證A,E,C,。四點在同一個圓

上，以。為圓心，Q4為半徑畫出圓，證明？血>?DEC45?,算出AM和DM,根據勾股定理計算出AD即可.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABC。是正方形，

：.DA=DCfZA=ZADC=NDCB=NDCF=90。,

■:DELDF,

：.ZEDF=ZADC=9Q°f

：.ZADE=ZCDF,

在亦題和二DCF中，

ZADE=/CDF

<DA=DC,

ZA=ZDCF

：.VZME^VPCF(ASA),

???AE=CF；

(2)解：,??四邊形ABCD是正方形，

ADA=DC,ZADC=90°,

?；DE工DF，AELEF,

：.ZAEF=ZEDF=90°,

：.ZADC=NEDF,

：.ZADE=ZCDF,

'：ZAZ)C+ZAEC=180°,

ZDAE+ZDCE=lS0°f

VZ￡>CF+ZZ)CE=180o,

???ZDAE=ZDCF,

在工八4石和oc尸中，

/ADE=/CDF

<DA=DC,

NDAE=/DCF

:.VDAE^VDCF(ASA),

:.DE=DF,

“跖=〃在=1^=45°

???AE=CF=29

?；CE=4,

：.EF=CE+CF=6,

如下圖，過點。作于H,

ZEDH=ZFDH=ZDEF=ZDFE=45°,

DH=EH=FH=-EF=3,

2

即點。到直線斯的距離為3；

（3）解：如下圖，連接AC,取AC的中點。，連接?！?OD,過點A作AA/_LDE1于

DC

E

,四邊形ABC。是正方形，AEYEC,

：.ZAEC=ZADC=90。,

'：OA^OC,

：.OD=OA=OC=OE,

.,.A,E,C,。四點在同一個圓上，如下圖，以。為圓心,Q4為半徑畫出圓,

ZAED=ZACD=45°,

：.?AED?DEC45?,

'/AE±AF,

：.Z￡AF=90°,

ZAEF=ZAFE=45°,

AE=AF=2近,

EF=yflAE=4,

/.AM^FM^-EF^l,

2

DM=DF+FM=5,

根據勾股定理得，AD2=DM2+AM2=29，

：.AD=729,

即正方形ABC。的邊長為屈.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，圓周角定理，勾股定理等知識,

學會添加常用輔助線是解題的關鍵.

7.⑴①45。；②7亞；

(2)見解析；

(3)見解析

【分析】(1)①根據NAO3+NC=135。，結合圓周角定理求/C的度數；②構造直角三角形；

(2)只要說明點尸到圓上A、B和另一點的距離相等即可；

(3)根據CD=0CB_C4,構造一條線段等于后C2-C4,利用三角形全等來說明此線段和CD相等.

【詳解】(1)解：①\ZAOB+ZC=135°,ZAOB=2NC,

...3NC=135°,

,-.ZC=45°.

②連接AB,過A作A"J_3C,垂足為

ZC=45°,AC=8,

ACM是等腰直角三角形，且AM=CM=4A/5,

ZAOB=2NC=90°,OA=OB,

AC?是等腰直角三角形,

AB=y/2OA=5y/2,

在直角三角形ABM■中，BM=^AB2-AM2=372>

8C=CM+BM=40+30=70.

(2)證明：延長AP交圓于點N,則/C=NN,

ZAPB=2NC,

ZAPB^ZN+ZPBN,

:.ZN=ZPBN,

:.PN=PB,

PA=PB,

：.PA=PB=PN,

.?.P為該圓的圓心.

(3)證明：過5作3c的垂線交C4的延長線于點石，連接A5,延長AP交圓于點尸，連接Cb，FB,

「./。=45。，

:./\BCE是等腰直角三角形,

:.BE=BC,

BPA.AF,PA=PF,

:.BA=BF,

.AF是直徑，

/.ZABF=90°,

:.ZEBC=ZABF=90°f

.\ZEBA=ZCBFf

/.△EBA^ACBF(SAS),

.'.AE=CF,

CD=CCB-CA=CE-CA=AE，

:.CD=CF,

???必有一個點。的位置始終不變，點尸即為所求.

【點睛】本題考查了圓周角定理，還考查了勾股定理和三角形全等的知識，對于(3)構造一條線段等于0C3-C4

是關鍵.

8.(1)見解析

2GB2

(3)。的直徑為上且工

7

【分析】(1)選丹丹延長AD交過點C與A5平行的直線交于E,AD平分/BAC,得出ZBAD=ZCAD,根據CE〃AB,

可得AOEC,再證△即可；

選思思過點。作尸OQLAC于點尸，Q,根據角平分線性質得出PD="2,根據三角形高等得出

-ABPD77BD-h口八

2q△ABDABq——=也即可

=2________再根據d

q~ACCD

^■ACDQACD-CDh

2

(2)連接CE,先證NAEC=90。，再證RtAABC絲RtAAEC(HL),得出NBAC=/E4C,即AC為NBAE的角平分

線'得出器=*，根據反為短的中點，可得所卜E=即可;

AHAERF

(3)作BN_LAE交AE于點N,設BE交AC于“，先證得出一=一黑，根據AB=AE,得

BHBEHE

出BH=BE,根據GH=x,可求BH=BE=3x,得出羋=￡,求得“后=上叵，可得42=4石=285=30尤根

3xHE2

21

據勾股定理BN=BE-NE=4((3A/|j=次旦無，利用三角函數得出cosZNBE=—=—=cosABAC,

丫1/14J4BE4

483瓜12用

在RfVABD中，-cos/BA?！獌纫?'即可.

丁

【詳解】(1)選丹丹方法，丹丹認為，可以通過構造相似三角形的方法來證明;

證明：延長A。交過點C與A8平行的直線交于E,

平分/8AC,

ZBAD=ZCAD,

,:CE〃AB,

：.ZBAD=ZCED=ZCAD,

：.AC=EC,

:AB〃CE,

：.AABD^AECD,

.ABBD

??一，

ECCD

.AB_BD

**AC-CD；

選擇思思方法：思思認為，可以通過比較和.ACD面積的角度來證明.

證明：過點D作陽，。。，4。于點尸，Q,

A

平分23AC,PD±AB,DQLAC,

：.PD=DQ,

-ABPD

SAABD2AB

q^■ACDQAC

o—BD?h.

7SA*2_____二BDDr

乂?S1CD

、、ACD-CDh3

2

.AB_BD

**AC-CD；

(2)解：連接CE,

?/O是RtASC的外接圓，ZABC=90°f

???AC為。的直徑，

???ZAEC=90°,

在RtAABC和RtAAEC中,

AB=AE

AB=AB

.,.RtAABC^RtAAEC(HL),

：.ABAC=ZEAC,

即AC為2B4石的角平分線,

.HGAH

**GB-

又TH為AE的中點,

：.AH=-AE=-AB,

22

.AH1GH

AB2GB

（3）作交AE于點N,設BE交AC于M,

BCD

?：BE=EF,

/./F=NEBH,

ZBAE=ZBFE,

：.NHBE=NBAE,

???/HEB=/BEA,

:.AHBES^BAE,

.ABAEBE

9：AB=AE,

：.BH=BE,

又,：GH=x,

由（2）知BG=2GH=2x,

BH—BE—3x,

.HEBEBE

，91BE~~AE~2HE9

.2HE3x

3x~HE

AB=AE=2HE=30元，

'：BN±AD,BH=BE,

：.HN=NE=-HE=,ZEBN=-NEBH=-ABAD=ABAC,

BN=SJBE--NE2=J（3X）2-

在吊BEN中,cosNNBE=一=--=cosABAC,

BE4

…AB3近x12幣

yLl(-,■-----------------JV'

在RVAB少中,-cos/BAC-714-7，

丁

即。的直徑為呸夕尤.

7

【點睛】本題考查角平分線定義，平行線性質，等腰三角形判定與性質，相似三角形判定與性質，三角形面積，三

角形全等判定與性質，角平分線性質，線段中點，勾股定理，一元二次方程，銳角三角函數，圓的直徑，掌握以上

知識是解題關鍵.

9.45；(1)作圖見解析，原理為圓周角定理，即一條弧所對的圓周角是圓心角的一半；(2)2<m<y[2+l

【分析】(1)由圓周角定理即可得到答案；

先作等邊三角形，在以點。為圓心，以OA為半徑作圓，由圓周角定理作圖即可；

(2)在8C上截取BF=BA=2,連接AF,以AF為直徑作圓O,交于點E,連接￡尸，過點。作OGLEF交EF

于點H,交圓。于點G,,過點G作KQLBC交8c于點。，交于點K,故四邊形EFQK是矩形，由圖形可知

BF<m<BQ,由勾股定理求出BE8。的長，代入計算即可.

【詳解】解：AB=AC,AD=AC

???以點A為圓心，點B、C、D必在(A上

「Z3AC是：A的圓心角，NBDC是A的圓周角

:.ZBDC=-ZBAC=45°

2

故答案為：45；

(1)作圖如下：

即一條弧所對的圓周角是圓心角的一半;

如圖，在2c上截取B尸=54=2,連接AF以A尸為直徑作圓。，交A。于點E,連接所，過點。作OGLEF交EF

于點H,交圓。于點G,過點G作KQLBC交BC于點。，交于點K,故四邊形EFQK是矩形

:.ZABF=90°

AF=2A/2

的半徑為四，即OF=OG=A/^

.-.FH=1=OH

GH=42-1=FQ

BF<m<BQ

即24根<2+夜一1

解得2Wm<0+l

故答案為：2Wm<&+1.

【點睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、作圖、等邊三角形的判定和性質、勾股定理、矩形的判定與性

質等，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

10.(1)不變，45°,理由見詳解

⑵2后

⑶拽

3

【分析】(1)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半即可說明；

(2)AC的最大值為直徑，有直角三角形08C求出半徑OC的長度即可；

(3)與第(2)問類似，MN為VABC的中位線，AC最大時，可知MN最大，作VABC的外接圓，AC最大值為直

徑，因此求出VABC的外接圓的半徑即可.

【詳解】(1)/A的度數不發(fā)生變化，理由如下：

VZA^-ZBOC,ZBOC=90°,

2

/.ZA=-x90°=45°；

2

(2)當AC為。。的直徑時，AC最大，

在放ABOC中，ZBOC=90°,

根據勾股定理，得OB2+OC2=BC2,

?/OB=OC,

/.OC=—BC=—X2=42,

22

AC=2OC=2應,

即AC的最大值為2拒；

(3)如圖，畫AABC的外接圓。0,連接。2,0C,0N,

則0N_LBC,NBON=60°,BN=』BC=2,

BN246

?9?0B=sin60°63，

~2

??,”、N分別是A3、8C的中點，

???MN是△ABC的中位線，

：.MN=^AC,

；.AC為直徑時，AC最大，止匕時AC=2OB=更，

3

最大值為延，

3

故答案為：拽.

3

【點睛】本題考查了圓的相關知識，有等弧或同弧的圓周角等于圓心角的一半，有動點問題，有直角三角形求直角

邊，也有普通三角形求外接圓的半徑，熟練掌握同弧或等弧中的圓周角與圓心角的關系是解本題的關鍵.

11.(1)見解析;(2)BF=3B

【分析】(1)作AH_LCD于H,易證ADAB注△EAC,得BD=CE,由NADH=30。，得DH="AD,結合DH=HE,

2

即可得到結論；

(2)作BHLAE于H,連接BE,易得BC=BE=BD=BA,從而得A、D、E、C四點共圓，進而得△EFC是等邊三

角形，可得FH=4.5,結合/BFH=30。，即可求解.

【詳解】(1)如圖2中，作AHJ_CD于H.

圖2

,/△ABC和^ADE者B是等腰三角形，ZBAC=ZDAE=120°,

???AD=AE,AB=AC,ZDAB=ZEAC,

AADAB^AEAC(SAS),

ABD=CE,

ZADH=(180°-120°)^2=30°,

.?.在RtAADH中，DH=3AD,

2

：AD=AE,AH±DE,

；.DH=HE,

1/CD=DE+EC=2DH+BD=石AD+BD；

(2)如圖3中，作BHLAE于H,連接BE.

圖3

,四邊形ABCD是菱形，ZABC=120°,

AAABD,ZiBDC是等邊三角形，

；.BA=BD=BC,

：E、C關于BM對稱，

；.BC=BE=BD=BA,FE=FC,

:.A、D、E、C四點共圓，

AZADC=ZAEC=120°,

ZFEC=60°,

...△EFC是等邊三角形,

???EC=EF=2,

VAE=5,

AAH=HE=2.5,

???FH=4.5,

???在R3BHF中，ZBFH=30°,

工^H=Fcos30°,

BF

；.BF=4.5+且=3G

2

【點睛】本題主要考查全等三角形，等腰三角形，菱形以及圓的基本性質的綜合，掌握含120。的等腰三角形的性質，

三角形全等的判定和性質，菱形的性質以及圓周角定理，是解題的關鍵.

12.(1)|：

⑵。8=5土底

(3)當0<%)<3時，E內含于。；當8。=3時，圓。與圓E內切；當3<。3<5或5<D3W8時，E與。相

交.

【分析】(1)連接AC,由直徑所對的圓周角是直角得到NACB=90。，利用勾股定理求出AC的長，再根據正切的

定義可得答案；

(2)分E在。的左側和E在。的右側兩種情況，討論求解即可；

(3)如解析圖示中，求出圓。與圓E內切時，3D=3,再求出00,03時，3。=5,據止匕分0<班><3,3<BD<5,

5<BDW8三種情況討論求解即可.

【詳解】(1)解；如圖所示，連接AC,

是。的直徑，

ZACB=90°,

?/AB=4>/5,BC=8,

AC=y/AB2-BC2=4>

(2)解：如圖：當E在。的左側時；過。作

BH=-BC=4,

2

T^DH=X,則DO=dDH?+OH?=J%?+4

BOD與V3DE相似,

NDEB=NODB,

tanZ.DEB=tanZODB,

VOD1DE,即NEDO=90。，

,OH

備即公

DH

：.ED=H?亙

2

BODsBDE,

EDBD

0D~BO

xy/x2+4

OHOP

即

~DH~~ED2_x+4

G+i―邛

解得x=?+l（已檢驗，符合題意）

DB=5+y[5;

如圖：當石在。的右側時;

過。作于過E過EHJ.BC于H,過。作ON，AB于N,

則MB=4,OM=2,

：.ZOMD=ZODE=ZEHD=90°,

:./MOD+ZMDO=ZMDO+ZHDE,

???ZMOD=ZHDE,

,/ZNOD+ZNDO=ZNDO+ZNDE=90°,

：.ZNOD=ZNDE,

■:BQD與VBDE相似,

:.ZDOB=ZEDB=ZMOD=ZNDE,

設EH=m,則NE=EH=m,

EH

在RtzX^EH中,BH==2m,

tmZEBH

EB=-]EH2+BH2=鬲'

BN=（下叫m,

在RtABDAA中，DN=BN-tanZDBN=m,

2

BFm2

tanZNDE=——R1

DN6+]6+1，DM=DN=-~-m,

——m2

2

75+1

----m,

2

MB=MD+DH+HB=2x避土）?+=4,

2

m=

:.BD=5-小

綜上：DB=5土布;

(3)解：如圖，當圓。與圓￡內切時，則。石=