5.7三角函數(shù)的應(yīng)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一三角函數(shù)的應(yīng)用1．三角函數(shù)模型的作用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來(lái)研究很多問(wèn)題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)未來(lái)等方面發(fā)揮重要作用．2．用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟收集數(shù)據(jù)→畫散點(diǎn)圖→選擇函數(shù)模型→求解函數(shù)模型→檢驗(yàn)．知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中參數(shù)的物理意義【基礎(chǔ)自測(cè)】1．如圖是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列判斷正確的是()A．該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為0.7sB．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為－5cmC．該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)的振動(dòng)速度最大D．該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)的加速度為零2．如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為()A．5B．6C．8D．103．如圖為某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)需要______s往返一次．4．一根長(zhǎng)lcm的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，小球擺動(dòng)時(shí)離開平衡位置的位移s(cm)與時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g(shù)是重力加速度，當(dāng)小球擺動(dòng)的周期是1s時(shí)，線長(zhǎng)l＝________cm.5．某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫y與月份x的關(guān)系可近似地用函數(shù)y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))(x＝1，2，3，…，12)來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28℃，12月份的月平均氣溫最低，為18℃，則10月份的平均氣溫為________℃.【例題詳解】一、幾何中的三角函數(shù)模型例1(1)筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形（圓），筒車的半徑為2m，筒車的軸心O到水面的距離為1m，筒車每分鐘按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)2圈.規(guī)定：盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)（即時(shí)的位置）時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，設(shè)盛水筒M從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)所用時(shí)間為t（單位：s），且此時(shí)點(diǎn)P距離水面的高度為h（單位：m）.若以筒車的軸心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2），則h與t的函數(shù)關(guān)系式為（

）A．水深為尺 B．蘆葦長(zhǎng)為尺二、三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，2B．小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)與平衡位置的距離均為C．小球往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需時(shí)間為D．每秒鐘小球能往復(fù)振動(dòng)次三、三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用(2)潮汐是發(fā)生在沿海地區(qū)的一種自然現(xiàn)象，是指海水在天體（主要是月球和太陽(yáng)）引潮力作用下所產(chǎn)生的周期性運(yùn)動(dòng)習(xí)慣上把海面垂直方向漲落稱為潮汐，而海水在水平方向的流動(dòng)稱為潮流．早先的人們?yōu)榱吮硎旧钡臅r(shí)刻，把發(fā)生在早晨的最高的潮叫潮，發(fā)生在晚上的最高的潮叫汐，這是潮汐名稱的由來(lái)．下表中給出了某市碼頭某一天水深與時(shí)間的關(guān)系（夜間零點(diǎn)開始計(jì)時(shí)）．時(shí)刻（t）024681012水深（y）單位：米5.04.84.74.64.44.34.2時(shí)刻（t）141618202224水深（y）單位：米4.34.44.64.74.85.0跟蹤訓(xùn)練3(1)小明給學(xué)校設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)文化長(zhǎng)廊，計(jì)劃將長(zhǎng)廊的頂部遮雨棚設(shè)計(jì)成如圖所示的橫截面為正弦型曲線的形狀（雨棚的厚度忽略不計(jì)）．已知入口處高度AB和出口處高度CD均為H，為使參觀者行走方便，要求雨棚的最低點(diǎn)到地面的距離不小于雨棚的最高點(diǎn)到地面距離的，則雨棚橫截面正弦型曲線振幅的最大值為______．四、三角函數(shù)新定義例4(1)我們學(xué)過(guò)用角度制與弧度制度量角，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度量角，因?yàn)樵诎霃讲煌耐膱A中，同樣的圓心角所對(duì)扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個(gè)常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度數(shù)為，則角的余弦值為（

）A． B． C． D．【課堂鞏固】甲乙A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm(1)單擺運(yùn)動(dòng)的周期是多少？(2)從點(diǎn)算起，到曲線上的哪一點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)？如從點(diǎn)算起呢？13．一個(gè)半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米．已知水輪按逆時(shí)針作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每6秒轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時(shí)間．(1)以過(guò)點(diǎn)O且平行于水輪所在平面與水面的交線L的直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，試將點(diǎn)P距離水面的高度h（單位：米）表示為時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)；(2)在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的任意一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P距離水面的高度不低于2米？14．如圖,天津之眼，全稱天津永樂(lè)橋摩天輪，是世界上唯一一個(gè)橋上瞰景摩天輪，是天津的地標(biāo)之一.永樂(lè)橋分上下兩層，上層橋面預(yù)留了一個(gè)長(zhǎng)方形開口，供摩天輪輪盤穿過(guò)，摩天輪的直徑為110米，外掛裝48個(gè)透明座艙，在電力的驅(qū)動(dòng)下逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一圈大約需要30分鐘.現(xiàn)將某一個(gè)透明座艙視為摩天輪上的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，距離下層橋面的高度為113米，點(diǎn)在最低點(diǎn)處開始計(jì)時(shí).（1）試確定在時(shí)刻(單位:分鐘)時(shí)點(diǎn)距離下層橋面的高度(單位:米)；（2）若轉(zhuǎn)動(dòng)一周內(nèi)某一個(gè)摩天輪透明座艙在上下兩層橋面之間的運(yùn)行時(shí)間大約為5分鐘，問(wèn)上層橋面距離下層橋面的高度約為多少米？t0.000.100.200.300.400.500.60y10.320.010.3(1)試確定位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；(2)在理想狀態(tài)下，經(jīng)過(guò)10秒，該彈簧振子的位移和路程分別是多少？（精確到0.1）【課時(shí)作業(yè)】1．如圖，圖O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)，則的圖像大致為（）A．B．C．D．A． B．π C． D．2π7．（多選）從出生之日起，人的體力、情緒、智力呈周期性變化，在前30天內(nèi)，它們的變化規(guī)律如下圖所示（均為正弦型曲線）：體力、情緒、智力在從出生之日起的每個(gè)周期中又存在著高潮期（前半個(gè)周期）和低潮期（后半個(gè)周期），它們?cè)谝粋€(gè)周期內(nèi)的表現(xiàn)如下表所示：高潮期低潮期體力體力充沛疲倦乏力情緒心情愉快心情煩躁智力思維敏捷反應(yīng)遲鈍如果從同學(xué)甲出生到今日的天數(shù)為5860，那么今日同學(xué)甲（

）A．體力充沛 B．疲倦乏力 C．心情愉快 D．思維敏捷9．如圖，已知扇形的圓心角為60°，半徑為1，則扇形的內(nèi)接矩形面積的最大值為_______________.11．某游樂(lè)場(chǎng)中半徑為米的摩天輪逆時(shí)針（固定從一側(cè)觀察）勻速旋轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，其最低點(diǎn)離底面米，如果以你從最低點(diǎn)登上摩天輪的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，那么你與底面的距離高度（米）隨時(shí)間（秒）變化的關(guān)系式為_____.其中正確的是__________．（填上所有正確性質(zhì)的序號(hào)）點(diǎn)從處開始以2秒一周的速度繞點(diǎn)O在圓周上按逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng)（這里的角均指逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角）．16．游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑40米．如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間的變化而變化，以你登上摩天輪的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）你與地面的距離隨時(shí)間的變化而變化，這個(gè)現(xiàn)象是周期現(xiàn)象嗎？（2）轉(zhuǎn)四圈需要多少時(shí)間？（3）你第四次距地面最高需要多少時(shí)間？（4）轉(zhuǎn)60分鐘時(shí)，你距離地面是多少？（2）求當(dāng)角取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大值．18．南昌之星摩天輪位于江西省南昌市贛江邊上的市民公園，是世界上第三高?國(guó)內(nèi)第一高的摩天輪，是南昌市地標(biāo)建筑之一.如圖所示，該摩天輪直徑為米，最高點(diǎn)距離地面米，相當(dāng)于層樓高，摩天輪的圓周上均勻的安裝了個(gè)透明座艙，每個(gè)座艙最多可坐人，整個(gè)摩天輪可同時(shí)供余人觀光，并且運(yùn)行時(shí)按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，