第七章立體幾何與空間向量階段提能(八)空間向量的綜合應(yīng)用真題感悟明確考向243題號11．(2024·天津高考)如圖，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中點，M是DD1的中點．(1)求證：D1N∥平面CB1M；(2)求平面CB1M與平面BB1C1C夾角的余弦值；(3)求點B到平面CB1M的距離．真題感悟明確考向243題號1

真題感悟明確考向243題號1

真題感悟明確考向243題號1

真題感悟明確考向243題號1

23題號14

23題號14

23題號14(2)由(1)可知，PF⊥平面ABCD．取線段AD的中點N，連接NF，則FN∥AB，F(xiàn)N＝2．又AB⊥BC，可知NF⊥BC，以F為坐標(biāo)原點，NF，F(xiàn)B，F(xiàn)P所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，23題號14

23題號14

23題號413．(2024·湖北武漢二模)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長為6的等邊三角形，CC1＝6，∠ACC1＝60°，D，E分別是線段AC，CC1的中點，平面ABC⊥平面C1CAA1．(1)求證：A1C⊥平面BDE；(2)若P為線段B1C1的中點，求平面PBD與平面BDE夾角的余弦值．

23題號41解：(1)證明：連接AC1，由題意可知四邊形CC1A1A是菱形，則A1C⊥AC1，又D，E分別為AC，CC1的中點，所以DE∥AC1，故A1C⊥DE．又△ABC為等邊三角形，D為AC的中點，則BD⊥AC．23題號41又平面ABC⊥平面CC1A1A，平面ABC∩平面CC1A1A＝AC，BD?平面ABC，所以BD⊥平面CC1A1A，又A1C?平面CC1A1A，故BD⊥A1C．又BD∩DE＝D，BD，DE?平面BDE，故A1C⊥平面BDE．23題號41(2)由AC＝CC1＝6，∠ACC1＝60°，則△C1CA為等邊三角形．連接C1D，由D是AC的中點，則C1D⊥AC．由(1)得BD⊥平面CC1A1A，故以D為原點，DB，DA，DC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，23題號41

23題號41

243題號14．(2025·遼寧大連模擬)如圖1，在△ABC中，CD⊥AB，BD＝2CD＝2AD＝4，E為AC的中點．將△ACD沿CD折起到△PCD的位置，使DE⊥BC，如圖2．(1)求證：PB⊥PC；(2)在線段BC上是否存在點F，使得CP⊥DF？若存在，求平面PDF與平面DEF所成角的正弦值；若不存在，說明理由．243題號1解：(1)證明：依題意可知E為PC的中點，PD＝CD＝2，所以DE⊥PC．又DE⊥BC，BC∩PC＝C，BC，PC?平面PCB，所以DE⊥平面PCB．又PB?平面PCB，所以DE⊥PB．依題意可知CD⊥PD，CD⊥BD，BD∩PD＝D，BD，PD?平面PDB，所以CD⊥平面PDB，又PB?平面PDB，所以CD⊥PB．因為CD∩DE＝D，CD，DE?平面PCD，