搶分秘籍02方程與不等式

【解密中考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含

押題型）

【題型一】一元一次方程及應(yīng)用

【題型二】二元一次方程及應(yīng)用

【題型三】一元二次方程的解法

【題型四】一元二次方程的應(yīng)用

【題型五】分式方程的解法

【題型六】分式方程的應(yīng)用

【題型七】不等式的解法

【題型八】不等式的應(yīng)用

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)一：二元一次方程組中含參數(shù)易錯(cuò)問題

易錯(cuò)點(diǎn)二：一元二次方程中含參數(shù)易錯(cuò)問題

易錯(cuò)點(diǎn)三：分式方程中含參數(shù)易錯(cuò)問題

易錯(cuò)點(diǎn)四：不等式中含參數(shù)易錯(cuò)問題

考情分析：方程和不等式是全國中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容?每年都有

一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х?

1.從考點(diǎn)頻率看

1.高頻核心考點(diǎn)：方程有一元二次方程（解法、判別式、韋達(dá)定理）、分式方程（解法及增

根討論）、二元一次方程組（解法及實(shí)際應(yīng)用）每年必考，常結(jié)合利潤、行程、幾何等實(shí)際

問題.不等式有一元一次不等式組（解集求解、參數(shù)范圍討論）及應(yīng)用題（方案設(shè)計(jì)、最值

問題）高頻出現(xiàn)，常與函數(shù)、方程綜合命題.

試卷第1頁，共18頁

2.易錯(cuò)考點(diǎn)：

分式方程的增根檢驗(yàn)、一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)含參時(shí)的分類討論、不等式組解集邊界值的

取舍（是否取等號(hào)）.

2.從題型角度看：

1.基礎(chǔ)題型：選擇題、填空題考查方程解法、不等式解集表示，占比約10%-15%.

2.應(yīng)用題：解答題中，方程與不等式常作為建模工具（如利潤最大化、資源分配問題），

占比約20%-25%,需結(jié)合題意列關(guān)系式.

3.綜合題：與函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)）結(jié)合的壓軸題，如利用不等式求自變量范圍、

方程根的分布分析，難度較高，區(qū)分度強(qiáng).

備考策略|

1.基礎(chǔ)鞏固：熟練掌握各類方程（組）解法步驟（如分式方程驗(yàn)根、一元二次方程配方法/

公式法），不等式組解集“數(shù)軸法”確定.

2.專題突破：針對(duì)參數(shù)問題專項(xiàng)訓(xùn)練（如含參方程的解的情況、不等式組參數(shù)范圍），總結(jié)

分類討論邏輯（如二次項(xiàng)系數(shù)是否為0、不等號(hào)方向變化）.強(qiáng)化應(yīng)用題建模能力，提煉“審

-設(shè)-列-解-驗(yàn)-答”六步法，尤其注意實(shí)際問題中變量的取值范圍（如正整數(shù)解）.

3.易錯(cuò)點(diǎn)攻堅(jiān)：整理錯(cuò)題本，歸納增根遺漏、判別式忽略前提（二次項(xiàng)系數(shù)9）、不等式方

向改變等高頻錯(cuò)誤.限時(shí)訓(xùn)練提升解題速度，確保基礎(chǔ)題準(zhǔn)確率達(dá)100%,綜合題分步得分.

3題型特訓(xùn)提分--------------------------------------

【題型一】一元一次方程及應(yīng)用

【例1】

（2025?湖北襄陽?模擬預(yù)測）

1.《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，它對(duì)我國古代后世的數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，

該書中記載了一個(gè)問題，原文如下：“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問

人數(shù)，物價(jià)各幾何？”大意是：有幾個(gè)人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；每人出7

元，少4元，問有幾個(gè)人合伙購買，該物品的價(jià)格是多少.設(shè)合伙贖買的有x人，根據(jù)題意，

可列方程為（）.

A.8x+3=7x-4B.8x-3=7x+4C.8x+3=7x+4D.8x-3=7x-4

試卷第2頁，共18頁

本題主要考查一元一次方程組的運(yùn)用，理解數(shù)量關(guān)系，正確列式

是關(guān)鍵.由此列式即可求解.

【例2】

（2025?陜西咸陽?一模）

2.為感謝環(huán)衛(wèi)工人對(duì)城市美好市容的辛苦付出，樂樂和麗麗所在的活動(dòng)小組計(jì)劃做一批“感

謝賀卡”.若每人做8張，則比計(jì)劃多了3張；若每人做5張，則比計(jì)劃少了27張.該活動(dòng)小

組共有多少人？

【變式1】

（2025?廣西來賓?一模）

3.古時(shí)候人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”.如圖所示是一位婦女按滿五

進(jìn)一的方法，從右到左在繩子上依次打結(jié)，用來記錄采集到的野果的個(gè)數(shù).她一共采集到

43個(gè)野果，則第2根繩子上的打結(jié)個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式2】

（2025?陜西西安?一模）

4.幻方，最早源于我國，古人稱之為縱橫圖.如圖所示的幻方中，各行、各列及各條對(duì)角

線上的三個(gè)數(shù)字之和均相等.求圖中x的值.

146

x

8

【變式3】

試卷第3頁，共18頁

（2025?陜西西安?一模）

5.某班體育活動(dòng)課上原計(jì)劃分成兩個(gè)小組進(jìn)行活動(dòng)，第一組26人，第二組22人，現(xiàn)要根

據(jù)學(xué)校體育器材的數(shù)量，對(duì)兩個(gè)小組的人數(shù)重新進(jìn)行調(diào)整，從第一組調(diào)部分人到第二組去,

使得調(diào)整后第一組的人數(shù)為第二組人數(shù)的一半，請(qǐng)問應(yīng)該從第一組調(diào)多少人到第二組去？

（用方程解答）

【變式4】

（2025?安徽合肥?一模）

6.為貫徹落實(shí)“立德樹人”的根本任務(wù)，提高學(xué)生的勞動(dòng)素養(yǎng).某中學(xué)擬組織九年級(jí)師生去

校外勞動(dòng)教育實(shí)踐基地參加勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)，需向某客運(yùn)公司租客車前往，下表是有關(guān)租車的

信息：

客運(yùn)公司有60座和45座兩種型號(hào)的客車可供租用，60座客車每輛每天的租金

信息1

比45座客車每輛每天的租金多200元.

上周八年級(jí)師生去該基地參加勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)向這個(gè)客運(yùn)公司租了5輛60座和3

信息2

輛45座的客車，一天的租金共計(jì)6200元.

信息3九年級(jí)師生租用4輛60座的客車和4輛45座的客車正好坐滿.

請(qǐng)根據(jù)以上表中的信息，解答下列問題；

（1）客運(yùn)公司60座和45座的客車每輛每天的租金分別是多少元?

（2）九年級(jí)師生到該客運(yùn)公司租車一天，共需租金多少元？

【題型二】二元一次方程及應(yīng)用

【例1】

（2025?湖北荊州?模擬預(yù)測）

7.《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈

繩量之，不足一尺.木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；

將繩子對(duì)折再量長木，長木還剩余1尺.問木長多少尺？如果設(shè)木長X尺，繩長＞尺，則可

以列方程組是（）

y-x=4.5x-y=4.5

試卷第4頁，共18頁

x-y=4.5y-x=4.5

C.〈D.〈

x--y=\x--y=l

22

技巧本題考查二元一次方程組，理解題意，正確列出方程組求解方程

即可.

【例2】

（2025?湖南?一模）

6x+2y=5

8.解方程組:

2x-6y=-5

【變式1】

（2025?遼寧鐵嶺?一模）

9.我國古代《孫子算經(jīng)》卷中記載“多人共車”問題，其原文如下：今有三人共車，二車空;

二人共車，九人步，問人與車各幾何？其大意為：若3個(gè)人乘一輛車，則空2輛車；若2個(gè)

人乘一輛車，則有9個(gè)人要步行，問人數(shù)和車數(shù)各是多少.設(shè)人數(shù)為x人，車數(shù)為了輛，可

列方程為（）

A-2)=x3p(y+2)=xc13(y-2)=x口,@-2)=了

?\ly-9=x°\2y-9=x'\2y+9=x'[2y+9=x

【變式2】

(2025?浙江衢州?一模)

fx+y=3[x=1

10.已知關(guān)于x,y的二元一次方程組-人的解是，則b的值是_________.

[x+ay=b[y=a

【變式3】

（2025?北京延慶?模擬預(yù)測）

11.某圖書館計(jì)劃用800元購買經(jīng)典文學(xué)和科普讀物兩種書籍，經(jīng)典文學(xué)每套50元，科普

讀物每套35元.若購買經(jīng)典文學(xué)的數(shù)量比科普讀物的數(shù)量多10套，判斷能否恰好用完預(yù)

算？若能，請(qǐng)求出所購買的經(jīng)典文學(xué)和科普讀物的套數(shù)，若不能，請(qǐng)說明理由.

【變式4】

（2025?安徽?一模）

試卷第5頁，共18頁

12.某天，蔬菜經(jīng)營戶張老板用218元，從蔬菜批發(fā)市場批發(fā)了豆角和西紅柿40kg到市場

去賣，豆角和西紅柿這天每千克的批發(fā)價(jià)與零售價(jià)如下表所示：

品名豆角西紅柿

批發(fā)價(jià)/元5.05.6

零售價(jià)/元8.29.2

請(qǐng)通過計(jì)算說明張老板賣出這些豆角和西紅柿的盈虧情況.

【題型三】一元二次方程的解法

【例1】

（2025?黑龍江齊齊哈爾?一模）

13.解一元二次方程：2X2-6X+3=0.

本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方

法，是解題的關(guān)鍵.用公式法解一元二次方程即可.

【例2】

（2025?安徽?模擬預(yù)測）

14.解方程:3X2+3X-1=0.

【變式1】

（2025?江西南昌?一模）

15.（1）計(jì)算：sin300-cos245°+tan600-sin60°.

（2）解方程：X2+3X-28=0.

【變式2】

（2025?江蘇無錫?一模）

16.解方程或不等式組：

(1)X2-2X-4=0；

\3x-3>x+1

(2)|2(2x-l)<5x-r

【變式3】

試卷第6頁，共18頁

（2025?甘肅武威?一模）

17.(1)解方程：X2+8X-1=0.

(2)計(jì)算：-I4+727-4sin600-12>/3-4|+

（3）化簡求值:E其中。=2-血

【題型四】一元二次方程的應(yīng)用

【例1】

（2025?陜西漢中?二模）

18.隨著人們對(duì)身心健康的關(guān)注度越來越高，某市參加健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)逐年增多，從2022

年的30萬人增加到2024年的43.2萬人，求該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率.

本題考查了由實(shí)際問題列出一元二次方程、找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確

列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【例2】

（2025?吉林?二模）

19.小川一家春節(jié)期間團(tuán)圓相聚，他和兄弟姐妹們約定了互贈(zèng)一份禮物，若他們一共贈(zèng)送了

90份禮物，則小川及兄弟姐妹一共多少人？若設(shè)小川及兄弟姐妹一共有x人，則可列方程

為.

【變式1】

（2025?貴州?一模）

20.我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個(gè)

方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑.內(nèi)方圓徑若能知,

堪作算中第一.”其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池外圓

內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn).如果你能求出正方形

邊長和圓的直徑，那么你的計(jì)算水平就是第一了.如圖，設(shè)正方形的邊長是x步，則列出的

方程是—.

試卷第7頁，共18頁

【變式2】

(2025?遼寧撫順?二模)

21.商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采

取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件.

(1)若某天該商品每件降價(jià)3元，當(dāng)天可盈利多少元？

(2)設(shè)每件商品降價(jià)x元，在上述銷售正常情況下，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場日盈利可

達(dá)到2000元？

【變式3】

(2025?四川廣安?模擬預(yù)測)

22.某果園原計(jì)劃種100棵桃樹，一顆桃樹平均結(jié)1000個(gè)桃子，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些桃樹以提

高產(chǎn)量.試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，每多種1棵桃樹，每顆桃樹的產(chǎn)量就會(huì)減少2個(gè)，但多種的桃樹不能超

過100棵.

(1)如果要使產(chǎn)量增加15.2%,那么應(yīng)多種多少棵桃樹？

(2)應(yīng)種多少棵桃樹，桃子的產(chǎn)量才會(huì)達(dá)到最大值？求出這個(gè)最大值.

【題型五】分式方程的解法

【例1】

(2025?陜西咸陽?一模)

2x4?

23.解方程:------------二7----------+1

2x-l4X2-1

意I技I巧本題考查了解分式方程，根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括

號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1、檢驗(yàn)計(jì)算即可得解.

【例2】

試卷第8頁，共18頁

（2025?甘肅定西?一模）

X8

24.解分式方程一--1=

x—3x2-9

【變式1】

（2025?陜西西安,一模）

127

25.解方程:----1----=-2---

X+1X—1X—1

【變式2】

（2025?江蘇南京?模擬預(yù)測）

Y-13

26.已知方程二

（1）將該方程去分母，得一，此步驟的依據(jù)是

（2）接著（1）中的步驟，繼續(xù)解該方程.

【變式3】

（2025?江西撫州?一模）

1_r?

27.以下是小張同學(xué)解分式方程--+1的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

x-33-x

左力1-x21

解：----------+1

x-33-x

l-x=-2+l.第一步

1一x=-l.第二步

x=2.第三步

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原方程的根.第四步

任務(wù)一：填空：以上解方程的過程中，第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

任務(wù)二：請(qǐng)你幫他寫出正確的解答過程.

【題型六】分式方程的應(yīng)用

【例11

（2025?廣東清遠(yuǎn)?一模）

28.為了加強(qiáng)學(xué)生的體育鍛煉，某學(xué)校需要購買籃球和足球兩種體育用品，已知每個(gè)足球的

進(jìn)價(jià)是每個(gè)籃球進(jìn)價(jià)的0.75倍，用1200元購進(jìn)籃球的數(shù)量比用2100元購進(jìn)足球的數(shù)量少

20個(gè).求：每個(gè)籃球、足球的進(jìn)價(jià)分別為多少元？

試卷第9頁，共18頁

國因本題考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題意，找到等量關(guān)系是解

題的關(guān)鍵

【例2】

（2025?浙江寧波?一模）

29.《九章算術(shù)》中有一道關(guān)于古代驛站送倍的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬

送到800里遠(yuǎn)的城市，所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多1天；若改為快馬派送，則所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)

4

間少2天，已知快馬的速度是慢馬的§倍，則規(guī)定時(shí)間為天，

【變式1】

（2025?山西忻州?一模）

30.為了緩解交通壓力，提高道路的通行效率，太原市對(duì)某一段路實(shí)行交通燈智能化改造,

駕駛員只要控制好車速，便能實(shí)現(xiàn)“一路綠燈”.據(jù)了解，該路段總長約5.4公里，改造后車

輛通過該路段的平均速度提高了50%,平均行駛時(shí)間減少了3分鐘，求改造前車輛通過該

路段的平均速度.

【變式2】

（2025?山西運(yùn)城?一模）

31.晉陽高速公路改擴(kuò)建項(xiàng)目是2024年山西省級(jí)的重點(diǎn)項(xiàng)目，現(xiàn)有一段路由甲、乙兩個(gè)工

程隊(duì)共同承包修建.其中甲工程隊(duì)需要修9千米，乙工程隊(duì)需要修12千米，已知乙工程隊(duì)每

個(gè)月的修建速度是甲工程隊(duì)的1.5倍，最終乙工程隊(duì)修建用的時(shí)間比甲工程隊(duì)少用半個(gè)月，

問甲工程隊(duì)每個(gè)月修建多少千米？

試卷第10頁，共18頁

【變式3】

（2025?重慶?一模）

32.跳繩是人們喜愛的一種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，對(duì)青少年來說，經(jīng)常跳繩有助于身體長高.

（1）一副跳繩由兩個(gè)手柄和一根繩子組成，某工廠生產(chǎn)某種型號(hào)的跳繩，一名工人每天可生

產(chǎn)400個(gè)手柄或1000根繩子，現(xiàn)打算安排18名工人來生產(chǎn)，如何安排工人使得每天生產(chǎn)的

手柄和繩子恰好配套？

（2）甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行跳繩訓(xùn)練，甲計(jì)劃跳120個(gè)，乙計(jì)劃跳100個(gè)，若甲平均每秒跳繩

的個(gè)數(shù)是乙平均每秒跳繩個(gè)數(shù)的1倍，甲、乙同時(shí)開始跳，但乙在跳的過程中因死繩耽擱了

5秒鐘，最后甲比乙提前15秒完成跳繩訓(xùn)練，求甲平均每秒跳繩多少個(gè)？

【題型七】不等式的解法

【例1】

（2025?陜西西安?一模）

2x+6>x

33.解不等式組：,1-3x

-------<1-2%

12

題I技I巧本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個(gè)不等式的解集,

再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組

的解集即可.

【例2】

（2025?浙江舟山?一模）

34.解不等式組/x叫+l>502,把解表示在數(shù)軸上,并求出不等式組的整數(shù)解?

【變式1】

（2025?甘肅平?jīng)?一模）

-3（x+l）>2x-l

35.解不等式組：x+5,

------>x+l

I2

【變式2】

（2025?北京?模擬預(yù)測）

試卷第11頁，共18頁

36.解不等式組：

【變式3】

(2025?天津薊州?模擬預(yù)測)

37.解不等式組請(qǐng)結(jié)合題意填空，完成本題的解答.

⑴解不等式①，得」

(2)解不等式②，得」

(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

(4)原不等式組的解集為

【題型八】不等式的應(yīng)用

【例1】

(2025?重慶?二模)

38.重慶沙坪壩“全球校友”半程馬拉松活動(dòng)將于2025年4月20日在沙坪壩開展，重慶一中

校友會(huì)計(jì)劃為參與馬拉松活動(dòng)的一中校友采購活動(dòng)周邊紀(jì)念品.經(jīng)初步調(diào)研發(fā)現(xiàn)，購買3件

運(yùn)動(dòng)T恤和2個(gè)運(yùn)動(dòng)手環(huán)花費(fèi)165元，且1件運(yùn)動(dòng)T恤比1個(gè)運(yùn)動(dòng)手環(huán)貴30元.

(1)每件運(yùn)動(dòng)T恤和每個(gè)運(yùn)動(dòng)手環(huán)的售價(jià)分別是多少元？

(2)截止2025年3月17日馬拉松活動(dòng)報(bào)名結(jié)束，重慶一中校友會(huì)計(jì)劃采購運(yùn)動(dòng)T恤和運(yùn)動(dòng)

手環(huán)共200件，且購買的總費(fèi)用不超過5000元，則最多可購買運(yùn)動(dòng)T恤多少件？

確建立方程組和不等式是解題關(guān)鍵.

【例2】

(2025-黑龍江牡丹江?一模)

39.某商場購進(jìn)甲、乙兩種手機(jī)共50部.已知購進(jìn)一部甲種手機(jī)比購進(jìn)一部乙種手機(jī)進(jìn)價(jià)

少0.3萬元，用36萬元購進(jìn)甲種手機(jī)的數(shù)量是用48萬元購進(jìn)乙種手機(jī)數(shù)量的3倍.請(qǐng)解答

下列問題：

試卷第12頁，共18頁

(1)甲、乙兩種手機(jī)每部進(jìn)價(jià)各是多少元？

(2)若商場預(yù)計(jì)投入資金超過10萬元，且購進(jìn)甲種手機(jī)超過30部，商場有哪幾種購進(jìn)方

案？

(3)在(2)的條件下，若甲種手機(jī)每部售價(jià)1100元，乙種每部手機(jī)售價(jià)4300元，甲、乙兩

種手機(jī)各有一部樣機(jī)按八折出售，其余全部按標(biāo)價(jià)售出，商場從銷售這50部手機(jī)獲利中拿

出2520元作為員工福利，其余利潤恰好又可以購進(jìn)以上手機(jī)共2部.請(qǐng)直接寫出該商場購

進(jìn)這50部手機(jī)中，甲、乙兩種手機(jī)各幾部.

【變式1】

(2025?貴州黔東南,一模)

40.苗年和侗年是傳統(tǒng)民俗節(jié)日，更是國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，凱里市某文創(chuàng)公司在苗年和

侗年節(jié)日期間制作了“苗族”和“侗族”兩種玩偶紀(jì)念品進(jìn)行售賣.已知每個(gè)“苗族”玩偶的售價(jià)

比每個(gè)“侗族”玩偶的售價(jià)高4元,用960元購買的“苗族”玩偶的數(shù)量是用960元購進(jìn)的“侗族”

玩偶的數(shù)量的:.

4

(1)求每個(gè)“苗族”玩偶和“侗族”玩偶的售價(jià)；

(2)若某商店一次性購進(jìn)“苗族”玩偶和“侗族”玩偶共500個(gè)，要使總費(fèi)用不超過7200元，則至

少要購買多少個(gè)，，侗族，，玩偶.

【變式2】

(2025?河南信陽?一模)

41.據(jù)燈塔專業(yè)版數(shù)據(jù)，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童鬧?！房偲狈窟_(dá)123.2億元,

登頂全球動(dòng)畫電影票房榜，是亞洲首部票房過百億的影片，并創(chuàng)造了全球單一電影市場最高

票房紀(jì)錄.該片來源于哪吒鬧海的傳統(tǒng)故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊兒

郎當(dāng)，實(shí)則勇敢堅(jiān)毅，強(qiáng)烈反差引發(fā)情感共鳴；“我命由我不由天”的不屈精神，讓觀眾淚

目.為滿足兒童對(duì)哪吒的喜愛，某玩具店決定各用300元購進(jìn)了A、B兩種哪吒玩偶.已知

一個(gè)8種哪吒玩偶是一個(gè)A種玩偶價(jià)格的2倍，且購進(jìn)兩種玩偶的數(shù)量共15個(gè).

試卷第13頁，共18頁

4

AB

(1)求購進(jìn)A、3兩種哪吒玩偶的單價(jià)各是多少元?

(2)因銷售效果不錯(cuò)，該玩具店決定再次購進(jìn)A、&兩種哪吒玩偶共80個(gè)，且A種哪吒玩偶

的數(shù)量不多于8種哪吒玩偶數(shù)量的3倍，問此次購進(jìn)最少要花多少錢?

【變式3】

(2025,四川瀘州,一模)

42.草莓是一種極具營養(yǎng)價(jià)值的水果，當(dāng)下正是草莓的銷售旺季.某水果店以3150元購進(jìn)

/、8兩種不同品種的盒裝草莓，其中/品種進(jìn)價(jià)為35元/盒、8品種50元/盒；若按/品

種60元/盒、B品種80元/盒的標(biāo)價(jià)出售可獲利潤2050元.

(1)求這兩個(gè)品種的草莓各購進(jìn)多少盒？

(2)該店計(jì)劃下周購進(jìn)這兩種品種的草莓共100盒(每種品種至少進(jìn)1盒)，并在兩天內(nèi)將所

進(jìn)草莓全部銷售完畢.(損耗忽略不計(jì))因8品種草莓的銷售情況較好，水果店計(jì)劃購進(jìn)8

品種的盒數(shù)不低于“品種盒數(shù)的2倍，且工品種不少于25盒.如何安排進(jìn)貨，才能使利潤

最大，最大利潤是多少？

誤區(qū)點(diǎn)撥

易錯(cuò)點(diǎn)一：二元一次方程組中含參數(shù)易錯(cuò)問題

解含參數(shù)二元一次方程組，先整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，分系數(shù)是否為零

討論：①系數(shù)行列式非零時(shí)唯一解；②行列式為零，對(duì)比常數(shù)項(xiàng)判斷無解或無窮解，注意

消元時(shí)避免分母為零，警惕參數(shù)特殊值漏解.

例i.

(2025?四川綿陽?二模)

43.若關(guān)于x,y的二元一次方程組?",的解也是方程弘-2夕=8的解，則上的值

[x+y=k

為.

試卷第14頁，共18頁

變式1:

（2025?山東濟(jì)寧?一模）

2x+y=2斤-1

44.已知關(guān)于x，>的方程組的解滿足x+y>l,則左的取值范圍是.

x+2y=-4

變式2：

（2025?浙江寧波?一模）

a,x+b.y=Gx=5

45.若方程組11的解是a則方程組的解是

a2x+b2y=c2y=6

變式3：

（2025?四川內(nèi)江?一模）

[x+2y_z—4

46.若x、八z為非負(fù)實(shí)數(shù)，且',則代數(shù)式--3/+z?的最大值與最小值的

[x—y+2z=1

差是______

易錯(cuò)點(diǎn)二：一元二次方程中含參數(shù)易錯(cuò)問題

混點(diǎn)撥含參一元二次方程易錯(cuò)點(diǎn)：①討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,區(qū)分方

程類型；②用判別式/時(shí)勿忘二次項(xiàng)系數(shù)加；③韋達(dá)定理需以/K）為前提；④參數(shù)范圍結(jié)

合題意及根的分布綜合分析，避免漏解.

例1.

（2025?陜西漢中?二模）

47.若關(guān)于x的一元二次方程％2-3%+2“=0的一個(gè)解為》=-1,則。的值為.

變式1：

（2025?甘肅定西,一模）

48.若正是方程2x?+3x-2=0的根，則式子4m?+6加+2025的值為

變式2：

（2025?河南洛陽?一模）

49.關(guān)于x的一元二次方程3/-2x-c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為

變式3：

（2025?江蘇南京?模擬預(yù)測）

50.若一元二次方程2/-4x-l=0的兩根為"2,n,則〃/+/的值為.

試卷第15頁，共18頁

變式4：

（2025?山東聊城?一模）

51.如果關(guān)于x的方程切x2-2（加+3）x+加=0有實(shí)數(shù)根，那么小的取值范圍是

易錯(cuò)點(diǎn)三：分式方程中含參數(shù)易錯(cuò)問題

分式方程組含參易錯(cuò)點(diǎn)：①關(guān)注分母不為零，參數(shù)可能使分母為

零需排除；②去分母時(shí)防漏乘整式項(xiàng)；③解需驗(yàn)根，增根及無解情況結(jié)合參數(shù)討論，確保

解符合所有分式定義域.

例1.

（2025-黑龍江牡丹江?一模）

52.若關(guān)于x的分式方程也4=1的解為整數(shù)，則整數(shù)機(jī)的值有_____個(gè).

x-3

變式I:

（2025?山東東營?一模）

53.若關(guān)于x的方程工?+?」=3的解是非負(fù)數(shù)，貝卜〃的取值范圍為.

x-22-x

變式2：

（2025?山東?一模）

54.已知方3程-a一-a=41,且關(guān)于x的不等式。只有4個(gè)整數(shù)解，那么b的取值

a-44-a

范圍是?

變式3：

（2025?重慶?二模）

x-]+]>x-\

55.若關(guān)于x的不等式組2-有且僅有1個(gè)奇數(shù)解，且關(guān)于》的分式方程

3x-a>1

注=3-警的解為整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的和為____.

y-22-y

變式4：

（2025?重慶?一模）

2%+11

------->x—I

56.若關(guān)于x的不等式組3有解且至多3個(gè)整數(shù)解，關(guān)于了的分式方程

3（l-x）<x—a

7^--3的解為整數(shù)，那么符合條件的所有整數(shù)。的和為_______.

I-JJ-l

試卷第16頁，共18頁

變式5：

（2025?重慶開州?一模）

f,3x+ll

57.若關(guān)于x的不等式組"5有解且至多5個(gè)奇數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程

2x+5〉。

2a-\

——=4的解為整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)。的和為

y—L2—y

易錯(cuò)點(diǎn)四：不等式中含參數(shù)易錯(cuò)問題

圓不等式組含參易錯(cuò)點(diǎn)：①參數(shù)影響不等號(hào)方向（尤其乘除負(fù)數(shù)

時(shí)）；②邊界值是否取等需結(jié)合題意；③分情況討論參數(shù)范圍（如無解、有解、解集為空）,

注意數(shù)軸標(biāo)根時(shí)參數(shù)位置與區(qū)間開閉.

例1.

（2025?廣東韶關(guān)?一模）

>x-1,

58.若關(guān)于x的不等式組JJ.的解集為x>l,則。的取值范圍是.

3x>2x+2a

變式1:

（2025?黑龍江大慶?一模）

f-2x+3>9

59.若不等式組,,“無解，則左的取值范圍為_______.

[—KX—2<4

變式2：

（2025?黑龍江牡丹江?一模）

（2x+9>6x+l

60.關(guān)于工的不等式組71的解集為x<2,則左的取值范圍為.

變式3：

（2025?山東日照?一模）

fx>m—6

61.線段3,3,加能構(gòu)成三角形，且使關(guān)于x的不等式組"有解的所有整數(shù)%的

[-3x+8>3m-4

和為?

變式4：

（2025?黑龍江大慶?一模）

試卷第17頁，共18頁

Xx-1<

----------<1

62.若整數(shù)。使得關(guān)于x的不等式組,<32有且僅有2個(gè)奇數(shù)解，那么符合

5（x-2）+a<2x-5

條件的所有整數(shù)。的和為.

試卷第18頁，共18頁

1.B

【分析】本題主要考查一元一次方程組的運(yùn)用，理解數(shù)量關(guān)系，正確列式是關(guān)鍵.設(shè)合伙贖

買的有x人，根據(jù)每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，物價(jià)保持不變，由此列式即

可求解.

【詳解】解：設(shè)合伙贖買的有x人，根據(jù)題意：8x-3=7x+4,

故選：B.

2.10人

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)該活動(dòng)小組共有x人，根據(jù)題意列出方程即可

求解，根據(jù)題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)該活動(dòng)小組共有x人，

由題意得，8x-3=5x+27,

解得x=10,

答：該活動(dòng)小組共有10人

3.C

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)在第2根繩子上的打結(jié)數(shù)是x,根據(jù)滿五進(jìn)一

列出方程，然后求解即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)在第2根繩子上的打結(jié)數(shù)是x,根據(jù)題意得：3+5x+lx5x5=43,

解得x=3,

即在第2根繩子上的打結(jié)數(shù)是3,

故選：C.

4.x—12

【分析】本題考查了一元一次方程應(yīng)用，根據(jù)題意可得：14+6=x+8,求解即可得到結(jié)果.

【詳解】解：第1行中間數(shù)與第2列的最上面的數(shù)重合，

依題意得：14+6=x+8,

解得：x—12.

5.應(yīng)該從第一組調(diào)10人到第二組去

【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題

的關(guān)鍵.設(shè)應(yīng)該從第一組調(diào)x人到第二組去，根據(jù)調(diào)整后第一組的人數(shù)為第二組人數(shù)的一半,

列出一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)應(yīng)該從第一組調(diào)x人到第二組去.

答案第1頁，共31頁

根據(jù)題意，得2(26-x)=22+x,

解得x=10,

答：應(yīng)該從第一組調(diào)10人到第二組去.

6.(1)60座客車每輛每天的租金為850元，45座客車每輛每天的租金為650元

(2)6000(元)

【分析】本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)四則混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，正確

理解題意是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)60座客車每輛每天的租金為x元，則45座客車每輛每天的租金為(x-200)元.再

根據(jù)租了5輛60座和3輛45座的客車，一天的租金共計(jì)6200元列出方程求解即可；

(2)根據(jù)(1)所求求出租用4輛60座的客車和4輛45座的客車的費(fèi)用即可得到答案.

【詳解】(1)解:設(shè)60座客車每輛每天的租金為x元,則45座客車每輛每天的租金為(x-200)

元.

由題意得，5x+3(%-200)=6200,

解得x=850.

答：60座客車每輛每天的租金為850元，45座客車每輛每天的租金為650元.

(2)解：由題意得，可知九年級(jí)師生租車的費(fèi)用為：4x850+4x650=6000(元).

7.D

【分析】本題考查二元一次方程組，理解題意，正確列出方程組即可.

【詳解】解：設(shè)木長x尺，繩長了尺，

y-x=4.5

根據(jù)題意，得1,,

I2,

故選：D.

'1

x=—

8.\2

3=1

【分析】本題考查解二元一次方程組，涉及加減消元法解二元一次方程組，將①x3+②消

去了解得x=g,從而代入②得到＞=1即可.熟練掌握加減消元法解二元一次方程組的方法

是解決問題的關(guān)鍵.

答案第2頁，共31頁

6x+2y=5①

【詳解】解:

2x-6y=-5@

由①x3+②得x=g；

將x=；代入②得2x；_6y=_5,

解得歹=1;

一1

X——

.??原方程組的解為2.

y=l

9.C

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)人數(shù)為x人，車數(shù)為了輛，根據(jù)題意列出方

程組即可，根據(jù)題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)人數(shù)為x人，車數(shù)為y輛，

3（y-2）=x

由題意得,

2y+9=x

故選：C.

10.5

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解,熟練掌握二元一次方程組的解是解題的關(guān)鍵.

將解代入原方程組即可求解.

Ix+y=3

【詳解】解：???二元一次方程組八的解是

[x+ay=b

jl+a=3

[\+a2=b

故答案為：5.

11.判斷不能恰好用完預(yù)算.理由見解析

【分析】本題主要考查二元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)購買經(jīng)典文學(xué)x套，購買科普讀物

y套，列出二元一次方程，解得y不是正整數(shù)，不合題意，即可知不能恰好用完預(yù)算.

【詳解】解：判斷不能恰好用完預(yù)算.理由如下：

設(shè)購買經(jīng)典文學(xué)x套，購買科普讀物y套，假設(shè)恰好用完預(yù)算800元，

答案第3頁，共31頁

x-y-10

50x+35y=800

解得y

此時(shí)y不是正整數(shù)，不合題意.

答：不能恰好用完預(yù)算.

12.共能賺140元

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程組是解題關(guān)

鍵.設(shè)張老板批發(fā)了豆角xkg,西紅柿ykg,根據(jù)豆角和西紅柿40kg、共用218元建立方程

組，解方程組求出xj的值，再根據(jù)零售價(jià)和批發(fā)價(jià)計(jì)算利潤即可得.

【詳解】解：設(shè)張老板批發(fā)了豆角xkg,西紅柿ykg,

由題意得：［5.0x+5.6y=218'

x=10

解得:

y=3Q

則（8.2-5.0）x10+（9.2-5.6）x30=140（元）,

因?yàn)?40>0,

所以張老板賣出這些豆角和西紅柿共能賺140元.

K3+63-V3

1222

【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1,常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩

邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，開方即可求出解.

【詳解】解：2X2-6X+3=0,

3

方程變形得：X2-3X=--,

2

配方得：x2-3x+—=,即,

4242)4

開方得，x工土皂,

22

3+V33-6

解得：無］=無2=丁

2

-3-V21-3+萬

14.x1=x

626

答案第4頁，共31頁

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關(guān)

鍵.用公式法解一元二次方程即可.

【詳解】解：；。=3,b=3,c=-l,

.-.A=32-4X3X(-1)=21>0,

-3-VH-3+V21

1626

3

15.(1)—；(2)再=4,%2=-7

【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算、解一元二次方程，熟練掌握運(yùn)算法

則和方程的解法是解題關(guān)鍵.

(1)先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算二次根式的乘法，然后計(jì)算加減法即可得；

(2)方程的左邊可以因式分解為(x-4)(x+7),利用因式分解法解一元二次方程即可得.

【詳解】解：(1)sin30°-cos245°+tan60°-sin60°

~2~2+2

_3

F

(2)X2+3X-28=0,

(x-4)(x+7)=0,

%-4=0或x+7=0,

x=4或x=-7,

所以方程的解為國=4/2=-7.

16.(l)Xj=1+-\/5,%2=1—A/5

(2)x>2

【分析】本題考查解一元二次方程和一元一次不等式組：

(1)利用配方法對(duì)所給一元二次方程進(jìn)行求解即可.

(2)根據(jù)解一元一次不等式組的步驟，對(duì)所給不等式組進(jìn)行求解即可.

答案第5頁，共31頁

【詳解】(1)解：X2-2X-4=0

X?-2%=4,

x?—2x+1=4+1,

(1)2=5,

?'*X—1=，

***X]=1+V5,%=1-V5；

J3x-3〉x+l①

⑵12(2x-l)W5x-l②，

解不等式①得，x>2；

解不等式②得，x>-l,

??.不等式組的解集為無>2.

17.(1)%=-4+而x2=-4-Vn；(2)-1+373;(3)

【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，分式的化簡求值；

(1)把方程化為d+8x+16=l+16,再利用配方法解方程即可；

(2)先計(jì)算乘方，算術(shù)平方根，代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對(duì)值，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)

嘉,再合并即可;

(3)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)分式的減法運(yùn)算，再計(jì)算除法運(yùn)算，最后把a(bǔ)=2-應(yīng)代入計(jì)算即可.

【詳解】解：(1)x2+8x-l=0,

*'?+8x—1，

*'-x2+8x+16=1+16，

.-.(X+4)2=17,

?'*x+4=±Vr7，

*'?再=~4+Jl7,x2=-4-Jl7；

(2)-V*+后一4sin60。一12石一+,

h

=-l+3V3-4x—+2V3-4+4

2

=-1+3A/3-2V3+2V3-4+4

答案第6頁，共31頁

=3^/3—1;

“2—1—3a+1

Q+1a+2

(a+2)(a-2)a+\

Q+1Q+2

=a-2；

當(dāng)a=2-A/2時(shí)，

原式=2--\/2—2=—s/2;

18.20%

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

設(shè)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率為x,根據(jù)從2022年的30萬人增加到2024年的43.2

萬人，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可.

【詳解】解：設(shè)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率為X,

根據(jù)題意得：30(1+x)2=43.2,

解得：網(wǎng)=0.2=20%,X2=-2.2(不符合題意，舍去).

答：該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率為20%.

19.x(x-l)=90

【分析】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，設(shè)小川及兄弟姐妹一共有x人，則每人

需贈(zèng)送出(X-1)份禮物，即可得出關(guān)于X的一元二次方程.

【詳解】解：由題意可得，

x(x-l)=90,

故答案為：x(x-l)=90.

20.7i^|+3^|-x2=72

【分析】本題考查了由實(shí)際問題列出一元二次方程、圓的面積公式，由題圖易得，圓的直徑

答案第7頁，共31頁

2

為x+6,則半徑則為］+3,圓的面積為+,再根據(jù)題意列出一元二次方程即可，理

解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題圖易得，圓的直徑為x+6,則半徑則為］+3,圓的面積為d^+3)2,

可得方程兀e+3：4=72,

故答案為：7i^+3^—X2=72.

21.⑴當(dāng)天可盈利1692元

(2)每件商品降價(jià)25元時(shí)，商場日盈利可達(dá)到2000

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn).熟練掌握總利

潤，每件利潤，件數(shù)的關(guān)系，正確列出式子，列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“盈利=單件利潤x銷售數(shù)量”即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)“盈利=單件利潤x銷售數(shù)量”即可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x

的值，再根據(jù)盡快減少庫存即可確定x的值.

【詳解】(1)解：某天該商品每件降價(jià)3元，則每件商品盈利為：(50-3)元，銷售數(shù)量

(30+2x3)件，

當(dāng)天可盈利(50-3)x(30+2x3)=1692(元)

答：當(dāng)天可盈利1692元；

(2)解:根據(jù)題意得,(50-(30+2x)=2000

整理，得/-35工+250=0

解得，匕=10，x2=25

,?,為了盡快減少庫存，

..x=25

答：每件商品降價(jià)25元時(shí)，商場日盈利可達(dá)到2000元.

22.(1)應(yīng)多種20棵桃樹

(2)應(yīng)種200棵桃樹，桃子的產(chǎn)量才會(huì)達(dá)到最大值，最大值為160000

答案第8頁，共31頁

【分析】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用；

(1)設(shè)多種X棵樹，根據(jù)產(chǎn)量增加15.2%,列方程求解即可；

(2)多種x棵桃樹，桃子的產(chǎn)量為^=(100+^)(1000-2x)=-2x2+800x+100000,當(dāng)

04x4100時(shí)，N隨x的增大而增大，得到當(dāng)丫=100時(shí)，了最大，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)多種x棵樹，則

(100+x)(1000-2x)=100x1000x(1+15.2%),

整理，得：f-400尤+7600=0,

(x-20)(x-380)=0,

解得不=20,x2=380,

???多種的桃樹不能超過100棵，BP0<x<100,380>100,

.?.尤2=380不合題意，故舍去，

???x=20,

答：應(yīng)多種20棵桃樹；

(2)解:多種x棵桃樹，桃子的產(chǎn)量為修則

y=(100+x)(1000-2x)=-2x2+800x+100000,

對(duì)稱軸為直線x=Y：：)=200‘

-2<0,

.?.當(dāng)04x4100時(shí)，夕隨x的增大而增大，

.?.當(dāng)x=100時(shí)，X11ax=(100+100)x(1000-2x100)=160000,

???多種100課桃樹，即應(yīng)種200棵桃樹，桃子的產(chǎn)量才會(huì)達(dá)到最大值，最大值為160000.

23.x=-

2

【分析】本題考查了解分式方程，根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同

類項(xiàng)、系數(shù)化為1、檢驗(yàn)計(jì)算即可得解.

【詳解】解：原方程去分母得2X(2X+1)=4+4X2—1,

整理得2x=3,

3

解得x=5，

答案第9頁，共31頁

3

經(jīng)檢驗(yàn)，％=5是原方程的根.

1

24.x=—.

3

【分析】本題考查了解分式方程，化分式方程為整式方程，找出最簡公分母和驗(yàn)根是解題的

關(guān)鍵.

由題意得，先通分，再去分母，化分式方程為整式方程，求整式方程的解，驗(yàn)根，寫出分式

方程的解即可.

【詳解】解：

x-3x-9

xx-3_8

x-3x-3(x+3)(x-3]

3_8

x-3(x-3)(x+3)，

3(x+3)_8

(x-3)(x+3)(x—3)(x+3)，

3(x+3)=8,

3x=—l,

1

X~~3,

檢驗(yàn)：當(dāng)苫=-；時(shí)，(尤-3)。+3)/0,分母不為0,不是增根，

所以x=-g是原分式方程的解.

25.x=2

【分析】本題主要考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是先變分式方程為整式方程，然后解整式

方程，最后對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可.由解分式方程的步驟進(jìn)行即可.

【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘(x-l)(x+l)得，(x-l)+2(x+l)=7,

解得尤=2,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，(x-l)(x+l)=3^0,

原分式方程的解為x=2.

26.(1)(X-1)2-(X+1)(X-1)=3,等式的性質(zhì)

⑵T

【分析】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法和步驟是解題關(guān)鍵.

答案第10頁，共31頁

(1)根據(jù)解分式方程的方法，先去分母，依據(jù)是等式的性質(zhì)，即可解答；

(2)在