復習專題四小船渡河問題——精剖細解細復習講義知識點1：小船渡河（1）模型特點小船在河流中實際的運動可視為船同時參與了這樣兩個分運動：①船在靜水中的運動，它的方向與船身的指向相同；②水流的運動(即速度等于水的流速)，它的方向與河岸平行。三種速度：v1(船在靜水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的實際速度)．（2）渡河的三種情景①渡河時間最短：船頭正對河岸時，渡河時間最短，t短＝eq\f(d,v船)(d為河寬)． 分析：由于水流速度始終沿河道方向，不能提供指向河對岸的分速度。因此，只要使船頭垂直于河岸航行即可。由圖可知，t短＝eq\f(d,v船)，此時船渡河的位移x＝eq\f(d,sinθ)，位移方向滿足tanθ＝eq\f(v船,v水)。②渡河位移最短：情形一：v水＜v船。最短的位移為河寬d，此時渡河所用時間t＝eq\f(d,v船sinθ)，船頭與上游河岸夾角θ滿足v船cosθ＝v水，如下圖所示。情形二：v水＞v船如下圖所示，以v水矢量的末端為圓心，以v船的大小為半徑作圓，當合速度的方向與圓相切時，合速度的方向與河岸的夾角最大(設為α)，此時航程最短。由圖可知sinα＝eq\f(v船,v水)，最短航程為x＝eq\f(d,sinα)＝eq\f(v船,v水)d。此時船頭指向應與上游河岸成θ′角，且cosθ＝eq\f(v船,v水)。渡河時間只與船垂直于河岸方向的分速度有關，與水流速度無關。船渡河位移最小值與v船和v水大小關系有關，v船＞v水時，河寬即為最小位移，v船＜v水時，應利用圖解法求極值的方法處理。一、單選題過河時間最短問題1．摩托艇以恒定的速率垂直河岸橫渡一條百米寬的大河，當河水向下游流動的速度突然減小時，摩托艇橫渡大河經(jīng)歷的時間將（）A．變長 B．變短 C．不變 D．無法確定【答案】C【詳解】將摩托艇的運動分解為沿河岸方向和垂直于河岸方向，在垂直于河岸方向上速率不變，渡河時間則渡河時間不變。故C正確，ABD錯誤。故選C。2．如圖所示，河寬為d，汽艇在靜水中航行速度大小為，水流速度大小為，若汽艇始終向著與河岸垂直的方向航行，則汽艇渡河的時間是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意可知，汽艇始終向著與河岸垂直的方向航行，此時渡河時間最短，最短時間為故選C。船速大于水速時最短過河位移問題3．“十月里來秋風涼，中央紅軍遠征忙；星夜渡過于都河，古陂新田打勝仗?！边@是在于都縣長征第一渡口紀念碑上鐫刻的一首詩，描述的是當年紅軍夜渡于都河開始長征的情景。假設于都河寬，水流速度大小恒定且處處相等，紅軍渡河時船頭垂直河岸，船在靜水中的速度為，于正對岸下游處靠岸。則（）A．紅軍夜渡于都河的時間為B．于都河水流速度大小為C．若河水流速變快，則過河時間會變短D．無論如何改變船頭朝向，紅軍都不可能到達正對岸【答案】B【詳解】A．紅軍渡河時船頭垂直河岸，紅軍夜渡于都河的時間為最短時間A錯誤；B．于都河水流速度大小為B正確；C．若河水流速變快，則垂直于河岸方向的分運動不影響，故過河時間會不變，C錯誤；D．船速大于水速，當船頭朝向上游一定的角度，使船相對于河岸的速度垂直于河岸，則紅軍可能到達正對岸，D錯誤。故選B。4．一艘小船在靜水中的速度是5m/s，一條河寬為60m，河水流速是4m/s，下列說法正確的是（）A．小船渡過這條河的最短時間是15s B．小船渡過這條河的最短時間是20sC．小船渡過這條河的最小位移是60m D．小船渡過這條河的最小位移是80m【答案】C【詳解】AB．小船船頭垂直河岸過河時間最短，最短時間為AB錯誤；CD．小船速度大于水速，故小船可垂直河岸過河，且過河位移最小等于河寬，C正確，D錯誤。故選C。船速小于于水速時最短過河位移問題5．有一條可視為質(zhì)點的渡船勻速橫渡一條河寬為180m的河流，小船在靜水中的速度為3m/s，水流速度為4m/s，則該小船（

）A．小船渡河最短位移180m B．小船渡河最短位移300mC．小船渡河的最短時間36s D．小船渡河的最短時間等于60s【答案】D【詳解】A．因船在靜水中的速度小于水流的速度，由平行四邊形定則，求得合速度不可能垂直河岸，小船不可能垂直河岸到達正對岸，故A錯誤；B．當船頭方向與合速度方向垂直時，船過河的位移最小，最小值為故B錯誤；CD．當船在靜水中的速度垂直河岸渡河時時間最短，最短時間為故D正確C錯誤。故選D。6．某船在靜水中劃行的速率為，河水的流速為，要渡過寬的河，下列說法正確的是（

）A．該船渡河所用的時間一定大于B．該船渡河所通過的位移大小至少為C．該船用最短時間渡河時所通過的位移大小為D．該船以最短位移渡河時所用的時間為【答案】B【詳解】A．當船頭垂直于河岸行駛時，船渡河所用時間最短為A錯誤；B．因為，所以船不能垂直于河岸行駛，如圖所示當船合速度沿AC方向時，船渡河位移最小，則其中聯(lián)立解得，該船渡河所通過的位移大小最小為B正確；C．該船用最短時間渡河時，則沿水流方向位移為所通過的位移大小為C錯誤；D．該船以最短位移渡河時所用的時間為D錯誤。故選B。小船過河模型在其它運動中的運用7．如圖所示，河水由西向東流，河寬為800m，若河中各點的水流速度大小為，各點到較近河岸的距離為x，則與x的關系為(x的單位為m).讓小船船頭垂直河岸由南向北渡河，小船劃水速度大小恒為=4m/s，則下列說法中正確的是（）A．小船在河水中的最大速度是5m/sB．小船渡河的軌跡為直線C．小船渡河的時間是160sD．小船在距南岸200m處的速度小于在距南岸600m處的速度【答案】A【詳解】A．當小船運動到河中間時，東西方向上的分速度最大，為3m/s，此時小船的合速度最大，最大值A正確；B．小船在南北方向上為勻速直線運動，在東西方向上先加速，到達河中間后再減速，合速度方向與合加速度方向不共線，小船的合運動是曲線運動，B錯誤；C．小船的渡河時間C錯誤；D．小船在距南岸200m處的水流的速度與在距北岸200m處的水流的速度大小相等，則小船在距南岸200m處的速度與在距北岸200m處的速度大小相等，D錯誤。故選A。8．跑馬射箭是民族馬術中的一個比賽項目，如圖甲所示，運動員需騎馬在直線跑道上奔跑，彎弓射箭，射擊側(cè)方的固定靶標，該過程可簡化為如圖乙（俯視圖）所示的物理模型：假設運動員騎馬以大小為的速度沿直線跑道勻速奔馳，其軌跡所在直線與靶心的水平距離為d。運動員應在合適的位置將箭水平射出，若運動員靜止時射出的弓箭速度大小為（大于），不計空氣阻力。下列說法正確的是（）A．運動員應瞄準靶心放箭B．為保證箭能命中靶心且在空中運動的時間最短，箭射中靶心的最短時間為C．為保證箭能命中靶心且在空中運動的時間最短，箭射中靶心的最短時間為D．為保證箭能命中靶心且在空中運動的距離最短，箭射中靶心的時間為【答案】B【詳解】A．當箭射出的同時，箭也要參與沿跑道方向的勻速運動，若運動員瞄準靶心放箭，則箭的合速度方向不會指向靶心，不會擊中靶，選項A錯誤；BC．為保證箭能命中靶心且在空中運動的時間最短，則需箭射出時速度方向與直線跑道垂直，此時箭射中靶心的最短時間為選項B正確，C錯誤；D．為保證箭能命中靶心且在空中運動的距離最短，則箭的合速度方向垂直直線跑道，此時箭射中靶心的時間為選項D錯誤。故選B。二、多選題過河時間最短問題9．如圖所示，小船（視為質(zhì)點）從岸邊A點開始渡河，河兩岸平行，河的寬度為150m，水流速度大小為3m/s，船在靜水中的速度大小為4m/s，則（）A．船不可能到達正對岸B點B．船的最短過河時間為37.5sC．船要以最短路程過河，船頭必須指向正對岸D．船以最短路程過河時的速率為m/s【答案】BD【詳解】ACD．由于船在靜水中的速度大于水流的速度，當速度滿足如圖所示關系時，船垂直河岸過河，此時為最短路程過河，船頭方向與方向相同，過河時的速率為m/s故AC錯誤，D正確；B．船頭垂直河岸過河時，時間最短，則有故B正確。故選BD。船速大于水速時最短過河位移問題10．關于兩個運動的合成，下列說法正確的是（）A．兩個直線運動的合運動一定也是直線運動B．不共線的兩個勻速直線運動的合運動一定是勻速直線運動C．小船渡河的運動中，小船的對岸速度可以小于水流速度D．小船渡河的運動中，小船渡河所需的最短時間與水流速度大小無關【答案】BCD【詳解】A．兩個分運動是直線運動，其合運動可能是曲線運動，比如平拋運動，故A錯誤；B．不共線兩個勻速直線運動，沒有加速度，則合運動也一定是勻速直線運動，故B正確；C．合運動的速度可能比分速度大，可能比分速度小，可能與分速度相等，故C正確；D．小船渡河運動中，當船頭垂直于河岸渡河時，小船渡河所需的最短時間，則有可知小船渡河所需的最短時間與水流速度大小無關，故D正確。故選BCD。船速小于于水速時最短過河位移問題11．一船在靜水中的速度為3m/s，它在一條河寬150m，水流速度為4m/s的河流中渡河，則該小船（）A．不能垂直到達正對岸B．渡河的時間可能少于50sC．以最短位移渡河時，位移大小為150mD．以最短時間渡河時，它沿水流方向的位移大小為200m【答案】AD【詳解】A．因為小船在靜水中的速度小于河水的流速，由平行四邊形法則求合速度不可能垂直河岸，所以小船不可能垂直河岸正達對岸，故A正確；B．當小船船頭垂直于河岸時，渡河時間最短，由運動學公式，可得小船最短渡河時間為故B錯誤；C．因為船在靜水中的速度小于河水的流速，由平行四邊形法則求合速度不可能垂直河岸，小船不可能垂直河岸正達對岸，如圖所示根據(jù)三角形相似可知，最短位移故C錯誤；D．船以最短時間50s渡河時，沿水流方向的位移大小x=v水tmin=4×50m=200m故D正確。故選AD。小船過河模型在其它運動中的運用12．經(jīng)過治理的護城河成為城市的一大景觀，河水看似清淺，實則較深。某次落水救人的事件可簡化如圖，落水孩童抓住繩索停在A處，對面河岸上的小伙子從B處直線游過去，成功把人救起。河寬和間距如圖中標注，假定河水在各處的流速均為1m/s，則（）A．游泳時小伙子面對的方向是合運動的方向B．小伙子在靜水中游泳的速度至少應為0.6m/sC．小伙子渡河的時間一定少于16sD．若總面對著A處游，軌跡將為一條曲線且到達不了A處【答案】BD【詳解】AB．由題可知，設小伙子在靜水中的游泳的速度為，小伙子的合運動方向是從B到A，作出小伙子游泳時合速度與兩個分速度的關系，如圖所示當與合速度垂直時有最小值，設AB與河岸的夾角為，根據(jù)幾何關系有解得即游泳時小伙子面對的方向是與合速度方向垂直，此時最小的速度為故A錯誤，B正確；C．由AB分析可知，小伙子相對水的速度存在不確定性，其沿流水方向和垂直河岸方向的速度大小及合速度大小都不能確定，則渡河的時間不確定，故C錯誤；D．若總面對著A處游，如圖所示由圖可知的方向會不斷變化，則有加速度產(chǎn)生，而的方向大小不變，根據(jù)運動的合成與分解，可知它們的合運動是變速曲線運動，位移變大，故達不了A處，故D正確。故選BD。三、解答題13．汽艇在靜水中的速度為，要渡過寬為d=200m的河，已知河水勻速流動，速度大小為。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）（1）汽艇渡過此河的最短時間是多少？登陸的地點離正對岸的距離x是多少？（2）若汽艇要在正對岸登陸，船頭指向與河岸上游的夾角是多大？渡河時間是多少？【答案】（1）40s，120m；（2）53°，50s【詳解】（1）船頭指向與河岸垂直時渡河時間最短，此時有：登陸的地點離正對岸的距離是（2）在正對岸登陸，速度矢量圖如圖所示由幾何知識可知，解得渡河時間是14．每年4月初，隨著副熱帶高壓北進，夏季風給華南地區(qū)帶來一場又一場降雨，進入前汛期。如圖所示，某地防汛演練中，戰(zhàn)士駕駛小船救人，河岸是平直的，河的寬度，小船在靜水中的速度大小，河水的流速大小。小船從A點出發(fā)，到上游河對岸的B點救人，A、B連線與河岸的夾角為，取，。若小船船頭先垂直河岸渡河，從A點運動到另一河岸的C點后，立即使船頭指向上游沿河岸運動到B點，求該過程小船運動的時間t?！敬鸢浮俊驹斀狻坑蓭缀侮P系可知，A、B兩點間沿水流方向的距離設小船從A點運動到另一河岸的C點所用的時間為，有解得一、單選題1．一條河寬120m船在靜水中的速度為3m/s，水流速度是6m/s，則（）A．該船過河最短時間為B．該船過河最短距離為C．當船頭與岸所成夾角為時，船過河的位移最短D．當該船以最短時間過河時，該船的運動方向與垂直岸方向的夾角為【答案】C【詳解】AD．當船在靜水中的速度與河岸垂直時，渡河時間最短，最短時間此時船的運動方向與垂直岸方向的夾角所以選項AD錯誤；B．船在靜水中的速度為3m/s，小于水流速度6m/s，根據(jù)平行四邊形定則，合速度不可能垂直于河岸，所以船不可能垂直到達對岸，即該船過河最短距離不可能為，選項B錯誤；C．當合速度的方向與船在靜水中速度的方向垂直，渡河位移最短，如圖所示可知船頭與岸所成夾角所以選項C正確。故選C。2．一船在靜水中的速度大小恒定為v1，水流速度的方向沿著河岸向右且大小恒定為v2，且v1>v2，河岸寬度恒定為d。小船從O點開始渡河，圖中OB垂直于河岸，AB=BC=L。已知當小船劃行方向垂直于河岸時，小船正好航行到C點。下列說法中正確的是（）A．B．若小船改變劃行方向，最終到達對岸A點，則從O點到A點所用時間等于小船航行到C點所用時間C．若小船的劃行方向沿OA方向，則小船最終會航行到BC之間的某一點D．若小船改變劃行方向，最終到達對岸B點，則從O點到B點所用時間為【答案】C【詳解】A．小船的實際運動軌跡為OC，即速度方向沿OC方向，所以根據(jù)幾何知識可得選項A正確；B．如圖小船航行到A點的合速度和小船航行到C點的合速度不同，但是位移相同，所以時間不同，選項B錯誤；C．要小船沿OA方向劃船，設垂直到達河岸方向的夾角為，則說明當垂直對岸到達B點時船頭和OB之間的夾角大于，因此沿OA方向劃船不會垂直到達B點，會航行到BC之間的某一點，選項C正確；D．若小船改變劃行方向，最終到達對岸B點，則合速度指向B，如圖從O點到B點所用時間為選項D錯誤。故選C。3．一條河寬100m，船在靜水中的速度為4m/s，水流速度是5m/s，則（）A．該船能垂直河岸橫渡到對岸B．當船頭垂直河岸橫渡時，過河所用的時間最短C．當船頭垂直河岸橫渡時，船的位移最小，是100mD．當船頭垂直河岸橫渡時，船沿岸方向的位移可能小于100m【答案】B【詳解】A．設船在靜水中的航速為v1，水流的速度v2；由題，船在靜水中的航速小于水流的速度，根據(jù)平行四邊形定則可知，船的合速度方向不可能垂直于河岸，則船不能垂直到達正對岸，故A錯誤；B．將小船的速度分解為垂直河岸和沿河岸方向，在垂直于河岸的方向上，河寬一定，當在該方向上的速度最大時，渡河時間最短，所以當船頭方向垂直河岸，在該方向上的速度等于靜水航速，時間最短，為故B正確；C．船實際是按合速度方向運動，由于v1、v2的大小一定，根據(jù)作圖法，由三角形定則分析可知，當船相對于水的速度v1與合速度垂直時，合速度與河岸的夾角最大，船登陸的地點離船出發(fā)點的最小距離；設船登陸的地點離船出發(fā)點的最小距離為S，根據(jù)幾何知識得代入解得故船的位移最小，是125m，故C錯誤；D．當船頭垂直河岸橫渡時，由B選項知渡河時間為25s，則船沿岸方向的位移為故D錯誤。故選B。4．如圖所示，甲、乙兩同學從河中O點出發(fā)，分別沿直線游到A點和B點后，立即沿原路線返回到O點，OA、OB分別與水流方向平行和垂直，且OA=OB=12m，若水流速度為2.0m/s不變，兩人在靜水中游速相等均為2.5m/s，他們所用時間分別用t甲、t乙表示，則()A．t甲=9.6sB．t甲=15sC．t乙=12sD．t乙=16s【答案】D【詳解】設游速為，水速為，OA=OB=L，則甲整個過程所用時間乙為了沿OB運動，速度合成如圖則乙整個過程所用時間故選D。二、多選題5．小船過河，河寬300m，水流速度為5m/s，船在靜水中的速度為4m/s，以下結論正確的是（）A．船要以最短路程過河，船頭必須指向正對岸B．船不可能到達正對岸C．船以最短路程過河所需時間為75sD．船渡過河的最短時間為75s【答案】BD【詳解】B．船在靜水中的速度為4m/s，小于水流速度5m/s，根據(jù)平行四邊形定則，合速度不可能垂直于河岸，所以船不可能到達正對岸，選項B正確；D．當船在靜水中的速度與河岸垂直時，渡河時間最短，最短時間選項D正確；AC．當合速度的方向與船在靜水中速度的方向垂直，渡河路程最短，如圖所示此時有則船以最短路程過河所需時間選項AC錯誤。故選BD。6．一小船過河的運動軌跡如圖所示。河中各處水流速度大小相同且恒定不變，方向平行于岸邊。若小船相對于靜水分別做勻加速、勻減速、勻速直線運動，船相對于靜水的初速度均相同（且均垂直于岸邊）。由此可以確定（）A．船沿AC軌跡運動時，船相對于靜水做勻加速直線運動B．船沿AC軌跡渡河所用的時間最短C．船沿AD軌跡到達對岸前瞬間的速度最小D．船沿三條不同軌跡渡河所用的時間相同【答案】ABC【詳解】ABD．加速度的方向指向軌跡的凹側(cè)，依題意可知，AC軌跡是勻加速運動，AB軌跡是勻速運動，AD軌跡是勻減速運動，故船沿AC軌跡過河所用的時間最短，選項D錯誤，AB正確；C．船沿AD軌跡在垂直河岸方向的運動是減速運動，故船到達對岸的速度最小，選項C正確。故選ABC。7．一條河寬400m，船在靜水中的速度是4m/s，水流速度為5m/s，則（）A．該船一定不能垂直河岸到達對岸B．當船頭垂直河岸渡河時，渡河時間最短C．當船頭垂直河岸渡河時，船對水的位移最短D．該船渡河過程中，船對岸的最小位移為400m【答案】ABC【詳解】A．因為船速小于水速，小船不能垂直過岸，選項A正確；B．無論什么時候只要船頭垂直河岸渡河時，過河的時間是最短的，選項B正確；C．當船頭垂直河岸橫渡時，沿河水方向，船的位移和水