第

二

節(jié)

洛必達(dá)法則

二、二、二、三、其他類型未定式

高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則例如

高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則

定理1

設(shè)函數(shù)

和

滿足

則

存在（或為無窮大），且（1）（2）在點(diǎn)

的某去心鄰域內(nèi)，

都存在，且（3）存在（或為無窮大），

這種在一定條件下通過分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則所以可以補(bǔ)充證因為當(dāng)

時，

的極限與

及

無關(guān)，定義域內(nèi)連續(xù).于是由條件（1）、（2）可知，

在點(diǎn)

的某鄰設(shè)

是該鄰域內(nèi)的一點(diǎn)，則

在以

和

為端點(diǎn)的閉區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件，故有注意到

時，有

，所以即說明高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則并且當(dāng)上式右端為無窮大時，左端也為無窮大.（2）如果將極限過程換成則只要將定理1的條件作相應(yīng)的改動，結(jié)論仍然成立.（1）如果

仍是

型未定式，且

滿足定理中所滿足的條件，那么可繼續(xù)用洛必達(dá)法則，即以此類推，直到求出極限為止.高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則例１

求解例2

求解注意：如果極限不是未定式，則不能使用洛必達(dá)法則，否則可能導(dǎo)致錯誤結(jié)果.高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則

在應(yīng)用洛必達(dá)法則時應(yīng)注意與其他求極限的方法結(jié)合，特別能用等價無窮小代換的就先用等價無窮法代換，以簡化運(yùn)算.例3

求解解法2高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則例４

求解例5

求解高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則

定理2

設(shè)函數(shù)

和

滿足

則存在（或為無窮大），且（2）在點(diǎn)

的某去心鄰域內(nèi)，

都存在，且（3）存在（或為無窮大），（1）

說明

若將極限過程換成則只要將定理2的條件作相應(yīng)的改動，結(jié)論仍然成立.高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則例6解說明例7

求解若為正整數(shù),則相繼應(yīng)用洛必達(dá)法則次，得高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則若不是整數(shù),則應(yīng)用洛必達(dá)法則

次，得說明故所求極限為零.結(jié)論高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則三、其他類型未定式其他類型的未定式有：未定式都可以化為洛必達(dá)法則可解決的類型.例8解如果按下面這種化法呢？解不出！所以哪一個函數(shù)留在分子上很關(guān)鍵.這些類型的高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則例9解高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則對于

未定式，可利用

恒等變形去轉(zhuǎn)化.例10解例11解高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則注意

洛必達(dá)法則的條件是充分而非必要條件