10與三角形有關(guān)的折疊

一、單選題

1.如圖，將AABC沿著DE翻折，使B點與B'點重合，若/1+/2=80°,則/B的度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【詳解】由折疊的性質(zhì)可知/BED=NB,ED/BDE=AB'DE

'：Z1+ABED+ZJB'ED=18O°,Z2+ZBDE+AB'DE=180°

ABED+ZBDE=1(360°-Zl-Z2)=1x(360°-80°)=140°

ZB=180°-(ZBED+ZBDE)=180°-140°=40°

故選C

2.如圖，把△46。沿斯對折，疊合后的圖形如圖所示.若N/=55°,N1=95°,則N2的度數(shù)為().

A.14°B.15°C.28°D.30°

【答案】B

【詳解】解：%=55°,

：.ZAEF+ZAFE=180°-55°=125°,

:"FEB+4EFC=36Q°-125°=235°,

由折疊可得：ZB'EF+AEFC=/FEB+/EFC=235°,

.\Z1+Z2=235O-125°=110°,

VZ1=95°,

.\Z2=110°-95°=15°,

故選:B.

3.如圖，三角形紙片ABC中，ZA=70°,NB=80。，將紙片的一角沿DE折疊，使點C落在ASC內(nèi),

若4=20。，貝|/2=()

A

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【詳解】解：在ABC中，ZA=70°,ZB=80°,,

ZC=180°-ZA-ZB=30°,

...在CDE中，ZCDE+ZCED=180°-ZC=150°,

折疊，

.-.Z1+Z2+2(NCDE+NCED)=360°,

即20°+Z2+2x150°=360°,

解得/2=40°,

故選：C.

4.如圖，"C中，D、E分別為AB、AC上兩點，將，ABC沿直線OE折疊，使得點/落在ABC右側(cè)的

點4處，則一A、Nl、N2之間滿足的關(guān)系式是()

A.ZA=Z1-Z2B.ZA=-Z1-Z2C.ZA=Z1-2Z2D.2ZA=Z1-Z2

2

【答案】D

【詳解】解：設(shè)交AC于點尸，如圖所示：

Z1=ZA+ZDFA,ZDFA=ZAl+Z2,

Z1=ZA+ZA+Z2,

:.ZA+ZAl=Zl-Z2,

ADE是由VADE沿直線DE折疊而得,

ZA=NA1,

.-.2ZA=Z1-Z2.

故選：D.

5.如圖，M,“分別是.ABC的邊AB,AC上一點，將ABC沿MN折疊，使點/落在邊BC上，若

Zl+Z2+Z3+Z4=235°,則NA=()

A

AA

A.35°B.45°C.65°D.55°

【答案】D

【詳解】解：VZl+Z2+Z3+Z4=235°,Zl+Z4+ZB=180°,Z2+Z3+ZC=180°,

ZC+ZB=360°-(Zl+Z2+Z3+Z4)=二125。，

,/ZA+ZC+Zfi=180°

ZA=180°-(ZC+ZB)=55°

故選：D.

6.如圖所示，在U1BC中，NC=40。，將一ABC沿著直線/折疊，點。落在點。的位置.則Nl-N2的度

數(shù)是()

A1

D

A.80°B.90°C.110°D.140°

【答案】A

【詳解】解：由題意得：/C=/D,

N1=NC+N3,N3=N2+NO,

Z1=Z2+ZC+ZD=Z2+2ZC,

「.Nl—N2=2NC=80。.

故選：A.

A

:C

D

7.如圖，將△/歐紙片沿龐折疊，使點/落在點/'處，且/'8平分//8C/'C平分//四，若/歷l'C=

120°,則/1+N2的度數(shù)為（）

A.90°B.100°C.110°D.120

【答案】D

【詳解】解：如圖，連接44',

平分N/6G/'C平分//四，

二Z.ABO三AABC,Z/CB=^ZACB,

'：ZBA>0=120°,

J.ZA'BC+ZA'<29=180°120°=60°,

：.ZABaZACB=120°,

：.ZBA(=18Q°120°=60°,

?.?沿龍折疊，

ZDAA'=ZDA'A,ZEAA'=ZEAA,

'：Z1=ZDA^+ZDA'A=2ZDAA',Z2=ZEAA'+ZEA'A=2ZEAA',

：.Z1+Z2=2ZDAA,+2ZEAA'=2,ZBAC=2X&0°=120°,

故選：D.

B

DA1___JA9

2

E

8.如圖，.ABC沿E尸折疊使點A落在點A處，BP、CP分別是NABD、NACD平分線，若

ZP=30°,ZA'EB=20°,則NA'bC為（）

D.140°

【答案】D

【詳解】如圖，設(shè)A3與A/交于點G,

"：BP、CP分別是N/RZXNACD平分線,

ZPBD=-ZABD,NBCP=-ZBCA,

22

NP=ZPBD-ZBCP=1(ZABD-ZBG4)=1-ZA,

,/ZP=30°,

：.ZA=ZAr=60°,

ZAGF=ZA,+ZAEB=60°+20°=80°,

ZA'FC=ZA+ZAGF=600+80°=140°,

故選：D.

9.如圖，把△/歐沿廝對折，折疊后的圖形如圖所示，ZA=60°,Zl=96°,貝！|N2的度數(shù)為（）

A.30°B.24°C.25°D.26°

【答案】B

【詳解】解：：/A=60。，

ZAEF+ZAFE=180°-ZA=180°-60°=120°,

ZFEB+ZEFC=360°-120°=240°,

由折疊的性質(zhì)可得：

NB'EF+NCFE=ZFEB+ZEFC=240°,

Z1+ZAEF+Z2+ZAFE=240°,

4=96°,

96°+120°+N2=240°,

即Z2=240°-120°-96°=24°.

故選B.

10.如圖，將三角形紙片ABC沿。E折疊使點/落在點4處，且明，平分/ABC,C4'平分NACB.若

ZE4,C=112°,貝|N1+N2=()

【答案】C

【詳解】解：如圖，連接A4'.

"?ZBA'C=112°,

ZABC+ZAfCB=180°-ABKC=68°.

平分NABC,C4'平分/AC3,

/.ZABC=2ZA'BC,ZACB=2ZACB,

：.ZABC+ZACB=2ZA,BC+2ZA,CB=2(ZA,BC+ZA,CS)=136°.

/.N54C=18()o-(/ABC+NA函=44。.

由題意得：AADE^/\ADE.

ZDAE=ZDA:E=44°.

VZ1=ZDAA+ZAAD,Z2=ZEAA'+ZAAE,,

/.Z1+Z2=ZZM￡+ZZM,E=2ZZME=88°.

故選：C.

二、填空題

11.如圖，MBC中，NC=30。，點D為邊BC上一點,將△ADC沿直線AD折疊后，點C落到點E處,

若DE〃AB,ZADC=UO°,則23的度數(shù)為°.

【答案】40

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得/M>E=Z/WC=11O。，

ZADB=180O-ZADC=70°,

NBDE=1100-ZADB=110°-70°=40°,

DE//AB,

ZB=ZBDE=40°.

故答案為：40.

12.在ABC中，將4、NC按如圖所示方式折疊，點3、C均落于邊上一點。處，線段腦V、EF為

折痕.若ZA=82。，則=°.

【答案】82

【詳解】解：在ABC中，N4=82。，

ZB+ZC=180°-ZA=180°-82°=98°,

ZB>/C按如圖所示方式折疊，線段MN、為折痕，

/.ZB=ZMQN,NC=NEQF,

：.ZMQN+ZEQF=NB+NC=98°,

:點B、C均落于邊BC上一點。處，

ZMQN+ZEQF+ZMQE=180°,

ZMQE=180°-(NMQN+NEQF)=180°-98°=82°,

故答案為：82.

13.如圖，ABC中，ZACB=90°,ZA=50°,將其折疊，使點/落在邊BC上A處，折痕為8,則NAQ2

的度數(shù)為度.

【答案】10

【詳解】解：44cB=90。，ZA=5O。，

.-.ZS=90°-50°=40°,

由翻折的性質(zhì)得，NCAQ=ZA=50。，

所以4,98=/期。-/8=50。-40。=10°.

故答案為：10.

14.如圖，三角形紙片ABC中，ZA=65。,48=75。，將NC沿DE翻折，使點。落在MBC外的點C'處.若

/1=20。，則N2的度數(shù)為.

【答案】100°

【詳解】解：ZA=65°,ZB=75°,

.-.ZC=180o-650-75o=40o,

由折疊的性質(zhì)可知，ZC=ZC=4O°,

.-.Z3=Z1+ZC=6O°,

.■.Z2=ZC+Z3=1OO°,

故答案是：100。.

15.探究與運用：

(1)【原題再現(xiàn)】課本第42頁有這樣一道題：如圖1,將紙片沿OE折疊，使點力落在四邊形3CDE

內(nèi)點A，的位置.試探索-A與4+N2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑵【變式探究】如圖2,若將原題中“點"落在四邊形BCDE內(nèi)點A的位置”變?yōu)椤包c/落在四邊形3CDE

外點A的位置”，試猜想此時-A與Nl、N2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【結(jié)論運用】

⑶圖1中，連接班'、CA',若加、CA分別平分/ABC,ZACB,且/54'C=115。，如圖3,則N1+N2

的度數(shù)為.

⑷圖2中，連接CA'、BA,若C4'平分/ACB,而平分NABC的外角，若Nl=108。，Z2=148°,如圖

4,則NB4'C的度數(shù)為.

【答案】(1)2NA=/1+N2,理由見解析；2)Z2=Z1+2ZA,理由見解析；(3)100°；(4)10°

【詳解】(1)解：2N4=/1+N2,

理由如下：

在，ABC中，ZA+ZB+ZC=180°,

在，ADE中，ZA，+ZADE+ZAED=180°,

ZA=ZA,

:.ZB+ZC^ZADE+ZAED,

在四邊形3CDE中，

ZB+ZC+Zl+Z2+ZADE+ZAED=360°,

Zl+Z2+2(180°-ZA)=360°,

即2ZA=Z1+Z2；

(2)解：N2=N1+2ZA,

理由如下：

Z2=ZA+ZAFD,ZAFD=Z1+ZA,

.'.Z2=ZA+Z1+ZA,,

ZA=ZA,

.-.Z2=Z1+2ZA；

(3)解：ZBAXC=115°,

ZABC+ZACB=180°-ZBAC=180°-115°=65°,

BA'、C4'分別平分，ABC,ZACB,

ZABC+ZACB=l(ZABC+ZACB)=130°,

ABAC=180°-130°=50°,

Z1+Z2=2ZBAC,

.-.Zl+Z2=100°,

故答案為：100。；

(4)解：Z2=Z1+2ZA,Zl=108°,Z2=148°,

.-.ZA=1(Z2-Zl)=^(148°-108°)=20°,

設(shè)NACB=a,

ZABF=ZA+ZACB=200+a,

C4'平分NACB,&V平分/ABC的外角，

:.ZArCB=-a,ZA'BF=W°+-a,

22

ZBAC=ZA'BF-ZA,CB=10°+-<z--?=10°,

22

16.如圖甲所示三角形紙片ABC中，NB=NC,將紙片沿過點8的直線折疊，使點C落到A2邊上的E點

處，折痕為（如圖乙）.再將紙片沿過點E的直線折疊，點A恰好與點。重合，折痕為反（如圖丙），

則ZABC的大小為

甲乙丙

【答案】72°

【詳解】解：設(shè)NA=無，根據(jù)翻折不變性可知，A=，￡ZM=尤，ZC=ZDEB=ZA+ZEDA=2x,

AB=AC,

:.ZABC=ZC=2x,

ZA+ZABC+ZC=180°,

.\5x=180°,

x=36°,

:.ZABC=12°,

故答案為：72°

17.如圖，在-ABC中，ZACB=95°,ZB=35°,點。在邊A3上，將△5CD沿8折疊，點3落在點&

處.若？O〃AC,則NBQC=.

【詳解】解：由折疊可知N5=NB，=35。，ZBCD=ZBrCD=-ZBCBf,

2

BrD//AC,

：./ACS'=N9=35。，

ZACB=95°,

：.NBCP=ZACB-ZACBr=60°,

：.ZBCD=30°,

貝！|ZBDC=1800-ZB-ZBCD=115°,

故答案為：115。.

18.如圖，在RtZkABC中，NC=90。，ZB=62°,D、￡分別在A3、AC上，將VADE沿OE折疊得VM>E,

且滿足EF〃AB,則Nl=°.

【答案】76

【詳解】解：：丫4;汨沿DE折疊得VEDE,

/.Zl=NAED=ZFED=-NAEF,

2

,/EF//AB,

：.ZA=ZFEC,

VZC=90°,4=62。，

ZA=90?！?=28°,

/.ZFEC=28°,

Z1=1(180°-ZFEC)=76°.

故答案為：76.

19.在如圖所示的ABC紙片中，點￡是邊A3的中點，點廠是邊BC上任意一點，現(xiàn)將△頗沿所折疊，

得到B'EF,折痕所與一ABC的角平分線8。相交于點。，連接CB,當(dāng)，線段與CB'的長度和最小

時，Z￡OB=100°,則此時/3'CB=°,

【答案】20

【詳解】當(dāng)E、B'、C三點共線時，線段EB'與C夕的長度和最小,

設(shè)CE、BD交于點、P,

,?平分/ABC,

ZABD^ZCBD,

設(shè)NASD=NCBD=(z,

,/ZEOB=100°,

ZBEO=ZB'EO=80°-a,

ZEBB'=2(80°-a)=160°-2a,

ZBPC=ZBEB'+/EBP=160°-2a+a=160°-?

ZB'CB=180O-ZBPC-ZCBD=180-(160-?)-?=20°,

故答案為：20.

三、解答題

20.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，ZA=60°,〃是A￡＞邊的中點，N是AB邊上的一動點，將

沿MN所在直線翻折得到AA'MN,求點4至IJBC距離的最小值.

【答案】拒-1

【詳解】解：由折疊知A'M=A",

又：”是AD的中點，：.MA=MA=MD,

故點A在以點M為圓心長為半徑的A加O上，如解圖，過點M作ME，8c于點E,在菱形A3CD中,

AB=2,ZA=60°,

△ABD是等邊三角形

是AD的中點，

.,.點E與點5重合，

,,EM—-F=y/3,

故點AA'到8c距離的最小值為EM-AM=6-1.

21.等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解決問題的方法.請嘗試?yán)眠@種數(shù)學(xué)方法解決下面問題：在

RtAABC中，ZACB=9Q°,BC=3,AC=4,AB=5.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，CDLAB,求ABC的面積及8的長；

⑵如圖②、點4點戶分別在邊AB、AC上，將沿著DP折疊(DP為折痕)，使點力和點6重合,

25

AP=—,求一AB尸的面積；

O

(3)在(2)的條件下，作DE_LBP,DF±AP,垂足分別為點￡、點凡則DE=DP，求DE(或。/)的

長；

(4)如圖③，點尸在邊AC上，且AP=3尸，點0是邊AB上一點(不與點/、點8重合)QE±BP,QF±AP,

垂足分別為點￡、點孔直接寫出。石+。尸的值.

【答案】⑴S.c=6；CD=g12⑵795；⑶龐=31；(4)3

5162

【詳解】(1)解：vZACB=90°,BC=3,AC=4,

SAABC=|AC-BC=1X3X4=6,AB=5,

由jAacr>=6得，

—x5xCD=6,

2

：.CD=^；

5

112575

(2)解：S=_APxBC=-x—x3=—；

ABP22816

(3)解：如圖，

k

)A

圖②

由SABP=SAPD+SPBD得，

-APBC=-APDE+-BPDF,

222

由折疊得：AP=BP,

：.DE+DF=BC,

VDE=DF,BC=3,

：.2DE=3,

3

：.DE=--

2

(4)解：由(3)知：^APBC=^APDE+^BPDF,AP=BP,

；.QE+QF=3,

22.如圖①，把ABC紙片沿折疊，使點/落在四邊形5C￡D內(nèi)部點A的位置，通過計算我們知道:

2NA=N1+N2.請你繼續(xù)探索：

⑴如果把_ABC紙片沿折疊，使點/落在四邊形3CED的外部點A的位置，如圖②，此時/A與

N1、/2之間存在什么樣的關(guān)系？為什么？請說明理由.

⑵如果把四邊形ABCD沿時折疊，使點4,落在四邊形加%'的內(nèi)部A、M的位置，如圖③，你能求出—4、

ZD.N1與N2之間的關(guān)系嗎？（直接寫出關(guān)系式即可）

【答案】（1）/1—N2=2NA,理由見解析；（2）4+/。=180。+；（/1+/2）

【詳解】（1）解：連接A4',

?/Z2=ZAAE+ZAAE,Zl=ZAAD+ZAA'D,ZDAA^ZDAA,ZAAE=ZAAE

：.Z1-Z2=2ZA；

(2)解：由圖形折疊的性質(zhì)可知4=180?！?NAEF,N2=180?！?NDEE,

兩式相力口得，Z1+Z2=360°-2(ZAEF+ZDFE),

即Zl+Z2=360°-2(360°-ZA-ZD),

Zl+Z2=2(ZA+ZD)-360°,

即：ZA+Zr>=180°+1(Zl+Z2).

23.（1）如圖①，把.ABC紙片沿DE折疊，使點/落在四邊形BCED的內(nèi)部點A的位置，試說明

2ZA=Z1+Z2；

（2）如圖②，若把，LBC紙片沿OE折疊，使點/落在四邊形3CED的外部點A的位置，此時NA與N1、

N2之間的等量關(guān)系是（無需說明理由）;

（3）如圖③，若把四邊形ABCD沿政折疊，使點4。落在四邊形3CFE的內(nèi)部點A，、的位置，請你

探索此時—A、ND、N1與N2之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論并說明理由.

【答案】(1)見解析(2)2ZA=N1—N2(3)2(ZA+ZD)=Z1+Z2+3600

【詳解】解：（1）如圖,

???翻折,

Z3=ZEDA'=^(l80°-Zl),Z4=ZDEA'=^(180°-Z2),

,/ZA+Z3+Z4=180°,

/.ZA+1(180o-Zl)+1(180o-Z2)=180°,

整理得，2NA=Nl+/2；

(2)如圖，

/.Z3=1(180°-Zl),Z4=1(180°+Z2),

,/ZA+Z3+Z4=180°,

ZA+1(180°-Zl)+1(180°+Z2)=180°,

整理得，2NA=N1—N2；

故答案為：2NA=N1—N2；

(3)如圖，

???翻折，

Z3=1(18O°-Z1),Z4=1(18O0-Z2),

,/ZA+ZD+N3+N4=360°,

/.ZA+ZD+1(18O°-Z1)+1(18O0-Z2)=360°,

整理得，2(ZA+ZD)=Z1+Z2+360°.

24.我們在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于180?！?，在三角形紙片中，點〃￡分別在邊AC、BCE

將NC沿DE折疊，點C落在點C的位置.

⑴如圖1,當(dāng)點C落在邊BC上時，若NADC=62。，則NC=,可以發(fā)現(xiàn)Z4OC與/C的數(shù)量

關(guān)系是;

⑵如圖2,若4=130。，？270?,作/ABC的平分線BN,與NACB的外角平分線CN交于點兒求/BNC

的度數(shù)；

(3)如圖3,若點A落在」1BC內(nèi)部，作NABC,—ACS的平分線交于點A,此時Nl,N2,滿足

怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明過程.

,

【答案】⑴31。，ZC=1/ADC;(2)15。；(3)/1+/2=4/陰。一360。，理由見解析

【詳解】(1)由折疊的性質(zhì)可知：NC=NCCD,

,/ZADC'=ZC+ZCC'D=62°,

：.ZC=-ZADC'=31°.

2

,

故答案是31。，ZC=1ZADC;

(2)由折疊的性質(zhì)可知：NADE=NADE,ZAED=ZAlED,

,/4=130。，

ZADE=Z^DE=1(180°-Z1)=25°.

,/ZAED+幺助=180°+N2=180°+70°=250°,

/.ZAED=Z^ED=125°.

ZA=180°-ZADE-ZA￡D=30°.

,//ABC的平分線3V,與ZACB的外角平分線CN交于點N,

：.ZNBC=-ZABC,ZNCH=-ZACH.

22

：.NBNC=NNCH-NNBC=1(ZACH-ZABC)=|zA=15°.

(3)Zl+Z2=4ZJBAC-360°,理由如下：

由折疊的性質(zhì)可知：ZADE=ZA,DE,ZAED=ZAiED,

：.Z1=180°-ZADE-A\DE=\80°-2ZADE,

Z2=180°-ZAED-Z^ED=180°-2NAED.

Zl+Z2=360°-2(ZADE+ZAED)=360°-2(180°-ZA)=2ZA.

,//ABC,ZACB的平分線交于點A,,

11

4BC=QZABC,NA1cB=-ZACB.

：.ZA.BC+NACB=，ZABC+-ZACB=-(ZABC+NACB)=」(180。-NA)=90°--ZA.

22222

/./8年=180。-(/43。+/*3)=180。-(90。-；/4)=90。+；/4.

ZA=2ZBA1C-180°.

/.Zl+Z2=2ZA=2(2ZBA,C—180°)=4/%C-360°.

25._MC是一個三角形的紙片，點A￡分別是.ABC邊AB,AC上的兩點.

⑴如圖①，如果沿直線DE折疊，則N3D4'與/A的關(guān)系是-

(2)如果折成圖②的形狀，猜想/瓦W,NCE4'和-A的關(guān)系，并說明理由;

(3)如果折成圖③的形狀，已知ZBZM=100。，NCEY=40。，求—A的度數(shù).

【答案】⑴ZBZM，=2ZA；(2)ZBDA+ZCEA1=2ZA,理由見解析；(3)30°

【詳解】(1)解：ZBDA'=2ZA,

理由：：_ABC沿直線QE折疊，使/點落在CE上，如圖①，

ZA=ZAA'D,

：.ZBDA'=ZA+ZAA'D=2ZA；

故答案為：ZBDA'=2ZA

(2)解：ABDA:+ACEA：=2ADAE,

理由：連接AA',如圖②，

圖②

VZBDA'=Z1+Z2,ZCE4,=Z3+Z4,

ZBDA+ZCEA!=Z1+Z3+Z2+Z4=ZDAE+ZDA!E,

1^ZDAE=ZDAE,

：.ZBDA'+ZCEA'=2ZDAE；

(3)解：由翻折可得：NA，=NA,ZDEA'=ZDEA,ZADE=ZADE,

?：(ZA'+ZA'DE+ZA'ED)+(ZA+NADE+ZA￡D)=180°+l80。，

(ZA*+ZA)+(ZDEA'+ZDEA)+(ZA'DE+ZAD￡)=360°,

2ZA+(180°+ZCEA')+(180°-ZBDA')=360°,

2ZA+ZCEA'-NBDA'=0,

：.2ZA=ZBDA-NCE4'=100°-40°=60°,

NA=30°.

26.一張三角形紙片A3c中，NC=30。，點小￡分別在邊AC、BC±,將NC沿DE折疊，點C落在點

C的位置.

⑴如圖1,點C'在邊BC上，ZADC'=,可以發(fā)現(xiàn)NADC'與/C的數(shù)量關(guān)系是—

⑵如圖2,點C在，ABC外部，C'E與AC交于點凡若ZDEC=55°,求NAFE的度數(shù).

⑶如圖3,點C'在內(nèi)部，請直接寫出/ADC'、NBEC與/C之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴60。，ZADC=2ZC；(2)140°；(3)ZADC+ZBEC=2ZC

【詳解】(1)1/NC沿DE折疊,點C落在點C的位置，ZC=30°,

ZC=NDC'C=30°,ZADC'=ZC+ZDC'C,

ZADC'=ZC+ZDC'C=2ZC=60°,

故答案為：60°,ZADC=2ZC.

(2)：NC沿DE折疊，點。落在點C的位置,ZC=30°,ZDEC=55°,

NDEC=ZDEC'=55°,ZADE=/DEC+ZC=85°,

ZAFE=ZADE+ZDEC=850+55°=140°.

(3)ZADC'+ZBEC'=2ZC.理由如下：

連接C'C,

,/NC沿DE折疊，點C落在點C的位置，

ZDCE=ZDC'E,NDCE=ZDCC+ZECC,ZDC'E=ZDC'C+ZEC'C,

圖3

ZADC+NBEC=ZDCC+ZDC'C+ZECC+ZEC'C,

：.ZADC+ZBEC=NDCE+ZDC'E=2NDCE.

27.如圖，在uABC中，NA+/B=50o,NACB比/A大100。.點。是線段AB上任意一點，點、M、N分別

在線段AC、3c上.將ABC折疊，點A落在點E處，點5落在點尸處，折痕分別為DM和點E、F

都在射線。C上.

圖1圖2

(1)ZA=,ZB,ZACB=.

⑵如圖1,當(dāng)點區(qū)尸都落在DC的延長線上時，NEMC與ZRVC有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

⑶如圖2,當(dāng)點E落在線段DC上，點F落在DC的延長線時，請直接寫出NEMC與/mC的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴30。，20°,130°；(2)ZEMC+ZFNC=80°,理由見解析；(3)N句VC-N￡AfC=80。

【詳解】(1)解：VZA+ZB=50°,ZACB+ZA+ZB=180°,

ZACB=130°；

比—A大100。，

ZA=ZACB-100°=30°,

ZB=50°-ZA=20°；

故答案為：30°,20°,130°

(2)解：Z￡MC+Z7WC=8O°

理由如下：

由折疊可得：4=/MEC,/B=/NFC,

VZMCD=AEMC+AMEC,ZNCD=AFNC+ZNFC,

:.ZMCD+ZNCD=AEMC+ZMEC+AFNC+ZNFC,

?：ZMCD+ZNCD=ZACB=、30。,ZMEC+NNFC=ZA+/B=5。。,

：.AEMC+ZFNC=130°-50°=80°；

(3)解：/FNC—/EMC=800；

由折疊可得：ZA=ZMED,ZB=ZNFC,

?：ZMCD=ZMED-ZEMC,ZNCD=AFNC+ZNFC,

???ZMCD+ZNCD=ZMED-ZEMC^ZFNC^-ZNFC,

ZMCD+ZNCD=ZACB=130°,"ED+ZNFC=AA+/B=50。,

：.ZFNC-ZEMC=130°-50°=80°.

28.現(xiàn)有一張_ABC紙片，點〃、￡分別是，IBC邊上兩點，若沿直線OE折疊，折成如圖的形狀.

A

⑵猜想Nl、N2和/A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴NA=37.5。；(2)Z2=2ZA+Z1,理由見解析

【詳解】(1)解：,??折疊,

：.ZA=ZA,,

???Z2=100°,

???NAE4'=1800—N2=80。，

?：/BDE=ZA+ZAED,ZAr+Z1+ZBDE-^-ZAED=180°,

???ZA'+N1+ZA+ZAS)+ZA'田=180。,

???Z1+2NA+NAE4'=180。，

A25°+2ZA+80°=180°,

AZA=37.5°；

(2)Z2=2ZA+Z1,理由如下：

,??折疊,

???ZA=ZA',

,?NBDE=ZA+ZAED,ZA'+ZL+ZEDE+ZAED=180°,

ZA'+Zl+ZA+ZAED+ZA'ED=180°,

：.Z1+2ZA+ZAEA=180°,

：.Nl+2ZA=1800-ZAE4'=N2.

29.如圖，一個三角形的紙片ABC,其中NA=NC,ZB=118°.

BB

圖1圖2圖3

(1)把，ABC紙片按圖1所示折疊，使點/落在AC邊上的點尸處，DE是折痕，說明3C；

(2)把.ABC紙片沿OE折疊，當(dāng)點/落在四邊形BCED內(nèi)時(如圖2),探索/C與N1+N2之間的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由；

⑶當(dāng)點/落在四邊形3CED外時(如圖3),若4=25°,貝此2=°.(直接寫出結(jié)論)

【答案】(1)詳見解析；(2)2NC=N1+N2,詳見解析；(3)87

【詳解】(1)證明：由折疊的性質(zhì)得：ZDFE=ZA,

,/ZA=ZC,

NDFE=NC,

：.BC//DF-,

(2)解：2/C=Nl+N2,理由如下：

???四邊形的內(nèi)角和等于360。，

ZA+ZA+ZADA+ZAEA=360°.

又；Zl+ZADA1+Z2+ZAEA=360°,

?*.ZA+Z/￥=N1+N2.

由折疊的性質(zhì)得：ZA=ZA,

：.2ZA=Z1+Z2,

,/ZA=ZC,

2NC=/1+N2；

(3)由折疊的性質(zhì)得：ZAED=ZAED,ZADE=ZADE,

^ZAED=ZAED=a,ZA'DE=ZADE=JB,

?/Z2+2a=180°,Zl=f3-ABDE=]3-(ZA+a),

：.Z2-Zl=180°-2a-^+(ZA+?)=180°-(?+^)+ZA,

?/ZA=180°-(a+￡),

：.Z2-Z1=2ZA,

,/ZA=NC,

ZA+ZC=Z2-Z1,

*/ZA+ZC=180°-ZB=180°-118°=62°,

Z2=62°+Z1=62°+25°=87°.

故答案為：87.

30.已知點D、E分別是,"C的邊AC,BC上的任意一點，將ABC的一角/ACB折疊，使點C落在點P

的位置，折痕為DE.

(1)當(dāng)點C落在ABC內(nèi)的點尸的位置時.

圖1圖2

①如圖1,若尸D〃BC,求證：PE//AC.

②如圖2,Nl、N2與NC之間的數(shù)量為；

⑵當(dāng)點C落在..ABC外的點尸的位置時，若PELBC,

②如圖4,連接AP,若APBC,ZPAC=4Z1,則/CDE=。.

(3)若/C=e。(0<?<90),在折疊過程中，當(dāng)直線PELAC時，NCZ組的度數(shù)為.(自己畫圖作

答)

【答案】⑴①證明見解析；@ZC=1(Zl+Z2)；(2)①2NC+/1=9O。，理由見解析；②85。，理由見解

析；(3)135。-1。，理由見解析.

【詳解】(1)①證明：：尸D〃BC,

AZDPE=ZPEB,ZPDE=ZDEC,

ZC=ZDPE,

：.NC=/PEB,

：.ZC+ZDEC+ZCDE=180°,APEB+APED+ADEC=180°,

???/CDE=/PED,

：.PE//AC；

②解：ZC=1(Zl+Z2),理由如下：

由折疊的性質(zhì)可知ZPDE=ZCDE,ZPED=ZCED,

Zl=l80°-2NCDE,Z2=180°-2Z.CED,

：.Z1+Z2=(180°-2ZCDE)+(180°-2ZCED)=360°-2(ZCDE+ZCED),

ZCDE+ZCED=180°-1(Zl+Z2),

ZC+ZCDE+ZCED=180°,

：.ZC=18O°-(ZC￡>E+ZCED)=18O°-18O°-1(Z1+Z2)=|(Z1+Z2),

故答案為NC=：(N1+N2)；

(2)①解：2NC+N1=9O。，理由如下：

???PELBC,

：.ZPEC=90°,

：.ZEFC=90°-ZC,

/P+N1=/EFC,

AZP+Z1=90°-ZC,

由折疊的性質(zhì)可知：NP=NC,

：.2ZC+Z1=9O°,

故答案為2NC+N1=9O。；

②解：-：AP//BC,

：.ZPAC=ZCf

■:PELBC,

：.ZPEC=90°,

：.ZEFC=900-ZC,

/P+N1=NEFC,

AZP+Z1=9O°-ZC,

由折疊的性質(zhì)可知：/P=/C,

：.2ZC+Z1=9O°,

???ZPAC=4Z.l,

???2NB4C+N1=2x4N1+N1=9/1=90°,

Zl=10°,

???ZC=ZP=ZPAC=40°f

由折疊的性質(zhì)可知：NPED=/CED,

APED=-APEC=1x90°=45°,

22

Z.CDE=NEFC+/FED=400+45°=85。,

故答案為85。；

(3)I?：-：PE±AC,垂足為F,

/.ZC+ZFEC=ZC+2ZFED=90°,

ZFED=45°--ZC,

2

ZCDE=90°+NFED=90°+45°--ZC=135°--ZC,

22

,/ZC=a0,

；.ZCZ)￡=135°--ZC=135°--a,

22

31.(1)如圖，把ABC沿DE折疊，使點A落在點A處，試探究Nl、N2與/A的關(guān)系；

(2)如圖2,若Nl=140。，Z2=80°,作—ABC的平分線3V,與—ACB的外角平分線CN交于點N,求

4BNC的度數(shù)；

(3)如圖3,若點A落在一ABC內(nèi)部，作/ABC,NACB的平分線交于點4,此時Nl,N2,NBA。滿

足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明過程.

H

圖1圖2圖3

【答案】(1)Z1=2ZA+Z2(2)15°(3)/I+N2=4/R41c-360。，證明見解析

【詳解】(1)解：Z1=2ZA+Z2,理由如下：

由折疊的性質(zhì)可知/AED=ZA^ED,ZADE=ZA.DE,

1QQO_/11

/.ZADE=ZAiDE=——-——=9O°--Z1,Z2=2ZA￡D-180°,

/.ZAEZ)=-Z2+90°,

2

ZA+ZAED=/EDB=N1+Z^DE,

/.ZA+-Z2+90°=Z1+90°--Z1,

22

Z1=2ZA+Z2；

(2)解：Z1=2ZA+Z2,Zl=140°,Z2=80°,

ZA=30°,

NABC的平分線BN,與一ACS的外角平分線CN交于點N,

/./NBC=-ZABC,/NCH=-ZACH,

22

ZA+ZABC=ZACH,

AA+2/NBC=2ZNCH,

又ZN+ZNBC=ZNCH,

??.ZA+2ZA?C=2Z2V+2ZA?C,

ZN=-ZA=15°；

2

(3)解：N1+N2=4N3C—360。，理由如下；

由折疊的性質(zhì)可知NAEO=NAa,ZADE=ZAiDEf

iQAo_/]iiono_/?

ZADE="DE=——=9O°--Z1,ZAED=ZA.ED=——=90°-Z2,

ZA+ZADE=NCED=NAED+N2,

ZA+90°--Zl=90°--Z2+Z2,

22

ZA=-Z1+-Z2,

22

ZA5C,NACB的平分線交于點A,

Z^BC=|ZABC,ZAlCB=^ZACB,

ZABC+ZACB=180°-ZA,

Z^BC+Z\CB=1ZABC+1ZACB=90°-1zA,

ZBA.C=180°-Z^BC-Z^CB=90°+,

Nft41c=90。+；/1+：/2,

Zl+Z2=4ZBA1C-360°.

32.直線MN與直線PQ垂直相交于點C,點A在射線CP上運動（點A不與點C重合），點2在射線CN上

運動（點6不與點C重合）.

圖1圖2

⑴如圖1,已知AZ）、CO分別是，54c和NACB的角平分線，

①當(dāng)Nfl4C=60。時，求NADC的度數(shù)；

②點A、8在運動的過程中，NADC的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明變化的情況：若不發(fā)生

變化，試求出—ADC的大?。?/p>

（2）如圖2,將_ABC沿AD所在直線折疊，點B落在PQ的點尸處，折痕與MN交于點E,連接。尸、EF,

在中，如果有一個角是另一個角的2倍，請求出NA4C的度數(shù).

【答案】⑴①WC=105。，②，ADC大小發(fā)生變化，/ADC隨著，A4C的增大而減?。虎芅C4B=30。

或60。.

【詳解】（1）解：①???"NLP。于點C,

ZACN=90°,

VZBAC=60°,AD,CD分別是N54C和NACB的角平分線，

/.ZCAD=-ABAC=30°,ZACD=-ZACB=45°

22

ZADC=180°-ZDAC-ZACD=105°

ZACN=90°,

,/AD、CD分別是N54C和ZACB的角平分線,

/.ACAD=-ABAC,ZACD=-ZACB=45°

22

ZADC=180°-ZDAC-ZACD=135°--ABAC

2

^ADC隨著ZBAC的增大而減?。?/p>

(2)解：是NACB的角平分線，

ZACD=ZECD=-ZACB」x90。=45°

22

ZFCD=180°-ZACD=135°,

：.ZCDF+ZCFD=180°-135°=45°

連接3D,如圖所示，

?.?三角形的三條角平分線交于一點，

/.是/ABC的角平分線，

???折疊，

。尸是/AFE的角平分線，

①當(dāng)ZFCD=2.ZCDF時，則NCDF=一xZFCD=-xl35°=67.5°,

22

,/ZFCD=135。

ZFCD+ZCDF=135°+67.5°>180°,故此情形不存在，同理可得/FCD=2/CED不存在

②當(dāng)ZCDF=2ZCFD時，

則/?！?gt;歹=30°,ZCFD=15°,

：.ZABC=ZCFE=2Z.CFD=30°,

/C4B=90°-30°=60°,

③當(dāng)2NCDF=NCFD,

則NCD尸=15°,ZCFD=30°,

：.ZABC=ZCFE=2ZCFD=60°,

NOW=90°—60°=30°,

綜上所述，NC4B=30?；?0。.

33.(1)操作發(fā)現(xiàn)：

如圖①，在Rt.ABC中，ZC=2ZB=90\點、D是BC上一點,沿4?折疊△ADC,使得點。恰好落在26

上的點