第2章等式與不等式（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、新文化、壓軸）

分類專項(xiàng)訓(xùn)練

【基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2021?上海市通河中學(xué)高一階段練習(xí)）已知"<0<〃，則下列說法中一定正確的是（）

A.m2>rrB.一<—C.mn>rrrD.-J—m<>Jn

mn

【答案】B

【分析】AD選項(xiàng)，舉出反例即可；BC選項(xiàng)，利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【詳解】當(dāng)〃z=-l,"=2時(shí)，滿足〃工止匕時(shí)機(jī)2<〃2,故A錯(cuò)誤；因?yàn)樗?!■<（）,—>0,

mn

—<—,B正確；因?yàn)椤?lt;0<〃，所以加〃<0,m2>0,^mn<nr,C錯(cuò)誤；當(dāng)〃?=-2,”=1時(shí)，滿足;，

mn

?J-m=y/2,6'=1，所以<-m>y,D錯(cuò)誤.

故選：B

2.（2021.上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高一期中）若6為非零實(shí)數(shù)，則下列不等式中成立的是（）

A.|<2+￡>|>|<7-/?|B."+"C.（a+^）2>abD.—+—>2

22ab

【答案】C

【分析】A.如：a=l,b=-l,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.如a,b都是負(fù)數(shù)，顯然不成立，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.利用作差法證明該選項(xiàng)正確；

D.6異號顯然錯(cuò)誤.

【詳解】解：A.|。+。|>|。一耳錯(cuò)誤，如：a=\,b=-1,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.老2族錯(cuò)誤，如a,6都是負(fù)數(shù)，顯然不成立，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.（竺^）2-帥=絲左20,所以（字了24成立，所以該選項(xiàng)正確；

242

D.2+錯(cuò)誤，。力異號顯然錯(cuò)誤.

ab

故選：C

3.（2021?上海市張堰中學(xué)高一期中）若a,b,ceR,且。>人，則下列不等式中一定成立的是（）

2

A.（^a—b^c1>0B.ac>bcC.a-\-b>b—cD.------->0

a-b

【答案】A

【分析】AB選項(xiàng)利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷，CD選項(xiàng)舉出反例

【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)樗?。一?gt;0,c2>0,所以（。一?。2之。，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：當(dāng)cv。

時(shí)，ac<be,當(dāng)c=0時(shí)，ac=be,故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，令a=2,b=l,c=-5時(shí)，不成立，

故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：當(dāng)c=O時(shí)，」一=0,D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故下列不等式中一定成立的是A

a-b

故選：A

4.（2021?上海市桃浦中學(xué)高一期中）下列四個(gè)命題中，為真命題的是（）

A.若a>b,則ac2>bc2

B.若a>b,c>d,則a-c>6-d

C.若a>|b|,則a?〉/

D.若a>b,則一>—

ab

【答案】C

【分析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合特殊值法依次判斷即可.

【詳解】當(dāng)c=0時(shí)，A不成立；

2>1,3>-1,而2—3<1—（―1）,故B不成立；

a=2,6=1時(shí)，—<1,D不成立；

2

由。>|例知a>0,所以。2>按，c正確.

故選：C.

5.（2021.上海市徐匯中學(xué)高一階段練習(xí)）當(dāng)。>b>c時(shí)，下列不等式恒成立的是（）

A.ab>acB.cz|c|>/?|c|C.|aZ?|>|Z?c|D.（o-Z?）|c-Z?|>0

【答案】D

【分析】對于ABC,舉例判斷即可，對于D,利用不等式的性質(zhì)判斷即可

【詳解】對于A,若。=-l,6=-2,c=-3,貝lJaZj=2<ac=3,所以A錯(cuò)誤，

對于B,若a=2,Z?=l,c=。，則44=0="c|=0,所以B錯(cuò)誤，

對于C,若a=-l,>=-2,c=-3,則|聞=2<匠|=6,所以C錯(cuò)誤，

對于D,因?yàn)閍>b>c,所以a一6>0,卜一耳>0,所以（a—6）匕一4>0,所以D正確,

故選：D

6.（2021.上海市大同中學(xué)高一階段練習(xí)）已知x>，>z且x+y+z=0,則下列不等式恒成立的是（）

A.xy>yzB.xz>yz

C.孫〉xzD.x|y|>z|y|

【答案】C

【分析】首先根據(jù)已知條件得到尤>0,z<0,y無法判斷，再依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)閤>y>z且無+y+z=0,所以3x>x+y+z=0,即x>0.

又因?yàn)?z<x+y+z=0,即z<0.

所以x>0,z<0,y無法判斷.

對選項(xiàng)A,當(dāng)y=0時(shí)，*故A錯(cuò)誤；

對選項(xiàng)B,因?yàn)榱?gt;兒z<0,所以xz<yz,故B錯(cuò)誤；

對選項(xiàng)C,因?yàn)?gt;>z,尤>0,所以孫>xz,故C正確；

對選項(xiàng)D,當(dāng)y=0時(shí)，x|y|=z|y|,故D錯(cuò)誤.

故選：C

7.（2021?上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高一階段練習(xí)）若。也ceR,且。>>，則下列不等式中一定成立的是

（）

A.（a—Z?）c2>0B.ac>bc

c1

C.a+b>b-cD.------>0

a-b

【答案】A

【分析】對于AB,利用不等式的性質(zhì)判斷即可，對于CD,舉例判斷

【詳解】對于A,因?yàn)樗浴?>0,因?yàn)?220,所以（。-6）。220,所以A正確，

對于B,若c<0,時(shí)，可得accbc,所以B錯(cuò)誤，

對于C,若。=2,Z?=l,c=-3,貝lja+b=3</?—c=4,所以C錯(cuò)誤，

對于D,若c=0,貝U—=0,所以D錯(cuò)誤，

a-b

故選：A

8.（2021.上海師大附中高一階段練習(xí)）己知6,c都是實(shí)數(shù)，則下列命題中真命題是（）

A.若a>b,則B.若色>2,貝

CCCC

C.若a>b,則&?>秘2;D.若ac?>bc°,則。>6

【答案】D

【分析】當(dāng)c<0時(shí)可判斷A,B；當(dāng)c=0時(shí)可判斷C；利用不等式的性質(zhì)可判斷D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】對于A：若a>b,c<0,-<0,則即故選項(xiàng)A不正確；

CcccC

對于B：若c<0,則幺-c<2c即。<6,故選項(xiàng)B不正確;

CCCC

對于C：若a>b,c=0,可得QC2=》C2,故選項(xiàng)c不正確;

對于D：若〃（？>慶2,貝卜2>0,所以2>0,所以。。2.：>尻2.尚即

故選項(xiàng)D正確;

故選：D.

9.（2021?上海市延安中學(xué)高一階段練習(xí)）若a>6>0,c<d<0,則一定有（）.

A.ac<bdB.ad<beC.ac>bdD.ad>bc

【答案】A

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷.

【詳解】解：根據(jù)c<d<。，有一c>-d>0,由于a>6>0,兩式相乘有一。。>一64,。<;<61,

故選：A.

二、填空題

10.（2022?上海徐匯?高一期末）已知關(guān)于x的不等式依2一3彳+2>0的解集為卜卜<1或則人的值為

【答案】2

37

【分析】由題意可得1和b是方程加-3x+2=0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得1+6=工卜6=*，從

aa

而可求出b的值

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式依2_3x+2>0的解集為卜卜<1或x>可，

所以1和匕是方程依2_，3X+2=0的兩個(gè)根，

所以1+6=工卜6=—,解得。=1力=2,

aa

故答案為：2

2

11.（2022?上海?同濟(jì)大學(xué)第二附屬中學(xué)高一期末）若%+%=3,V+X2=5,則以毛、演為根的一元二

次方程可以是.（寫出滿足條件的一個(gè)一元二次方程即可）

【答案】X2-3%+2=0

【分析】利用兩數(shù)和的完全平方公式得到百馬，再利用根與系數(shù)的關(guān)系寫出一個(gè)滿足條件的方程.

22

【詳解】因?yàn)?+%=3,Xj+x2=5,

所以再%=丁+/2）

即該一元二次方程的兩根之和為3,兩根之積為2,

所以以不、巧為根的一元二次方程可以是Y一3x+2=0.

12.(2021.上海市大同中學(xué)高一期中)關(guān)于無的不等式|x+l|+|x+c|,,l有解，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是

【答案】[0,2]

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為求解Qx+il+lx+ci).,利用三角不等式求解即可.

【詳解】關(guān)于X的不等式|x+l|+|x+c|,,1有解，則(IX+lI+|x+c|)1nhiVI,

|+11+1x++1)-(x+c)|=|c-l|,當(dāng)且僅當(dāng)(x+l).(x+e)M0時(shí)取等號,

(|x+l|+|x+c|)1nm=|c-l|,

BPk-l|<l,解得04c42,

則實(shí)數(shù)c的取值范圍是[0,2].

故答案為：[0,2].

13.(2021.上海市張堰中學(xué)高一期中)函數(shù)〃x)=|x-3|+|x+l|的最小值為.

【答案】4

【分析】利用絕對值三角不等式進(jìn)行求解

【詳解】由絕對值三角不等式得：/(x)=|x-3|+|x+l|>|x-3-(x+l)|=4

所以函數(shù)〃x)=|x-3|+|x+l|的最小值是4

故答案為：4

14.(2021?上海中學(xué)高一期中)不等式(片+1卜<3的解為.

【答案】(-8,士3)

a+1

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求解.

3

【詳解】因?yàn)椤?1>0,所以原不等式的解為％<￡.

a+1

3

故答案為：C-00,—~-).

a+1

15.(2021?上海市第二中學(xué)高一期中)設(shè)實(shí)數(shù)％、y滿足1%+>1=1,則孫的最大值是.

【答案】7

4

【分析】對孫的符號進(jìn)行分類討論，結(jié)合基本不等式求得孫的最大值.

【詳解】若異號，則孫<。，

若％=0,則孫=。，

若y=0,則孫=0,

若X，y同為正數(shù)，則x+y=l,q<（亨j=:,當(dāng)且僅當(dāng)X=y=g時(shí)等號成立.

若X,y同為負(fù)數(shù)，貝（]x+y=-l,（-x）+（—y）=l,

xy=（-%）.（一y）<（卷2：=；,當(dāng)且僅當(dāng)—=一、=-g時(shí)等號成立.

綜上所述，沖的最大值為!.

故答案為：—

4

16.（2021?上海市延安中學(xué)高一期中）已知實(shí)數(shù)x、y滿足—1<XV2,-3<y<5,則x-y的取值范圍為

【答案】（F5]

【分析】求出-5〈-yW3即得解.

【詳解】因?yàn)?3<y<5,所以一5<-y<3,

又因?yàn)?1<XV2,

所以一6<x-yV5.

故x-V的取值范圍為（Y,5].

故答案為：（-6,5]

17.（2021?上海市延安中學(xué)高一期中）不等式=40的解集是.

X-Y

【答案】[一2,1）

【分析】將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組，求解即得.

【詳解】原不等式等價(jià)于卜+2）（：一?4°,解得一2?x1,

[x—lwO

故答案為：[-2,1）.

18.（2021.上海市行知中學(xué)高一階段練習(xí)）已知不等Y式-L/7*<0的解集為A,且2eA,則實(shí)數(shù)。的取值范

x-a

圍是.

【答案】（F,-2）一（2,y）.

【分析】將2代入不等式，解出即可.

【詳解】因?yàn)?eA,所以”<（）=臺|>0=。€（-8,-2）52,+8）.

故答案為：（YO,-2）L（2,+oo）.

19.（2021?上海市行知中學(xué)高一階段練習(xí)）關(guān)于工的不等式2Y+X—1〈。的解集為.

【答案】"

【分析】將不等式因式分解，進(jìn)而解得答案.

【詳解】由題意，2X2+X-1<0^（X+1）（2X-1）<0,則不等式的解集為：

故答案為：（―1為］

三、解答題

20.（2021?上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高一階段練習(xí)）比較下列兩組數(shù)的大小.

（1）2x2+%與％2—1；

（2）2a2+2從與（〃+6

【答案】（1）2X2+X>X2-1;（2）2。2+2/之（。+勾2.

【分析】應(yīng)用作差法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及因式分解，即可判斷代數(shù)式的大小關(guān)系.

【詳解】（1）2x2+x-（x2-1）=x2+x+l,令/（%）=f+工+1,可知函數(shù)圖象開口向上且A=-3<0,

???/。）>。恒成立，即2爐+%>/一i.

（2）24+2/一（。+與2=。2-2ab+b2=（a-b）2>0,

2a2+2b2之,當(dāng)時(shí)等號成立.

21.（2021?上海?高一專題練習(xí)）比較5N+y2+z2與2xy+4x+2z—2的大小.

【答案】5x2+y2+z2>2xy+4x+2z~2

【分析】兩式作差，化為完全平方式可判斷符號，從而判斷兩式的大小.

【詳解】因?yàn)?x2+y2+z2—（2xy+4x+2z—2）=4x2—4x+1+/—2xy+y2+z2—2z+l=（2x—1）2+（%—y）2+（z

—1）2>0,所以5/+,2+22n2孫+44+22—2,當(dāng)且僅當(dāng)"且z=l時(shí)取到等號.

22.（2021?上海?高一專題練習(xí)）已知一元二次方程力x+c=o（〃彳0）的兩實(shí)根為％/、彩，證明：

|?|

【分析】先寫出韋達(dá)定理，再把韋達(dá)定理代入㈤弱化簡即得證.

【詳解】由韋達(dá)定理得：Xl+X2=--,X1X2=-,

aa

則|x/X2|=J?-/=J（X|+X2）2-4X[X2=《Mt="5H'

所以原題得證.

23.（2021?上海?高一■專題練習(xí)）設(shè)awR,求關(guān)于x的方程內(nèi)二片+尤_]的解集.

【答案】當(dāng)awl時(shí)，解集為｛。+1｝；當(dāng)a=l時(shí)，解集為R.

【分析】移項(xiàng)得（a-l）x=/T,再分awl,a=l兩種情況討論求解即可.

【詳解】解:移項(xiàng)，得（。-1）彳=。2—1,

當(dāng)awl時(shí)，x=-——-=a+l,故解集為｛。+1｝；

〃一1

當(dāng)。=1時(shí)，方程有無數(shù)個(gè)解，全體實(shí)數(shù)均可以，所以解集為R.

綜上，當(dāng)。wl時(shí)，解集為｛a+1｝；當(dāng)。=1時(shí)，解集為R.

24.（2021?上海?高一專題練習(xí)）（1）2（x+l）3（x2）>8；

f3x-2（5-3x）>8

02x<2（2x+3）

【答案】⑴（mO）；（2）（2,+co）.

【分析】（1）直接合并同類項(xiàng)即可求解；

（2）分別解兩個(gè)一次不等式，取公共部分即可得解.

【詳解】（1）去括號，得2尤+23尤+6>8

整理得，x>0,則x<0,所以解集為（-8,0）；

f9x>18

（2）由原不等式組可得.、

[2x>-6

[x>2/、

解得，x>-3'所以不等式組的解集為（2，+8）?

【典型】

一、填空題

1.（2021?上海市金山中學(xué)高一期中）不等式3丑Y+一424的解集是___________.

x-2

【答案】（2,12]

12—x

【分析】移項(xiàng)通分化簡，等價(jià)轉(zhuǎn)化為進(jìn)一步等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次不等式（組），注意分母不能為零，然

x-2

后求解即得.

丫+\12-x)(x-2)>0

【詳解】原不等式等價(jià)于3^4t-420,化簡12得-r又等價(jià)于

x—2x-2%—2w0

解得：2Vx<12,

故答案為：（2』2].

Q

2.（2021?上海?高一單元測試）當(dāng)X>1時(shí)，求2%+號的最小值為___________.

x-1

【答案】10

【分析】化為積為定值的形式后，利用基本不等式可求得結(jié)果.

88

【詳解】當(dāng)x>l時(shí)，2xH-------=2(x—1)H---------F2>2.2(x—l)—-—1-2=8+2=10>

x-1x-1Vx-1

X>1

當(dāng)且僅當(dāng)8，即1=3時(shí)等號成立.

2（I）F

Q

***2xH-------的最小值為10.

x-1

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成

積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

Y+3

3.（2021?上海虹口.高一期末）不等式一Mo的解集為.

x-17

【答案】[-3,1）

【分析】將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次不等式組，求解即得.

【詳解】原不等式等價(jià)于尸解得-3*1,

故答案為：43,1）.

4.（2021?上海.高一期中）不等式,V尤的解集是.

【答案】{x|TW尤<0或尤21}

【分析】利用移項(xiàng)通分，轉(zhuǎn)化為整式不等式組，即得答案.

111_r2

【詳解】一V%,.0.—x<0,/.----<0.

XXX

(x-l)(x+l)^o

X

Jx>0、Jx<0

1(x-l)(x+l)>0^1(x-l)(x+l)<0?

不等式的解集是{x[T<x<0或xNl}.

X

故答案為{x|TVx<0或xNl}.

【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的解法，屬于簡單題.

2

5.(2021?上海?高一單元測試)己知4=k,+21,尤eJ?}吁吐Li則AB-

【答案】卜2,4]

【分析】求出集合A、B,然后利用交集的定義可求出集合AB.

【詳解】解不等式3"221=3。，得x+220,解得轉(zhuǎn)―2,則4=[-2,y).

OY1丫

解不等式一^41，即二74。，解得-3<x?4,則3=(-3,4].

x+3x+3

因此，AB=[-2,4].

故答案為：[-2,4].

【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算，同時(shí)也考查了指數(shù)不等式和分式不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于

基礎(chǔ)題.

6.(2021.上海虹口?高一期末)不等3式+九號W0的解集為_____.

x-1

【答案】[一3,1)

【分析】解分式不等式二一40即可得出該不等式的解集.

x-1

【詳解】解不等式注wo得-3Wx<l,因此，不等式二40的解集為卜3,1).

x-1x-1

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2021?上海?高一期中)已知集合&={刈1。82苫<1},B={X\^-<Q],則AB=_______.

x+2

【答案】(0,1)

【分析】根據(jù)對數(shù)不等式以及分式不等式的解法求解出對應(yīng)解集即為集合AB,然后由交集運(yùn)算計(jì)算出

A8的結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閘og?x<l,所以。<尤<2,所以4=（0,2）,

又因?yàn)榛?lt;0,所以（x—l）（x+2）<0,所以3=（-2,1）,

則A3=（0,1）.

故答案為（0,1）.

【點(diǎn)睛】（1）解分式不等式注意將其先轉(zhuǎn)變?yōu)檎讲坏仁降男问?，然后再求解集?/p>

（2）解對數(shù)不等式時(shí)要注意到對數(shù)的真數(shù)大于零這一隱含條件.

8.（2021?上海市行知中學(xué)高一階段練習(xí)）關(guān)于x的不等式尤?+6尤+0>0的解集是（-鞏-2）則

b+c=.

7

【答案】4

【分析】利用二次不等式解集與二次方程根的關(guān)系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根與

系數(shù)的關(guān)系，得到b和。的值，得到答案.

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于X的不等式f+6x+c>0的解集是（-鞏-2）1；，+，］，

所以關(guān)于x的方程無2+fov+c=0的解是了=-2,工=-二，

2

—2—=—b,5

2b=—

由根與系數(shù)的關(guān)系得（、，解得，2,

-2x--=cc-1

7

所以b+c=］.

【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式解集和二次方程根之間的關(guān)系，屬于簡單題.

二、解答題

9.（2021?上海?高一專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式：x2-（3a-V）x+2a1-2a>0.

【分析】根據(jù)條件得［彳一（。一1）］（》一2。）>0,討論口一1與2a的大小，求解即可.

【詳解】原不等式可化為［尤-l）］（x-2a）>0,

討論與2〃的大小.

（1）當(dāng)a—l>2a,即av—1時(shí)，不等式的解為｛N吊。-1或x<2〃｝；

（2）當(dāng)。一1=2。，即。=一1時(shí)，不等式的解為｛xeR|xw-2｝；

(3)當(dāng)a-l<2a,即a>-l時(shí)，不等式的解為｛尤|?2?；騲<a-l｝.

綜上：當(dāng)“<-1時(shí)，不等式的解為國耳。-1或x<2a｝；當(dāng)。=-1時(shí)，不等式的解為｛尤eR|xr-2｝；當(dāng)。>—1

時(shí)，不等式的解為｛刃力2a或

'|2.r-l|<5

10.(2021.上海.高一單元測試)解不等式組：1

----W1

Lx-i

【答案】[-2,1)32,3]

【分析】將絕對值不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式組求解；將分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，并注意分母不為零

求解；然后取交集得到原不等式組的解集.

【詳解】由|2x-l|w5得一5V2龍一1W5,BP-2<x<3；

由「7Ml得口W0,即等價(jià)于](2一"，一：)"。，

X—1%—1x—\[1—1W。

解得光V1或122；

?,?原不等式組的解集為[-2,1)D[2,3],

故答案為：卜2,1)。[2,3].

【易錯(cuò)】

選擇題(共4小題)

1.(2021秋?長寧區(qū)校級期中)已知機(jī)、w是非零常數(shù)，不等式機(jī)(尤+1)(x-3)20的解集為A,不等式

n(x+1)(尤-3)>0的解集為8,則““加<0”是"AUB=R”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的定義、一元二次不等式的解法以及集合并集的運(yùn)算進(jìn)行分析求解即

可.

【解答】解：①當(dāng)機(jī)〃<0時(shí)，若相<0,則〃>0,此時(shí)A=[-l,3],B=(-8,-1)u(3,+8),

所以AU2=R；

當(dāng)機(jī)>0,w<0時(shí)，此時(shí)A=(-8,-1]U[3,+8),B=(-1,3),所以AUB=R,

所以umn<On是"AUB=&”的充分條件；

②當(dāng)AUB=R時(shí)，若m<0,此時(shí)A=[-l,3],

當(dāng)〃<0時(shí)，B—(-1,3),不滿足題意，

當(dāng)〃>0時(shí)，B=(-8,-1)U(3,+8),符合題意，此時(shí)"2〃<0；

若機(jī)>0,此時(shí)A=(-8,-1]U[3,+8),

當(dāng)w>0時(shí)，B=(-8,-1)U(3,+8),不符合題意；

當(dāng)〃<0時(shí)，B=(-1,3),滿足題意，此時(shí)加〃<0；

所以是“AUB=R”的必要條件.

綜上所述，“相〃<0”是“AUB=R”的充要條件.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了充分條件與必要條件的判斷，一元二次不等式的解法，集合之間關(guān)系的運(yùn)用問題，

也考查了邏輯推理與運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.

2.(2021秋?黃浦區(qū)校級月考)設(shè)x,y,ze(0,+°°),a=x+—,b=y+—,c=z+—,則a,b,c三數(shù)()

yzx

A.至少有一個(gè)不大于2B.都小于2

C.至少有一個(gè)不小于2D.都大于2

【分析】將三個(gè)式子相加，構(gòu)造出均值不等式的形式，由均值不等式可得a+b+c26,從而推出a,b,c

的范圍.

【解答】解：a+b+c—x+—+y+—+z+—：>'6,

yzx

'.a,b,c至少有一個(gè)不小于2.

故選：C.

【點(diǎn)評】基本不等式是高考重點(diǎn)考查的知識點(diǎn)之一，應(yīng)用基本不等式時(shí)，要熟練掌握不等式成立的條件

與重要不等式的變形.

3.(2021秋?浦東新區(qū)校級月考)下列各組不等式，同解的一組是()

2

A./-2x<3與-J-2三〈旦_

X-lX-1

B.(x+3)/>(2x+l)x2與x+3>2x+l

C.'七W)與x+l>0

x-3

2

D.J+4x>2與工+m―>————

(x+l)2(x+l-

2

【分析】對于選項(xiàng)A,x=l是不等式7-2r<3的解，不是三二工的解，故不同解，同理排除

X-lX-1

選項(xiàng)8,C；對于選項(xiàng)。，xjx>————可化為<,結(jié)合(-1)2+4(-1)<2知，

(x+l)2(x+l)2[X2+4X>2

.?等價(jià)于/+4尤>2.

,x，4x>2

【解答】解：對于選項(xiàng)A,

2

X=1是不等式/-2尤<3的解，不是9-2三V工的解,故不同解，

X-lX-1

對于選項(xiàng)B,

x=0是不等式x+3>2x+l的解，不是(x+3)/>(2x+l)/的解，故不同解，

對于選項(xiàng)C,

尤=3是不等式x+l>0的解，不是(x-3)(x+1)>o的解,故不同解，

x-3

對于選項(xiàng)D,

,?x2+4x>2

,(X+1)2(x+l)2'

.(x+1盧0

,，,X2+4X>2，

又，;(-1)2+4(-1)<2,

等價(jià)于f+4x>2,

.x^+4x>2

2

故不等式?+4.r>2與.x+4x〉2同解；

(x+1)2(x+1)2

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了不等式的解法應(yīng)用，重點(diǎn)考查了分式不等式的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.

4.(2021秋?普陀區(qū)校級期末)若不等式|x-4|-|x-3忌。對一切實(shí)數(shù)x￡R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是()

A.a>1B.a<1C.aWlD.

【分析】此題為恒成立問題，若不等式|了-4|-以-3忌。對一切實(shí)數(shù)尤)^恒成立，則。一定大于等于|x

-4|-|x-3|的最大值，再把|x-4|-|x-3|看作函數(shù)解析式，利用圖象求出值域，找到最大值即可.

【解答】解：設(shè)fG)=|x-4|-|x-3|,去絕對值符號，

T,x<3

得/(x)=<7-2x,34x<4，

-1,x>4

畫出圖象，如右圖，根據(jù)圖象，可知函數(shù)的值域?yàn)閇0,1]

不等式|x-4|-|x-3|Wa對一切實(shí)數(shù)xCR恒成立，

大于等于/（x）的最大值，即“21

故選：D.

>4

____________L

034X

【點(diǎn)評】本題主要考查了恒成立問題的解法，其中用到了圖象法求函數(shù)的值域.

二.填空題（共8小題）

5.（2022?浦東新區(qū)校級二模）不等式工<1的解集為.

X

【分析】首先移項(xiàng)通分，等價(jià)變形為整式不等式解之

【解答】解：原不等式等價(jià)于曰〉0,即尤（X-1）>0,

X

所以不等式的解集為（1，+°°）U（-8,0）；

故答案為：（1,+8）U（-8,0）

【點(diǎn)評】本題考查了分式不等式的解法；關(guān)鍵是正確轉(zhuǎn)化為整式不等式解之.

6.（2021秋?黃浦區(qū)校級月考）關(guān)于尤的不等式依+b>0的解集為（-8,1）,則關(guān)于尤的不等式區(qū)N_>

x+2

0的解集為.

【分析】由條件可得a+6=0（a<0）,再將分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，即可求得解集.

【解答】解：由X的不等式以+b>0的解集為（-8,1）,

可得4+6=0（。<0）,

即b=-a,

關(guān)于x的不等式區(qū)衛(wèi)>0即為

x+2

-ax-5,

x+2

即有211>0,

x+2

即為(尤+1)(x+2)>0,

解得x>-1或-2.

則解集為(-8,-2)U(-1,+8).

故答案為：（-8,-2）U（-1,+°°）.

【點(diǎn)評】本題考查含參不等式的解法，主要考查分式不等式的解法，注意轉(zhuǎn)化為二次不等式求解，以及

方程和不等式的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.

7.（2021秋?寶山區(qū)校級月考）關(guān)于x的不等式2?+尤-1<0的解集為.

【分析】利用因式分解化27+xT<0為（2x-1）（尤+1）<0即可.

【解答】解：2/+x-1<0可化為（2x7）（x+1）<0,

即-1<尤<?1,

2

故不等式的解集為（-1,1）.

2

故答案為：（-1,1）.

2

【點(diǎn)評】本題考查了二次不等式的解法及化簡運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.（2021秋?嘉定區(qū)校級期中）設(shè)團(tuán)表示不超過x的最大整數(shù)，如=1.4]=-2,則不等式4國?

-20[.v]+21<0的解集是.

【分析】解一元二次不等式4印2-20[X]+21<0,再根據(jù)國表示不超過x的最大整數(shù)，即可求出尤的取

值范圍.

【解答】解：不等式4印2-20[x]+21<0可化為（2田-3）（2[x]-7）<0,

解得旦〈田〈工，

22

又國表示不超過X的最大整數(shù)，所以印=2或3,

所以2Wx<4,

即不等式4印2-20W+2K0的解集是{x|2Wx<4}.

故答案為：{尤|2W尤<4}.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次不等式的解法以及對新定義的理解能力，是基礎(chǔ)題.

9.（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）如果關(guān)于尤的不等式仇-3|+仇-4|<。的解集不是空集，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是.

【分析】先求表達(dá)式|x-3|+|x-4|的最小值，要求解集不是空集時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍，只要a大于表達(dá)

式|x-3|+|x-4|的最小值即可.

【解答】解：|尤-3|+|x-4|的幾何意義是數(shù)軸上的點(diǎn)x到3和4的距離之和，

當(dāng)x在3、4之間時(shí)，這個(gè)距離和最小，是1.其它情況都大于1,

所以「3|+|…|21,

如果不是空集，所以。>1,

故答案為：（1,+°°）.

【點(diǎn)評】本題考查絕對值不等式的幾何意義，是基礎(chǔ)題.

10.（2021秋?寶山區(qū)校級月考）已知函數(shù)>=/飛+1">0且aWi）的圖像恒過定點(diǎn)P,且點(diǎn)尸在直線

mx+ny-2—0（mn>Q）上，則上+■的最小值為.

mn

【分析】由題意得方程[2r=0,從而確定2加+2〃-2=0,化簡工3=（工3）6w+”）=丑+為+3,

Il+l=ymnmnmn

利用基本不等式求最值即可.

【解答】解：:函數(shù)>=。2一%+1（〃>0且〃W1）的圖像恒過定點(diǎn)尸，

...[2X-0,解得％=2,y=2,

Il+l=y

故點(diǎn)尸（2,2）,貝!J2M+2〃-2=0,

所以m十幾=1（mn>0）,

所以工二=（工二）（m+n）=Il+_?5L+3,2V^+3,

mnmnmn

（當(dāng)且僅當(dāng)丑=2里，即機(jī)"=2-7歷時(shí)，等號成立），

mn

故答案為：2加+3.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)、直線方程及基本不等式，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法及轉(zhuǎn)化法，屬于中檔題.

11.（2021秋?寶山區(qū)校級月考）已知不等式三旦<0解集為A,且2EA,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

x-a

是.

【分析】由題意知2里<0,轉(zhuǎn)化為（2+a）（a-2）>0,從而求得.

2-a

【解答】解：由題意知，

.2iKo,

2-a

即（2+a）（?-2）>0,

解得a>2或a<-2,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是{o|a>2或。<-2},

故答案為：{。|。>2或-2}.

【點(diǎn)評】本題考查了分式不等式的解法及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）不等式近2一丘-1<。恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為.

【分析】討論上與0的關(guān)系，分別求出表達(dá)式恒成立的左的范圍；k^O,不等式依2一日-i<o恒成立

fk<0

等價(jià)于?,解得人的范圍.

△=k+4k<0

【解答】解：①仁0時(shí)原表達(dá)式為-1<0成立;

fk<o

②k￥0,不等式息2-履-l<0恒成立等價(jià)于<,解得-4<左<0；

A=k2+4k<0

綜上k的取值范圍為-4〈左W0；

故答案為：(-4,0].

【點(diǎn)評】本題考查了表達(dá)式恒成立時(shí)參數(shù)范圍的取值；關(guān)鍵是討論二次項(xiàng)系數(shù)與。的關(guān)系.

三.解答題(共2小題)

13.(2020秋?徐匯區(qū)校級期末)已知函數(shù)/(無)=/-Ca+b)x+a.

(1)若關(guān)于x的不等式/(x)<0的解集為(1,2),求a,b的值；

(2)當(dāng)6=1時(shí)，解關(guān)于尤的不等式/(x)>0.

【分析】(1)由不等式/(%)<0的解集得出對應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a、6的值；

(2)b=l時(shí)不等式可化為(x-a)(x-1)>0,討論a與1的大小，從而求出不等式的解集.

【解答】解：(1)由函數(shù)/(x)=/-(a+b)x+a,不等式/(x)<0化為x2-(a+6)x+a<0,

由不等式的解集為(1,2),所以方程，-(a+6)x+a=0的兩根為1和2,

由根與系數(shù)的關(guān)系知：1l+2=a+b,解得。=2,b=l.

llX2=a

(2)6=1時(shí)不等式/(x)>0可化為/-(a+1)x+a>0,

即(x-a)(x-1)>0；

當(dāng)a>l時(shí)，解不等式得尤<1或無>a；

當(dāng)a=l時(shí)，解不等式得x#l；

當(dāng)a<l時(shí)，解不等式得尤<a或x>l.

所以。>1時(shí)，不等式的解集為｛川尤<1或x>a｝；

a=l時(shí)，不等式的解集為｛尤|無#1｝；

a<l時(shí)，不等式的解集為｛無枕<a或x>l｝.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想，是中檔題.

14.(2021秋?徐匯區(qū)校級期中)若不等式5-尤>7|x+l|與不等式/+"-2>0同解，而|x-。|+|尤-b|W上的

解集為空集，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

【分析】先將“不等式5-尤>7僅+1]”轉(zhuǎn)化為卜》?、和卜兩種情況求解，最

(5-x>7(x+l)5-x>-7(x+1)

后取并集，再由“與不等式cu^+bx-2>0同解"，利用韋達(dá)定理求得a,b,最后由u\x-6z|+|x-b\^k

的解集為空集”求得((\x-a\+\x-br最小值即可.

【解答】解：卜》?得

15-x>7(x+l)Z4

或Ifx<-l得（3分）

5-x>-7（x+1）

綜上不等式的解集為{x|-2<x<4}>

又由已知與不等式aj^+bx-2>0同解，

（b9

■—二——

a4

所以解得（7分）

a2b=-9

a<0

則|x-a\+\x-b\^\x-a-x+b\=\b-a|=5,

所以當(dāng)|x-a|+|x-勿W氏的解為空集時(shí)，k<5.（10分）

【點(diǎn)評】本題主要考查絕對值不等式的解法，一元二次不等式的解集與相應(yīng)方程根的關(guān)系，以及不等式

恒成立問題.

【新文化】

一、單選題

1.（2021.上海交大附中高一開學(xué)考試）古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿

原理，它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時(shí)，左臂長與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臀長與右盤

物品質(zhì)量的乘積，某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長）稱，某顧客要購買10g,售貨員先將5g的

祛碼放在左盤，將放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將5g的祛碼放入右盤，將另一放于左盤使之平衡后

又給顧客，則顧客實(shí)際所得（）

A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g

【答案】A

【分析】設(shè)天平左臂長為。，右臂長為6（不妨設(shè)。>6）,先稱得的的實(shí)際質(zhì)量為風(fēng)，后稱得的的實(shí)際質(zhì)

量為生.根據(jù)天平平衡，列出等式，可得叫，啊表達(dá)式，利用作差法比較叫+牡與10的大小，即可得答案.

【詳解】解：由于天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長為。，右臂長為