2025年中考數(shù)學總復習《圓性質綜合之求線段長度問題》專項測試卷(附

答案)

學校:姓名：班級：考號：

1.已知VA03中，ZABO=30°,AB為。的弦，直線"N與：。相切于點C.

(2)如圖2,若CG1AB,垂足為G,CG與40相交于點尸，OB=6,求線段OF的長.

2.如圖1~圖3,半圓。的直徑AB=6,弦CO在半圓。上滑動(點C,?？梢苑謩e與A,8兩點重合)，且CO=3.

⑴如圖1,求劣弧co的長;

⑵連接AC,BD,AD,BC,當AC=B￡>時，如圖2,求證：ACDNBDC；

(3)點E是CD的中點，過點C作CFLAS于點凡如圖3.

①當NDCF=120。時，求線段AF的長；

②在弦CZ)滑動的過程中，稟填寫出線段長度的最大值.

(1)如圖1,求證：AC=DC；

(2)如圖2,過點C作于點H,延長￡)2到N,若BN=BH,求證：CNJLBD；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接AN,若ANLCD,CD=2正,求線段的長.

4.如圖，VABC內接于。。，AB=AC,點。是弧AC上的動點，VADE是△ADC沿直線AD翻折得到的，C的

對應點是點于點。，交BC延長線于點連接

⑴求證：點三點共線；

⑵當N54C=30。，3C=C0=2時，求線段ME的長；

⑶求證：BM>EM.

5.己知AB為。的直徑，CD為。的弦，弦BC的長為5.

(1)如圖①，若直徑A3的長為10,求/即C的大?。?/p>

(2)如圖②，過點C作，。的切線與03的延長線相交于點E,若DBLCE,線段8E的長為3,求直徑A3的長.

6.已知：是。。的弦，點A是。上的一點：注B=Jtc，連接A。并延長交2C于點D

(1)如圖1,求證：ADLBC；

(2)如圖2,作直徑CE,過點A作AFLCE,垂足為點凡連接8E,求證：BE+EF=CF；

⑶如圖3,在(2)的條件下，點G在1。上，連接CG,DG,其中/3CG=/3CE,且NCGD=45。，若EF=5-小,

求線段DG的長.

7.已知：。的切線b交直徑所在的直線于F,。為直徑AB上一點，連接C。并延長交。于點E,

/CDF=/DCF,

⑴求證：AE=BE;

(2)過點C作CGLAB于X,交于。于點G,連接EG、DG,求證：ZDGE=90。；

⑶在⑵的條件下，HB:BF=4:5,=：時，求線段EG的長.

8.△ACF是。的內接三角形，連接OC,過點。作OHJ.AC于點H.

(1)如圖1.求證：NCOH=ZAFC；

(2)如圖2.若OC平分/ACF,求證：AC=CF；

(3)如圖3.在(2)的條件下，4尸=伍有時，連接FH，F(xiàn)H交弦LC于點N,AF交弦CN于點RR在線段0尸

上，連接⑷V、LF,若CM=4叵,LF〃AN,S.LCF=12,求線段R尸的長.

9.【定義新知】定義：有一個角是其對角一半的圓內接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角.

【初步應用】

(1)如圖1,已知四邊形是圓美四邊形，,A是美角，連接03、0D、BD.

①寫出NA的度數(shù)是,/BCD的度數(shù)是,。的度數(shù)是

②點c為8D的中點，。的半徑為5,求線段的長；

【拓展提升】

(2)如圖2,已知四邊形ABCD是圓美四邊形，是美角，連接C4,若C4平分/BCD,。的半經為6,

則3C+CD的最大值是.

10.如圖，AB是,：。的直徑，點C是，。上一點，和過點C的切線互相垂直，垂足為。，直線DC與A8的延

長線相交于P.弦CE平分4CB,交直徑于點/，連接8E.

⑴求證：AC平分NZMB；

(2)若tan/PC8=3,BE=542,求線段CD的長.

4

11.如圖，已知A8為。的直徑，CD與(。相切于點C,交A3的延長線于點。，連接AC,BC,ZD=30°,CE

平分NACB交「。于點E,過點B作B尸LCE于點尸.

(1)求證：CA=CD；

(2)若。的直徑為4,求線段8尸的長.

12.如圖，AB是，：。的直徑，點C是一。上一點，和過點C的切線互相垂直，垂足為。，直線OC與A3的延

長線相交于P.弦CE平分/AC3,交直徑于點/，連接8E.

E

(1)求證：AC平分ZZMB；

(2)求證：PC=PF；

3

⑶若tan/PCB="BE=5日求線段P尸的長.

13.在〈0中，直徑AB交弦CO于點E,連接AC、OD,且/3OD=2/BAC.

(2)如圖2,點尸在AC弧上，弦。尸交線段OE于點G,FH_LAB于點H,交。于另一點M,若NFDM=NODC,

求“百欣的度數(shù);

(3)如圖3,在(2)的條件下，點N在。W弧上，連接ON、MN、BC,若NBOD=2NDON,MN:AC=E：M,

BC=2,求線段￡似的長.

14.如圖，。的半徑OC與直徑AB垂直，點尸在OB上，CP的延長線交(。于點。，在02的延長線上取點E,

使ED=EP.

(1)求證：ED是,。的切線；

(2)當OC=6,OC=3OP時，求線段OE的長.

15.如圖，AB為。的直徑，直線CP是二。的切線，切點為點C,過A作ACCP,垂足為點。，交的延長

線于點E.

E

⑴求證：AE=AB.

(2)若AB=10,BC=6,求線段瓦＞的長.

參考答案

1.(1)ZAOB=120°；ZAC石=30。

Q)2拒

【分析】(1)根據切線性質得出MNLCE于點C,即NECN=90。，根據平行線的性質得出NADC+NEC7V=18O。，

求出NA￡>C=90。，根據垂徑定理得出AE=E3，NAOE=NBOE=gzAOB,求出ZAOE=ZBOE=60。，得出

ZAOB=120°,根據圓周角定理得出ZACE=30。；

(2)連接CO,求出NFCO=NA=30。，根據直角三角形的性質得出20歹=FC,設OF=x,則尸C=2x,根據勾

股定理得出PC=O/+OC2,即可得出=尤?+36,求出x的值即可.

圖I

為。。的切線，且CE為口0直徑,

:.MNA.CE于點C,即NECZV=90°,

AB//MN,

：.ZADC+ZECN=180°,

：.ZADC=90°,

即AB人CE于點D,

:回人立于點。，且應為<。直徑,

/.AE=EB，/AOE=/.BOE=JZ.AOB,

ZABO=30°,ZADC=90°,

ZAOE=2BOE=60P,

ZAOB=120°,

衣E=，

：.NACE=30°；

(2)解：連接CO,

圖2

由(1)可知NAOC=NOC7V=90。，且NA=30。，

VZGFA=ZOFC,ZAGF=90°,

：.ZFCO=ZA=30°,

...在Rt△尸CO中，OC=OB=6,NFCO=30°,

2OF=FC,

設紗=x,貝i」FC=2x,

/.由勾股定理FC1=OF2+OC2,

即4x2=X2+36,

解得X=負值舍去，

即線段OF的長為2VL

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，切線的性質，垂徑定理，直角三角形的性質，圓周角定理，靈活運用

相關性質定理是解答本題的關鍵.

2.(1)71

(2)見解析

(3)①3一記；②3

2

【分析】(1)求劣弧長，需先確定其所對圓心角及圓半徑，再用弧長公式計算.

(2)利用圓中弧與角的關系找全等條件，用全等判定定理證明.

(3)①通過角度關系求NOCF,在直角三角形中用三角函數(shù)求。歹，進而得川

②構造輔助線，利用三角形相關性質確定EF與其他線段關系，根據三邊關系求最大值.

【詳解】(1)連接OCOD,

OC=OD=CD=3,

.,.△OCD為等邊三角形，ZCOD=60°,

,60兀x3

.?/——7T;

CD180

⑵證明：AC=BD，

:.ZADC=ZBCD,

又■.ZCAD=ZDBC,CD=CD,

ACD=BDC(AAS)；

(3)①連接OC8

由(1)得，ZCOD=60°

當NDCF=120°時，ZOCF=ZDCF-Z.OCD=60°,

在RtACOF中，OF=OC-sinNOCF=—,

2

AF=OA-OF=3--；

2

②取OC中點連接

E是CO中點，

:.OELCD,

在，OCD中，Af為OC中點，E為CD中點，

13

ME=-OD=-,

22

因為CFLAB,M是OC中點，

13

在RtACOF中，MF=—OC=—,

22

33

在，AffiF中，根據三角形三邊關系所4ME+MF，當M、E、尸三點共線時取等號，所以跖最大值為/+]=3.

【點睛】本題主要考查圓的相關性質，包括弧長計算、圓周角與弧的關系，以及三角形的知識，如等邊三角形判定、

全等三角形判定、直角三角形邊角關系、三角形中位線定理和三邊關系等，掌握以上知識，數(shù)形結合分析是解題的

關鍵.

3.(1)證明見解析

(2)證明見解析

⑶亞

3

【分析】(1)設NCDB=a,則NACD=2a.利用直徑所對圓周角為直角得到ZAD3=90。，從而44。。=90。-°,

結合同弧所對圓周角相等得出NACD=/ABD=2a,再根據已知/010=90。-4,最后由等角對等邊證明.

(2)先根據圓內接四邊形性質得出/NBC=/DAC,結合第一問結論得到nVBC=NA3C,再利用=

BC=BC證明BNC-BHC,由/8"C=90。推出ZBNC=90°,從而證明CNJ.BD.

(3)先通過角度關系推出尸3=PN=PC,延長尸C使PC=PR構造等腰三角形，利用角度推導得出4?=以=3CR；

再在Rt“a?中，根據勾股定理求出CR,進而得到BC；最后在RtZkABC中求出A3,利用VA2C面積的兩種表示

方法求出C".

【點睛】本題考查圓內接三角形性質、圓周角定理、等腰三角形性質、勾股定理及三角形全等與相似等知識.解題

關鍵是熟練運用相關定理進行角與線段關系的推導轉化，通過構造輔助線、利用勾股定理及三角形面積公式求解.

【詳解】(1)證明：V2ZCDB=ZACD,

設NCDB=a,

貝i]NACD=2a,

AD=AD

:.ZACD=ZABD=2a.

'：AB是O的直徑,

：.=90°,

ZBAD+ZABD^90°,ZADC+ZCDB^90°,

AZADC^90°-a,NS4D=90°—2a

BC=BC

：.ZBDC=NBAC=a.

NC4D=90°—2a+a=90°—a,

ZADC^ZCAD,

：.AC=DC.

(2)證明：連接BC.

a

???ADBC為圓內接四邊形，

???ZNBC=/DAC,

由(1)得.AC=DC,

：.ZDAC=ZADC,

,:AC=ACf

：.ZABC=ZADC9

：.ZNBC=ZABC,

?；BN=BH,BC=BC,

：.ABNC^ABHC,

:?NBNC=NBHC

VCH±AB,即N3〃C=90。，

AZBNC=90°，即。.

(3)解：連接BC,交4V于點P,設CD與AN交于點”,

AB是直徑，

：.ZADB=90°,

：.ZADC-^-ZCDN=90°,

VANLCD,交CD于M

:./DMN=9伊，

：.ZMND+ZMDN=90°,

:.ZMND=AADC,

由(2)得ZNBP=ZADC,

:?/PNB=ZNBP,

：.PB=PN,

*.?ZBNC=90°,

：./PNB+/PNC=9伊,ZNBC+ZNCB=900,

:./PNC=/PCN,

:?PN=PC,

:.PB=PN=PC,

延長尸。到H使尸。=8,連接AR,

,/ZACB=90°,

ZR=ZAPR,

?；NBNP+ZNBP+ZNPB=180°,ZPNB=ZNBP=ZPBA,

???NR+NR4A+4BA=180。，

???ZRAB=ZRBA,

:?AR=BR=3CR,

在RtACH中，AC=CD=20，

AC/?2+AC2=AR2,

即CR2+(20『=(3CR『，

??.CR=1,AR=3,

：.BC=2,

在RtZkABC中，

AB=1AC2+BC2=26，

：.-ABxCH=-ACxBC,即工x2島CH」x2立x2,

2222

.__2x272_2A/6

2g3

4.(1)見解析

⑵20

(3)見解析

【分析】(1)證明NAT>E+NAZ)3=180。即可證明結論成立；

(2)求出DM=r)C=2,由VADEHMDC得至l]DC=DE=2,在RtADEM中，DE=DM=2,即可求出答案;

(3)分兩種情況畫出圖形證明CD<3。，在Rt一BDM中，即2+￡)河2=剛〃，在Rt“DM中，DE2+DM2=EM2>

即可得到結論.

【詳解】(1)證明：在VABC中，AB=AC

:.ZABC=ZACB

NACB與14汨是弧A8所對的圓周角.

.-.ZACB^ZADB

:.ZABC=ZADB.

ADE是AADC沿直線AD翻折得到的，點C的對應點是點E

：.AADE/△ADC

:.ZADE=ZADC

四邊形ABCD內接于圓0

.-.ZADC+ZABC=180°

/ADE+NADB=180°

.?.點三點共線.

(2)解：DM±BD.

NBDM=NEDM=90°

在Rt3。暇中，BC=CM=2.

：.DC=BC=CM=2

在?。中，ABAC=ZDAC=30°,ABAD=ABAC+ADAC=60°

四邊形ABC。內接于圓。

:.ZBCD+ZBAD=180°

Q/BCD+NDCM=180°,

../OCM=/JBAD=60°

DQW是等邊三角形

：.DM=DC=2,

??AADE^AADC

:.DC=DE=2,

在Rtz\DEM中，DE=DM=2

EM=2-J2

(3)過點D作。*于/點,

:.ZDFB=90°

在RtVBD尸中，DF2+BF2=BD2

在RtVCDE中，DF2+CF2^CD2

分兩種情況討論：

若。尸在CO的右側，點C在線段所上，如備用圖1,

:.CD<BD

若。/在CO的左側，如備用圖2,點C在線段8尸的延長線上

二點下在線段CG上，BG=CG=；BC

:.CF<BF,

:.CD<BD

綜上所述，CD<BD

ADE^：ADC

:.DC=DE

:.DE<BD

DMA.BD

NBDM=NEDM=90°

在Rt一BDM中，BD2+DM2=BM2

在RtAEZMf中，DE2+DM2=EM2

【點睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、全等三角形的判定和性質、圓內接四邊形的性質、等邊三角形的判定

和性質、軸對稱的性質等知識，熟練掌握相關判定和性質是關鍵.

5.(l)ZfiDC=30°

25

⑵A3,

【分析】(1)證明△08C是等邊三角形，再利用圓周角定理即可求出答案；

(2)連接OC,過點8作求出CE=4.證明四邊形3斤CE是矩形.得到fC=3E=3,BF=CE=4.在

/中，OF2+BF2=OB2,設=則OB=x—3.利用勾股定理列方程解得x=?即可求出答案.

0

【詳解】（1）解：如圖，連接OC.

1,（廣f鉆為。的直徑，鉆=10,

C

,\OB=OC=5.

BC=5,

..OB=OC=BC.

03c是等邊三角形.

:.ZBOC=60°.

ZBDC=-ZBOC

2f

:.ZBDC=30°.

（2）如圖，連接OC,過點5作BFLOC.

V\W.?.NBFC=NOFB=9U.

CE

CE為。的切線，

：.OCICE.即NOCE=90。.

DBLCE,

ZBEC=90.

在RtVBEC中，CE=ylBC2-BE2=yl52-32=4^

QNBFC=NOCE=NBEC=9伊,

???四邊形BFCE是矩形.

.\FC=BE=3,BF=CE=4.

在RtAOBF中,OF2+BF2=OB2,

設=則OF=x—3.

可得方程(x-3)2+42=/.

解得尤=§25.

o

25

AB=2x=~.

3

【點睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、切線的性質、矩形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質等知識,

熟練掌握切線的性質和勾股定理是解題的關鍵.

6.(1)見解析

(2)見解析

(3)DG=2&

【分析】(1)根據弧與弦的關系得到AB=AC,證明4。垂直平分3C即可求證；

(2)連接A3,AC,AE,在b上截取CP=BE,連接AP,證明ABE^,ACP(SAS),則AE=AP,根據等腰三角

形三角形三線合一得到EF=PF,那么3E+=CP+尸尸=CF；

(3)連接EG,過點。分別作DMLEG,DN1CG,DRLCE,垂足分別為M,N,R.由角平分線的性質及判

定得到￡＞暇=。氏=1)?/,根據角平分線得到NDEC+NBCEndS。，那么ZBDE=NDEC+NBCE=45°,貝!|

BE=BD=CD.令BE=m,則3c=2%,則在RtBCE中，由勾股定理得CE=6根，則sin/BCE=g,可得

BE+EF=CE—EF,那么根+5-君=石，〃一(5-君),解得〃z=2A/5.在RtZiCDN中，sinZ.DCN=sinZBCE=~~，

求出ZW=2,貝l]OG=2&.

【詳解】(1)證明：如圖1,連接AB,ACOB,OC,

圖1

汕=，

:.AB=AC9

???點A在5c的垂直平分線上，

?；OB=OC,

???點。在5c的垂直平分線上，

???A0垂直平分5C

ADJ,BC,BD=CD；

(2)證明：如圖2,連接ARACAE,在C/上截取CP=3￡,連接AP.

VAB=AC,ZABE=ZACP,CP=BE,

：.ABE學ACP(SAS).

:.AE=AP,

又???AF_L￡P,

:.EF=PF

：.BE+EF=CP+PF=CF；

(3)解：如圖3,連接￡G,過點。分別作DNICG,DRLCE,垂足分別為M,N,R.

圖3

?:CE為。的直徑，

：.ZB=ZCGE=90°

,:NCGD=45。,

???ZDGE=ZCGD=45°,

DM=DN

ZBCG=ZBCE=-ZECG,DNICG,DRLCE,

2

:.DN=DR,

:.DM=DR,

：.ZDEG=/DEC=-ZCEG

2

ZCEG+ZECG=90°

：./DEC+ZBCE=1(ZCEG+/BCG)=45°

???ZBDE=NDEC+NBCE=45°

ZBED=90°-45°=45°=ZBDE,

BE=BD=CD.

：.BC=2BE9令BE=m,則3C=2根

在RtBCE中,CE=JBE2+3c2=萩+(2卜『=晶,

,./REBE75

??sin/BCE=--=-----

CE5

?;BE+EF=CF,

:.BE+EF=CE-EF,

m+5-亞=島-(5-⑹,

解得7"=2出.

在Rt/\CDN中，sinZDCN=sinZBCE=—,

5

.DN_y/5

,,邛=『

：.DN=2

在RtADGN中，smADGN=—=—,

DG2

DG=2叵.

【點睛】本題考查了圓的綜合題，涉及解直角三角形，全等三角形的判定與性質，勾股定理，角平分線的性質及判

定，等腰三角形的性質等知識點，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵.

7.(1)見解析

(2)見解析

(3)EG=26

【分析】（1）先由OC=OE得N1=N2,再結合切線的性質得NOCF=90。，則即Nl+N3=90。，則NfiOE=90。,

故ZAOE=ZBOE,所以AE=BE；

(2)根據垂徑定理得CH=G〃，NCHO=90。,再結合圓周角定理得出/CO3=/CEG,再證明OE〃CG,進行

角的整理得NCEG+/EDG=90。，即可作答.

(3)先由直角三角形兩個銳角互余，以及切線的性質得NOC〃+NCOH=90o,N/CG+NCOH=90。，結合圓周角

定理得NBCG=/BCF,得出HB=BK,因為BH:HF=4:5,所以3K:昉=4:5,然后運用解直角三角形的性質得

40H44a

sinF=—,運用勾股定理表不=3。，再得出=C/7=5a,=2<?,結合sinF=萬^=.,貝什=可，即

OH=^-a,因為OD=2.5,代入得出最后運用勾股定理列式計算，即可作答.

34

【詳解】(1)解：連接OC、0E,

*/OC>0E是。的半徑，

OC=OE,

Z1=Z2

???。/是。的切線，切點為G

???NOCF=90。,

即Nl+N3=90。，

???/3=/4,N4=N5,

???N2+N5=90。，

：.ZBOE=90°,

：.NAO石=90。，

???ZAOE=/BOE,

***AE=BE：

(2)解：連接AC,A￡,。。，OE,OG

VCG1AB,

：.CH=GH,ZCHO=90°,

:,CB=BG，/COB=/GOH

：.2ZCOB=ZCOG

-CB=BC，

：.2/CAG=/COG,ZCAG=ZCEG,

：.ZCOB=ZCEG

'：ZAOE=ZGHO=90°,

：.OE//CG,

???NO￡C=NGCE（兩直線平行，內錯角相等）,

E

9：OC=OE,

:.NOEC=NOCE,

???ZGCE=ZOCE

'：CD=DG

：.ZGCE=ZCGE

：.ZEDG=ZGCE+ZCGE=ZOCH

「NCOH+NOCH=90。,

???/CEG+/EDG=90°,

：.ZDGE=9Q°；

（3）解：連接OG,OC、OE、BC,過8作3KLAF于K,

E

,/過點。作CG，AB于H,O的切線CF交直徑AB所在的直線于F,

：.ZOCH+ZCOH=90°,ZFCG+ZCOH=ZOCF=90°,

:.ZCOH=ZFCG,

???由（2）得CB=BG，

ZCOH=ZGOH

-BG=BG

：.ZGOH=2ZBCG

：.ZCOH=2ZBCG

即N5CG=4CF,

VBK±AF,NCHB=90。,

HB=BK,

?：BH:HF=4:5,

:?BK:BF=4:5,

??夕4

..sinr=—,

設CF=5a,則CH=4a,

HF=^CF2+CH2=3a^

,.?ZOCD+ZDCF=90°,ZDCG=ZOEC=NOCD,Z.DCG+ZCDF=90°

:./CDF=/DCF,

DF=CF=5a,DH=5a-3a=2a,

???ZF+Z.COF=90°=ZCOF+ZOCH,

NF=NOCH,

4

VsinF=-,_asinF=sinZOCH

在RtOCH中sin/001=黑

?4OH

則n廣記，

設OH=4r,OC=5r,

CH=^OC1-OH2=3r>

即4a=3r,

.4a

"r-T,

OH=4r=4x—〃=—a,

33

DH=2a

0D=7a

10

00=2.5=---Q

3

._3

??d—,

4

10343

：.OD=-x-=2,5OE=OC=5r=5x-x-=5

34f34f

/.DG=CD=^CH-+DH-=—,DE=^OE2-OD2

22

EG=^DE2-DG2=245-

【點睛】本題考查了解直角三角形的相關性質，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，切線的性質，角平分線的性質,

綜合性強，難度較大，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

8.(1)證明見解析

⑵證明見解析

(3)RF=M

2

【分析】(1)連接。4,先根據等腰三角形的三線合一可得/COH=：ZAOC,再根據圓周角定理可得

ZAFC=-ZAOC,由止匕即可得證；

2

(2)過點。作03,CP于點8,先根據角平分線的性質定理可得O〃=03,再證出RtCOH^RtCOB,根據全

等三角形的性質可得C"=CB,然后根據垂徑定理可得AC=2CH,CF=2CB,由此即可得證；

(3)過點A作班，AC,交Ef/延長線于點B,過點F作ED,CM于點。，過點R作鹿，CF于點E,連接AZ,MF,

先利用勾股定理的逆定理可得NACF=90。，從而可得NC4F=NCE4=45。，再證出CAL^BAN,從而得出

BF1LC,然后解直角三角形可得CN￡=利1用三角形的面積公式可得CN,FN的長，利用勾股定理可得CF的長，

FN2

最后解直角三角形可得火￡,跖的長，利用勾股定理求解即可得.

【詳解】(1)證明：如圖1,連接Q4,

'：OA=OC,OHLAC,

ZCOH=-ZAOC,

2

由圓周角定理得：ZAFC=^ZAOC,

：.ZCOH=ZAFC.

每(2)證明：如圖2,過點。作OBLCF于點8,

F

圖2

：。(7平分/4。尸，OHLAC,OB1CF,

：.OH=OB,

在RtACOH和RtACOB中,

joc=oc

[OH=OB'

ARt.COH^RtCOB(HL),

CH=CB,

又?.?O"_LAC,OB1CF,

：.AC=2CH,CF=2CB,

：.AC=CF.

(3)解：如圖3,過點A作&L,AC,交加延長線于點8,過點尸作FD,CM于點。，過點R作鹿，CF于點E,

連接尸，

B

I*

聞)

A/

圖3

由(2)已證：AC=CF,

AF=插CF,

AF-=2CF2=AC2+CF2,

???△AC廠是等腰直角三角形，且NAC尸=90。，

???川是直徑，ZCAF=ZCFA=45°,

VOH1AC,

：?AH=CH,

在LABH和△CFH中，

ZBAH=ZFCH=90°

<AH=CH,

ZAHB=/CHF

??..ABH名&CFH(ASA),

；.AB=CF,

：.AB=AC,

由圓周角定理得：ZALC=ZCFA=45°,ZCLF=ZCAF=45°,

VLF//AN,

；?ZANL=NCLF=45。,

ZLAN=180°-ZALC-ZANL=90°,ZALC=ZANL=45°f

/.ZLAN=ZBAC=90°fAN=AL9

：.^LAN+ACAN=ABAC+ACAN,BPZCAL=ZBANf

在，CM和..BAN中，

AC=AB

<ZCAL=ZBAN,

AL=AN

???_C4￡空gAN(SAS),

/.ZAA?=ZALC=45°,

???/BNL=ZANB+ZANL=90。,

：.BFVLC,

???RtLNF是等腰直角三角形，且LN=FN,

又???AH=C"=，AC,AC=CF,

2

JCH=-CF,

2

???在RtZkCFH中，tanZCFH=—

CF2

???在RtZXCTW中，CN=FN^nZCFH=-FN,

2

設OV=a(a>0),典\LN=FN=2a,

：.LC=LN+CN=3a,

?：S,=-LC-FN=-x3a-2a=12,

LCrF22

。=2或a=-2<0(不符合題意，舍去)，

CN=2,FN=4,

CF=yJCN2+FN2=2#)，

，AF=A/2CF=V2X2A/5=2>/10,

OF=-AF=y/10,

2

???點R在線段。尸上，

/.RF<OF,即

由圓周角定理得：NCWF=/G4F=45。，

RtzXDMF是等腰直角三角形，且立0=小，

設=Db=x(x>0),

,?*CM=4近,

CD=CM-DM=4逝-x，

在RtZkCD尸中，CD、DF?=CF?,即(40-尤了+尤2H，

解得x=ypl或x=3^/2，

當x=3五時，DF=3y/2>s/10>RF,這與在Rt少Rb中，DF<RF矛盾,舍去,

：?DM=DF=-Ji,C￡)=4忘-行=3夜，

DF1

...在RtAiCD尸中，tanZDCB=—=-,

CD3

VRELCF,ZCFA=45°,

ARt詆是等腰直角三角形，且RE=EF,

設7?E=EF=y(y>0),貝l|CE=CT—EP=26一y,

REy]

在Rt^C￡7?中，tanZDCF=—=-1=-

解得y=好，經檢驗，是所列分式方程的解，

2

???RE=EF=—,

2

RF=y/RE2+EF2=—.

2

【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、三角形全等的判定與性質、角平分線的性質定理、等腰直角三角形的

判定與性質、勾股定理、解直角三角形、一元二次方程的應用等知識，綜合性強，難度大的是題(3),通過作輔助

線，構造全等三角形和直角三角形是解題關鍵.

9.(1)①60°,120°,120°；②56；(2)12

【分析】(1)①根據定義和圓周角定理求角即可；②根據垂徑定理和特殊角的三角函數(shù)值進行解答即可；

(2)延長。C到點使得。=連接MB,得到CWB是等邊三角形，證明ABN—ABC,則AC=。〃，

進一步證明AC=8C+CD,當AC是直徑時，AC取最大值12,即可求出答案.

【詳解】解：(1)①：四邊形ABC。是圓美四邊形，-A是美角，

NBCD=2ZA,ZBCD+ZA=180。，

/.2ZA+ZA=180°,

解得ZA=60。，

NBCD=2ZA=120°,ZBOD=2ZA=120。

故答案為：60°,120°,120°.

②連接OC交.。于點P,

,；C為8。的中點，

AOP±BD,PD=PB^-BD

一2

??OB=DO,

：.NBOP=NDOP=-ZBOD=60°,

2

/.OP=-OB=-^

22

BP=y/OB2-OP2=—,

2

，BD=2BP=5y/3.

(2)如圖，延長。C到點M,使得CM=CB,連接MB,

■.一一

M

???四邊形ABC。是圓美四邊形，是美角,

.?./BCD=2/BAD,/BCD+/BAD=180°,

???2ZBAD+ZBAD=180°,

解得NBM>=60。，

ZBCD=120%

,.?C4平分/BCD,

???ZBCM=ZACB=ZACD=60°,

???.CMB是等邊三角形，

：?BC=BM,ZABD=ZCBM=60°f

：.ZABD^-ZDBC=ZCBM+ZDBC,

???ZABC=/DBM,

ZBAC=ZBDM

?；[/ABC=NDBM,

BC=BM

.,?，DBMgABC(AAS),

???AC=DM,

■:DM=CM+CD,

：.AC=BC+CD.

〈AC是。的一條弦，

???當AC是直徑時，AC取最大值12,

即3C+CO的最大值是12.

故答案為：12

【點睛】本題考查了新定義問題，等邊三角形的判定和性質，圓的內接四邊形的性質，三角形全等的判定和性質,

圓周角定理、垂徑定理、勾股定理等知識，熟練掌握圓的性質是解題的關鍵.

10.(1)見詳解

(2)DC=4.8

【分析】（1）先由AO=OC,得NQ4c=NOC4,結合尸C是。的切線，AD_LCD,即NC?CP=ZD=90。，證明OC〃AD,

則NG4r>=NOCA=NOAC,即可作答.

（2）連接AE,證明=根據ZA￡3=90。，求出鉆=加￡=應><80=16,證明PCBsPAC,得出黑=胃

根據得出篙=111'設%=31，則的="在RSBC中，根據勾股定理得出

IO?=（4x）2+（3x）2,解方程，得出x的值，即可得出答案.

【詳解】（1）解：連接OC,如圖所示:

?:AO=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

???尸。是。的切線，AD±CDf

：.ZOCP=ZD=90°f

：.OC//AD,

：.ACAD=ZOCA=ZOAC,

???AC平分ZD4B；

(2)解：連接AE,如圖所示：

〈AB是O的直徑,

???ZACB=90°,

???弦CE平分NAC6,

/.ZACE=ZBCE=45°,

'AE=BE'

：.AE=BE,ZEAB=Z.ECB=45°,NEBA=ZACE=45°

又丁AB是直徑,

ZAEB=90°,

???AB2=BE2+AE2=2BE2，

即AB=10,

OB=OC=-AB=5

2f

：.ZOBC=ZOCB

,//PCB+/OCB=9。。,/BAC+/CBO=90。,

:.NPCB=NPAC,

3

即tan/PCB=tanAPAC=-,

設5c=3%,則AC=4x,

在中，AB2=AC2+BC2,

???IO?=（4%）2+3）2

解得％=2,x2=-2（舍去）,

AC=4x=8,BC=6.

由（1）得N1=N2,

:.sinZ1=sinZ2,

口口DCBC

即——=——

ACAB

?℃6

??=f

810

DC=4.8.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的相關運算，切線的性質，圓周角定理，勾股定理，正確掌握相關性質內容

是解題的關鍵.

11.（1）見解析

⑵拒

【分析】（1）連接OC,利用切線的性質可得NOCD=90。，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得/COD=60。,

從而利用圓周角定理可得NA=30。，最后根據等角對等邊，即可解答;

（2）根據直徑所對的圓周角是90度可得NACB=90。，從而利用（1）的結論可得2C=：A2=2,再利用角平分線

的定義可得/BCE=g/AC3=45。，然后在Rt3cp中，利用勾股定理進行計算即可解答.

【詳解】（1）證明：連接OC,如圖：

^）與（，。相切于點C,

:.ZOCD=9Q°,

"=30。，

"00=90。-/。=60。，

:.ZA=-ACOD=30°,

2

.\ZA=ZD=30°,

CA=CD；

(2)解：AB為一。的直徑,

/.ZACB=90°,

NA=30。，。的直徑為4,

BC=-AB=2,

2

CE平分ZACB,

ZBCE=-ZACB=45°,

2

BFLCE,

:.ZBFC=90P,

.?.VBB是以歹為直角頂點的等腰直角三角形，

:.BF=CF,

在RtBCF中，BF-+CF2=2BF2=BC2=22=4,

BF=42(負值已舍).

【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質，角平分線的定義，勾股定理，根據題目

的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解答本題的關鍵.

12.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)PF=112

【分析】(1)根據切線的性質得OCJ.CD,而則可判斷AT?〃OC,根據平行線的性質得

ZCAD=ZOCA=ZOAC,即可得到AC平分1048；

(2)根據直徑所對的圓周角是直角可得出/PC6+/ACD=90。，根據余角的性質可得出NC4B=NC4D=/PCB,

然后根據角平分線的定義以及三角形外角的性質可得出NP尸C=NPCF,最后根據等角對等邊即可得證；

(3)連接AE,證明^￡=班，根據NA￡B=90。，求出AB=10,證明，尸CBspic,得出槳=警，根據

tanZPCB=tanAPAC=-,得出"=史二』，設尸5=3x,則PC=4x,在RtzXPOC中，根據勾股定理得出

4PCCA4

(3X+5)2=(4X)2+52,解方程，得出工的值，即可得出答案.

【詳解】(1)解：連接

D

OA=OCf

.\ZOAC=ZOCA.

PC是。的切線，AD±CD,

:.ZOCP=ZD=90°,

:.OC//AD.

ACAD=ZOCA=ZOAC.即AC平分NDW.

(2)證明：鉆是直徑，

:.ZACB=90°,

:.ZPCB+ZACD=90°

又二ZCW+ZACD=90°,

,\ZCAB=ZCAD=ZPCB.

又ZACE=/BCE,ZPFC=ACAB+AACE,ZPCF/PCB+/BCE.

:.ZPFC=ZPCF.

:.PC=PF.

(3)解：連接A石.

D

E

ZACE=/BCE,

AE=BE.

又iAB是直徑，

:.ZAEB=90°.

AB=y/iBE=lQ，

OB=OC=5.

NPCB=NPAC,ZP=ZP,

PCBsPAC.

3

XtanZPCB=tanZCAB=-,

4

.PB_BC_3

*PC-AC-4*

設依=3九，貝|PC=4x,

在Rt△尸OC中，(3^+5)2=(4X)2+52,

30

解得再=0,x2=y.

x>0,

【點睛】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理和相似三角形的判定與性質，勾股定理.圓的切線垂直于經過切

點的半徑.運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有

關問題.

13.⑴見解析

(2)45°

(3)7

【分析】(1)根據圓周角定理可得NBOC=244C,從而得到ZBOC=ZB。。，進而有BC=BD，再由垂徑定理即

可證明;

(2)連接OM,^ZODM=a,由NEDM=NODC,得至==a,根據垂徑定理得到A尸=人知，

從而尸C=M。，因此NMOD=2/萬DC=2(z,又NQWE>=NODM=<z,根據三角形的內角和定理即可求出=45。,

進而根據圓周角定理可得/MFD=|ZMOD=45°.

(3)如圖，將繞點。旋轉至C/，連接OC,OI,AI，CI,O/與AC交于點工設ND0N=/3,則

ZBOD=2ZDON=2J3,ZAOI=ZCOI=90°-J3,得至【J4O=CO,根據等腰三角形的性質得到A/=CJ=：AC,

從而根據中位線定理有。設。的半徑為，，則〃根據勾股定理有

得到工=省，從而求出r

CJ=―砂=%-1,IC=1If+C『=飛2戶-2r，根據MN:AC=V^:石

2CJ也

的值.通過解直角三角形得到

177

BE=Q,因此O￡=O5—35=5.證明一HMO絲EOD(AAS),得到碗=06=5，根據垂徑定理即可解答.

【詳解】(1)證明：連接OC,

,?*BC=BC

：./BOC=2/BAC,

?；NBOD=2/BAC,

：.ZBOC=ZBOD,

***BC=BD，

???50是半徑，

：.AB±CD.

(2)解：連接OM,

^ZODM=af

■:ZFDM=ZODCf

：.NFDM-ZODF=ZODC-ZODF,

即ZFDC=ZODM=a,

TAB是直徑，且

?**AF=AM，

'-*BC=BD，

FC=MD，

：.ZMOD=2ZFDC=2a,

OD=OM,

：.ZOMD=ZODM=a,

9：在/\ODM中，ZMOD+ZO