第十一章

三角形三角形是一種基本的幾何圖形，從古埃及的金字塔到現(xiàn)代的建筑物，從巨大的鋼架橋到微小的分子結(jié)構(gòu)，到處都有三角形的形象。為什么在工程建筑、機(jī)械制造中經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)呢?這與三角形的性質(zhì)有關(guān).一個(gè)三角形有三個(gè)角、三條邊.三個(gè)角之間有什么關(guān)系?三條邊之間有什么關(guān)系?在小學(xué)我們通過(guò)測(cè)量得知三角形的內(nèi)角和等于180°，但測(cè)量常常有誤差，三角形有無(wú)數(shù)多個(gè)，要說(shuō)明任意一個(gè)三角形都符合這一規(guī)律，就不能只靠測(cè)量，而必須通過(guò)推理證明.本章中，我們就來(lái)證明這個(gè)結(jié)論，三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形，也是認(rèn)識(shí)其他圖形的基礎(chǔ).本章將在學(xué)習(xí)與三角形有關(guān)的線段和角的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)多邊形的有關(guān)知識(shí)，如借助三角形的內(nèi)角和探究多邊形的內(nèi)角和.學(xué)習(xí)本章后，我們不僅可以進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三角形，而且還可以了解一些幾何中研究問(wèn)題的基本思路和方法.三角形與三角形有關(guān)的線段三角形的內(nèi)角和三角形的外角和三角形的邊高中線角平分線多邊形的內(nèi)角和多邊形的外角和本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解三角形及與三角形有關(guān)的線段(邊、高、中線、角平分線)的概念，證明三角形兩邊的和大于第三邊，了解三角形的重心的概念，了解三角形的穩(wěn)定性.2.理解三角形的內(nèi)角、外角的概念，探索并證明三角形內(nèi)角和定理，探索并掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余，掌握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形，掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.3.了解多邊形的有關(guān)概念(邊、內(nèi)角、外角、對(duì)角線、正多邊形)，探索并掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.教材前后關(guān)聯(lián)八年級(jí)上冊(cè)第十一章三角形八年級(jí)上冊(cè)第十二章全等三角形八年級(jí)下冊(cè)第十七章勾股定理九年級(jí)下冊(cè)第二十七章相似九年級(jí)下冊(cè)第二十八章銳角三角函數(shù)三角形的邊，角，特殊線段直角三角形的邊全等三角形的邊，角直角三角形的邊與角相似三角形的邊，角11.1.1三角形的邊1.理解三角形的定義，認(rèn)識(shí)三角形的邊、頂點(diǎn)、內(nèi)角等;2.能用幾何語(yǔ)言表示三角形，會(huì)對(duì)三角形進(jìn)行分類(lèi)；3.掌握三角形的三邊關(guān)系，并能用它解決相關(guān)問(wèn)題.

學(xué)習(xí)目標(biāo)三角形是我們熟悉的圖形，觀察下列圖片，你能說(shuō)一說(shuō)三角形是怎樣的圖形嗎？

新課引入(1)三條線段；(2)不在同一直線上；(3)首尾順次連接.一

三角形的相關(guān)概念A(yù)BC

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.邊：如圖，線段

AB，BC，CA是三角形的邊.頂點(diǎn)：如圖，點(diǎn)

A，B，C是三角形的頂點(diǎn).角：如圖，∠A，∠B，∠C叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角.新知學(xué)習(xí)頂點(diǎn)是A，B，C的三角形，記作：△ABC，讀作“三角形ABC”.ABCabc邊的表示：△ABC的三邊，有時(shí)也用a，b，c來(lái)表示.如圖，頂點(diǎn)A

所對(duì)的邊BC

用a

表示;

頂點(diǎn)B

所對(duì)的邊AC

用

b

表示;

頂點(diǎn)

C

所對(duì)的邊AB

用c

表示.例1 如圖所示，共有_____個(gè)三角形，用符號(hào)表示這些三角形為_(kāi)_____________________________________________；△ADC

的角有___________________；以AB

為邊的三角形有_______________；以D

為頂點(diǎn)的三角形有________________；∠C

是△ADC

的_____邊的對(duì)角；BD

是△ABD

中∠_____的對(duì)邊.CDAB3△ABD△ADC△ABC∠ADC∠C∠DAC△ABD△ABC△ABD△ADCADBAD二

三角形的分類(lèi)三邊都不相等的三角形.三邊都相等的三角形叫做等邊三角形；有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；我們知道，三角形按角可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.你能按照邊的關(guān)系對(duì)三角形進(jìn)行分類(lèi)嗎？歸納以“是否有邊相等”，可以將三角形分為兩類(lèi)：三邊都不相等的三角形等腰三角形等邊三角形三角形三邊都不相等的三角形等腰三角形等邊三角形底邊和腰不相等的等腰三角形例2判斷下列說(shuō)法是否正確.①等腰三角形是等邊三角形;()②三角形按邊可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形;

()③等腰三角形至少有兩邊相等;

()④三角形按角可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.

()

√√三

三角形的三邊關(guān)系探究

任意畫(huà)一個(gè)△ABC，從點(diǎn)B

出發(fā)，沿著三角形的邊到點(diǎn)C，有幾條路線可以選擇？各條路線的長(zhǎng)有什么關(guān)系？能證明你的結(jié)論嗎？ABC有2條路線可以選擇，分別是B

→

C，

B

→

A

→

C.AB+AC>BC.ABC對(duì)于任意一個(gè)△ABC，如果把其中任意兩個(gè)頂點(diǎn)（例如B、C）看成定點(diǎn)，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”，得 AB+AC>BC，

①同理，AC+BC>AB，

② AB+BC>AC，

③三角形任意兩邊之和大于第三邊.證明三角形任意兩邊之差小于第三邊.AB+AC>BC，

①AC+BC>AB，

②AB+BC>AC，

③由不等式②③移項(xiàng)可得：BC>ABAC，

BC>AC

AB.ABC例3有兩根長(zhǎng)度分別為5cm和8cm的木棒，用長(zhǎng)度為2cm的木棒與它們能組成三角形嗎？為什么？長(zhǎng)度為13cm的木棒呢？分析: 5+8>2， 8+2>5， 5+2<8.√√×5+8=13，8+13>5，5+13>8.×√√方法總結(jié)：判斷三條線段是否可以組成三角形，只需判斷兩條較短線段的和是否大于第三條線段即可.不能.不能.1.三角形兩邊的和大于第三邊；(可用來(lái)判斷三條線段能否組成三角形：只需判斷兩條較短線段的和是否大于第三條線段即可)2.三角形兩邊的差小于第三邊.三角形的三邊關(guān)系：歸納注意：由三角形的三邊關(guān)系可得到，三角形第三邊的取值范圍：兩邊的差<第三邊<兩邊的和例3用一條長(zhǎng)為18cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形.(1)如果腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，那么各邊的長(zhǎng)是多少？解：(1)設(shè)底邊長(zhǎng)為

xcm，則腰長(zhǎng)為2xcm，

x+2x+2x=18，

解得x=3.6.

∴三邊長(zhǎng)分別為3.6cm、7.2cm、7.2cm.解：(2)∵長(zhǎng)為4cm的邊可能是腰，也可能是底邊，需要分情況討論：

①若4cm長(zhǎng)的邊為底邊

，設(shè)腰長(zhǎng)為

xcm，則有4+2x=18，

解得

x=7.

②若4cm長(zhǎng)的邊為腰，設(shè)底邊長(zhǎng)為

xcm，則有

2×4+x=18，

解得

x=10.因?yàn)?+4＜10，不符合三角形兩邊的和大于第三邊，所以不能?chē)裳L(zhǎng)是4cm的等腰三角形.由以上討論可知，可以圍成底邊長(zhǎng)是4cm的等腰三角形.(2)能?chē)捎幸贿叺拈L(zhǎng)是4cm的等腰三角形嗎？為什么？隨堂練習(xí)1.下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（）A．8，8，8B．5，6，11C．4，4，8D．3，4，8A2.填空(1)已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為8cm，3cm，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)______.19cm

變式

已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為8cm，6cm，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____________.20cm或22cm

(2)若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和7，則它第三邊長(zhǎng)可能為_(kāi)_____________________.6(取值在5<x<9即可)3.若a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|=(a－b－c)(b－c－a)+(c＋a－b)＝－a+b＋c－b