安徽省江淮名校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

?x/4-x

y二-T

1.函數(shù)xT的定義域是()

A.(-00,4]B,kJ(1,4)

C.(^?,l)o(l,4]D.[4,+8)

【答案】C

【解析】由題意可得4—無20且x—1N0,解得xe(—8,1)D(1,4].故選：C.

1

2.已知集合A={—1,0/}，3=>0k則Ac”=()

x-1

A.{-1,0,1}B.0

C.{0,1}D.{-1,0}

【答案】A

【解析】對(duì)于集合3,由‘20,得X—1>0,解得1>1,則5=何?1}；

X-1

所以{x|xWl},則Ac\B={—1,0,1},故選：A.

3.已知命題P：若則|9x+l|>7.則命題P的否定為()

AV%2>4>貝i」|9x+l|W7B.Bx2>4，貝葉9X+1]<7

C.Vf<4,則|9x+l區(qū)7D.*2<4,則|9x+l|47

【答案】B

【解析】由題意知，命題P：VX2>4>則|9X+1]>7,則命題"的否定是三產(chǎn)工4,

則|9x+l|W7,故選：B.

4.已知函數(shù)/(%)的圖象如圖所示，/(/(x))=2,則x=()

-1---1------i--i---1----1-->

-2-1O1234：x

-1-...........；

A.-1或3B.4C.-1D.不存在

【答案】B

【解析】根據(jù)函數(shù)圖象，由"/'（x））=2知，/（%）=-1,或〃力=3,

當(dāng)/?（幻=一1時(shí)，x=4；當(dāng)〃x）=3時(shí)，x不存在,

故選：B.

___15,

5-已知（行.相第=平則。=（）

A.2B.-2C.4D.2或-2

【答案】A

【解析】因?yàn)槲沂C-/所以儲(chǔ)=4,解得a=±2；

yCiCtCt-CtL4-Cl—c.

要使得等式有意義，則。>0,所以。=2；

故選：A.

6.若2<@<0,則下列不等式正確的是（

ab

A.a+b>0B.a+b<0

C.\a\>\b\D.(2+|Z?|>0

【答案】D

【解析】顯然a,6異號(hào)，X---=^-^<0,則〃=s—a）（b+a）>o.

abab

所以|力>|“2-o,選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.

當(dāng)a<0</?時(shí)，b-a>0,b+a>0；當(dāng)Z?<0<a時(shí)，b-a<0,b+a<0.

所以選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤.

故選：D

7.已知a>0,b>0,ab+a+2b=3,則a+Z?()

3

A.有最大值3B.有最小值士

2

C.有最大值2行-3D.有最小值2逐-3

【答案】D

【解析】方法一：因a>Q,b>0,

則由基本不等式可得I-（a+2）+S+D]>（a+2）S+1）=ab+a+2b+2=5,

_2_

解得a+822正-3,當(dāng)且僅當(dāng)a=&—2，3=出—1時(shí)，等號(hào)成立;

方法二由原式變形得，-常>?！瘎t。。弓，

所以Q+Z?=^——+/?=———I-(Z7+1)-3,令x=+1,—j,/(x)=—+x-3,

b+1Z?+lI2Jx

因?yàn)?(X)在(i,逐]上單調(diào)遞減，在6,gJ上單調(diào)遞增，

所以/(尤濡=/(喬)=2如-3,/(%)無最大值；

故選：D.

8.己知奇函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)镽,/(—3)=2,且對(duì)內(nèi),%2e(^?,0),滿足(乙—七)

[/(㈤)-/傭)]>。,則滿足不等式/(,-1)<-2的整數(shù)解個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】令g(x)=/(l九I)，所以(%2-%)[g(%2)—g(%)]<0，

則函數(shù)g。)在(-8,0)上單調(diào)遞減.

g(x)=g(-x),所以g(X)為R上的偶函數(shù).

g(-3)=/(|-31)=/(3)=-/(-3)=-2,g(0)=/(0)=0.

/(Ix2-11)<-2等價(jià)于g(x2-l)<g(-3),所以。<|無②-11<|一31,

解得—2<x<2且]。±1,所以滿足不等式用元2-1|)<-2的整數(shù)解是0,僅有一解.

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.

9.已知命題pHxeR,使得262+%+<0,則命題p為真命題的一個(gè)充分不必要條件是

8

()

A.k=-lB.k=lC.k<-D,左<0

3

【答案】AD

【解析】當(dāng)左W0時(shí)，顯然使得2而2+x+3<0；

31

當(dāng)左>0時(shí)，A=l-4-2^-->0,k<-.

83

綜上，命題Q為真命題的充要條件是上<!，

3

故選：AD

10.下列命題是真命題的是()

加=土表示四個(gè)不同的函數(shù)

45

當(dāng)工<時(shí)，函數(shù)的圖象始終在函數(shù)丫嗎的圖象下方

B.0<1y—xyv_—

C.1.804>l

3m-2n

D.若6"'=3，6"=4，那么62=

【答案】ACD

【解析】由題意得，y=(A/X)2=x(x>0),M=M^=V，y=

*

m=—=n(n豐0),故選項(xiàng)A正確；

45Y4_L_J_454

當(dāng)0<x<l時(shí)，3,ja>o，因?yàn)橥?”<產(chǎn)=i,所以無-§>e，則函數(shù)v—的

xA>/0A/VAx*Ay—A

一

5

圖象始終在函數(shù)v-JK的圖象上方，故B不正確；

由募函數(shù)y=x0-4的單調(diào)性可知1.8°4>P=1,故選項(xiàng)C正確；

3m-2n

(6m)3F_3退

w不=丁，故選項(xiàng)D正確;

故選：ACD.

11.已知函數(shù)/(九)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足下列條件:

①對(duì)任意的％>0,y>0,都有/(%)/(y)=/(x+y)；

②對(duì)任意的實(shí)數(shù)1>1,都有0</(x)<l；

③川F

則下列說法正確的有()

A./(2)='

ZJO

B.玉使得〃九0)=2

C."%)在(—,0)上單調(diào)遞減

D.不等式［〃x)T+#(x)<0的解集為'處彳］{0}

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,令x=y=l,則/(2)=/(1)〃1)=工7,故A正確；

256

23

對(duì)于B,假設(shè)/?0/)，/(2x0)=/(x0)/(x0)=2,/(3x0)=f(2x0)/(x0)=2,

則一定存在正整數(shù)3使得也>1,此時(shí)/(笈。)=2上>1與條件②矛盾，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,假設(shè)亂e(0,+oo),使得

由/(x)/(y)=/(x+y)，/(3%0)=/(2%0)/(%0)>1,

則一定存在正整數(shù)3使得線>1,此時(shí)與條件②矛盾，

故Vxe(O,+8),有設(shè)e(0,+oo),且為<々，

由〃x)/(y)=/(x+y),得/—/(^i)=/匕+西,

71％7

由任意的實(shí)數(shù)X>1,都有0</(X)<1,得0</]}+力<1,

故〃%)>0,gpVXG(0,+OO),有/(x)>。；

綜上，Vxe(0,+co),有0</(x)<l；

又)-/(占)=/(X)/(々-%)-/(X])=y(xj"(%-占)t]<o,

所以/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，由于函數(shù)/(幻是定義在R上的奇函數(shù)，

所以函數(shù)/(%)在(—,0)上單調(diào)遞減，故C正確；

對(duì)于D,(無)一上<0o『(尤)+：][/(元)一」<0,則=</(x)<：.

X324」X」48

又加)=尺嗎=>仆]

所以/(|)=/(|+;)=尺)錯(cuò))q,/(-1)=-宿)=-：，

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)在(f,o)上單調(diào)遞減，又/(—；)=—；，所以由/(九)〉—；，

得X<--;

2

o113

因?yàn)楹瘮?shù)/(力在(0,+“)上單調(diào)遞減，又/(：)=,所以由/(x)<w，得x〉1；

又函數(shù)/(九)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(。)=0；

故解集為1―°0,—萬］｛。｝［I+°0］，故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知/(in■—j,貝.

【答案】X2-2X+1(X^1)

【解析】令/=1+工#1,則犬=--,

Xt-1

可得f(f)=Q—1)2=/一2%+1,所以f(x)=x2—2x+l(xw1).

故答案為：X2-2X+1(X^1).

13.已知/(%)=工3一1+5,/(〃)=3,則/(—〃)=.

【答案】7

,1,1

【解析】由題意，/——+5=3,則/――=-2,

aa

所以—］+5=—(―2)+5=7,

故答案為：7.

14.函數(shù)/(%)為定義在R上的奇函數(shù)且在區(qū)間(—8,0］上單調(diào)遞減，g(x)=f(x)-x+2,

則不等式//(2—力>2x—2的解集為.

【答案】

【解析】由題意，f(x)=g(x)+x-2,f(x)-f(2-x)=g(x)-g(2-x)+2x-2,

則不等式/(x)-/(2-x)>2x-2等價(jià)于g(x)>g(2—幻；

由于/(x)為定義在R上的奇函數(shù)且在區(qū)間(-8,0］上單調(diào)遞減，所以/(%)在R上單調(diào)遞

減，

又函數(shù)y=—X+2在R上單調(diào)遞減，所以g(x)=/(x)—X+2在R上單調(diào)遞減，

所以原不等式等價(jià)于x<2—X,解得X<1,則解集為(—8,1).

故答案為：(一"」).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知集合4=[.]三＜()],

(1)當(dāng)加=1時(shí)，求AcB；

(2)若A5=A，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

解：(1)由——<0,得八八),解得Iv尤<3,則人={1|1<%?3},

x—1x—1。0

當(dāng)加=1時(shí)，B11<x<2},

所以ACJB={?X|1<X<2}.

(2)由AB=A,得J5qA,

若JB=0,則2-根之根+1,解得加《工，此時(shí)符合題意；

2

2-m<m+1

若5/0,貝12—m21,解得,<相<1；

2

m+1<3

綜上所述，m<l,故m的取值范圍為

16.合肥四中東南角有一塊勞動(dòng)園地，“夏收油菜，秋收紅薯”等活動(dòng)已成為合肥四中勞動(dòng)教

育的特色項(xiàng)目.已知該勞動(dòng)園地為如圖矩形AMPN,C點(diǎn)在對(duì)角線MN±,CD±AN,

成，4欣.經(jīng)測(cè)量帥=10米，AD=8米.

(1)設(shè)。N的長為x米，試用工表示勞動(dòng)園地的面積S；

(2)某勞動(dòng)小組計(jì)劃明年在該勞動(dòng)園地種植面積至少為300平方米的油菜，請(qǐng)問計(jì)劃能否

實(shí)現(xiàn)，并說明理由.

解：(1)設(shè)。N的長為Mx>0)米，則AN=(x+8)米,

由三角形相似可得DN:AN=DC:AM,即40=四匕2，

X

所以5=47-40=盛匚包；

(2)易知5=出匕*=10(%+出+16)210(2'0+16)=320,

XXVX

64

當(dāng)且僅當(dāng)了=—,即1=8時(shí)取等號(hào),

x

故。N的長為8米時(shí)，勞動(dòng)園地面積最小值為320平方米.

顯然S＞300,所以計(jì)劃能夠?qū)崿F(xiàn).

17.已知匕克糖水中含有?？颂莾?yōu)＞。＞0）,再添加加克糖（加＞0）.假設(shè)全部溶解，糖

水變甜了.

⑴請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立;

4113

(2)已知a>0,Z?>0,且a+Z7=l,求證：—<-----1----<—.

3a+lb+12

n/7+m

(1)解：不等式為一<-----,其中人>a>0,m>0.

bb+m

aa+mab+am—ab—bm(a—b)m

因?yàn)椋骸?---=----------;----=77：----b>a>0f加>0,

bb+mb(b+m)b(b+m)

?一,八(a—b)m-.aa+m八aa+m

所以a—6<0,—----<0,從而■；---------<0,即Qn一<------

b(b+m)bb+mbb+m

(2)證明：法一：〃>0,b>0,且〃+b=l,所以(〃+1)+(方+1)=3,

111rz八z,…/11、1…b+1a+1、4

則有用嚴(yán)+1)+。+1)](湎+朝)途2+-1+而

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=!時(shí)，取等號(hào).

2

,/<、11a+ba+ba+b+ba+b+a3

由(1)不等式知+---=-------+-<-----------1--------=-

a+lb+1a+a+bb+a+ba+a+b+bb+a+b+a2

113

所以六---------------1---------------v一

a+1b+12

法二：因?yàn)?所以〃=1一。，因?yàn)?。?,b>0,

111133

所以1一〃>0,即Ovavl,所以有：a+lb+l~a+l2-a~(a+l)(2-a)~—\,Cl—FT

2

19<99113

因?yàn)?vavl,a------+—e2,—,所以gv---------------1--------------<一

24I44a+1Z?+12

b

18.已知函數(shù)〃x）=x+二+c,其中"c為常數(shù)且滿足/⑴=5,/（2）=4.

JC

（1）求"C的值;

（2）證明函數(shù)/（九）在區(qū)間（0,2）上是減函數(shù)，并判斷了（九）在（2,+8）上的單調(diào)性（不

要證明）;

；,3，使得1;/(x)+47〃<14〃—x)

（3）若存在xe+機(jī)2一8成立，求實(shí)數(shù)加的取值

乙乙2乙2

范圍.

b

(1)解：根據(jù)題意，函數(shù)/(%)=%+—+c中，

X

有了(1)=5,/(2)=4,解得6=4,。=0,

4

則/(%)=%+一；

%

4

(2)證明：由(1)得：f(x)=x-\—,

%

設(shè)。<王<%2<2，則/<)_)=('+巴)一(%2+?)=(』”)(%送24)

%x2x1x2

xx_

又由0<玉<九2<2,貝!]再一％2<0，i24<0,XjX2>0,

必有/(X])—/(%2)>。，即/&)>/(%)，

即函數(shù)/(X)在(0,2)上為減函數(shù);

/(x)在(2,+8)上是增函數(shù).

(3)解：根據(jù)題意，若//(尤)+4加<]/1(—x)+〃/—8,

14

則有x"(x)—/(一切<療一4小一8,又由，(x)=x+—,則/(一x)=—/O),

2x

,4,

-[/(x)-/(-x)]<m~-4m-8OXH■一<m-4m-8

x

即/(x)〈川-4根-8,又由(2)可得，/(x)在區(qū)間g,2上是減函數(shù)，(2,3)上是增函數(shù),

則/(X)有最小值"2)=4,

若存在xe；,3,使得g/(x)+4m<gf(-x)+療-8,

即f(x)而°<加-4"z-8成立，貝I］有序-4加-8>4,解得帆<一2或〃?>6,故加的取值范圍

為(-oo,-2)D(6,+8).

19.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x)為奇

函數(shù)，可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)尸■力)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是

函數(shù)y=/(x+a)-6為奇函數(shù)，給定函數(shù)=

(1)求/'(x)的對(duì)稱中心；

(2)已知函數(shù)g(%)同時(shí)滿足：①g(%+l)T是奇函數(shù)；②當(dāng)九W?！粫r(shí)，^(x)=x2-mx+m(zn>0).

若對(duì)任意的％$[0,2],總存在%￡[L5],使得g(%)=/(%)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

初,1、八、/+%-6(x+1)2-(x+1)-66

用牛：(1)/(X)=--------=-----------------=x------，

x+1X