2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓綜合解答題》專項(xiàng)測試卷(附答案)

學(xué)校:姓名：班級：考號：

1.如圖，在AABC中，AABC=90°,以AB為直徑作。。交2C于點(diǎn)。.點(diǎn)E在線段4D上，DE=CD.連接BE并延

長交O。于F.

(1)求證：乙CBE=2NBAC；

(2)連接。。交BF于點(diǎn)G.若EF=2EG,CD=3,求O。的半徑.

2.如圖，在AaBC中，AB=AC,以4B為直徑作。0,分別交BC于點(diǎn)D,交2C于點(diǎn)E,過。作D//1AC于”，連接

OE并延長交B4的延長線于點(diǎn)F.

⑵連接。“交DF于G,若黑=|，OA=1,求力F的值.

3.如圖，C,D為線段48上兩點(diǎn)，且4D=10,CD=2,BC=3,過點(diǎn)。作4B的垂線，與以AC為直徑的O。交于點(diǎn)

(1)求證：BE為。。的切線;

⑵尸為。。上一點(diǎn)，弦EF與直徑4C交于點(diǎn)G,當(dāng)尸為屆中點(diǎn)時(shí)，求力G的長.

4.如圖，。。是△ABC的外接圓，2B為直徑，點(diǎn)。是△力8c的內(nèi)心，連接4。并延長交。。于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF||BC,

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交AB的延長線于點(diǎn)F.

A

FE

(1)求證：EF與。。相切；

(2)連接CE,若O。的半徑為2,sinZTlFC=求陰影部分的面積(結(jié)果用含兀的式子表示).

5.【課本再現(xiàn)】如圖1,PA,PB是。。的切線，A,B為切點(diǎn)，AC是。。的直徑.若ABAC=25。，

(1)求NP的度數(shù).

(2)【變式設(shè)問】如圖2,AC是。。的直徑，PA與。。相切于點(diǎn)4B為。。上一點(diǎn)，AC的延長線與射線PB相交于

點(diǎn)、D,若ND+2NB4C=90。，求證：PA=PB.

6.如圖，已知AB是O。的直徑，CD,CE都是O。的弦，AB1CD于點(diǎn)G,CE交4G于點(diǎn)尸，且靛)=0,連結(jié)BE,

分別交40,CD于點(diǎn)H,K.

(1)求證：BK=DK.

⑵若DK=5,DH=6,求。。的直徑.

⑶若點(diǎn)/在半徑。4上，OF=^0G,請直接寫出整的值.

2HD

7.如圖，4B是O。的直徑，BC是。。的弦，BD平分4ABC文O。于點(diǎn)D,過點(diǎn)。作DE1BC交BC的延長線于點(diǎn)E,

連接4E交BD于點(diǎn)F,已知AB=15,BE=費(fèi).

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E

D

⑴求證：DE是。。的切線;

(2)求DE的長度;

⑶求警的值.

8.如圖，AABC內(nèi)接于。0,是。。的直徑，CD是。。的切線交BA的延長線于點(diǎn)D,4E1CD于點(diǎn)E,NB4C=

6。。,。是法上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合)，連接CP并延長到點(diǎn)F,連接BP.

(1)求NBPF的度數(shù)；

⑵求證：4E平分N￡MC；

(3)若4E=1,求四邊形2BPC面積的最大值.

9.如圖1,回。是AABC的外接圓，是直徑，AB=6,延長4C到點(diǎn)G,使得NA=NCBG,半徑。D14C與AC交于

點(diǎn)E,連接BD與4C交于點(diǎn)F.

(2)若aC=B。，求BG的長度；

⑶若F是BD的中點(diǎn)，如圖2,求tanUBO.

10.如圖，四邊形48CD是平行四邊形，點(diǎn)尸是射線力B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)4重合)，連接DF,。。是尸的外

接圓.已知45=20,AD=10,點(diǎn)。到2B的距離為8.

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1一、F

備用圖2

⑴若圓心。在線段4D上，求N4FD的度數(shù)；

(2)在(1)的條件下，過點(diǎn)尸作FE交CD于點(diǎn)E,使NDEF=N4DF,求證：EF是。。的切線；

⑶若圓心。不在線段力。上，當(dāng)。。與平行四邊形4BCD的某一邊所在的直線相切時(shí)，試求線段AF的長.

11.如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于O。，AC=AD,AD>AB,ACLBD,垂足為點(diǎn)E,4尸是O。的直徑，點(diǎn)尸是心

上異于點(diǎn)/、。的一點(diǎn)，點(diǎn)0在FP的延長線上，且4Q2=FQ.PQ,4F與BD交于點(diǎn)A/,設(shè)m=罌，n=.

(1)若"4。=70°,直接寫出乙48c的度數(shù)；

⑵求證：直線4Q是。。的切線；

(3)若,a11=4,mn=~,以下三個(gè)結(jié)論：DM<BC,DM=BC,DM>BC,你認(rèn)為哪個(gè)正確？請說明理由.

tan心Z.A°C。B5

12.如圖，在A/IBC中，AB=2C,點(diǎn)P為線段4C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與/,C重合)，作點(diǎn)C關(guān)于BP的對稱點(diǎn)D,連

結(jié)BD,PD.。。是ABCP的外接圓并分別交BD,于點(diǎn)E,F,連結(jié)PE,PF.

DzAA

(1)判斷ADEP是否為等腰三角形，并說明理由.

(2)證明：AP-BD=AC-BE.

⑶連結(jié)。B,若點(diǎn)E為線段BD的三等份點(diǎn)且8c=6,tanzC=f,求tan/OBC的值.

13.已知O。的半徑為5,△ABC是其內(nèi)接三角形，48=8。=6.

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⑴如圖1,求sind；

(2)如圖2,弦DE=8,連接BD,BE分別交4C于點(diǎn)M,N.

①求證：乙ABC=2乙DBE；

②若點(diǎn)N為AM的中點(diǎn)，求BN的長.

14.如圖，在。。中，直徑BC=6,ABIBC,AD是。。的切線，點(diǎn)。為切點(diǎn).

(1)如圖1,求證：AD=AB；

⑵如圖2,線段4。交。。于點(diǎn)E,連結(jié)DE,若OEIIBC,求4E的長；

(3)如圖3,線段4C交O。于點(diǎn)F,連結(jié)DF,若DFII8C,求4尸的長.

15.△ACD是。。的內(nèi)接三角形，4B是。。的直徑，BD是弦,2乙CDB=LACD.

⑴如圖1,求證：AC=DC；

(2)如圖2,過點(diǎn)C作CH14B于點(diǎn)“，延長DB至UN,若BN=BH,求證：CN1BD；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接4N,若2N1CD,CD=2五,求線段CH的長.

16.如圖1,4B和CD是半徑為2的。。的兩條直徑，點(diǎn)P是延長線上的一點(diǎn).連接PC交。。于點(diǎn)￡(點(diǎn)E在線

段PC上，且不與點(diǎn)尸、點(diǎn)C重合).

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pA\torr

(1)當(dāng)PC=P。時(shí)，求證：CO2=CE-CP-,

(2)連接DE,交半徑04于點(diǎn)“，已知24=2.

①連接PD,如圖2,當(dāng)點(diǎn)M是△PCD的重心時(shí)，求NB0C的余弦值;

②連接BD、BE,當(dāng)ABDE為等腰三角形時(shí)，求線段PE的長.

(1)若乙4cD=a,用含有a的代數(shù)式表示乙B2C.

(2)如圖②，點(diǎn)F在弧8。上，且,連結(jié)CF交48于點(diǎn)G,求證：CF=CD.

⑶在(2)的條件下，

①若DE=4,CE=11,求力B的長；

②若器=X，用含有x的代數(shù)式表示cos/DCF.

CE

18.已知，48為。。的直徑，弦CO交48于點(diǎn)E,連接AC,0D,乙BOD=2乙BAC

cCC

DDD

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：AB1CD；

⑵如圖2,點(diǎn)F在弧4D上，連接CF,EF,延長FE交。。于點(diǎn)G,連接CG,若乙B0D=3NCFG,求證：4DCG=24CFG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點(diǎn)C作CH1FG于點(diǎn)H,若sin/DCF=乎，EH=娓,求O。的半徑.

19.如圖，△28C內(nèi)接于O。，連接/。并延長交5c于點(diǎn)D,AD=AC.

吟吟%

圖1圖2圖3

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⑴如圖1,求證：ADAC=2ABAD；

(2)如圖2,過點(diǎn)2作BF14D,交2D的延長線于點(diǎn)E,交O。于點(diǎn)巴連接CF求證：BD=CF-,

⑶如圖3,在(2)的條件下，作NABC的平分線交2。于點(diǎn)G,連接FG并延長交2B于點(diǎn)交O。于點(diǎn)P,連接2P,

若BM=22M,0G=1,求線段4P長.

20.已知：力B為。。的直徑，AB=5,點(diǎn)C在。。上.聯(lián)結(jié)OC、BC,過點(diǎn)。作。DIIBC,交。。于點(diǎn)D

(D如圖，聯(lián)結(jié)DB,當(dāng)N4BC=60。時(shí)，求證：四邊形。C8D是菱形；

(2)作DE1OB,垂足為E.

①如圖，聯(lián)結(jié)AC、DC,DC交半徑OB于點(diǎn)尸，當(dāng)NOCD=號/。48時(shí)，求線段EF的長;

②如圖，聯(lián)結(jié)AC、AD,DB,設(shè)AODE的面積為S「四邊形的面積為S?,如果S2=7S］，求線段AC的長.

參考答案

1.(1)證明：如圖，連接8D,設(shè)NB4C=a,

???48是。。的直徑，

???^ADB=90°,

???BD1CE,

???CD=DE,

???BC—BE,

??.z_BEC=Z-C,

???乙ABC=90°,

?.?Z.C=90°-^BAC=90°-a,

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???Z-BEC=90°—a,

??.Z,CBE=180°一"—乙BEC=180°-(90°-a)-(90°-a)=2a,

???乙CBE=2(BAC：

c

???由(1)可得=/.ABC=90°,

???/.ABE=乙ABC-乙CBE=90°-2a,

???Z-BAC=a,

???乙BOD=2Z-BAC—2a,

???乙DGE=Z.BGO=90°,

???ZB是。。的直徑，

???ZF=90°,

Z.F=Z-BGO,

??.OD||AF,

OBGABF,

.OG_OB_i

"AF-AB~

???OD||AF,

DGEAFE,

DG_EG

“AF-EF9

???EF=2EG,

tDG_1

??AF-2’

OG=DG,

???乙BGO=90°,

DB=OB,

???OB=OD,

DB=OB—OD,

第8頁共44頁

.??△是等邊三角形，

Z.ODB=60°,

???"BE=30°,

DE=CD=3,乙BDE=90°,

BE=2DE=6,

BD=y/BE2-DE2=V62-32=3同

...OB=3^3,

即。。的半徑為3百.

???AB=AC,

???乙C=Z.ABC,

OB=OD,

??.Z.ODB=Z-OBD,

Z.C=Z-ODB,

???ACWOD,

???DHLAC,

???DH1OD,

又???。。是半徑，

??.D”是。。的切線

(2)解：如圖，連接

???AC=AB=20A=2,OD=OA=1,

第9頁共44頁

-ACWOD,

；△EGHDGO,ABDOBCA,

HG_EH_2BD_OB_1

?,OG-OD-3,BC~AB_2f

2

??.EH=-,BC=2BD,

3

???48是直徑，

???乙AEB=90°,

???BE1AC,

???DH1AC,

???DHWBE,

CDHCBE,

.CH_CD_i

''CE~BC_29

■.CE=2CH,即點(diǎn)H是CE的中點(diǎn)，

4

??.CE=2EH=

3

42

AE=AC-CE=2--=-,

33

ACWOD,

FAEFOD,

tAF_AE

OFOD

2

.AF_3

??AF+1-1'

AF=2.

3.解:(1)連接OE,

團(tuán)4。=10,CD=2,BC=3,

團(tuán)4c=AD+CD=12,

回O。半徑OE=OZ=OC=6,

OD=OC-CD=4,

第10頁共44頁

BD=CD+BC=5.

回ED1AB,

團(tuán)NODE=BDE=90°

在RtZkODE中，

ED=y/OE2—OD2=V62—42=2V5.

在RtABDE中，

EB2=ED2+BD2=(2V5)2+52=20+25=45.

SOE=6,

0OE2=36,OB=OC+BC=9,OB2=81.

0O￡2+EB2=36+45=81=OB2,

團(tuán)在AOEB中，AOEB=90°,即。ElBE.

回。E是。。的半徑，

回BE為。。的切線.

(2)解:連接OF,

回F為蔡中點(diǎn)，4c為直徑，

回乙4OF=NFOC=90°.

SDE1AB,

0ZEDG=90°,

0ZFOG=/.EDG=90°.

國乙OGF=Z.DGE.

0AOFGDEG.

國OG_OF_6_375

DG一DE-275—5?

設(shè)。G=3瓜,則DG=5t.

SOD=OG+DG=4,BP3V5t+5t=4,

,4375-5

t—尸—.

5+3V55

AG=OA+OG=6+3v^3

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將士=亞言代入可得：

XG=15-3V5.

4.(1)證明：連接0E,交BC于點(diǎn)G,

0ZOXE=/-OEA,

回D為△力BC的內(nèi)心,

^\Z-OAE=Z.CAE,

^\Z-OEA=Z-CAE,

回。EIIAC,

^ACB=乙BGO,

MB為。。的直徑,

^ACB=90°,

團(tuán)4BG。=90°

回BC||EF

^BGO=(FEO

^FEO=90°

回。E為。。的半徑,

團(tuán)EF為。。的切線;

(2)解：回sin/AEC=

回乙4EC=30°,

^ABC=^AEC=30°,

回/BOE=60°,乙EFO=30°,

團(tuán)EF=OE-tan60°=2V3,

回S陰影部分=SA”?！猄扇形B°E=IX2x2百—一學(xué)

5.解：(1)???尸4PB是。。的切線

???OA1AP,PA=PB

第12頁共44頁

???，BAC=25°

???4ABp=Z.BAP=90°-25°=65°

???乙P=180°-2x65°=50°.

(2)根據(jù)題意，/.PAO=90°

如圖,連接OB,

D

可得4。=BO

?1?Z.OAB=/.OBA,乙DOB=2ABAC

又：ZD+24BAC=90°

???4D+乙DOB=90°

???乙DBO=90°

??.PB是O。的切線

???PA=PB.

6.解：(1)連接BD,

EL4B是。。的直徑，AB1CD

團(tuán)BC=BD

?BD=DE

cr-\

回BC=BD=DE

回NKBD=4KDB

I3BK=DK

(2)EL4B是。。的直徑,

第13頁共44頁

^ADB=90°

團(tuán)乙KHD+乙KBD=乙HDK+乙KDB=90°,

用乙KBD=乙KDB

回乙KHD=(HDK

回BK=DK=HK

WK=5,DH=6

國BH=10,BD=8

^BD=DE

回匕BAD=乙HBD

回乙4DB=乙BDH

[?]△ADB~匕BDH

^回A-B---B-D

BHHD

回AB=—XBH=-X1O=—

HD63

(3)連接FH,AE,OC,

回48是O。的直徑，AB1CD

0CG=DG

回BC=DE

回NBDG=ZFCG

0ZCGF=/-DGB

0ACGFmDGB(ASA)

回BG=FG

團(tuán)BK=HK

^\GK^BF”的中位線

MHIICD

設(shè)0F=%,則0G=2%,

第14頁共44頁

團(tuán)BG=3%,OC=OB=5%

團(tuán)CG=DG=y/21x,FC=V30^v

^BD=DE

^BAD=乙DCE

^\Z-AFE=乙CFG

回乙4NF=Z.CGF=90°

^AFN=Z.CFG

0AAFN~&CFG

*NAF

團(tuán)—=—

FGCF

S\FN=萼x3x=-V30x

V30x5

^BD=DE

團(tuán)/FAN=乙EAN

團(tuán)AN=AN,乙ANF=^ANE=90°

FAN=△EAN(ASA)

回NE=FN

^\EF=1V30x

團(tuán)NANF=乙ADB=90°

MH||CD

團(tuán)^E-H-=—EF=—4

HKFC5

「EHEH2

回--=---=—

HB2HK5

7.(1)證明：如圖，連接OD,

E

???BD平分N4BC,

Z-ABC=2Z-ABD,

???Z.AOD=2(ABD,

第15頁共44頁

???Z.AOD=Z.ABC,

???ODWBE,

DE1BC,

DELOD,

又???。。是半徑，

二DE是O。的切線；

(2)解：如圖，連接力D,

???48是。。的直徑，

???^ADB=90°,

BD平分N4BC,

?1.Z.ABD=Z.EBD,

又；4ADB=乙DEB=90°,

?■?AABDDBE,

AB_BD

,?BD-BE，

BD2=AB?BE,

vAB=15,BE=￡48,

???BD2=144,

BD=12,

-------------36

???DE=y/zBD2-BE2=y

(3)解：如圖，連接AC、。。交于點(diǎn)G,

第16頁共44頁

??,/B是。。的直徑，

???乙ACB=90°,

???Z-ACB=Z.DEB,

??.ACWDE,

OD1DE,

???OD1AC,

AG=CG,

???乙DEC=Z.GDE=乙DEC=90°,

二四邊形CEDG是矩形，

???CE=DG,DE=CG=y,

4c36

AG=—,

BC=y]AB2-AC2=y,

???點(diǎn)0、G分別為4B、AC的中點(diǎn)，

OG是△ABC的中位線，

121

.?.OG=-BC=—,

210

???OD=-AB=—,

22

27

??.DG=OD-OG=2

27

:.EC=—9

21

BC217

???^=亙=云=丁

5

8.(1)解：???四邊形ABPC是。。內(nèi)接四邊形,

^BAC+乙BPC=180°,

0ZBPF+(BPC=180°,

???Z.BPF=乙BAC=60°.

第17頁共44頁

(2)證明：如圖，連接0C.

???是。。的切線，

團(tuán)2。。。=90°,

??.Z,DCA+乙。。4=90°.

又??,在△0C4中，。。==60。,

??.△OC/是等邊三角形，

團(tuán)乙。乙4=60°.

.??/.DCA=30°,

Z.D+Z.DCA=Z-CAO=60°,

???乙D=^DCA=30°,

固4。=AC,

??.△DC4是等腰三角形.

AELCD,

ZE平分4AC.

(3)解：由(2)得在RtZkDEA中，ZD=30°,AE=1,

AD=AC=2AE=2.

???AB是直徑，

??.△ABC是直角三角形，且4c=60。.

???/,ABC=30°,

固48=2AC=4,

回8C=7AB2—AC2=2V3,

2X2遮、后

Sc0BC=—^―=273.

如圖，過點(diǎn)P作PG1CB于點(diǎn)G.

在ACBP中，P為動(dòng)點(diǎn)，BC為底邊，當(dāng)PG垂直平分BC時(shí)，PG的值最大,

^BAC+乙BPC=180°,2LBAC=60°,

⑦乙BPC=120°,

國PG垂直平分BC,

第18頁共44頁

團(tuán)CP=BP,CG=^BC=V3,

國乙BCP=30°,

團(tuán)PG=CGxtanzBCP=1,

：?S^BPC-=V3

團(tuán)S四邊形4BPC=S-BC+S^BPC=2V3+V3=3A/3.

9.(1)證明：???ZB是O。的直徑,

???Z,ACB=90°,

???乙ABC+乙CAB=90°,

???Z-A=乙CBG,

???乙ABC+乙CBG=Z-ABC+4/=90°,

即841BG,

??TB是。。的直徑，

??.BG是O。的切線；

(2)解：???OD1AC,

???AD=CD>N4E。=90°,

又；AC=BD,

AC=BD>

z~\

???AD=CB

or-xz-\

???AD=CD=BC，

:.Z.AOD=60°,

???乙BAC=30°,

???BG=^AB=2V3；

(3)解：???/8為直徑，ODLAC,

???Z.AE0=ZC=90°,

???0D\\BCf

???Z-D=Z-FBC,

DF=BF、乙DFE=乙BFC,

??.△DFE=△BFC,

???BC=DE、FC=EF,

第19頁共44頁

X---AO=OB,

..OE是A4BC的中位線，

設(shè)。E=t,貝!]BC=DE=2t,

DE=DO-OE=3—t,

?*.3—t=2t,

解得：t=1,

則DE=BC=2、AC=7AB2-BC2=V62-22=4&,

EF=-EC=-AC=42,

24

OB—OD,

???乙ABD=乙D,

貝UtanNABD=tanzO=案=&.

10.(1)解：回。。是△力DF的外接圓，且圓心。在線段4。上,

回4。是。。的直徑，點(diǎn)尸在。。上，

S^AFD=90°；

(2)證明：如圖1,連接。F,貝i]OD=OF,

圖1

在平行四邊形ABC。中，ABWCD,

0ZBFE=Z.DEF,

^\Z-DEF=Z.ADF,

^BFE=Z.ADF,

國乙OFD=Z.ADF,

^BFE=Z-OFD,

由(1)得,乙BFD=90°,

^BFE+/-DFE=90°,

^OFD+Z.DFE=90°,貝1JNOFE=90°,BPOF1EF,

團(tuán)。F是。。的半徑，

SEF是O。的切線；

(3)解：如圖2,當(dāng)。。與CD相切時(shí)，。。與CD只有一個(gè)交點(diǎn)D,即。為切點(diǎn),

第20頁共44頁

連接。。并延長。。與AB相交于點(diǎn)G,

回0G1CD,

團(tuán)4811m

回。G1XB,則DG=8,

團(tuán)在RtaADG中，AG=y/AD2-DG2=V102-82=6,

由垂徑定理得，AG=GF=6,

團(tuán)4F=12；

如圖3,當(dāng)。。與5C相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M,延長M。交Z0于點(diǎn)N,

圖3

過點(diǎn)D作DHJ.CB于點(diǎn)H,DG1AB于點(diǎn)G,連接。B,

⑦乙NMH=90°,乙DHM=90°,

團(tuán)4DIIBC,

⑦乙MND=90°,

-i

回四邊形MNDH是矩形，AN=DN=^AD=5,

團(tuán)MN=DH,

回=-BC-DH=-S,四邊形ABCD=-X20x8,

22

團(tuán)O”=16,則MN=16,

設(shè)。。的半徑為r,貝|ON=16—r,

在RtZkAN。中，AN2+ON2=AO2,BP52+(16-r)2=r2,

解得：「=符

231

SON=—

32

連接OD,貝!!04=。。,

第21頁共44頁

1

"°N=

^AFD=^AOD,

團(tuán)/AON=Z.AFD,

回乙ZN。=乙DGF=90°,

團(tuán)4ANO-△DGF,

「GFDGGF8

回一=—,n即n一=-

NOAN2315

回GF=篝

同前可得，AG=6,

231

^AF=AG+GF=6+-=-

回。。與力B有兩個(gè)交點(diǎn)4和F,與力。有兩個(gè)交點(diǎn)4和。,

0O。與48和4。所在的直線都不相切,

綜上所述，當(dāng)。。與平行四邊形4BCD的某一邊所在的直線相切時(shí)，線段4F的長為12或攀.

11.(1)解：VAC=AD,Z.CAD=70°

180°—NC40

Z.ACD=Z.ADC==55°,

2

?.?四邊形A8CD內(nèi)接于。。,

乙ABC+^ADC=180°,

???ZBC=125°；

(2)證明：如圖，連接4P,

Q

???4F是。。的直徑,

???^APF=90°,

vAQ2=FQ-PQ,

_AQ_PQ

,,—,

FQAQ

又???N2QP=/-FQA,

??.△AQPFQA,

第22頁共44頁

???^APQ=PAQ=90°,

???AFLAQ,

又???//是。。的直徑,

???直線ZQ是。。的切線;

(3)解：如圖，連接。尸,

M\

O

F???4F是。。的直徑,

???Z-ADF=90°,

??.AADC+ACDF=90°,

AC1BD,

???乙CED=90°,

A.ACD+乙CDE=90°,

???Z.ACD=/.ADC,

???Z-CDF=乙CDE,

VABAC=^BDC,4CAF=4CDF,

???Z-BAC=Z.CAF,

在△ABE和△AME中，

'ABAE=乙MAE

AE=AE，

.Z.AEB=AAEM=90°

/.△ABE三△ZME(ASA),

??.BE=ME,

在RtACED中，tanNACD=箸，

在Rt△CEB中，tan/ACB=—,

tanz.ACD

tanz.ACB

DE=4BE,

第23頁共44頁

??.DM=3BE,BD=5BE,

BM2BE2

???m=—=——=一，

BD5BE5

AD2=AE2+DE2,AB2=AE2+BE2,

???AD2-AB2=DE2-BE2=15BE?,

_AD2-AB2_15BE2_3BE

?*?Tl———,

BDBCSBEBCBC

2

mn=

23BE2

-x—=一,

5BC5

BC=3BE,

??.DM=BC.

12.(1)解：ADEP為等腰三角形；

理由：由翻折得=

???Z.C=乙DEP,

???乙DEP=乙D,

??.PD=PE,

??.△DEP為等腰三角形；

(2)證明：???Z8=AC,

???乙ABC=Z.C,

???乙C=Z-AFP,乙ABC=/-APF,

/.ABC=/.AFP,Z.APF=/-AFP,

??.FP||BC,AF=AP9

AFP-LABC,

APFP

???竺="，BF=CP,

ACBC

又CP=DP=EP,

??.BF=EP,

???BE=PF,

又???BD=BC,

tAP_BE

"AC-BD'

???AP-BD=AC-BE；

(3)解：過點(diǎn)/作A”IBC于點(diǎn)"，交PF于點(diǎn)M,連結(jié)。尸,

第24頁共44頁

VAB=AC,

.?.BH=CH=-BC=3,

2

???A”經(jīng)過圓心O,

???FP||BC,

???AM1FP,

vAF=AP,

.：FM=PM=1FP,

當(dāng)空=2時(shí)，BD=3BE,

???AP-BD=AC-BE,

：.AC=3AP,

由⑵知］=黃，

,PF_1

??BC-3’

???BC=6,

??.PF=2,

??.FM=1,

tanzC=

3

AH_5

CH~3f

即rnnA一H=5

33

AH=5,

-AAFP-LABC,AM1FP,AH1BC,

.AM_AP_1

''AH~AC~3"

AM_1

Jt.——=—,

53

AM=

3

第25頁共44頁

.-510

MnHTT=5—

33

設(shè)0”=%,

在Rt2\FM。和Rt/kB”。中，F(xiàn)M2+0M2=OF2,BH2+OH2=OB2,

OF=OB

解得X=

???tanZ.OBC=—=運(yùn)=工

345

——HJ,一「

BE2BD3

A

B^Hy

???AP-BD=AC-BE,

AP_BE_2

AC~BD_39

PF_AP_2

BC~AC_3f

BC=6,

???PF=4,

???FM=2,

求得AM=-

設(shè)。//=久，則。M=|+x,

???22+(|+x)=32+x2,

解得x=I，

第26頁共44頁

2

??.OH=

3

???tanzOBC=—=1=-；

BH39

13.(1)解：在圖①中，連接B。并延長交。。于點(diǎn)F,連接CF,

BF是直徑，

???乙BCF=90°.

由題BF=10,BC=6,

3

???sinF=-

???乙4,NF是眾所對的圓周角，

???Z-A—乙F,

3

???sinA=-

(2)①證明：連接8。并延長交。。于點(diǎn)尸，連接CF,

在RtABCF中，BF=10,BC=6,

CF='BF?—BC?=8=DE,

回CF=DE，

同理可證，AF=8,

回AF=CF，

則0=S=DE>

/.ABF=Z.CBF=Z.DBE,

即NABC=乙ABF+乙CBF=2乙DBE.

②當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)。重合時(shí)，如下圖，此時(shí)BE為直徑,

第27頁共44頁

???AC1BE于點(diǎn)N.

?2

由sinNBAD=

可得BN==￡.

當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)。不重合時(shí),

如下圖，作4GBe=4ABN,截取BG=BN,連接GC,GM.

BG=BN,乙GBC=LABN,BC=AB,

BGC=△BNA,

??.GC=AN,乙GCB=^A=乙ACB.

由①乙4BC=22DBE,

???Z-CBD+乙ABN=乙DBE,

又乙GBC=(ABN,

???乙GBM=乙NBM,

又BG=BN,BM=BM,

/.△BGM三八BNM.

??.GM=NM,

又MN=AN,AN=GC,

??.GM=GC,

???乙GCM=乙GMC.

設(shè)乙4=x,則=x,Z.GCB=Z-A=x,Z-GCM=乙GCB+Z-BCA=Z-GMC=2x.

???乙AMB=(180°-2%)=90°-%,

^ABM=90°,

第28頁共44頁

o

由(1)知，sinZ=-,

設(shè)=3%,貝！JAM=5%,AB=4x,

團(tuán)48=6,

SAM=—,

2

回點(diǎn)N為AM的中點(diǎn)，

115

BN=-AM=—.

24

綜上所述，87=￡或?.

14.(1)證明：是O。的直徑，AB1BC,

MB是。。的切線.

又財(cái)。是O。的切線，

0XS=AD.

(2)解:如圖，連結(jié)0D,

^\AB=AD,AO=AO,BO=DO,

回△ZB。=LADO,

^AOB=2LA0D.

回DEIIBC,

^DEO=乙AOB.

團(tuán)E。=DO,

團(tuán)NED。=乙DEO=/LAOD.

回4A。。=60°.

HcoszXOD=—=i,

OA2

團(tuán)4。=2D0=6,

W=Z0-0E=6-3=3.

(3)解：如圖，連結(jié)。4OD,FB,BD,

第29頁共44頁

A

團(tuán)8。=DO,且44。8=Z-AOD,

回。Z1BD.

^AOB+AOBD=90°,

團(tuán)481BC,

^BAO+Z.AOB=90°,

瓦血4。=Z.OBD.

回。F||BC,

^DFC=乙FCB=(CBD,

^BAO=乙ACB,且/AB。="BA,

^lAABOCBA,

ABCB

回---=----9

BOAB

團(tuán)45=8。=3x6=18,

^\AB=3^2,

04C=J(3V2)2+62=3V6,

EcoszXCB=-^==—.

3^63

BBC是O。的直徑，

0ZCFB=90°,

0coszXC5=—=—,

BC3

0CF=2A/6,

SAF=3V6-2V6=V6.

15.(1)證明：02ZCD5=ZXCD,

設(shè)NCDB=a,

貝UNACD=2a,

癡=AD

第30頁共44頁

^\Z-ACD=乙ABD=2a.

^\AB是。。的直徑，

^ADB=90°,

^BAD+乙ABD=90°,AADC+乙CDB=90°,

^\Z-ADC=90°-a,4BAD=90°-2a

r-\r-\

團(tuán)BC=BC

^\Z-BDC—Z-BAC=a.

^\Z-CAD—90°—2a+a=90°—CL,

^Z-ADC=Z.CAD,

團(tuán)4c=DC.

(2)證明：連接BC.

回力DBC為圓內(nèi)接四邊形，

EINNBC=A.DAC,

由(1)得.AC=DC,

S/-DAC=/-ADC,

回AC=AC，

團(tuán)N/BC=Z.ADC,

^NBC=乙ABC,

回BN=BH,BC=BC,

0ABNC=△BHC,

國乙BNC=乙BHC

^\CH1AB,SPzBHC=90°,

^BNC=90°,BPCN1BD.

(3)解：連接BC,交4V于點(diǎn)尸，設(shè)CO與4V交于點(diǎn)M,

第31頁共44頁

團(tuán)是直徑，

^ADB=90°,

^ADC+ACDN=90°,

^\AN1CD,交CD于M

國4DMN=90°,

國乙MND+乙MDN=90°,

⑦乙MND=乙ADC,

由(2)得上NBP=Z.ADC,

回乙PNB=乙NBP,

^PB=PN,

^BNC=90°,

回乙PNB+乙PNC=90°,乙NBC+乙NCB=90°,

國4PNC=乙PCN,

回PN=PC,

團(tuán)PB=PN=PC,

延長PC到R使PC=CR,連接ZR,

團(tuán)乙4cB=90°,

回NA=乙APR,

國乙BNP+乙NBP+乙NPB=180°,乙PNB=乙NBP=乙PBA,

團(tuán)ZJ?+4BAR+乙RBA=180°,

^\/-RAB=Z-RBA,

團(tuán)4R=BR=SCR,

在RtAACR中，AC=CD=2V2,

^CR2+AC2=AR2,

2

gpc/?2+(2V2)=(3CR)2,

團(tuán)CR=1,AR=3,

第32頁共44頁

團(tuán)BC=2,

在RtZkZBC中，

AB=y/AC2+BC2=2V3,

0-715xCH=-ACxBC,即工xxC”=工x2/x2,

2222

回C“=哼*.

2A/33

16.(1)解:連接OE,

Z.OEC=Z-OCE,

???PC=PO,

???Z.PCO=Z-POC,

???Z-OEC—Z-OCE—Z-POC,

???乙C=zC,

回△POC八OEC,

「OCPC

團(tuán)--=--，

CEOC

0CO2=CE-CP-,

(2)解：①過尸作PHI。。于〃,

vCD是直徑,

???乙DEC=90°,

???DE1PC,

回點(diǎn)〃是4PCD的重心,

???PE=CE,

0PD=DC=4,

SPA=2,半徑為2,

第33頁共44頁

團(tuán)P。=4,

PO=PD,,

???PH1OD

：.OH=-OD=1,

2

團(tuán)cos/BOC=cos乙POH=—=-；

PO4

BD=BE,

?*-BD=BE，

???OM1DE,

由（1）知DEIPC,不符合題意；

???乙BEA=乙DEC=90°,

ED=BE,

??ED=BE，

???OD1BD,

???Z-BEO=Z-DEO,

OE=OB,

???乙EBO=Z-BEO=Z-DEO,

???乙EOP=乙DEB=2乙DEO,

???/-PEA+乙AED=乙BED+Z.AED=90°,

???Z.PEA=乙BED,

第34頁共44頁

Z.EOP=Z.DEB,

???zP=zP,

[HAPEAs'POE,

「

團(tuán)-E-P=-A-P，

OPPE

???PE2=AP-OP,

■■PE2=2x4=8,

PE=2V2,

當(dāng)DE=DB時(shí)，連接E4設(shè)CD與BE交于G,

r-\r-\

???ED=DB，

???CD1BE,BG=EG,

???IB是直徑,

???乙AEB=90°,

???AE1BE,

回￡2||CO,

PE_PA

??CE-AOf

PA=AO,

??.PE=EC,

???AE是△POC的中位線，

i

EA=-CO=1,

2

???OA=OB,BG=EG,

???OG是△BAE的中位線，

i1

.?.OG=-AE=-,

22

一13

CG=2—=一，

22

回BE=>JAB2-EA2=V15,

第35頁共44頁

EG=-BE=—,

22

0PE=EC=y/CG2+EG2=[(if+(手j=76,

綜上所述，線段PE的長傷或2&.

17.(1)解：如圖①，連結(jié)。。，0C,

Z.AOD=2a,

ED=EO,

???Z.D=Z.EOD=2a,

???OD=OC,

Z_DCO=Z-D—2af

???乙CEO=Z.EOD+乙EDO=2a+2a=4a,

???Z-BAC—乙CEO—Z.ACD=4a—a=3a.

(2)證明：如圖，連結(jié)C。，延長C。交DF于T,

由(1)可知，^AEC=180°-4a,乙DCO=2a,

/.CDF=-^AEC,

2

/.Z.CDF=90°-2a,

???乙CDF+Z.DCO=90°,

???CTIDF,

??.DT=TF,

??.CD=CF.

(3)解：①回DE=4,CE=11,

團(tuán)OC=DE+CE=15,

第36頁共44頁

連結(jié)。。，(DOE=^DCO,

DOEDCO,

「0。DE

團(tuán)--=--，

CD0D

???0D2=DE-DC=60,即。。=2V15,

AB=20D=4V15.

②由(2)可得，C71DF,DT=FT,

回NDCT=AFCT=/.EDO=乙EOD=2a,即CT是角平分線,

0z￡)CG=Z.DCT+Z.FCT=2a+2a=4a,S.Z.CE0=4a,

^\Z-ECG=Z-CEG,

CG=EG,

已知—

設(shè)CE=a,則OE=DE—xaf

設(shè)CG=k,由面積法可求得。G=xk,貝!JEG=CG=EO+OG=DE+OG=xa+xk=k,

r工@

在等腰△CEG中，cos乙DCF==-ia~="--

CG-1---x2x

18.(1)證明：連接。C,

Z.BOC=2乙BAC,

Z-BOD=2Z-BAC,

??.z.BOD=乙BOC,

???OD=OC,

??.OE工CD,

???ABLCD；

(2)證明：連接OC,OG,設(shè)48。。=6a,

則由(1)可知NBOC=2乙BOD=6a,

???Z-BAC=-Z-BOC—3a,

2

???乙BOD=3/C尸G,

第37頁共44頁

???乙CFG=一乙BOD=-6a=2a,

???GC=GC,

???乙COG=2/-GFC=4a,

(COD=Z.DOB+Z-BOC=12af

???乙GOD=乙DOC—Z.GOC—8a,

i

???Z-GCD--Z-GOD=4a

2f

Z.DCG=2乙CFG；

(3)解：如下圖所示，過。作DK1FG于K,

???乙DKE=90°,

???CH1FG,

???乙CHE=90°,

???乙DKE=乙CHE,

vZ.CEH=^DEK,OB1CD^E,

CE=DE,

億DKE=乙CHE

在^DEK中,%DEK=MEH,

、DE=CE

??.△CEH=△DEK,

??.CH=DK,EH=EK,

連接DF,在FH上取點(diǎn)Q,使HQ=KF,

???乙CHQ=乙DKF=90°,

CH=DK

在Rt2kC”Q和Rt^DKF中，ZCHQ=Z.DKF,

HQ