2025年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1.已知一次函數(shù)丫=辰+〃(左*0)的圖象與二次函數(shù)y=g(x+2)2-2的圖象相交于點(diǎn)4(1,機(jī))，8(—2,〃).

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在圖中畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖象；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式丘+6＜：(尤+2)2-2的解集；

(3)當(dāng)-3VxVl時(shí)，拋物線y=g(x+2)2-2與直線＞=〃只有一個(gè)交點(diǎn)，求”的取值范圍；

(4)把二次函數(shù)y=g(x+2)2-2的圖象左右平移得到拋物線G：y=^(x-m)2-2,直接寫出當(dāng)拋物線G與

線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)機(jī)的取值范圍.

1

2.如圖1,一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度為無=1.2米.建立如圖2所示的平面直角

坐標(biāo)系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形

DEFG,其水平寬度DE=2米，豎直高度EF=0.7米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上

邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米，灌溉車到綠化帶的距離OD為4米.

(1)求上邊緣拋物線噴出水的最大射程OC；

(2)求下邊緣拋物線與X軸交點(diǎn)B的坐標(biāo);

(3)若N=3.2米，灌溉車行駛時(shí)噴出的水(填“能”或“不能”)澆灌到整個(gè)綠化帶.

2

3.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

如圖1是某足球場的一部分，球門

寬DE=CF=7m,另］

CD=EF=2.5m.小梅站在A處

向門柱8一側(cè)發(fā)球，點(diǎn)A正對(duì)門

柱CD(即ACZCF),AC=24m,叁二二二…24PL

球射向球門的路線呈拋物線，且一圖1

素

直在正上方.

材AC

1

此次射門的側(cè)面示意圖如圖2所

示，當(dāng)足球飛行的水平距離

AB=15m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)°,Q

此時(shí)球離地面4.5m.以點(diǎn)A為原廠二

ABx

點(diǎn)，直線班為X軸，建立平面直

角坐標(biāo)系.

如圖3,距離球門正前方6nl處放置

素

一塊矩形攔網(wǎng)攔網(wǎng)面垂

材

直于地面，旦GH〃CF(GH足夠

2

長)，攔網(wǎng)高砂=4m.

圖3

任

務(wù)求足球運(yùn)動(dòng)的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式.

1

任未放置攔網(wǎng)時(shí)，判斷此次射門球能否進(jìn)入球門.若能進(jìn)入，計(jì)算出足球經(jīng)過c點(diǎn)正

務(wù)上方時(shí)的高度；若不能進(jìn)入，小梅不改變發(fā)球的方向，且射門路線的形狀和最大高

2度保持不變，他應(yīng)該帶球向正后方至少移動(dòng)多少米射門，才能讓足球進(jìn)入球門.

任

放置攔網(wǎng)后，小梅站在A處，射門路線的形狀和最大高度保持不變，只改變發(fā)球方

務(wù)

向，使射向球門的路線在AF正上方，判斷足球能否越過攔網(wǎng)，在點(diǎn)E處進(jìn)入球門.

3

注：上述任務(wù)中足球落在門柱邊線視作足球進(jìn)入球門.

3

4.為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的

直尺和豎直放置的直尺為尤，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇不同位置測量數(shù)據(jù)如下表

所示，設(shè)8。的讀數(shù)為x,CD讀數(shù)為》拋物線的頂點(diǎn)為C.

(1)(I)列表:

?②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

(II)描點(diǎn)：請(qǐng)將表格中的(x,y)描在圖2中；

(III)連線：請(qǐng)用平滑的曲線在圖2將上述點(diǎn)連接，并求出y與尤的關(guān)系式；

(2)如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a(x-//『+上的頂點(diǎn)為C,該數(shù)學(xué)興趣小組用水平和豎

直直尺測量其水平跨度為AB,豎直跨度為CD,且=CD=n,為了求出該拋物線的開口大小，該數(shù)

學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請(qǐng)選擇其中一種方案，并完善過程：

方案一：將二次函數(shù)y=平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)。重合，此時(shí)拋物線解析式為＞=雙上

①此時(shí)點(diǎn)B1的坐標(biāo)為；

②將點(diǎn)9坐標(biāo)代入y=a/中，解得。=；(用含/“，”的式子表示)

方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為仇乃

①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

②將點(diǎn)2坐標(biāo)代入y=a(x-/z)2+%中解得。=；(用含相，”的式子表示)

(3)【應(yīng)用】如圖4,已知平面直角坐標(biāo)系X0V中有A,B兩點(diǎn)，AB=4,且AB〃x軸，二次函數(shù)

C；:%=2(X+/I)2+1和Cz：y2=a(x+婚+］都經(jīng)過A，B兩點(diǎn),且C和Q的頂點(diǎn)尸,。距線段AB的距離之

和為10,求。的值.

4

5.蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜.一般蔬

菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個(gè)溫室空間.如

圖，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形A5CD和拋物線AED構(gòu)成，其中48=3111,BC=4m,取中

點(diǎn)。，過點(diǎn)。作線段8c的垂直平分線OE交拋物線AED于點(diǎn)E,若以。點(diǎn)為原點(diǎn)，8C所在直線為x軸，

OE為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.

請(qǐng)回答下列問題：

(1)如圖，拋物線AED的頂點(diǎn)石(0,4),求拋物線的解析式；

(2)如圖，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個(gè)正方形孔的排氣裝置乙FGT,SMNR,若

FL=NR=075m,求兩個(gè)正方形裝置的間距GM的長；

(3)如圖，在某一時(shí)刻，太陽光線透過A點(diǎn)恰好照射到C點(diǎn)，此時(shí)大棚截面的陰影為8K,求BK的長.

5

6.1項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】

項(xiàng)目主題：安全用電，防患未然.

項(xiàng)目背景：近年來，隨著電動(dòng)自行車保有量不斷增多，火災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)持續(xù)上升，據(jù)悉，約80%的火災(zāi)都在充電

時(shí)發(fā)生，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)創(chuàng)新小組，開展以“安全用電，防患未然”為主題的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，對(duì)電動(dòng)自行車充

電車棚的消防設(shè)備進(jìn)行研究.

(1)圖1懸掛的是8公斤干粉滅火器，圖2為其噴射截面示意圖,在VAOB中，OA=08,噴射角ZAOB=60°,

地面有效保護(hù)直徑42為26米，噴嘴。距離地面的高度OC為米；

任務(wù)二：模型構(gòu)建

由于干粉滅火器只能撲滅明火，并不能撲滅電池內(nèi)部的燃燒，在火災(zāi)發(fā)生時(shí)需要大量的水持續(xù)給電池降溫,

才能保證電池內(nèi)部自燃熄滅，不會(huì)復(fù)燃.學(xué)?？紤]給新建的電動(dòng)自行車充電車棚安裝消防噴淋頭.

(2)如圖3,噴淋頭噴灑的水柱最外層的形狀為拋物線.已知學(xué)校的停車棚左側(cè)靠墻建造，其截面示意圖

為矩形。4BC,創(chuàng)新小組以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，墻面Q4所在直線為y軸，建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)

系.他們查閱資料后，提議消防噴淋頭M安裝在離地高度為3米，距離墻面水平距離為2米處，即。4=3

米，AM=2米，水噴射到墻面。處，且0r>=1米.

①求該水柱外層所在拋物線的函數(shù)解析式；

②按照此安裝方式，噴淋頭M的地面有效保護(hù)直徑OE為米；

任務(wù)三：問題解決

(3)已知充電車棚寬度OC為7米，電動(dòng)車電池的離地高度為02米，創(chuàng)新小組想在噴淋頭M的同一水平

線AB上加裝一個(gè)噴淋頭N,使消防噴淋頭噴灑的水柱可以覆蓋所有電動(dòng)車電池，噴淋頭N距離噴淋頭M

至少米.

6

7.【項(xiàng)目化學(xué)習(xí)】

項(xiàng)目主題：從函數(shù)角度重新認(rèn)識(shí)“阻力對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響”.

項(xiàng)目內(nèi)容：數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)一個(gè)靜止的小球從斜坡滾下后，在水平木板上運(yùn)動(dòng)的速度、距離與時(shí)間的關(guān)系

進(jìn)行了深入探究，興趣小組先設(shè)計(jì)方案，再進(jìn)行測量，然后根據(jù)所測量的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并進(jìn)一步應(yīng)用.

實(shí)驗(yàn)過程：如圖Q）所示，一個(gè)黑球從斜坡頂端由靜止?jié)L下沿水平木板直線運(yùn)動(dòng)，從黑球運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A處

開始，用頻閃照相機(jī)、測速儀測量并記錄黑球在木板上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間近單位：s）、運(yùn)動(dòng)速度v（單位：cm/s）、

滑行距離y（單位：cm）的數(shù)據(jù).

0

任務(wù)一：數(shù)據(jù)收集

記錄的數(shù)據(jù)如下:

運(yùn)動(dòng)時(shí)間x/t0246810L

運(yùn)動(dòng)速度v/（cm/s）1098765L

滑行距離y/cm01936516475L

根據(jù)表格中的數(shù)值分別在圖⑹、圖（c）中作出V與尤的函數(shù)圖象、y與龍的函數(shù)圖象:

（1）請(qǐng)?jiān)趫D（6）中畫出v與龍的函數(shù)圖象:

任務(wù)二：觀察分析

（2）數(shù)學(xué)興趣小組通過觀察所作的函數(shù)圖象，并結(jié)合已學(xué)習(xí)過的函數(shù)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)圖（6）中v與x的函數(shù)

關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系，圖（c）中y與x的函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)關(guān)系.請(qǐng)你結(jié)合表格數(shù)據(jù)，分別求出v與尤

7

的函數(shù)關(guān)系式和y與x的函數(shù)關(guān)系式：(不要求寫出自變量的取值范圍)

任務(wù)三：問題解決

(3)當(dāng)黑球在水平木板停下來時(shí)，求此時(shí)黑球的滑行距離：

(4)若黑球到達(dá)木板點(diǎn)A處的同時(shí)，在點(diǎn)A的前方“cm處有一輛電動(dòng)小車，以2cm/s的速度勻速向右直

線運(yùn)動(dòng)，若黑球不能撞上小車，則”的取值范圍應(yīng)為.

8

8.1項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】

項(xiàng)目主題：設(shè)計(jì)落地窗的遮陽篷

項(xiàng)目背景：小明家的窗戶朝南，窗戶的高度4?=2m,為了遮擋太陽光，小明做了以下遮陽蓬

的設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)根據(jù)不同設(shè)計(jì)方案完成以下任務(wù).

方案1：直角形遮陽篷

如圖1,小明設(shè)計(jì)的第一個(gè)方案為直角形遮陽篷點(diǎn)C在AB的延長線上8,AC

（2）小明發(fā)現(xiàn)上述方案不能很好發(fā)揮遮陽作用，如圖2,他觀察到此地一年中的正午時(shí)刻，太陽光與地平面

的最小夾角為。，最大夾角為夕.小明查閱資料，計(jì)算出tana=g,tan〃=g,為了讓遮陽篷既能最大限度

地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)（太陽光與8。平行），又能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光（太陽光與平

方案2：拋物線形遮陽篷

（3）如圖3,為了美觀及實(shí)用性，小明在（2）的基礎(chǔ)上將CD邊改為拋物線形可伸縮的遮陽篷，點(diǎn)尸為拋物線

的頂點(diǎn)，。尸段可伸縮），且NCFD=90。，BC,CD的長保持不變.若以C為原點(diǎn)，CD方向?yàn)閤軸，BC

方向?yàn)?gt;軸.

①求該二次函數(shù)的表達(dá)式.

②若某時(shí)刻太陽光與水平地面夾角夕的正切值tan6=4使陽光最大限度地射入室內(nèi)，求遮陽蓬點(diǎn)。上升的

高度最小值（即點(diǎn)）到CD的距離）

9

圖3

9.【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】

項(xiàng)目主題：合理設(shè)計(jì)智慧泉源

項(xiàng)目背景：為加強(qiáng)校園文化建設(shè)，學(xué)校計(jì)劃在原有的噴泉池內(nèi)增設(shè)一塊矩形區(qū)域，安裝發(fā)光地磚燈，

用于展示校園文化標(biāo)語，要求該矩形區(qū)域被噴泉噴出水柱完全覆蓋，因此需要對(duì)原有噴泉的噴頭豎直高度

進(jìn)行合理調(diào)整.圍繞這個(gè)問題，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組開展了“合理設(shè)計(jì)智慧泉源”為主題的項(xiàng)目式學(xué)習(xí).

任務(wù)一測量建模

(1)如圖1,在水平地面上的噴泉池中心有一個(gè)可以豎直升降的噴頭，它向四周噴出的水柱為拋物線.經(jīng)

過測量，水柱的落點(diǎn)均在水平地面半徑為2米的圓上，在距池中心水平距離0.75米處，水柱達(dá)到最高，高

度為L25米.學(xué)習(xí)小組根據(jù)噴泉的實(shí)景進(jìn)行抽象，以池中心為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸建

立平面直角坐標(biāo)系，畫出如圖2所示的函數(shù)圖象，求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式(不

需寫自變量的取值范圍)；

任務(wù)二推理分析

(2)學(xué)習(xí)小組通過進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)：當(dāng)噴頭豎直高度調(diào)整時(shí)，噴頭噴出的水柱拋物線形狀不發(fā)生改變，

當(dāng)噴頭豎直高度增加九米，水柱落點(diǎn)形成的圓半徑相應(yīng)增加d米，%與d之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，求出〃

與d之間的數(shù)量關(guān)系式；

任務(wù)三設(shè)計(jì)方案

(3)現(xiàn)計(jì)劃在原有噴水池內(nèi)增設(shè)一塊矩形區(qū)域A8CD,AB=L4米，3。=0.4米，增設(shè)后的俯視圖如圖3

所示，AB與原水柱落點(diǎn)形成的圓相切，切點(diǎn)為A8的中點(diǎn)P.若要求增設(shè)的矩形區(qū)域A3CO被噴泉噴出水

柱完全覆蓋，則噴頭豎直高度至少應(yīng)該增加米.

10

10.【定義】

例如，如圖1,過點(diǎn)A作交乙于點(diǎn)8,線段AB的長度稱為點(diǎn)A到乙的垂直距離，過A作AC平行

于V軸交A于點(diǎn)C,AC的長就是點(diǎn)A到4的豎直距離.

【探索】

當(dāng)4與X軸平行時(shí)，AB=AC,

當(dāng)6與x軸不平行，且直線確定的時(shí)候，點(diǎn)到直線的垂直距離A3與點(diǎn)到直線的豎直距離AC存在一定的數(shù)

量關(guān)系，當(dāng)直線A為丫=］尤+1時(shí)，AB=AC.

【應(yīng)用】

如圖2所示，公園有一斜坡草坪，其傾斜角為30。，該斜坡上有一棵小樹(垂直于水平面)，樹高2m,現(xiàn)

給該草坪灑水，已知小樹的底端點(diǎn)A與噴水口點(diǎn)。的距O4=2m,建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，在

噴水過程中，水運(yùn)行的路線是拋物線Y=-尤2+反，且恰好經(jīng)過小樹的頂端點(diǎn)8,最遠(yuǎn)處落在草坪的C處，

(1)b=.

(2)如圖3,現(xiàn)決定在山上種另一棵樹跖V(垂直于水平面)，樹的最高點(diǎn)不能超過噴水路線，為了加固

樹，沿斜坡垂直的方向加一根支架尸N,求出尸N的最大值.

【拓展】

(3)如圖4,原有斜坡不變，通過改造噴水槍，使得噴出的水的路徑近似可以看成圓弧，此時(shí)，圓弧與y

軸相切于點(diǎn)。，若此時(shí)OC=4石m,如圖，種植一棵樹(垂直于水平面)，為了保證灌溉，請(qǐng)求出

最高應(yīng)為多少？

II

11.如圖（1）是某餐館外的伸縮遮陽棚，其輪廓全部展開后可近似看成一個(gè);圓，即弧AOC，已知。4和

遮陽棚桿子OD在同一條直線上，且與地面垂直，當(dāng)上午某一時(shí)刻太陽光從東邊照射，光線與地面呈45。角

圖3

（1）求遮陽棚半徑的長度.

（2）如圖（2）當(dāng)下午某一時(shí)刻太陽光從西邊照射，光線與地面呈60。角，在遮陽棚外，距離遮陽棚外檐C點(diǎn)

正下方E點(diǎn)（公-1）的尸點(diǎn)處有一株高為L2m的植物，請(qǐng)問植物頂端能否會(huì)被陽光照射？請(qǐng)說明理

（3）如圖（3）為擴(kuò)大遮陽面積，餐館更換了遮陽棚，新遮陽棚輪廓可近似看成拋物線的一部分，已知新遮

1noo

陽棚上最高點(diǎn)仍為A點(diǎn)，且外檐點(diǎn)。到AD的距離為?m、到。H的距離為||m.現(xiàn)需過遮陽棚上一點(diǎn)

尸為其搭設(shè)架子，架子由線段GP、線段兩部分組成，其中GP1ADJH與地面垂直，若要保證從遮陽

棚上的任意一點(diǎn)尸（不含A點(diǎn)）都能按照上述要求搭設(shè)架子，則至少需要準(zhǔn)備m的鋼材搭設(shè)架子.

12

12.如圖(1)是一個(gè)高腳杯的截面圖，杯體C尸。呈拋物線形(杯體厚度不計(jì))，點(diǎn)尸是拋物線的頂點(diǎn)，

杯底AB=2Gcm,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，且。P_LAfi,OP=CD=6cm,杯子的高度(即8,AB之間的距

離)為15cm.以0為原點(diǎn)，所在直線為X軸，OP所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系(1個(gè)單位長度

表示1cm).

(1)求杯體C尸D所在拋物線的解析式；

(2)將杯子向右平移2cm,并倒?jié)M飲料，杯體CPD與y軸交于點(diǎn)E,如圖(2),過。點(diǎn)放一根吸管，吸管

底部碰觸到杯壁后不再移動(dòng)，喝過一次飲料后，發(fā)現(xiàn)剩余飲料的液面低于點(diǎn)E,設(shè)吸管所在直線的解析式

^jy=kx+b,求上的取值范圍；

(3)將放在水平桌面上的裝有飲料的高腳杯繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，液面恰好到達(dá)點(diǎn)。處(。?！?),如圖

(3)

①請(qǐng)你以AB的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，。戶所在直線為V軸建立平面直角坐標(biāo)系，并求出。。

與'軸的交點(diǎn)坐標(biāo);

②請(qǐng)直接寫出此時(shí)杯子內(nèi)液體的最大深度.

13

13.【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】

項(xiàng)目主題：如何擬定運(yùn)動(dòng)員拍照記錄的方案?

項(xiàng)目背景:

任務(wù)一：確定滑道的形狀

(1)圖1是單板滑雪運(yùn)動(dòng)員從大跳臺(tái)滑雪場地滑出的場景，圖2是跳臺(tái)滑雪場地的橫截面示意圖.AC垂

直于水平底面8C,點(diǎn)。到A之間的滑道呈拋物線型，已知HC=3m,BC=4m,且點(diǎn)8處于跳臺(tái)滑道的

最低處，在圖2中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求滑道所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

任務(wù)二：確定運(yùn)動(dòng)員達(dá)到最高點(diǎn)的位置

(2)如圖3,某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)A滑出后的路徑滿足以下條件：

①運(yùn)動(dòng)員滑出路徑與。、A之間的拋物線形注根回，

②該運(yùn)動(dòng)員在底面BC上方豎直距離9.75m處達(dá)到最高點(diǎn)P

③落點(diǎn)Q在底面BC下方豎直距離2.25m.

在同一平面直角坐標(biāo)系中，求運(yùn)動(dòng)員到達(dá)最高處時(shí)與點(diǎn)A的水平距離.

任務(wù)三：確定拍攝俯角a

(3)高速攝像機(jī)能高度還原運(yùn)動(dòng)員的精彩瞬間，如圖4,有一臺(tái)攝像機(jī)"進(jìn)行跟蹤拍攝：

①它與點(diǎn)B位于同一高度，且與點(diǎn)B距離25.5m；

②運(yùn)動(dòng)過程需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能記錄，記攝像頭的俯角為a;

③在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)射線的解析式為》=配+以左/0),其比例系數(shù)4和俯角a的函數(shù)關(guān)系如圖

5所示.

若要求運(yùn)動(dòng)員的落點(diǎn)。必須在攝像機(jī)M的視角范圍內(nèi)，則俯角a至少多少度(精確到個(gè)位)？

14

14.在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達(dá)式一利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)一運(yùn)用函

數(shù)解決問題”的學(xué)習(xí)過程.在畫函數(shù)圖象時(shí)，我們通過描點(diǎn)或平移的方法畫出了所學(xué)的函數(shù)圖象.同時(shí)，

>0)

我們也學(xué)習(xí)了絕對(duì)值的意義時(shí)=，

<0),

結(jié)合上面經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程，現(xiàn)在來解決下面的問題：

在函數(shù)y=|H-3|+b中，當(dāng)x=2時(shí)，>=一4；當(dāng)x=o時(shí)，y=-1.

⑴求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在給出的平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)用你喜歡的方法畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出這個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì)；

I1

⑶已知函數(shù)>=3-3的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式I依-3|+64：》-3的解

集.

(4)若方程,一6耳-。=0有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

15

15.【建立模型】

(1)在數(shù)學(xué)課上，老師出示這樣一個(gè)問題：如圖1,在RtZXABC中，XACB=90°,AC=BC,直線/經(jīng)過

點(diǎn)C,AD±l,BE±l,垂足分別為點(diǎn)。和點(diǎn)E,興趣小組很快發(fā)現(xiàn)：△ADC四△CEB(此處不需證明).

【類比遷移】

(2)勤奮小組在這個(gè)模型的基礎(chǔ)上，繼續(xù)進(jìn)行探究問題，如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x+3

的圖象與'軸交于點(diǎn)A,與X軸交于點(diǎn)C,將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CB,反比例函數(shù)y=±

X

(3)創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，請(qǐng)你結(jié)合拋物線的圖象繼續(xù)深入探究下面的問題并給出解答：

綜合與探究：如圖3,拋物線>=以2+版+3與無軸交于48兩點(diǎn)，4(-1,0),與'軸交于點(diǎn)C,其對(duì)稱軸

(直線/)為x=l交x軸于點(diǎn)。.

圖3圖4

①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

②點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，連接PC,PD,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為加，求△PCD的面積

的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

③如圖4,在②的條件下，連接CP,在拋物線是否存在點(diǎn)E,使得NPCE=45。？若存在，請(qǐng)直接寫出所

有點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

16

2025年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1.已知一次函數(shù)y=卮+以發(fā)工0)的圖象與二次函數(shù)y=g(x+2)2-2的圖象相交于點(diǎn).

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在圖中畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖象;

(2)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式丘+人<g(x+2)2-2的解集；

(3)當(dāng)-3VxVl時(shí)，拋物線y=g(尤+2)2-2與直線>=〃只有一個(gè)交點(diǎn)，求〃的取值范圍；

(4)把二次函數(shù)y=g(x+2)2-2的圖象左右平移得到拋物線G：y=g(尤-加1-2,直接寫出當(dāng)拋物線G與

線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)機(jī)的取值范圍.

3

【答案】(1)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=1x+i,圖象見解析

(2)%<-2或x>l

35、

(3)-—〈〃45或〃=—2

(4)-弓Mm<—2或-2<加V4

【分析】(1)將48點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)中求加，〃的值，進(jìn)而可得48點(diǎn)坐標(biāo)，然后將48點(diǎn)坐標(biāo)代

入一次函數(shù)解析式中求后6的值，進(jìn)而可得一次函數(shù)解析式，最后描點(diǎn)連線即可；

(2)根據(jù)不等式的解集是一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象下方所對(duì)應(yīng)的X的取值范圍求解即可；

(3)求》=-3時(shí)的二次函數(shù)的函數(shù)值為、=-13，然后結(jié)合圖象，可知在頂點(diǎn)以及3上方，y=5下

方時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，確定取值范圍即可；

(4)分①當(dāng),=：(無一加)2-2過點(diǎn)A時(shí)，②當(dāng)y=g(尤_根)2—2過點(diǎn)8時(shí)，③當(dāng)y=g(x_m)2_2與直線AB

只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，三種情況求解加的值，然后結(jié)合圖象確定取值范圍即可.

17

【詳解】⑴解：將A（l,機(jī)）,石（-2,〃），代入y=5（x+2）2—2得,

5

,,m=—

，解得j2,

n=-2

3（-2,—2）,

一次函數(shù)y=區(qū)+》（左二。）的圖象過A點(diǎn)和8點(diǎn),

k+b=-

：.<2,

-2k+b=-2

Ui

解得2,

b=l

3

...一次函數(shù)的表達(dá)式為>=|x+l,

描點(diǎn)作圖如下:

（2）解：由（1）中的圖象可知，不等式區(qū)+6<g（x+2）2-2的解集為：X<—2或x>l;

13

（3）解：把x=—3代入y=5（x+2）?_2得、=_萬，

A（1'3，、（—2,-2）,

135

由圖象可知，當(dāng)-時(shí)，直線y=5（x+2）2—2與直線產(chǎn)〃只有一個(gè)交點(diǎn)，則〃的取值范圍是-萬〈〃<5

或九=一2;

（4）解：由題意知，分三種情況求解：

①當(dāng)y=g（%-帆）2-2過點(diǎn)A時(shí)，即g（l-帆）2—2=g,

18

解得帆=4或帆=-2,

當(dāng)帆=-2時(shí)，拋物線與原二次函數(shù)重合，與線段有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,故舍去，

m=4；

②當(dāng)y=—(x—m)2—2過點(diǎn)6時(shí)，即—(―2—m)2—2=-2,

解得外=M2=-2(舍去)；

③當(dāng)y=g(x-加>-2與直線AB只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

13

y=—(x—m)2—2=—x+1,

整理得：x2-(2m+3)+m2-6=0,

貝|JA=[—(2根+3正一4(/一6)=4/+12m+9-4m2+24=12m+33=0,

解得：m=~,

4

綜上,m=——-^c-2<m<4.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)綜合等知識(shí).解

題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合.

2.如圖1,一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口舊離地豎直高度為〃=1.2米.建立如圖2所示的平面直角坐

標(biāo)系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形D￡FG,

其水平寬度DE=2米，豎直高度防=0.7米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物

線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米，灌溉車到綠化帶的距離OD為4米.

(1)求上邊緣拋物線噴出水的最大射程OC;

(2)求下邊緣拋物線與X軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)若d=3.2米，灌溉車行駛時(shí)噴出的水(填“能”或“不能”)澆灌到整個(gè)綠化帶.

【答案】(1)上邊緣拋物線噴出水的最大射程OC為6m；

(2)鳳2,0)；

⑶不能.

【分析】(1)求得上邊緣的拋物線解析式，即可求解；

19

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定平移的單位，求得下邊緣拋物線解析式，即可求解；

（3）根據(jù)題意，求得點(diǎn)尸的坐標(biāo)，判斷上邊緣拋物線能否經(jīng)過點(diǎn)P即可；

【詳解】（1）解：由題意可得:"（。,1.2）,A（2,1.6）

且上邊緣拋物線的頂點(diǎn)為A,故設(shè)拋物線解析式為：y=?（x-2）2+1.6

將H（0,1.2）代入可得：a=-

即上邊緣的拋物線為：J=-^（X-2）2+1.6

將》=0代入可得：（彳-2『+1.6=0

解得：％=—2（舍去）或％=6

即OC=6m

上邊緣拋物線噴出水的最大射程OC為6m；

（2）由（1）可得，5（0,1.2）

1o

上邊緣拋物線為：y=-—（x-2）-+1.6,可得對(duì)稱軸為：%=2

點(diǎn)H關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為：（4,1.2）

下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，可得上邊緣拋物線向左平移4個(gè)單位，得到下邊緣拋物線，

即下邊緣的拋物線解析式為：y=--^（x+2）2+1.6

將y=0代入可得：（x+2『+1.6=。

解得：毛=一6（舍去）或多=2

即點(diǎn)5（2,0）；

（3）,/2<3.2<6,

；?綠化帶的左邊部分可以灌溉到，

由題意可得：尸（5.2,0.7）

11

將X=5.2代入至I]y=-而（x-2）92+1.6可得：y=-—（5.2-2）9+1.6=0.576<0.7

因此灌溉車行駛時(shí)噴出的水不能澆灌到整個(gè)綠化帶.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，與x軸交點(diǎn)等問題，解題的關(guān)鍵是理

解題意，正確求得解析式.

3.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

20

如圖1是某足球場的一部分，球門

寬DE=CF=7m,高

CD=EF=2.5m.小梅站在A處

向門柱CD一側(cè)發(fā)球，點(diǎn)A正對(duì)門

&二______24m_____

柱8(即AC1C尸)，AC=24m,

圖

球射向球門的路線呈拋物線，且一1

素

直在■正上方.

材AC

1

此次射門的側(cè)面示意圖如圖2所

示，當(dāng)足球飛行的水平距離

AB=15m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)。，Q

此時(shí)球離地面4.5m.以點(diǎn)A為原

ABx

點(diǎn)，直線取為X軸，建立平面直

角坐標(biāo)系.

如圖3,距離球門正前方6m處放置

素

一塊矩形攔網(wǎng)攔網(wǎng)面垂

材

直于地面，魚GH〃CF(GH足夠

2

長)，攔網(wǎng)高M(jìn)V=4m.

圖3

任

務(wù)求足球運(yùn)動(dòng)的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式.

1

任未放置攔網(wǎng)時(shí)，判斷此次射門球能否進(jìn)入球門.若能進(jìn)入，計(jì)算出足球經(jīng)過C點(diǎn)正

務(wù)上方時(shí)的高度；若不能進(jìn)入，小梅不改變發(fā)球的方向，且射門路線的形狀和最大高

2度保持不變，他應(yīng)該帶球向正后方至少移動(dòng)多少米射門，才能讓足球進(jìn)入球門.

任

放置攔網(wǎng)后，小梅站在A處，射門路線的形狀和最大高度保持不變，只改變發(fā)球方

務(wù)

向，使射向球門的路線在AF正上方，判斷足球能否越過攔網(wǎng)，在點(diǎn)E處進(jìn)入球門.

3

注：上述任務(wù)中足球落在門柱邊線視作足球進(jìn)入球門.

【答案】能在E處入網(wǎng).

21

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)先判斷當(dāng)x=24時(shí)，y的值與2.5的大小，設(shè)向后移動(dòng)了機(jī)米，需要經(jīng)過點(diǎn)(24,2.5),求解即可;

(3)先證明APQ-.AFC,求出AP=18.75,再與題中數(shù)據(jù)比較.

【詳解】解：任務(wù)1、設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-15-+4.5.

???經(jīng)過點(diǎn)(0,0),

225。+4.5=0.

解得：a=-0.02.

.?.足球運(yùn)動(dòng)的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-0.02(x-15)2+4.5；

任務(wù)2、當(dāng)*=24時(shí)，=-0.02x(24-15)2+4.5=-1.62+4.5=2.88.

,/2.88>2.5.

；?足球不能入網(wǎng).

???小梅不改變發(fā)球的方向，且射門路線的形狀和最大高度保持不變，設(shè)向后移動(dòng)了機(jī)米.

?*.y=—0.02(x—15+%)2+4.5

V需要經(jīng)過點(diǎn)(24,2.5),才能使得退后的距離最小，

2.5=-0.02(9+m)2+4.5.

解得：m=-19(舍去)或加=1.

...他應(yīng)該帶球向正后方至少移動(dòng)1米射門，才能讓足球進(jìn)入球門；

任務(wù)3、如圖，由題意得：QC=6m,CF=7m,AC=24m,PQJ,AC,bCIAC.

F

：..APQ-AFC.

?AP_AQ

"■AF-AC'

.AP18

24'

解得:AP=18.75.

當(dāng)x=18.75時(shí)，

y=-0.02(18.75-15)2+4.5=4.21875>4.

；?能通過攔網(wǎng).

當(dāng)X=25時(shí)，y=-0.02(25—15)2+4.5=—2+4.5=2.5.

22

?/EF=2.5m,

；?能在E處入網(wǎng).

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)解析式，勾股定理等知識(shí).熟練掌握二次函數(shù)的應(yīng)用，二次

函數(shù)解析式，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

4.為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的

直尺和豎直放置的直尺為無，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇不同位置測量數(shù)據(jù)如下表

所示，設(shè)8。的讀數(shù)為x,CD讀數(shù)為》拋物線的頂點(diǎn)為C.

(1)(I)列表:

@②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

（II）描點(diǎn)：請(qǐng)將表格中的（蒼舊描在圖2中；

（III）連線：請(qǐng)用平滑的曲線在圖2將上述點(diǎn)連接，并求出y與尤的關(guān)系式；

（2）如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x-//>+左的頂點(diǎn)為C,該數(shù)學(xué)興趣小組用水平和豎

直直尺測量其水平跨度為AB,豎直跨度為6,且=CD=n,為了求出該拋物線的開口大小，該數(shù)

學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請(qǐng)選擇其中一種方案，并完善過程：

方案一：將二次函數(shù)y=平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)。重合，此時(shí)拋物線解析式為y=.

①此時(shí)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為；

②將點(diǎn)8'坐標(biāo)代入y=a/中，解得。=；（用含楊，"的式子表示）

方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為仇左）

①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

②將點(diǎn)8坐標(biāo)代入y=+%中解得。=；（用含相，”的式子表示）

（3）【應(yīng)用】如圖4,已知平面直角坐標(biāo)系xOy中有A,B兩點(diǎn)，AB=4,且AB〃工軸，二次函數(shù)

23

G：%=2(x+/zy+左和C2：%=a(x+〃)2+b者B經(jīng)過4B兩點(diǎn)，且G和G的頂點(diǎn)P,。距線段AB的距離之

和為10,求a的值.

【答案】(1)圖見解析，y=#

(2)方案一：①“,[；②％方案二：①②彗;

)mI2)m

(3)。的值為;或-:.

乙2

【分析】(1)描點(diǎn)，連線，再利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)圖形寫出點(diǎn)8,或點(diǎn)B的坐標(biāo)，再代入求解即可；

(3)先求得A(-〃-2,8+后)，5(-〃+2,8+左)，G的頂點(diǎn)坐標(biāo)為尸(-〃，k),再求得G頂點(diǎn)距線段A3的距離

為|(8+%)-%]=8,得到Q的頂點(diǎn)距線段AB的距離為10-8=2,得到G的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q(-〃,1。+外或

Q(-〃,6+左)，再分類求解即可.

【詳解】(1)解：描點(diǎn)，連線，函數(shù)圖象如圖所示，

觀察圖象知，函數(shù)為二次函數(shù)，

設(shè)拋物線的解析式為、=依2+廄+°,

c=0

由題意得,4a+2b+c=1,

16〃+4b+c=4

.1

ci———

4

解得I，

c=0

與x的關(guān)系式為y=;

4

(2)解：方案一：①?.?AB=zn,CD=n,

：.DfBf=-m,

2

24

此時(shí)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（g機(jī),，；

故答案為：&■機(jī),.；

②由題意得a=n,

解得“=與，

m

故答案為：—y;

m

方案二：①點(diǎn)坐標(biāo)為仇女），AB=m,CD=n,

DB=—m,

2

此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為［h+^m,k+n^.

故答案為：［h+^m,k+n^.

②由題意得上+〃=+g加一//）+k,

解得a=多，

m

故答案為：—y;

m

（3）解：根據(jù)題意G和。2的對(duì)稱軸為龍=—九，

貝!］A（—久一2,8+左），6（—力+2,8+左），。的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（一九k）,

???q頂點(diǎn)距線段AB的距離為1（8+左）-囚=8,

???C2的頂點(diǎn)距線段AB的距離為10-8=2,

。2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q（一九10+左）或Q（一九6+左）,

當(dāng)。2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q（-九10+左）時(shí)，y2=a（x+hf+10+k,

將24（—72—2,8+4）代入得4々+10+左=8+左，解得々=—耳；

當(dāng)。2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為0-九6+左）時(shí)，%=4X+M+6+屋

將A（——2,8+左）代入得4々+6+左=8+k,解得1=萬；

綜上，。的值為;或-

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)

鍵.

25

5.蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜.一般蔬

菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個(gè)溫室空間.如

圖，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形A5CD和拋物線AED構(gòu)成，其中48=3111,BC=4m,取中

點(diǎn)。，過點(diǎn)。作線段8c的垂直平分線OE交拋物線AED于點(diǎn)E,若以。點(diǎn)為原點(diǎn)，8C所在直線為x軸，

OE為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.

請(qǐng)回答下列問題：

(1)如圖，拋物線AED的頂點(diǎn)石(0,4),求拋物線的解析式；

匕

Af----------------AD

B0C>x

為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個(gè)正方形孔的排氣裝置乙尸GT,SMNR

FL=NR=Q75m,求兩個(gè)正萬形裝置的間距GM的長；

n

TEn

FGMN

B0C>x

(3)如圖，在某一時(shí)刻，太陽光線透過A點(diǎn)恰好照射到C點(diǎn),此時(shí)大棚截面的陰影為BK,求BK的長.

BOCKx

26

【答案】(l)y=-%2+4

(2)0.5m

97

(3)——m

12

【分析】(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)函數(shù)解析式為y=E?+4,求出A點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即

可；

(2)求出y=3.75時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值，得到mv的長，再減去兩個(gè)正方形的邊長即可得解；

(3)求出直線AC的解析式，進(jìn)而設(shè)出過點(diǎn)K的光線解析式為y=-冽，利用光線與拋物線相切，求出

4

加的值，進(jìn)而求出K點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出BK的長.

【詳解】⑴解：:?拋物線AED的頂點(diǎn)巨(。，4),

設(shè)拋物線的解析式為y=ox?+4,

,四邊形AB8為矩形，OE為8c的中垂線，

AD=BC=4m,OB=2m,

*.*AB=3m,

???點(diǎn)A(—2,3),代入丁=辦2+4,得：

3=4a+4,

?.?a-_----1,

4

拋物線的解析式為y=-;必+4；

(2)??,四邊形LFGT,四邊形SAWR均為正方形，F(xiàn)L=NR=0.75m,

：.MG=FN=FL=NR=0.75mf

延長次交BC于點(diǎn)H,延長RN交于點(diǎn)J,則四邊形FHZN,四邊形均為矩形，

：.FH=AB=3m,FN=HJ,

：.HL=HF+FL=3.75mf

27

2一%+4,當(dāng)y=3.75時(shí)，3.75=-3~4,解得：一1,

H(-1,O),J(1,0),

：.FN=HJ=2m,

：.GM=FN-FG-MN=O.5m-

(3)VBC=4m,OE垂直平分BC,

OB=OC=2m,

：.B(-2,0),C(2,0),

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

-3

2k+b=04

則:―2k+b=3,解得:

73

b=—

2

???尸-冬+3,

42

:太陽光為平行光,

3

設(shè)過點(diǎn)K平行于AC的光線的解析式為尸一產(chǎn)”,

3

由題意，得：片7+加與拋物線相切,

」欠2+4

y=4c

聯(lián)立3，整理得：x2-3x+4m-16=0?

y=——x+m

4