第

四

節(jié)

冪

級

數(shù)

二、一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、二、冪級數(shù)及其收斂半徑二、三、冪級數(shù)的運算高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)

是定義在區(qū)間

上的一列函數(shù)，則表達式稱為定義在區(qū)間

上的函數(shù)項級數(shù).對于

，若數(shù)項級數(shù)收斂，則稱點

為函數(shù)項級數(shù)

的收斂點；如果數(shù)項級數(shù)

發(fā)散，則稱點

為函數(shù)項級數(shù)

的發(fā)散點.

高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)收斂點的全體稱為函數(shù)項級數(shù)

的收斂域.

對應(yīng)于函數(shù)項級數(shù)收斂域內(nèi)的任意一點

，函數(shù)項級數(shù)成為一個收斂的數(shù)項級數(shù)，因而有一確定的和.這樣，在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)的和是

的函數(shù)，稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)，記為

，即函數(shù)項級數(shù)

的前

項部分和記為

，則在收斂域上，有高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)二、冪級數(shù)及其收斂半徑

冪級數(shù)的一般形式為

其中常數(shù)

稱為冪級數(shù)的系數(shù).不失一般性，下面只研究形如的冪級數(shù).例如

冪級數(shù)當

時收斂，收斂域為它是以原點為中心的開區(qū)間.問題：一般冪級數(shù)的收斂域是什么樣的呢？高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)(1)若冪級數(shù)

在點

處收斂,則對于滿足

的一切

，

*定理［阿貝爾(Abel)定理］冪級數(shù)

均收斂．(2)若冪級數(shù)

在點

處發(fā)散,則對于滿足

的一切

，冪級

數(shù)

均發(fā)散．高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)

幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域

阿貝爾定理表明

高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)定理1

（冪級數(shù)收斂定理）

冪級數(shù)

的收斂域有三種可能：（1）存在一個正數(shù)

，使得冪級數(shù)在開區(qū)間

內(nèi)收斂，在閉區(qū)間

外發(fā)散，在區(qū)間端點

處可能收斂也可能發(fā)散.(2)冪級數(shù)對一切的

都收斂；(3)冪級數(shù)只在

處收斂.這里，正數(shù)

稱為冪級數(shù)的收斂半徑，開區(qū)間

稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.如果冪級數(shù)對一切的

都收斂，則規(guī)定收斂半徑如果冪級數(shù)只在

處收斂，則規(guī)定收斂半徑可見，求冪級數(shù)收斂域的關(guān)鍵是找出冪級數(shù)的收斂半徑.如何求收斂半徑呢？高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)定理2給定冪級數(shù)

，設(shè)則

（1）當

時，（2）當

時，（3）當

時，高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)證考察級數(shù)

，由于

（1）若

，由正項級數(shù)的比值判別法可知：當

，即時，級數(shù)

收斂，從而級數(shù)

絕對收斂；當

時，級數(shù)

發(fā)散，且這時

所以

從而級數(shù)

發(fā)散.于是級數(shù)

的收斂半徑為高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)（2）若

，則對一切的

都有所以級數(shù)

收斂，從而級數(shù)

收斂.于是（3）若

，則對任意的

都有所以級數(shù)

發(fā)散，且這時

所以

從而級數(shù)

發(fā)散，于是高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)例1求冪級數(shù)

的收斂域.解這里

，因為所以收斂半徑

收斂區(qū)間為當

時，級數(shù)成為

，由萊布尼茨判別法知該級數(shù)收斂；當時，級數(shù)成為

，是

的

級數(shù)，是收斂的.綜上所述，冪級數(shù)

的收斂域為高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)例2求冪級數(shù)

的收斂域.解這里

，因為所以收斂半徑

收斂域為例3求冪級數(shù)

的收斂域.解這里

，因為所以收斂半徑

級數(shù)僅在

處收斂.高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)例4求冪級數(shù)

的收斂域.解因為該級數(shù)缺少奇數(shù)次冪的項，所以不能直接求收斂半徑.在此用比值判級數(shù)發(fā)散，所以冪級數(shù)的收斂半徑

收斂區(qū)間為

別法來求收斂半徑.因此當

，即

時，冪級數(shù)收斂；當

，即

時，冪

當

時，級數(shù)為

，發(fā)散；當

時，級數(shù)也為

，發(fā)散.綜上所述，冪級數(shù)的收斂域為高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)例5求冪級數(shù)

的收斂域.解因為當

時，級數(shù)成為

，由萊布尼茨判別法知該級數(shù)收斂；當

時，級數(shù)成為

，為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的.所以收斂半徑

即

時，級數(shù)收斂，故收斂區(qū)間為綜上所述，冪級數(shù)

的收斂域為高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)三、冪級數(shù)的運算設(shè)冪級數(shù)及的收斂區(qū)間分別為

，和函數(shù)分別為

，令

，則在區(qū)間

內(nèi)兩級數(shù)可逐項相加、相減和相乘.高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)逐項相加或相減：逐項相乘：高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)冪級數(shù)的和函數(shù)有下列性質(zhì)：性質(zhì)1冪級數(shù)

的和函數(shù)

在其收斂域上連續(xù).性質(zhì)2冪級數(shù)

的和函數(shù)

在其收斂域上可積，并且有性質(zhì)3冪級數(shù)

的和函數(shù)

在其收斂區(qū)間內(nèi)可導，并且有高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)

冪級數(shù)

逐項積分或逐項求導后所得冪級數(shù)與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑，并且在收斂區(qū)間內(nèi)新得到的冪級數(shù)的和函數(shù)分別為原冪級數(shù)的和函數(shù)的積分或?qū)?shù).

說明：在求冪級數(shù)的和函數(shù)時，直接求不太方便，可以先逐項積分或逐項求導后得新的冪級數(shù)，通過新冪級數(shù)的和函數(shù)求原冪級數(shù)的和函數(shù).高等數(shù)學第8.4節(jié)冪級數(shù)例6

求冪級數(shù)

的和函數(shù).解

易知該冪級數(shù)的收斂域為設(shè)和函數(shù)為即逐項積分，得于