2024-2025學年蘇科版八年級數(shù)學下冊期末階段復習解答壓軸題專題訓練（附答案）

1.5月1日，第41屆世博會在上海舉辦，世博知識在校園迅速傳播.小明同學就本班學生

對世博知識的了解程度進行了一次調查統(tǒng)計，下圖是他采集數(shù)據(jù)后繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計

圖（A：不了解，B：一般了解，C:了解較多，D:熟悉）.請你根據(jù)圖中提供的信息解答以

下問題：

（1）求該班共有多少名學生；

（2）在條形統(tǒng)計圖中，將表示"一般了解”的部分補充完整；

（3）在扇形統(tǒng)計圖中，計算出"了解較多"部分所對應的圓心角的度數(shù)；

（4）從該班中任選一人，其對世博知識的了解程度為"熟悉”的概率是多少？

2.某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，

未售出的酸奶以每瓶2元的價格當天全部降價處理完.根據(jù)往年銷售經驗，每天需求量與當

天本地最高氣溫有關.為了制定今年六月份的訂購計劃，計劃部對去年六月份每天的最高氣

溫x（℃）及當天售出（不含降價處理）的酸奶瓶數(shù)），等數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

X(℃)15<x<20204<2525<x<3030<x<35

天數(shù)610113

y（瓶）270330360420

以最高氣溫位于各范圍的頻率代替最高氣溫位于該范圍的概率.

⑴試估計今年六月份每天售出（不含降價處理）的酸奶瓶數(shù)不高于360瓶的概率；

（2）根據(jù)供貨方的要求，今年這種酸奶每天的進貨量必須為100的整數(shù)倍.問今年六月份這

種酸奶一天的進貨量為多少時，平均每天銷售這種酸奶的利潤最大？

3.某人工智能模型用于圖像識別.共有50000幅圖像，其中45000幅圖像用于模型學習，

剩下的5000幅圖像用于模型學習后的評估測試.

下面給出了學習時的正確率和學習后評估測試的正確率，部分數(shù)據(jù)如下：

學習次/p>

學習時的正確率0.5300.6700.7500.8000.8500.8700.8900.905

學習后評估測試

0.6050.7100.7550.7800.7950.8000.8000.800

的正確率

⑴根據(jù)表格數(shù)據(jù)，在平面直角坐標系中，以學習次數(shù)為橫坐標，以學習后評估測試的正確

率為縱坐標，已經繪制了相應的點，并用虛線表達變化趨勢.請你以學習次數(shù)為橫坐標，以

學習時的正確率為縱坐標，繪制相應的點，并用虛線表達變化趨勢；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：

①經過第12次學習，學習后評估測試的正確率和學習時的正確率差約為（結果保

留小數(shù)點后三位）；

②至少經過次學習，學習后評估測試的正確率低于學習時的正確率；

③當學習后評估測試的正確率達到穩(wěn)定時，用該模型識別100幅圖像，估計幅能被

正確識別.

4.某學校開展了以"紅色文化"為主題的研學活動，為了解學生參與情況，隨機抽取部分學

生對研學活動時長（用t表示,單位:h）進行調查.經過整理，將數(shù)據(jù)分成四組（A組:0Wt<2；

B組：2Wt<4；C組：4<t<6；D組：6<t<8,并繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計圖和

扇形統(tǒng)計圖.

請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：

⑴本次調查中，一共調查了名學生；

(2)補全條形統(tǒng)計圖；

⑶扇形統(tǒng)計圖中，B組對應的扇形圓心角的度數(shù)是；

⑷若該學校共有學生3000名，請估計該校研學活動時長為6<t<8的學生人數(shù).

5.某學校初、高中六個年級共有3000名學生，現(xiàn)采用抽樣調查的方式了解這些學生的視力

情況，各年級人數(shù)如下表所示：

年級七年級八年級九年級高一高二高三合計

人數(shù)5605205005004804403000

抽查數(shù)

(1)如果按10%的比例抽樣，樣本是什么？樣本容量是多少？

(2)在(1)的條件下，考慮到不同年級學生的視力差異，為了保證樣本有較好的代表性，各

年級應分別抽查多少人？將結果填寫在上面的表中；

⑶如果要從你所在班級的50名學生中抽取5名進行調查，請設計一個抽樣方案，保證每人

有相同的機會被抽到.

6.如圖，矩形。ABC在平面直角坐標系中，已知點N坐標為(16,0),點C坐標為(0,6),點。

是04中點，點尸是線段BC上一動點.

——

DA

⑴SAOPD=-

⑵當四邊形PODB是平行四邊形時，求。P的長；

⑶在平面內再取一點。，使得以。、。、。、尸四點為頂點的四邊形是菱形，直接寫出點。

的坐標.

7.小明在解決問題：已知a=熹，求a?—4a+1的值.他是這樣分析與解答的:

因為a=會=乏高焉=2-遮’所以a—2=-B

所以(a—2)2—3即a?—4a+4=3,所以小—4a——1.

所以次—4a+1=Q2—4a+1=—1+1=0.

請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題:

⑴計臬意=-----------;

（2）計算：焉+號+直+…+而尋麗；

（3）若a—&--?求4a2—8a+1的值.

8.某同學根據(jù)學習"數(shù)與式”積累的經驗，想通過"由特殊到一般”的方法探究下面二次根式

的運算規(guī)律.下面是他的探究過程，請補充完整：

（1）具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

特例1：口1=再=91=2卡,

特例2：即=舟=%=31,

特例3：，^二噸，

特例4：^4+1=.

（2）觀察、歸納，得出猜想.

如果n為正整數(shù)，按此規(guī)律第71個式子可以表示為：.

⑶應用運算規(guī)律：

①化簡：2024+—xV4052=.

②若11R（a,b均為正整數(shù)），則a+b=.

9.【閱讀理解】閱讀下面的解題過程：已知：扁T，求券的值?

解：由%2；[=1?知XH0,=3,即％+[=34）

???爭=/+?=1+J-2=32—2=7,故/的值為去

（1）第①步由?=3得到x+：=3逆用了同分母分式加法運算的法則：；

第②步X2+±=1+3-2運用了乘法公式：；（法則，公式都用式子表示）

【模仿應用】

⑵上題的解法叫做“侄擻法”，請你利用"倒數(shù)法”解決下面的問題：已知事=-1,求

事的值；

【舉一反三】

(3)已知工+2,i+i=i-+~=^求不占一的值?

ab6bc9ac15ab+bc+ac

10.列方程解應用題：為發(fā)展農業(yè)新質生產力，重慶農科院研發(fā)的智能采茶機器人正式上崗

作業(yè).經測試，每分鐘一名工人采茶的數(shù)量比一臺機器人采茶的數(shù)量少5片，若一名工人采

茶6分鐘、一臺機器人采茶10分鐘，共采茶450片.

(1)分別求出一名工人和一臺機器人每分鐘采茶的片數(shù)；

(2)經科研人員研發(fā)指導，工人和機器人的采茶速度都得以提高，機器人每分鐘比之前多采2a

片茶葉，工人每分鐘比之前多采。片茶葉，這樣，一臺機器人采1200片茶葉所用的時間是

一名工人采600片茶葉所用時間的1.5倍，求出a的值.

11.如圖，已知反比例函數(shù)丫=一：與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于力，B兩點，且點A的橫

坐標和點B的縱坐標都是-2,直線力B交x軸于點M.

(1)求一次函數(shù)的解析式；

(2)求AAOB的面積；

⑶請直接寫出反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方時，%的取值范圍.

12.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=—x+b的圖象與反比例函數(shù)y=：(x<0)的

圖象交于點2,與x軸交于點/,與〉軸交于點C.

⑴若點3坐標為(—1,4)時.

①求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

②在y軸上取一點P,當AABP的面積為4時，求點尸的坐標；

(2)過點3作軸于點。，點。為48中點，線段DQ交y軸于點尸，連接AP.若△力PD

的面積為5,則k的值為.

13.某校對教室采用藥薰法進行滅蚊.根據(jù)藥品使用說明，藥物燃燒時，室內每立方米空氣

中含藥量y(mg/m3)與藥物點燃后的時間久(min)成正比例，藥物燃盡后，f與x成反比例(如

圖).已知藥物點燃后8min燃盡，此時室內每立方米空氣中含藥量為6mg.

⑴求藥物燃燒時，y與x之間函數(shù)的表達式；

(2)求藥物燃盡后，y與x之間函數(shù)的表達式；

⑶根據(jù)滅蚊藥品使用說明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6mg時，對人體是安全的.那

么從開始藥薰，至少經過多少時間，學生才能進入教室？

⑷根據(jù)滅蚊藥品使用說明，當每立方米空氣中含藥量不低于3mg且持續(xù)時間不低于lOmin

時，才能有效殺滅室內的蚊蟲，那么此次滅蚊是否有效？為什么？

14.已知，矩形OCB力在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點。在x軸的正半軸上，點N

在y軸的正半軸上，已知點2的坐標為(2,4),反比例函數(shù)y>0)的圖象經過的中

點。，且與交于點E,順次連接。，D,E.

⑴求線段DE的長；

(2)在線段。。上存在一點當△MOE的面積等于他寸，求點M的坐標;

⑶平面直角坐標系中是否存在一點N,使得。、D、E、N四點構成平行四邊形？若存在,

請直接寫出N的坐標；若不存在，請說明理由.

15.如圖，已知矩形4BCD的對角線力C的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點E、F.

⑴求證：四邊形4FCE是菱形.

(2)如圖②，矩形紙片力BCD,翻折〃和NC,使力B和CD落在對角線BD上，且點力和點C落在

同一點。上，折痕分別是BF和DE,若四邊形BEDF面積為8,則矩形紙片力BCD的面積為

(直接寫出答案).

⑶如圖③，矩形紙片A8CD沿著EF折疊，使得點C與點A重合，若4B=4,BC=8,求EF

的長.

16.已知矩形4BCD和矩形力道住1。1，%是AC上一點，與邊力B相交于點E,小小與邊C8

相交于點F.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若48=4,BC=8,則AC=；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若80114C,BF=D1F,求4E；

(3)如圖3,若481==CCi，D]E=JF,求證：CFAE+AAX.

17.【問題背景】(1)點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上，AEAF=45°,試判斷BE,

EF,DF之間的數(shù)量關系.

小茗同學的思路是過點4作4G14E,交CD的延長線于點G,如圖1,通過這種證明方法，可

發(fā)現(xiàn)上述三條線段的數(shù)量關系為

【變式遷移】(2)如圖2,在平行四邊形2BCD中，AB=AD,N8AD=120。，點E,F分別

在BC,CD上.若NE4F=60。，BE=1,DF=2.

圖2

①直接寫出CD的長為」

②連接EF,求EF的長.

【拓展應用】(3)如圖3,在等腰直角三角形48。中，Z.BAD=90°,AB^AD,點E,F在

邊BD上,且NE4F=45。，請寫出EF,BE,DF之間的關系，并說明理由.

圖3

18.已知正方形A8CD,點E,尸分別為邊BC,CD上兩點.

【建立模型】

(1)如圖1,連接如果AE_L8F,求證：AE=BF-,

【模型應用】

(2)如圖2,點E為BC邊上一點，連接AE,作AE的垂直平分線交48于點G,交CD于點尸,

若DF=2,BG=4,求BE的長度；

【模型遷移】

(3)如圖3,將△力BE沿AE折疊，使點8落在BF上的點G處，力E與8F交于點若AB=12,

CF=5,請直接寫出GF的長度.

圖1圖2圖3

19.探究與實踐：在一節(jié)習題課上，同學們以正方形為基礎開展數(shù)學學習研究活動.

在正方形力BCD中，E為BC邊上一點(點E與點B,C不重合),AAEF=90°,且EF交正方形

外角的平分線CF于點F.

⑴觀察猜想：如圖①，若E為BC的中點，猜想力E與EF的數(shù)量關系為..證明此猜想

時，可取力B的中點G,連接EG.易證A4EGmAEFC.判斷三角形全等的依據(jù)是,

(2)數(shù)學思考：如圖②，若E為BC上任一點，上述猜想是否還成立？請說明理由.

⑶結論拓展：如圖③，連接力F,交CD于點M,連接EM,則EM與DM,BE之間存在的等量

關系為.

20.如圖，在方格紙中建立平面直角坐標系，已知AABC的頂點均為格點，且點/的坐標為

⑵畫出將AABC繞原點。按順時針方向旋轉90。，所得的△482。2；

(32久/的與2c2成軸對稱嗎？若成軸對稱，畫出所有的對稱軸;

⑷與△?!282c2成中心對稱嗎？若成中心對稱，寫出對稱中心的坐標.

參考答案

1.解：(1)54-10%=50(人)

(2)50x30%=15(人)

20

(3)360°x—=144°

50

/“、n50-5-15-201

(4)

P=----5--0----=5

2.解：(1)依題意可知，

今年六月份每月售出(不含降價處理)的酸奶瓶數(shù)不高于360瓶的概率為生黑=0.9；

(2)根據(jù)題意可知：

該超市當天售出一瓶酸奶可獲利2元，降級處理一瓶虧2元，

設今年六月銷售這種酸奶每天的進貨量為幾瓶，平均每天的利潤為W元，貝U：

當=100時，

W=100X2=200,

當九=200時，

W=200X2=400,

當幾=300時，

W=卷[(30-6)x300x2+6x270x2-6x(300-270)x2]=576,

當九=400時，

1

/=5[6x270X2+10X330x2+11x360X2+3X400x2—6x(400-270)x

2-10x(400-330)x2-11x(400-360)x2]

二544,

當九之500時，與n=400時比較，

六月增訂的部分，虧本售出的比正常售出的多，

所以其每天的平均利潤比71=400時平均每天利潤少.

綜上所述：n=300時，W的值達到最大.

即今年六月份這種酸奶一年的進貨量為300瓶時，平均每天銷售這種酸奶的利潤最大.

3.(1)解：如圖所示：

故答案為:0.100；

②由圖象可得，至少經過6次學習，學習后評估測試的正確率低于學習時的正確率，

故答案為：6；

③由圖象可得，100x0.800=80,

...當學習后評估測試的正確率達到穩(wěn)定時，用該模型識別100幅圖像，估計80幅能被正確

識別，

故答案為：80.

4.(1)解：本次調查學生總數(shù)：70+35%=200(名)，

故答案為二200；

(2)解：C組：200x30%=60(名)，B組：200-70-30-60=40(:名)，

補全統(tǒng)計圖如圖所示，

(3)解：B組對應扇形的圓心角度數(shù)為360。x黑=72。,

故答案為：72。；

(4)解：估計該校研學活動時長為6Wt<8的學生人數(shù)為：3000x^=450(名),

答：估計該校研學活動時長為6<t<8的學生人數(shù)有450名.

5.(1)解：因為3000x10%=300(名)，

所以樣本是300名學生的視力情況，樣本容量是300.

(2)解：如下表所示.

年級七年級八年級九年級高一高二高三合計

人數(shù)5605205005004804403000

抽查數(shù)565250504844300

(3)解：將50名學生按1?50分別進行編號，并將號碼寫在50張同樣的卡片上，把卡片

裝在一個盒子中，攪勻后，從中隨機抽取5張卡片，得到5個號碼，選出對應這5個號碼的

學生.(答案不唯一)

6.(1)解：：矩形。48C,點/坐標為(16,0),點C坐標為(0,6),點。是。力中點，

1

：.OD=^OA=8fOC=6,

i

1?SAOP。=QOD-OC=24；

(2)解：當四邊形PODB是平行四邊形時，。。=8尸=8,

；四邊形04BC是矩形，

;?乙BCO=90。,8C=0A=16,

CP=8,

OP=7a+82=io；

CQ=V82-62-2v7,

；.Q（—277,6）；

：.0E=DE=4,

?,?（2（4,-6）；

當OP=。。=PQ=DQ=8時，如圖,

：.PC=V82-62=2V7,

：.CQ=PC+PQ=8+2V7,

.\Q（8+2?,6）；

當OQ=OD=PD=PQ=8時，如圖,

CQ-V82-62-2v7,

，Q（2V7,6）；

綜上所述，滿足條件的點Q的坐標是(2近,6)或(-2夕,6)或(4,-6)或(8+2近,6).

7.(1)W：-f=-==V2-1；

V2+1(V2+1

故答案為：V2—1

⑵解:V^T+V^+V?+V?+V^+"1+Vloo+V99

V2-1V3-V2V4-V3

=-----------------1---------------------1---------------------F???

(V2+1)(V2-1)(V3+V2)(V3-V2)(V4+V3)(V4-V3)

V100-V99

(V100+V99)(V100-V99)

=V2-1+V3-V2+V4-V3+---+V100-V99

=VToo-1

=10-1

=9；

(3)解：Ct—/—=(「，:匚~~r=V2+1，

V2-1(V2-1)(V2+1)

a—1=V2

/.a2—2a+1=2,即M—2a=1

「?4》—8a+1=4(彥—2.CL)+1=4+1=5.

8-⑴解:f+l=5Jl-

故答案為：56；

(2)解：當九為正整數(shù)，按此規(guī)律第n個式子可以表示為小+全=5+1)忌,

(3)解：①(2024+XV4052

V2026

,1j----

=2025——xV4052

、2026

n

=2025x——X4052

=2025也

②：卮1=11/S'°均為正整數(shù))'9+總=5+1—

Aa+1=11,b-l=11,

解得a=10,b=12,

：.a+b=10+12=22.

9.(1)解：第①步由立=3得到％+工=3逆用了同分母分式加法運算的法則：-+￡=—;

xxaaa

第②步%2+提_=(%+5)—2運用了乘法公式：a24-/?2=(a+/?)2—2ab；

⑵解「金=T'

,%2—3x+l1

??-------------=—1,

x

1

x-3H—=-19

X

1

xH—=2,

X

2

,2_L1

..X+)二-2=2,

久+3

?X4-7X2+1_2I1n—nn_r

>?-------5-------xL—T-7=2-7=_59

?X2_1

%4—7X2+15*

..1,111,111,11

（3）解:?——二一，——=一，——=一，

ab6bc9ac15

???2(!+：+與=：1+[1+當1

\abc.6915

abc180

.ab+bc+acab.be.ac1,1.131

-------1---------1=—|1—=,

abcabcabcabcabc180

abc_180

ab+bc+ac31

10.解：（1）設一臺機器人每分鐘采茶的片數(shù)為x,則一名工人每分鐘采茶的片數(shù)為（久-5）

根據(jù)題意得，6(x-5)+10x=450

解得x=30

Ax-5=25

，一臺機器人每分鐘采茶的片數(shù)為30,則一名工人每分鐘采茶的片數(shù)為25；

(2)根據(jù)題意得，三*=/xl.5

2a+30a4-25

解得。=5

經檢驗，a=5是原方程的解.

11.(1)解：?.,反比例函數(shù)y=-：與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于4B兩點,且點Z的橫

坐標和點B的縱坐標都是-2,

???4(-2,4),3(4,-2),

??,一*次函數(shù)y=+b的圖象過“、B兩點，

.(—2k+b=4

,?l4fc+b=-2'

解得:匕=\1,

Ib=2

??.一次函數(shù)的解析式為y=-％+2；

(2)解：令y=0,則y=—%+2=0,

%■2j

???M(2,0),

OM=2,

ii

=S^ZOM+SACOM=5X2X4+]X2X2=6；

(3)解：觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：

當-2<%<0或%>4時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方.

12.(1)解：①把點5坐標為(一1,4)分別代入了=—%+b和y=§(%V。)，得：

4=1+瓦々=-1x4=-4,

:.b—3,

?IQ4

..y=—x+3,y=--；

②：y=—%+3,

工當％=0時y=3,當y=—%+3=0時，％=3；

???/(3,0),C(0,3),

'■ShAPB=^\CP\-\XA-XB\=^\CP\-(3+1)=4,

：.\CP\=2,

.,.「(0,3+2)或2(0,3—2),即：P的坐標為(0,5)或(0,1)；

(2)Vy=—x+b,

當久=0時y=b,當y=—%+b=0時，x=b；

???/(瓦0),C(0,b),

：.OC=OA=b,

：.A.0AC=/.OCA=45°,

設—m+b),貝!J：k—m(—m+h),

???過點5作8。1%軸于點。，

???△4BD為等腰直角三角形，D(m,O)

.\AD=BD=—m+b,OD=—m,

???Q為AB中點，

：.DQ1AB,Z.QDA=45°,

：.0P=OD=-m,

1i

二?S^ZPD=54。,OP=2^~m+匕)?(―優(yōu))=5，

m+b)=-10,即：k=-10.

13.(1)W：由題意，設藥物燃燒時》關于x的函數(shù)關系式是y=-(/cW0),將點(8,6)代

入，

???8fc=6,

3

k7=二,

4

二藥物燃燒時y關于x的函數(shù)關系式是y=3無，自變量x的取值范圍是0WxW8；

(2)解：由題意，設藥物燃燒后y關于x的函數(shù)關系式是y=(把(8,6)代入，

???m=48,

???藥物燃燒后》與x的函數(shù)關系式為丫二手，自變量x的取值范圍是X28；

(3)解：由題意，當y=1.6時，代入y=手，

???%=30,

.??從藥薰開始，至少需要經過30分鐘后，學生才能回到教室；

(4)解：此次滅蚊有效，將y=3分別代入y=；%,y=/，

?,?％=4和％=16,

，持續(xù)時間是16-4=12(min)>lOmin,

???能有效殺滅室內的蚊蟲.

14.(1)解：；點8的坐標為(2,4),。為力B中點，

."(1,4),

..?反比例函數(shù)y=?(久>0)的圖象經過力B的中點。,

fc=1x4=4,

...反比例函數(shù)解析式為y=%

把x=2代入得：y=2,即E(2,2),

則DE=J(2-l)2+(2—牙=V5；

(2)解：由D(l,4),得到直線。。解析式為y=4x,

由E(2,2),得到直線。E解析式為丫=x,

過點"作MN||y軸交。E于點N,

設則N(t,t),

■:SWOE=S^OMN+S^MNE

11

=—xtx(4t—t)4'-x(2—t)x(4t—t)

1

=—x2x3t

2

=3t,

解得：t=；,

44

則點坐標為G，I)；

(3)解：存在；

由題意得：0(0,0),0(1,4).E(2,2),設NQ,y),

分三種情況考慮：當四邊形。NiED為平行四邊形時，可得0+2=1+x,0+2=4+y,

解得：無=1,y=—2,即—2)；

當四邊形。ED4為平行四邊形時，可得0+1=2+x,0+4=2+y,

解得：x=—1,y=2,即N2(—1,2)；

當四邊形。EN3D為平行四邊形時，可得l+2=0+x,4+2=0+y,

解得：x—3,y—6,即可3(3,6),

綜上，N的坐標為(1,一2)或(-1,2)或(3,6).

15.(1)證明：在矩形ABCD中，ADWBC,

???Z-DAC=Z.ACB,Z.AEF=乙CFE,

又。Z=OC,

???△40EmZkC0F(AAS),

AE=CF,

???四邊形AFCE是平行四邊形，

???EF1AC,

???四邊形ZFCE是菱形；

(2)解：?.?四邊形ABCD是矩形，

AA=^C=90°,AB=CD,

???翻折乙4和NC,使和CD落在對角線上，且點/和點C落在同一點。上，折痕分別是

和OE,

???△ABF=△OBF,△ODE=ACDE,

??.OB=AB,OD=CD,NB0F=N4=90。，ADOE=Zf=90°,

OB=OD,BD±EF,

???四邊形BEDF是菱形,

OBF=△OBE=△ODF=△ODE,

3

'S矩形ZBCD=5s菱形BED產=12；

(3)解：設=則/尸=CF=8一久，

在RtZk/89中，由勾股定理得AB?+BF2=492,

即4?+，=(8—%)2,

解得：％=3,

??.AF=CF=s,

???ADWBC,

Z.AEF=乙EFC=Z.AFE,

.?.AE=AF=5,

作F"14D于"，

???EH=AE-AH=2,

在RtZkE”產中，由勾股定理得EF2=/7"2+E”2,

解得：EF=2V5.

16.(1)解：???矩形ABC。

：./.ABC=90°,

在RtMBC中，AB=4,BC=8,

*.AC=7AB2+BC2=V42+82=4V5

故答案為：4V5.

(2)解：???矩形A8CD和矩形4道1的。1，

：.^ABC=^A1D1C1=90°

?:BF=DiF,

"FBD1=乙FD$

：.Z-ABC-乙FBD1=^A1D1C1-乙FD】B,=乙EBD1,

：.ED1=EB,

■:BD、LAC,

???乙4+4ABD[=90°,A.AD^E+乙ED1B=90°

Z-A=Z.ADrE

：.AE=ED1

i

：.AE=EB=-AB=2

2

(3)解：如圖，過點Ci作CiGl/C于點G,交BC于點F,

B\

圖3

???四邊形是矩形，

?，?的。1=A/i，Zi41D1C1=90°

又24/1=A1D1=CCi，

CC1=,

「CiGlAC,^A1D1C1=90°

：.Z.FCrH=乙CCiH=90°-乙GD&=

在四邊形EBFDi中，ZEBF=/.EDrF=90°

：./,EBF+乙ED1F=180°,乙%EB+乙BFD1=180°

XVZ-AEDr+乙DiEB=180°

：.Z.AEDr=乙DiFB=^HFC1

在△4D1E,△”(7四，

(乙FC]H=Z-ADrE

DiE=CrF

^LAED1=乙HFC、

???△皿EwZkHgF(ASA)

：.AE=HF,ADr=HCi

在△4。遇1，△”Ci。中,

ADr=HCi

乙CCiH=4皿&

A-yD-y—CC］

???△皿&=△HCiC(SAS)

：.HC=AAlf

：.CF=FHCH=AE+AAr.

17.解：［問題背景］EF=BE+DF,

理由：過點Z作4G，4E,交CD的延長線于點G,

G

圖1

：./-EAG=90°,

：.^EAD+ADAG=90°,

??,正方形48cO,

J.Z.BAD=AB=Z,ADC=90°,AB=AD,

：.Z.BAE+ADAE=90°,Z.ADG=90°,

：.^BAE=ADAGf

又48=AD,乙B=Z.ADG=90°,

△ABEADG,

：.BE=DG,AE=AG,

U：Z.BAD=90°,/.EAF=45°,

J.^BAE+2LDAF=45°,

又4BAE=NZMG,

：.Z-GAF=2LDAG+Z.DAF=45°,

：.^GAF=^EAF,

XAE=AG,AF=AF,

：.^AEF=^AGFf

：.EF=GF,

又GF=DG+DF,BE=DG,

；?EF=BE+DF；

［變式遷移］

①如圖2,連AC,

圖2

???四邊形/BCD為菱形，

：.AB=BC,ADWBC,乙BCD=乙BAD=120°,

：2B=180°-^BAD=60°,

為等邊三角形，

：.AB=AC,^BAC=^ACB=60°f

U：^EAF=60°,

：.Z.BAE=60°-Z.EAC=^CAFf=60°,

AAABE=AACF

：.BE=CF=1,AE=AF,

：.AD=AC=CD=CF+DF=3,

故答案為：3；

②過點A作ZM1CD于點M,

又AC=ZD,

13

：.CM=-CD=-,

22

在RtaZCM中，AM=y］AC2-CM2=|V3,

3

?：CM=-,CF=1,

2

：.MF=-,

2

在Rt△力FM中，AF=7AM2+FM2=近，

yL".'AE=AF,^EAF=60°,

...△HE尸為等邊三角形，

：.EF=AF=V7；

［拓展應用］EF2=BE2+DF2,

理由：過3作BG1BD,并截取BG=DF,連接4G,貝!IGE2=BG2+BE?

A

：.^ABD=ND=45°,

：.Z.ABG=45。=4D,

又BG=DF,AB=AD,

*??△ABG=AADFj

J.Z.BAG=Z.DAF,AG=AF,

\9A.BAD=90°,Z.EAF=45°,

???2D4F+NB4E=45。，

：./.GAE=乙BAG+乙BAE=Z.DAF+乙BAE=45°,

J.^LGAE=Z.FAE,

又ZG=AF,AB=AD,

△AEG=△AEF,

：.EG=EF,

又GE2=BG2+BE2,BG=DF,

：.EF2=BE2+DF2.

18.(1)證明：如圖，

AD

:四邊形4BCD是正方形,

：.^ABE=Z-BCF=90°,AB=BC,

f：AE1BF,

.\zl=乙2=90°-zXBF,

??.△ABE三△BCF(ASA),

：.AE=BF；

(2)解：連接F4FE,過點G作GH，CD于點H,

???FG垂直平分ZE,

：.FA=FE,FG1AE,

???四邊形ABCD是正方形，

:?(B="="=90。,ZB=BC,

VGH1CD,

:?乙B=ZC=乙GHC=乙GHF=90°,

???四邊形BCHG為矩形，

AGH=BC=AB,4AGH=乙BGH=90°,

*：FGlAEf

C./LBAE=乙HGF=90°-匕AGF,

.,.△^E=AGHF(ASA),

：.BE=HF,

同理可證明四邊形ZG”D為矩形，

：.AG=DH,

???四邊形ABCD是正方形，

???設ZB=BC=CD=DA=x,

則ZG=DH=x-4,FC=x-2

:?FH=BE=DH-DF=x-4-2=x-6,

：.EC=BC-BE=x-(x-6)=6,

RtAFDARtAECF^,

由勾股定理得：AF2=AD2+DF2,FE2=EC2+FC2

.'.x2+22=(x-2)2+62

解得：x=9,

：.BE=3；

(3)如圖:

由折疊可得：AE1BF,BM=MG,

同(1)△ABESABCF,Z1=Z2,

：.BE=CT=5,AE=BF

：.AE=BF=7AB2+BE2=13,

,：-BMxAE=-ABxBE,

22

：.GF=BF-BM-MG=—.

13

19.(1)解：猜