專題1.4（1）用一元二次方程解決問題（知識(shí)梳理與題型分類講解）一、【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.經(jīng)歷和體驗(yàn)用一元二次方程解決實(shí)際問題的過程，進(jìn)一步體會(huì)一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型；2.會(huì)根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程并求解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力；能檢驗(yàn)所得的問題的結(jié)果是否符合實(shí)際意義，進(jìn)一步提高學(xué)生邏輯思維能力、分析和解決問題的能力.二、【知識(shí)梳理】【知識(shí)點(diǎn)1】列方程解應(yīng)用題的一般步驟：審：認(rèn)真審題，理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，注意找關(guān)鍵詞。設(shè)：根據(jù)題目要求，選擇合適的未知數(shù)，可直接設(shè)未知數(shù)，也可間接設(shè)未知數(shù)，注意要帶單位。列：依據(jù)等量關(guān)系，列出一元二次方程，要確保方程兩邊的單位一致。解：運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?，如直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法等。檢：一是檢驗(yàn)方程的解是否正確，二是檢驗(yàn)解是否符合實(shí)際意義，如實(shí)際問題中的人數(shù)、長(zhǎng)度、面積等不能為負(fù)數(shù)或小數(shù)（根據(jù)具體情況）。答：寫出實(shí)際問題的答案，包括單位?！局R(shí)點(diǎn)2】常見實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系：①傳播問題：傳染源+第一輪傳染+第二輪傳染=兩輪傳染總數(shù)；②增長(zhǎng)（降低）率問題：③幾何問題：涉及到三角形全等，勾股定理，各種規(guī)則圖形面積公式，動(dòng)點(diǎn)問題等等；④數(shù)字問題：主要與數(shù)字與位數(shù)的關(guān)系；比如：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字；⑤商品銷售問題：利潤(rùn)=售價(jià)進(jìn)價(jià)；售價(jià)=進(jìn)價(jià)（1+利潤(rùn)率）；總利潤(rùn)=總售價(jià)總成本=單件利潤(rùn)總銷量等等三、【題型目錄】......................................................................................................................................2【題型二】增長(zhǎng)率問題.................................................................2【題型三】圖形面積問題...............................................................3【題型四】數(shù)字問題...................................................................4【題型五】商品銷售問題...............................................................4【題型六】動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題...............................................................5【題型七】工程問題+行程問題..........................................................6【題型八】握手+循環(huán)賽問題............................................................7【題型九】解可化為一元二次方程的分式方程問題.........................................7【題型十】其他問題...................................................................7四、【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型一】傳播問題【例題1】（2425九年級(jí)上·全國(guó)·階段練習(xí)）“埃博拉”病毒是一種能引起人類和靈長(zhǎng)類動(dòng)物產(chǎn)生“出血熱”的烈性傳染病毒，傳染性極強(qiáng)．一個(gè)美國(guó)人在非洲旅游時(shí)不慎感染了“埃博拉”病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有64人受到感染．（1）每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？（2）如果不及時(shí)控制，第三輪將又有多少人被傳染？【變式1】（2425九年級(jí)上·新疆阿克蘇·期中）新年里，一個(gè)小組有若干人，若每人給小組的其它成員贈(zèng)送一張賀年卡，則全組送賀卡共90張，設(shè)小組有人，列方程正確的是（

）【變式2】（2627九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）某種植物的根特別發(fā)達(dá)，它的主根長(zhǎng)出若干數(shù)目的支根，支根中的又長(zhǎng)出同樣多的小支根，而其余支根長(zhǎng)出一半數(shù)目的小支根．主根、支根、小支根的總數(shù)是109根，則這種植物的主根長(zhǎng)出根支根．【題型二】增長(zhǎng)率問題【例題2】（2425八年級(jí)下·遼寧大連·期中）某商場(chǎng)在五一期間將單價(jià)400元的某種商品經(jīng)過兩次降價(jià)后，以324元的價(jià)格出售．（1）求平均每次降價(jià)的百分率；【變式1】（2425八年級(jí)下·安徽安慶·期中）在國(guó)家經(jīng)濟(jì)宏觀調(diào)整下，某企業(yè)2024年10月份的利潤(rùn)實(shí)現(xiàn)新突破，達(dá)到月利潤(rùn)300萬元，11月份和12月份的利潤(rùn)合計(jì)為800萬元，設(shè)11月份和12月份利潤(rùn)的平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意可列方程為（

）【變式2】（2425九年級(jí)下·江蘇南京·期中）勞動(dòng)教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場(chǎng)，該農(nóng)場(chǎng)一種作物的產(chǎn)量?jī)赡陜?nèi)從300千克增加到363千克．若平均每年的增產(chǎn)率相同，則平均每年增產(chǎn)的百分率為【題型三】圖形面積問題（1）求此時(shí)花圃邊的長(zhǎng)；【題型四】數(shù)字問題【例題4】（2425九年級(jí)上·廣東·開學(xué)考試）有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和為，交換數(shù)字的位置后，得到的新兩位數(shù)比這兩個(gè)數(shù)字的積還大，求這個(gè)兩位數(shù)．【變式1】（2425九年級(jí)上·遼寧鐵嶺·期末）我國(guó)民間流傳著一道《周瑜壽數(shù)》的詩歌形式的數(shù)學(xué)題：“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符；哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？”大意為：“周瑜逝世時(shí)年齡為兩位數(shù)，該數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小3，個(gè)位數(shù)字的平方恰好等于該數(shù)．”若設(shè)周瑜逝世年齡的個(gè)位數(shù)字為，則根據(jù)題意可列方程為（

）【題型五】商品銷售問題【例題5】（2025·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）某商店出售某品牌護(hù)眼燈，每臺(tái)進(jìn)價(jià)為40元，規(guī)定銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)，且不高于進(jìn)價(jià)的2倍，日銷量y（臺(tái)）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)護(hù)眼燈銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該商店每日出售這種護(hù)眼燈所獲得的利潤(rùn)為160元？【變式1】．（2425九年級(jí)上·山東青島·期末）將進(jìn)貨價(jià)格為35元的商品按單價(jià)40元售出時(shí)，能賣出200個(gè)．已知該商品單價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少5個(gè)．設(shè)這種商品的單價(jià)上漲元時(shí)，可獲得1870元的利潤(rùn)，則下列方程正確的是（

）【變式2】（2425九年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）某商場(chǎng)銷售一批襯衣，平均每天售出30件，每件襯衣盈利50元．為了盡快減少庫存，商場(chǎng)決定采取降價(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衣降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．若商場(chǎng)平均每天盈利2000元，則每件襯衣應(yīng)降價(jià)．【題型六】動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題（2）當(dāng)為何值時(shí)，的長(zhǎng)度等于？【題型七】工程問題+行程問題【例題7】（2025·山東臨沂·一模）在我國(guó)，端午節(jié)作為傳統(tǒng)佳節(jié)，歷來有吃粽子的習(xí)俗．某食品加工廠擁有，兩條不同的粽子生產(chǎn)線，生產(chǎn)線每小時(shí)加工粽子個(gè)，生產(chǎn)線每小時(shí)加工粽子個(gè)．【變式1】（2324八年級(jí)下·浙江寧波·期中）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)．問甲行幾何．”大意是說：已知甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3．乙一直往東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．那么相遇時(shí)甲走了多遠(yuǎn)（

）【變式2】（2324八年級(jí)下·浙江紹興·期末）甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為每秒1.5米，乙的速度為每秒1米，乙一直向東走，甲先向南走10米，后又朝北偏東某個(gè)方向走了一段后與乙相遇，則乙走了米．【題型八】握手+循環(huán)賽問題【例題8】（2025·貴州貴陽·二模）象棋是一種源自中國(guó)的傳統(tǒng)棋類游戲，具有悠久的歷史和深厚的文化底蘊(yùn)．九年級(jí)（1）班利用課余時(shí)間開展象棋比賽，班主任要求每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，信息如下：（1）若該班級(jí)共有n個(gè)參賽選手，則每個(gè)選手都要與_______個(gè)選手比賽一局，比賽總共有______局；（2）求這次比賽共有多少個(gè)選手參加？【變式1】（2425八年級(jí)下·浙江嘉興·期中）某校八年級(jí)組織班級(jí)足球友誼賽，每個(gè)班級(jí)都要和其他班級(jí)比一場(chǎng)，共比賽了21場(chǎng)．設(shè)參加這次比賽的有x個(gè)班級(jí)，根據(jù)題意，可列方程為（

）【變式2】（2425八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）第33屆“哈洽會(huì)”有若干家公司參加，每?jī)杉夜局g都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同．則參加此次“哈洽會(huì)”的公司有家．【題型九】解可化為一元二次方程的分式方程問題A．或2 B．或1 C． D．2【題型十】其他問題【例題10】（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）電影《哪吒之魔童鬧海》是一部大型的動(dòng)畫電影題材影片，該片以神話人物為背景，講述一個(gè)感人的故事，影片于2025年1月開始上映后，深受人們的喜愛，票房過百億．某影院開展“優(yōu)惠”系列活動(dòng)，對(duì)團(tuán)體購買該電影票實(shí)行優(yōu)惠，決定在原定零售票價(jià)基礎(chǔ)上每張降價(jià)18元，這樣按原定票價(jià)需花費(fèi)5000元購買的門票張數(shù)，現(xiàn)在只花費(fèi)了3200元．（1）求每張電影票的原定零售票價(jià)；【變式1】（2425九年級(jí)上·湖南永州·期末）數(shù)學(xué)趣題解答：阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著作《算術(shù)之鑰》書中，記載著一道頗受阿拉伯人喜愛的數(shù)學(xué)題：“一群人走進(jìn)果園去摘石榴，第一個(gè)人摘了1個(gè)石榴，第二個(gè)人摘了2個(gè)石榴，第三個(gè)人摘了3個(gè)石榴，以此類推，后進(jìn)果園的人都比前面那個(gè)人多摘一個(gè)石榴，這群人剛好把果園的石榴全部摘下來了，如果平均分配，每個(gè)人可以得到10個(gè)石榴，問這群人共有多