專題32正方形與45度角模型

一、單選題

1.如圖，在正方形OABC中，點B的坐標是(6,6),點E、F分別在邊BC、BA上，0E=3?.若NEOF=45°,

則F點的縱坐標是()

A.2B，；C.6D.^5—1

【答案】A

【詳解】如圖，連接EF,延長BA,使得AMXE,

VOA=OC,ZOCE=ZAOM,

AAOCE^AOAM(SAS).

AOE=OM,ZC0E=ZM0A,

VZE0F=45°,

AZC0E+ZA0F=45°,

AZM0A+ZA0F=45°,

ZE0F=ZM0F,

在△OFE和△OFM中，

'OE=OM

</FOE=ZFOM,

OF=OF

.,.△OFE^AFOM(SAS),

.\EF=FM=AF+AM=AF+CE,

設AF=x,

CE=y/0E2-0C2=^(3A/5)2-62=3,

AEF=3+x,EB=3,FB=6-x,

：.(3+X)2=32+(6-X)2,

x=2,

二點F的縱坐標為2,

故選：A

2.如圖，已知正方形ABCD的邊長為12,BE=EC,將正方形邊CD沿DE折疊到DF,延長EF交AB于G,連

接DG,現(xiàn)在有如下4個結(jié)論:①AG+EC=GE；②ZGDE=45。；③△BGE的周長是一個定值;④連結(jié)FC,ABFC

的面積等于在以上4個結(jié)論中，正確的是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【詳解】解：由正方形與折疊可知，

DF=DC=DA,ZDFE=ZC=90°,EC=EF,

.\ZDFG=ZA=90°,

DG=DG,

：.RtADG^RtFDG(HL),

AG=GF,

AG+EC=GF+FE=GE,

故①正確；

由對折可得：ZCDE=ZFDE,

RtADG=RtFDG,

:.ZADG=/FDG,

ZADG+ZCDE=ZGDF+ZEDF=-ZADC=45°,

2

/.ZGDE=45°,

故②正確；

設AG=a,CE=b,

則3G=12—。,3石=12—0,G分=。,所="

/.CoRC/Ezl=BG+BE+GE=12-a+12-b+a+b7=24,

所以：△BGE的周長是一個定值，

故③正確，

如圖，連接CE

由對折可得：EF=EC,

:.ZEFC=ZECF,

BE=CE,

:.BE=EF,

:.ZEBF=ZEFB,

NBFC=ZEFB+NEFC=工x180°=90°,

2

SBFC=BF?FC.

故④正確.

綜上：①②③④都正確.

故選D

3.如圖，在正方形ABCD中，AEF的頂點E,尸分別在BC,CD邊上,高AG與正方形的邊長相等,

連接分別交AE,Ab于點N,下列說法：

①/E4F=45°；

②連接MG,NG,則MGN為直角三角形；

③LAMNS-AFE；

④若BE=2,FD=3,則MN的長為|血.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

C.2D.1

【答案】A

【詳解】解：如圖中,

BEC

四邊形ABC。是正方形，

\AB=AD,^ABC=ADC=90°,

AG_LE尸，

\ZAGE=ZABC=9Q0,

IAE=AE

在RtAEB和Rt..A￡G中，一，

[AB=AG

.?.Rt-A￡修RtAEG,

:.ZEAB=ZEAG,

同理可證RtAFD^RtAFG,

:.ZFAD=ZFAG,

/.2ZEAG+2ZFAG=90°,

:.^EAG+^FAG=45°f

.?.ZE4F=45。，故①正確；

如圖②，將ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。至一ABH位置，連接MH,MG,NG

由旋轉(zhuǎn)知：NBAH=/DAN,AH=AN,

四邊形ABC。是正方形，

:.^BAD=90°,

-^EAF=45°,

/BAM+NDAN=45°,

/HAM=/BAM+NBAH=45°,

:.NHAM=NNAM,又AM=AM,

:._AHM&ANM,

:.MN=MH,

四邊形ABCD是正方形，

ZADB=ZABD=45°.

由旋轉(zhuǎn)知：NABH=NADB=45。,HB=ND,

NHBM=ZABH+NABD=90°,

MH2=HB2+BM2,

MN2=MB2+ND2.

又?AB=AG,NEAB=/EAG,AM=AM

:.BM=GM,

同理可證：_AND"AANG

:.DN=GN,

MN2=MG2+NG2

即AMGN為直角三角形，故②正確;

陽臺

BE匕圖②C

AGLEF,

../AEG=90°-^EAG,

又ZANM=ZBDA+ZDAF=45°+ZDAF,

由①可知：ZEAG+ZFAG=ZEAG+ZFAD=45°,

:.ZANM=9Q°-ZEAG,

:.NAEG=NANM,

又?，ZAMN=ZAFE,

：.4AMNs4AFE,故③正確；

如圖3中，

圖（3）

旋轉(zhuǎn)48后到ADH,ABE^ADH,

:.DH=BE=2,,

同理②中可證：aAEF%乙AHF,

:.FH=EF,設CF=a,

:.CD=CF+DF=a+3,EF=FH=DF+DH=5,

四邊形ABC。是正方形，

BC=CD=〃+3,

CE=BC—BE=Q+3—2=a+l,

在RtZXCEF中，根據(jù)勾股定理得，（〃+1>+32=25

，〃=3或。=-5（舍）,

:.CF=3,

CD-6,

?..正方形的邊長為6；

由正方形ABCD的邊長為6,

:.BD=-JiCD=6也,

由①可知"M4N=45。，

AB=AD,—BAD=90。，

由②得BM-+DN2=MN2,

設MN=x,

BD=6日BM=當,

：.DN=DN=6y/2--42-x=^--x,

22

解得

2

:.MN/近,故④正確

2

故選：A.

4.如圖，在正方形ABCD內(nèi)作ZE4F=45。，AE交BC于點E,AF交CD于點、F,連接跖，過點A作

AHLEF,垂足為點H,將△皿加繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得至IJABG,若BE=4,DF=6,則以下結(jié)論:

①△ADF=△AHF,?AH=EF,③空=名與，?SCEF=24,正確的個數(shù)有（）

AF3

A?1個B,2個C.3個D4個

【答案】C

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AF二AG,NDAF二NBAG.

???四邊形ABCD為正方形，

AZBAD=90°.

又?.,NEAF=45°,

.??NBAE+NDAF=45°.

AZBAG+ZBAE=45°.

???ZGAE=ZFAE.

在AGAE和AFAE中

AG=AF

</GAE=NFAE,

AE=AE

.?.iGAEaFAE,

/.NG=ZAFE,

ZG=ZAFD,

:.ZAFE=ZAFD,

ZAHF=ZADF=90°,AF=AF,

：..AFH^AFD,故①正確，

AH=AD,

GAE絲FAE,

GE=FE,

BE=4,DF=6,GB=DF,

:.GE=EF=10,

設正方形的邊長為x,則CE=x-4,C廠=x-6,

由勾股定理得：（x-4y+（x-6）2=102,

解得：七=12,9=—2（舍去）

:.AH=AD=BC=12,

AAH^EF,故②錯誤，

AFHgAFD,

..FH=FD=6,EH=EB=4,

祟*=*我￥故③正確

CE=x-4=S,CF=x-6=6,

.-.SC￡F=|CE.CF=1X8X6=24.故④正確.

綜上：①③④正確，

故選C.

5.已知在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC與CD上的點，且ZE4F=45。，AE與AF分別交對角線BD

3

于點M、N.則下列結(jié)論：?BE+DF=EF；；③BM?+DN?=MN?;④AF=—AM正

2

確的有（)

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【詳解】解：①如圖，把4ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到4AB/，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BF=DF,AF=AF,NBAP=/DAF,

,/ZEAF=45°,

/.ZEAF,=ZBAF,+ZBAE=ZDAF+ZBAE=90°ZEAF=45°,

；.NEAF=NEAF=45°,

在aAEF和4AE尸中

AF'=AF

ZEAF'=ZEAF=45°,

AE=AE

.,.△AEF^AAEF/(SAS),

.*.EF,=EF,

.\ZAEB=ZAEF,

.\BE+BF,=BE+DF=EF,

故①正確；

②ZMAN=ZMBE=45°,ZAMN=ZBME

：.△AMNNBME

.AMBM

又,：NAMB=ZNME

：.△ABMs^NEM

故②正確

③把AAND按順時針繞點A旋轉(zhuǎn)90°,

DN=BN',ZABN'=ZADN=45°

VZABD=45°

ZMBN'=ZABN'+ZABD=90°

ABN'M是直角三角形，

同理可證：4ANM^MN'M,

：.MN=MN'

：.MN2=MN'2=BN'2+BM-=DN2+BM2

故③正確；

④連接AC,

,/ZFAC+ZEAC=ZEAC+ZBAE=45°

：.ZFAC=ZBAE

?：ZACF=ZABM=45°

△ACF~AABM

.AC=AF=CF=/-

"ABAMBM

?*-AF=6AM.

故④錯誤,

所以，正確的結(jié)論有3個,

故選：B.

6.如圖，在正方形/況》中，/左6,點￡在邊切上，且"=3龐，將ZL4龐沿/￡對折至ZU陽延長川交

BC于點G,連結(jié)ZG,CF,下列結(jié)論：①?BG=CG；③5//叱18；④/&田45其中正確

A.①②③B.②③④C.③④①D.①②④

【答案】D

【詳解】解：,?,四邊形/題是正方形，

：.AB=AD=D(=G,ZB=ZD=90°,

CF3DE,

：.DE=2f

,?,4ADE沿/￡折疊得到△/閩

:?D方E產(chǎn)2,AD=AF,ND=NAFE=NAFG=90°,

:?A戶AB,

???在Rt/\ABG^\Rt叢AFG中

(AG=AG

[AB=AF'

:.RtAABG"RtAAFG(血).

???①正確；

,：RtXABG空RtdAFG,

：.BG=FG,ZAGB=ZAGF.

設吩x,則①比除6笛G±GREQBG+D&x+2.在七△戊石中，由勾股定理得：CG+CE;E@.

CG=&x,C*4,EG=x+2,

(6x)2+42=(x+2)2,解得：A=3.

???吩華於3.

???②正確；

?：BG^G2CG$,CF3DE,/廬/氏屐6,D&E戶2,

:?G貨GRE六5,A片AB=6,

S^AGE11—GExA.F=—x5x6=15,

22

???③錯誤；

??,AADE沿/￡折疊得到陽

:.△DAE^XFAE.

???/DAF/FAE.

■:AABG沿4AFG,

：.ABAG^ZFAG.

■:NBA缶90°,

：.ZEAG=ZEA/^ZGA^^X^O°=45°.

.??④正確.

故選D.

二、填空題

7.如圖，在正方形ABCD中，E、/分別是邊BC、CD上的點，ZEAF=45°,△￡1(3「的周長為6,則正

方形ABCD的邊長為.

【答案】3.

【詳解】解：將4DAF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90度到位置,

.\DF=BF/,ZDAF=ZBAF,,

.,.ZEAFZ=45°,

在4FAE和中

"AF=AF'

<ZFAE=ZEAF',

AE=AE

.,.△FAE^AEAF/(SAS),

.\EF=EF/,

VAECF的周長為6,

.\EF+EC+FC=FC+CE+EF,=FC+BC+BF,=DF+FC+BC=6,

；.2BC=6,

.\BC=3.

故答案為：3.

8.如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，連接AE、EF、AF,且/EAF=45°,下列結(jié)論:

①△ABEgZXADF；

②NAEB=/AEF；

③正方形ABCD的周長=2/XCEF的周長;

.（只填寫序號）

【答案】②③

【詳解】解：①當E、F不是BC和CD的中點時，BEWDF,則△ABEgAADF不成立，故①錯誤;

②延長CD至G,使得DG=BE,連接AG,如圖1,

:四邊形ABCD為正方形

；.AB=AD,NABE=NADG=90°,

.".△ABE^AADG(SAS),

.\ZBAE=ZDAG,ZAEB=ZG,AE=AG,

VZBAD=90°,ZEAF=45°,

.\ZBAE+ZDAF=45°,

ZGAF=ZDAG+ZDAF=45°,

.\ZEAF=ZGAF,

：AF=AF,

/.△AEF^AAGF(SAS),

；.NAEF=/G,

...NAEB=NAEF,故②正確;

?VAAEF^AAGF,

EF=GF=DG+DF=BE+DF,

；.△CEF的周長=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=BC+CD=2BC,

?.?正方形ABCD的周長=4BC,

正方形ABCD的周長=2ZkCEF的周長，故③正確；

?VAABE^AADG,

??SAABE-SAADG,

=

??SAABE+SAAOFSAAGF?

：GF=EF>CF,ADNCE,

~GF-AD>-CF-CE,即SAAGF>SACEF,

22

SAABE+SAADF^SACEP>故④錯誤；

故答案為：②③.

9.如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作NE4F=45。，AE交BC于點E,AF交CD于點F,連接￡71

將AADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，ABG,若Ob=3,則8E的長為.

【詳解】解：：將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABG,

：.AG=AF,GB=DF,/BAG=4DAF,

'：ZEAF=45°,ZBAD=90°,

：.ZBAE+ZDAF^45°,

：.ZBAE+ZBA^A5°,即/&田45°,

：.ZGA￡=ZFAE,

又AE=AE,

△劭修△必￡(SAS),

GE=EF,

設BE=x,則上6一1，EF=GE=DF+BE=3+x,

,:D23,：.CF^3,

在Rt△吸中,由勾股定理，得：(6-X)2+32=(X+3)\

解得：尸2,即陷2.

故答案為：2.

10.正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF,則NEAF的度數(shù)是

AiZ)

【答案】45°

【詳解】解：如圖，延長EB到點G,使得BG=DF,連接AG,

在正方形ABCD中,

ZD=ZABC=90°,AB=AD,

???ZABG=ZADF=90°,

在Z\ABG和AADF中,

AB=AD

<NABG=/ADF,

BG=DF

.,.△ABG^AADF(SAS),

???ZDAF=ZBAG,AF=AG,

又「EF=DF+BE=BG+BE=EG,

???在AAEG和AAEF中,

AE=AE

<GE=FE,

AG=AF

：.AAEG^AAEF(SSS),

ZEAG=ZEAF,

ZDAF+ZEAF+ZBAE=90°,

???NBAG+NEAF+NBAE=90。，

「?ZEAG+ZEAF=90°,

.,.ZEAF=45°.

故答案為：45°.

11.如圖，在正方形/皿中，￡是8。邊上的一點，將正方形邊四沿/折疊到"；延長第交加于G,

連接ZG,則N￡4G=度.

【答案】45.

【詳解】解：???四邊形ABCD是正方形，

???AB=AD,NABE=NBAD=NADG=90°,

由翻折可知：AB=AF,NABE=NAFE=NAFG=90°,NBAE=NEAF,

VZAFG=ZADG=90°,AG=AG,AD=AF,

ARtAAGD^RtAAGF(HL),

NGAF=NGAD,

AZEAG=ZEAF+ZGAF=—(ZBAF+ZDAF)=45°.

2

故答案為：45.

12.如圖，已知正方形ABC。的邊長為3,E、尸分別是A3、3C邊上的點，且ZED尸=45。，將AZME繞

點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到ADCM.若AE=1,則石尸的長為.

【詳解】解：AD4E逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到ADCM,

/.ZFCM=ZFCD+ZDCM=180°,

.?.F、C、M三點共線，

:.DE=DM,ZEDM=90°f

:.ZEDF+ZFDM=90°,

NEDF=45。,

:.ZFDM=ZEDF=45°f

在AD￡F和ADMF中，

DE=DM

<ZEDF=NFDM,

DF=DF

ADEF=ADMF(SAS),

:.EF=MF,

^EF=MF=x,

AE=CM=1,且BC=3,

BM=BC-^-CM=3+1=4,

BF=BM-MF=BM-EF=4-x,

EB=AB-AE=3-1=2f

在RtAEBF中,由勾股定理得班2+.2=石尸2,

即22+(4-x)2=爐,

解得：X=|,

:.EF=-.

2

故答案為：—■

13.如圖，在正方形ABCD中，點M、N為邊BC和CD上的動點(不含端點)，NMAN=45。，下列三個結(jié)

論：①當MN=&MC時，則/BAM=22.5。；@2ZAMN-ZMNC=90°；③△MNC的周長不變；@ZAMN-

ZAMB=60°.其中正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②③

【詳解】①：正方形ABCD中，ZC=90°

.\MN2=MC2+NC2

當MN=0MC時，

MN2=2MC2

.*.MC2=NC2

Z.MC=NC

；.BM=DN

易證AABM咨Z\ADN(SAS)

.\ZBAM=ZDAN

VZMAN=45°

；.NBAM=22.5°,故①正確；

②如圖，

將AABM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得AADE,

貝?。軳EAN=/EAM-/MAN=90°-45°=45°

則在AEAN和AMAN中，

AE=AM,ZEAN=ZMAN,AN=AN,

.".△EAN^AMAN(SAS)

；.NAMN=/AED

ZAED+ZEAM+ZENM+ZAMN=360°

.,.2ZAMN+900+(180°-ZMNC)=360°

.\2ZAMN-ZMNC=90°

故②正確；

③:△EAN絲Z\MAN

；.MN=EN=DE+DN=BM+DN

.?.△MNC的周長為：MC+NC+MN=(MC+BM)+(NC+DN)=DC+BC

VDC和BC均為正方形ABCD的邊長，故AMNC的周長不變；

④將4ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得AABF,

貝l|NFAM=NFAN-NMAN=90°-45°=45°

則在aFAM和AMAN中，

AF=AN,ZFAM=ZMAN,AM=AM,

AAMAF^AMAN(SAS),

.\ZAMB=ZAMN,

故④錯誤;

綜上①②③都正確，

故答案為：①②③.

14.如圖，正方形ABCD的邊長為1,點E在邊上運動（不與點A,B重合），ND4M=45。，點尸在

射線AM上，且=CF與A。相交于點G,連接EC、EF、EG.則下列結(jié)論：①NECF=45°；

②FE平分ZAFG；@BE+DG=EG；④△￡4下的面積的最大值是J；其中正確的結(jié)論是.

【答案】①③

【詳解】解：如圖1中，在BC上截取=連接

:.EH=y/2BE,ZBEH=45°,

AF=^BE，

:.AF=EH,

ZDAM=ZEHB=45°,ZBAD=90°,

ZFAE=ZEHC=135°,

BA=BC,BE=BH,

:.AE=HC,

：.AFAE迫AEHC(SAS),

：.EF=EC,ZAEF=ZECB,

NECH+NCEB=90。,

ZAEF+NCEB=90。,

:.NFEC=9U。,

，ZECF=NEFC=45。,故①正確；

???在RtZXBEC中，?B90?,

JZBEC<90°,

ZBEH+ACEH<90°,

45°+ZCEH<90°,

即ZCEH<45°,

/\FAF^/\FHC,

：.ZEFA=ZCEH<45°,

又?；NEFC=45。,

ZEFAwZEFC,

?,?FE不平分ZA尸G,故②錯誤;

如圖2中，延長AZ＞到H,使得DH=BE,連接第

圖2

又：BC=DC,ZB=ZHDC=90。,

.?.ACBE^ACDH(SAS),

:.ZECB=NDCH,CE=CH,

ZECH=/BCD=90°,

/./ECG=ZGCH=45°,

又CG=CG,CE=CH,

△GCEm/\GCH(SAS),

:.EG=GH,

GH=DG+DH,

:.EG=BE+DG,故③正確;

如圖1,設BE=BH=x,貝|AE=CH=1—%,

?e-^AAEF=SAHCE=CHBE

=5(1一%)?%

3+L

22

"2……)

244

1121

-al\+

-2--2-z8-

.?.當尤=:時，△軻的面積取得最大值，最大值為:，故④錯誤,

28

故答案為：①③.

三、解答題

15.正方形/及刀中，￡為6,上的一點，尸為切上的一點，BE+DF=EF,求1E4F的度數(shù).

【答案】45°

【詳解】解：如圖，延長旗到點G,使得BG=DF,連接/G.

在正方形485中，ZD=ZABC=90°,AB=AD,

ZABG=ZADF=90°.

在，ABG和△?1￡射中，

AB=AD

<ZABG=ZADF,

BG=DF

ABG^ADF(SAS),

:.ZDAF^ZBAG,AF=AG.

X-EF^DF+BE=BG+BE=EG,

???在△AEG和△A￡F中，

AE=AE

<GE=FE,

AG=AF

AEG^AEF(SSS),

:.ZEAG^ZEAF.

ZDAF+NEAF+NBAE=90°,

:.ZBAG+ZEAF+ZBAE=90°,

ZEAG+ZEAF=9Q°,

:.ZEAF=45°.

16.如圖，AB=AD=BC=DC,Z,C=ZD=Z.ABE=ZBAD=90°，點￡、戶分別在邊8aCD上,/照尸=45°,

過點/作/G仿且點G在4的延長線上.

(1)△◎18與△川〃全等嗎？為什么？

(2)若DF=2,BE=3,求斯的長.

【答案】(1)全等，理由詳見解析；(2)5

【詳解】解：(1)全等.理由如下

ZD=ZABE=90°,

：.ZABG=90°=N〃，

在和△力如中，

ZGAB=ZFAD

<AB=AD,

NABG=ND

:.XGA噲XFAD(ASA)；

(2)?：NBAD=90°,ZEAF=45°,

：.ZDAF^ZBAE=45°,

■：△GA-AFAD,

:?/GAB=/FAD,AG=AF,

：.ZGAB+ZBAE=45°,

：.ZGAE=^°,

：.ZGAE=ZEAF,

在△物￡和△川￡中，

AG=AF

<ZGAE=ZEAF,

AE=AE

???△〃匡△為￡(SAS)

：.EF=GE

???△胡四△￡4〃，

GB=DF,

：.EF=GE=GB+BE=F/BE=2+3=5.

17.(1)如圖①，在正方形ABC。中，E、尸分別是3C、。。上的點，且㈤F=45。，連接EF,探究跖、

DF、跖之間的數(shù)量關系，并說明理由；

(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分別是3C、DC上的點，且

ZEAF=^ZBAD,止匕時(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.

【答案】（1）EF=BE+DF,理由見解析；（2）成立，理由見解析

【詳解】解：（1）EF=BE+DF

證明：延長CB到使得/；連接AM

???四邊形ABC。是正方形

AAB=AD,ZD=ZABM

XVBM=DF

：.^ADF^ABM(SAS)

：.AF=AM,Z1=Z2

ZEAF=45°

：.Zl+Z3=45°

???Z2+Z3=ZMAE=45°=ZEAF

又?:AE=AE

：.EAM^EAF(SAS)

：.EF=EM=BE+BM

又???BM=DF

：.EF=EB+DF

（2）EF=BE+DF

證明：延長CB到M,使得BM=DF；連接A似

VZABC+ZD=180°,ZABC+Z4=180°

???ZD=N4

XVAB=AD,BM=DF

：,^ADF^ABM(SAS)

：.AF=AM,Z1=Z2

ZEAF=-ZBAD

2

：.Z1+Z3=ZE4F

???ZM4E=N2+N3=N￡AF

又：AE=AE

.?._EAMgEAF(SAS)

：.EF=EM=BE+BM

又=BM=DF

：.EF=EB+DF

18.如圖，正方形/a7?中，邊長為4,M、N在AB、/〃上.

(1)若/必￥=45。，貝！J倒價翅姓(填或“=")；

(2)如圖1,若/NMC=/MCD,求△/仞V的周長；

(3)如圖2,若M、N在AB、4?反向延長線上，在⑵的條件下，直接寫出歐MN、砌的數(shù)量關系

【答案［(1)=;(2)8；(3)MN=DN-BM

【詳解】解：(1)如圖1中，延長AD到使得DH=BM,連接S.

圖1

四邊形ABC。是正方形,

：.CB=CD,ZB=ZCDA=ZCDH=90°,

BM=DH,

:.ABCM=ADCH(SAS),

：.CM=CH,ZBCM=ZDCH,

/MCN=450,ZBCD=90°,

.■.ZNCH=ZDCN+ZDCH+ZDCN+ZBCM=45°,

:.ZNCM=ZNCH,

CN=CN,

:.\CNM=\CNH{SAS),

：.MN=NH,

:.NH=DN+DH=DN+BM,

:.MN=BM+DN.

故答案為:

(2)如圖1-1中，作C"_LMN于H.

NCMH=NCMB,CH1MN,CB±BM,

:.CH=CB,

ZB=ZCHM=90°,CM=CM,

RtACMB=RtACMH(HL),

:.ZBCM=ZHCM,

ZCHN=ZD=90°,CH=CD,CN=CN,

/.RtACNH=RtACND(HL),

:.ZNCH=ZNCD,

/BCD=9。。，

ZMCN=-ZHCB+-ZHCD=45°,

22

:.MN=BM+DN,

=AM+MN+AN=AM+BMN+AN+DN=2AB=^.

(3)結(jié)論：MN=DN-BM.

理由：如圖2中，在DA上取一點使得OH=BN.

:.CB=CD9ZB=ZCDA=9Q°,

BM=DH,

.NBCM=^DCH(SAS),

.CM=CH,ZBCM=ZDCH,

/MCN=45。,/BCD=90。,

.ZHCM=90。,

;ZNCM=ZNCH=45°,

CN=CN,

:.NCNM=ACNH(SAS),

：.MN=NH,

:.NH=DN-DH=DN-BM,

:.MN=DN-BM.

19.如圖，在四邊形紙片ABCD中，N6=N〃=90°,點E,尸分別在邊BC,CD±,將AB,AD分別沿

AE,AF折疊，點B,D恰好都和點G重合，/應爐=45°.

(1)求證：四邊形ABCD是正方形;

(2)若EC=FC=\,求AB的長度.

【答案】(1)見解析；(2)AB=^+1.

2

【詳解】(1)由折疊性質(zhì)知：/BA&/EAG,/DA聲/FAG,

：/防六45°,

:./BA小2NEA后2*45°=90°,

又：/斤/女90°,

.?.四邊形46切是矩形，

由折疊性質(zhì)知：AB=AG,AD=AG,

：.AB=AD,

.??四邊形切是正方形；

(2),:EC=FC=\,

：.BE=DF,EGEC?+FC2=J『+I2=垃,

?：E百EG^G廣BE+DF,

1A/2

:?B斤D六三

22

：.AB=BC=BE+EC=^+\.

2

20.已知正方形力戊/中，ZMAN=45,4￡4N繞點/順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交紙0c（或它們的

延長線）于點欣N,當NM4N繞點/旋轉(zhuǎn)到=時（如圖D,則

（1）線段BM、ZW和g之間的數(shù)量關系是；

⑵當NM4N繞點/旋轉(zhuǎn)到即1x9V時（如圖2）,線段肱9和蛇之間有怎樣的數(shù)量關系；寫出猜想,

并加以證明；

（3）當NM4N繞點力旋轉(zhuǎn)到（如圖3）的位置時，線段傲可和朝之間又有怎樣的數(shù)量關系；請直接寫出

你的猜想.

【答案】（1）BM+DN=MN；（2）BM+DN=MN,證明見解析；（3）DN-BM=MN.

【詳解】解:（1）如圖1,連接/G交就于點G.

:四邊形26切為正方形，6信切，AB后DN,C.CM=CN,且47平分N6S且吩以J.AM=AN.

'：AGX.MN,：.AMAG-ANAG.

曲華/例AM5°,即勿2/應冊/曲兒：.ZBAM=ZGAJ^ZGAM.

ZB=ZAGM=90°

在△/砌和△/融中，???IZBAM=ZGAM,

AM=AM

：./\AB^/\AGM(AAS),同理可得吐如:?B帖DI^MG+G]^MN.

故答案為B帖DI^MN；

(2)猜想：B帖DP^MN,證明如下：

如圖2,在奶的延長線上，截取BFDN,連接

AB=AD

在△/龍和△zzw中，U:\AABE=AD,

BE=DN

???△"&AW(SAS),

:?A斤AN,ZEAB=ZNAD.

VZBAD=90°,N例年45°,：.ZBA^-ZDA^45°,：.ZEAB+ZBA^5°,AZEA^ZNAM.

AE=AN

在△/砌和△4W中，???彳ZEAM=/NAM,

AM=AM

:?△AE3XANMWMN,又M后BE+BgBgDN,

(3)DN-B拒MN,證明如下：

如圖3,在〃C上截取旌砌連接"：

AB=AD

△/陰和△[加中，ZABM=ZD,

BM=DF

：?LAB儂△ADF(SAS),：?AgAF，ZBA^ZDAF,：.ZBA^ZBA/^ZBAF^-ZDA^O0,即N例4/物氏90。.

TN例照45°,：.ZMAJ^ZFA^45°.

AM=AF

在△例N和△必N中，\/MAN=/FAN,

AN=AN

???△也儂△/^V(SAS),

：.MN^DN-DF^DN-BM,

：.DN-B拒MN.

D

21.如圖，在正方形ABC。中，ZE4F=45°,交BC、CD于E、F,交.BD于H、G.

(1)求證：AD2=BG

(2)求證：CE=?DG;

(3)求證：EF=y/2HG.

【答案】見解析

【詳解】證明：(1)?..四邊形ABCD為正方形

ZABD=ZADB=45°,AB=AD,

VZEAF=45°

ZBAG=45°+ZBAH,ZAHD=45°+ZBAH,

ZBAG=ZAHD,

又?../ABD=/ADB=45°,

.,.△ABG^AHDA,

.AB_BG

""1)H~~DA，

...BG?DH=AB?AD=AD2；

(2)如圖，連接AC,

:四邊形ABCD是正方形

?*.ZACE=ZADB=ZCAD=45°

，AC=0AD,

：NEAF=45°,

/EAF=/CAD,

ZEAFZCAF=ZCADZCAF,

ZEAC=ZGAD,

.".△EAC^AGAD,

.-.CE=V2DG；

(3)由(2)得：△EACS/\GAD,

?空=生=萬

"AGAD72，

同理得：△AFCs^AHB,

.”=生=A

"AHAB°，

嗡嗡=0

.AE_AF

*AG~AH

VZGAH=ZEAF,

/.△GAH^AEAF,

.EF_后

??麗=日

.*.EF=V2GH.

22.如圖，正方形ABC。中，ZEA尸=45。,4￡交BC于點E,AF交CO于點尸，分別交3。于“、G,連接

EF.

⑴求證：AD2=BGDH；

⑵,、求號CF的值；

ZJCr

⑶若正方形的邊長為5,DG=y[2,求E下的長.

17

【答案】⑴見解析；⑵④；⑶￡尸=?

【詳解】證明：（1）四邊形ABC。為正方形,

:.ZABD=ZADB=45°,AB=AD,

NEAF=45。,

/BAG=45。+NBAH,ZAHD=45°+/BAH,

:.NBAG=ZAHD,

又QZAB。=ZAZM=45。，

:NABG:YHDA,

ABBG

DHAD

BGDH=ABAD=AD2

（2）連接AC,

B上c

四邊形ABC。是正方形.

,\ZACE=ZADB=ZCAD=45°,

AC—yp2AD，

QZEAF=45°,

/.ZEAF=ZCAD,

ZEAF-ZCAF=ACAD-/CAF,

/EAC=/GAD,

:NEAC:YGAD,

DGAD

（3）：?正方形的邊長為5

???BD=,52+52=5/

BG=BD-DG=4也,

由AD?=BG-DH得DH血,

o

/.GH=—V2

8

由VXAC?VG4D,

AE2m

AGAD

同理得：VAFC:VAHB,

?AF

,AH7AB

?AE上=應

**AGAH

QNGAH=/EAF,

:NGAH?VE4廠,

小

EF=42GH=—

4

23.如圖，正方形4比7?中，E、尸分別在邊比；CD上,且N&尸=45°,連接明這種模型屬于“半角模

型，，中的一類，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路.例如圖中△/如與△/%可以

看作繞點/旋轉(zhuǎn)90°的關系.這可以證明結(jié)論“*應十如”，請補充輔助線的作法，并寫出證明過程.

(1)延長/到點G,使朋=_,連接ZG；

(2)證明：EF=BE+DF

【答案】(1)DF；(2)見解析

【詳解】解：(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BG=DF,從而得到輔助線的做法：延長CB到點G,使BG二DF,連接AG；

(2)(四邊形ABCD為正方形,

???AB=AD,ZADF=ZABE=ZABG=90°,

在△力勿和△力宛中

AD=AB

<ZADF=ZABG

DF=BG

:.XAD叫XABG(SAS),

AAF=AG,NDAF=NGAB,

VZEAF=45°,

AZDAF+ZEAB=45°,

AZGAB+ZEAB=45°,

AZGAE=ZEAF=45°,

在△/重和中0

AG=AF

<ZGAE=ZFAE

AE=AE

:.MADF/MABG(SAS),

AGE=EF,

???EF=GE=BE+GB=^+DF

24.正方形ABCD的邊長為6,E,F分別是AB,BC邊上的點，且NEDF=45°,將ADAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)

90°,得到△DCM.

(1)求證：EF=CF+AE；

(2)當AE=2時，求EF的長.

【答案】（1）見解析；（2）5,詳見解析.

【詳解】（1）證明：

??,ADAE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△口切,

AZFCM=ZFCD+ZDCM=180°,AE=CM,

???F、C、M三點共線，

ADE=DM,ZEDM=90°,

.?.ZEDF+ZFDM=90°,

VZEDF=45°,

.\ZFDM=ZEDF=45O,

在aDEF和△DMF中，

DE=DM

?.?]ZEDF=ZMDF,

DF=DF

.,.△DEF^ADMF(SAS),

???EF=MF,

.\EF=CF+AE；

(2)解：設EF=MF=x,

VAE=CM=2,且BC=6,

；.BM=BC+CM=6+2=8,

；.BF=BM-MF=BM-EF=8-x,

VEB=AB-AE=6-2=4,

在Rt/xEBF中，由勾股定理得我笈+臺尸=￡尸，

即42+(8-x)2=x2,

解得：x=5,則EF=5.

25.分層探究

(1)問題提出：如圖1,點、E、尸別在正方形A6切的邊6aCD上,/龍16=45°,連接跖求證：EF=

BE+DF,解題思路：把△/應■繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)度至LADG,可使力6與4?重合.由/FDG=ADG+/ADC

=180°,則知尺D、G三點共線，從而可證△/b(),仄而得EF=BE+DF,閱讀以上內(nèi)容并

填空.

(2)類比引申：如圖2,四邊形/灰/中，AB=AD,/胡?=90°,點￡、戶分別在邊8C、CD上,/EAF=

45°.探究：若/6、都不是直角，當NB、滿足什么數(shù)量關系時，仍有EF=BE+DF2

(3)聯(lián)想拓展：如圖3,在△/勿中，/胡仁90°,4B=AC,點以￡均在邊6。上，并且NM￡=45°.猜

想BD、CE、龐的數(shù)量關系，并給出理由.

【答案】(1)90,△/陽&4S；(2)/班/人180°；(3)E^=Bg+Flf,理由見解析

【詳解】解：(1),：AB=AD,

...把△/龐繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AADG,可使48與加重合.

ABAE=4DAG,

?：/BAD=90°,/加產(chǎn)=45°,

：.ABAE+ADAF=^°,

：.ZEAF=Z.FAG,

■:/ADC=/B=30°,

:.NFDG='8Q°,

點兄D、G共線，

在△/比和△//七中，

AE=AG

<ZEAF=ZGAF,

AF=AF

：.4AFg/\AFE(弘S),

:?EF=FG,

即EF=BE+DF,

故答案為：90,XAFE,SAS；

(2)當N班/〃=180°時，EF=BE+DF,如圖2

?：AB=AD,

?,?把座繞點2逆時針旋轉(zhuǎn)90°至XADG,可使Z6與2〃重合，

???/BAE=/DAG,

?：/BAD=90°,ZBAF=45°,

：.ZBAE+ZDAF=45°,

：.ZBAF=ZFAG,

VZADaZB=180°,

：.ZFDG=180°,

???點尺D、G共線，

在△/在1和中，

AE=AG

<ZEAF=ZGAF,

AF=AF

：.AAFE^/XAFG(弘S),

:.EF=FG,

即EF=BE+DF,

故答案為：ZB+ZD=180°；

(3)猜想：EF=B^+Flf,

證明：把△47?繞點/順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△力龍'，連接用'，如圖3,

：.BE'=FD,AE'=AF,ZD=AABE',ZEAD=ZE'AB,

"：AB=AD,

:./ABD=NADB=45°,

:./AB史/ABE，=90°,即/￡'初=90°,

：.E'4+函=￡'的

又：/物￡=45°,

：.ZBAE+ZEAD^45°,

ZE'AB+ZBAE^45°,即/￡'/￡=45°,

在叢AEE'和△4四中，

'AE=AE

<NE'AE=NFAE,

AE'=AF

：.^AEE'g△4EF(S4S),

：.EE'=FE,

:.E#=B^+D#.

26.如圖，已知正方形ABCD的邊長為3,E、F分別是邊BC、CD上的點，ZEAF=45

(1)求證：BE+DF=EF

(2)當BE=1時，求EF的長

【答案】（1）證明見解析；（2）

【詳解】（1）如圖，將/繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到ABG,

四邊形ABCD是正方形，

:.AB=AD,ZBAD=ZABC=ZD=90°,

.??點B是點D旋轉(zhuǎn)后的對應點，點G是點F旋轉(zhuǎn)后的對應點，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AG=AF,BG=DF,ZFAG=90°,ZABG=ND=90°,

.-.ZABG+ZA5C=180°,

.?.點G,仇。在同一條直線上，

又,ZFAG=90°,ZEAF=45°,

ZEAG=ZFAG-ZEAF=45°=ZEAF,

AG=AF

在△AEG和/中，＜/EAG=NEAF,

AE=AE

.\^AEG=^AEF(SAS),

:.EG=EF,

又EG=BE+BG=BE+DF,

:.BE+DF=EF；

(2)設防二元，

由(1)已證：BE+DF=EF,

BE=\,

:.DF=EF-BE=x-\,

四邊形ABCD是邊長為3的正方形，

/.3C=CD=3,NC=90。，

CE=BC—BE=3—1=2,CF—CD—DF=3-(x-1)=4—x,

在R".CEF中,CE?+CF?=EF?,BP22+(4-x)2=x2,

解得X=:，

故EF的長為!■.

2

27.如圖所示，正方形ABCD中，點￡,尸分別為6G"上一點，點〃為旗上一點，D,〃關于直線力尸對

稱.連結(jié)"/并延長交/￡的延長線于“求證：