7.4.2超幾何分布第七章隨機變量及其分布數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)①通過實例，理解超幾何分布概率模型的特點，理解超幾何分布與古典概型之間的關(guān)系．②根據(jù)超幾何分布概率模型的特點，能夠判定隨機變量是否服從超幾何分布,會求超幾何概型的分布列、期望、方差．③通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能解決數(shù)學(xué)中的超幾何概率的相關(guān)問題，能建立超幾何概型解決實際問題．④在實際問題中，能區(qū)分超幾何分布與二項分布．1.如果采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨立，此時X服從二項分布，即X～B(4，0.08).課堂導(dǎo)入問題1.

已知100件產(chǎn)品中有8件次品,分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件.設(shè)抽取4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X,求隨機變量X的分布列.由題意可知，X可能的取值為0，1，2，3，4.從100件產(chǎn)品中任取4件，樣本空間包含

個樣本點，且每個樣本點都是等可能發(fā)生的.其中4件產(chǎn)品中恰有k件次品的結(jié)果數(shù)為__________________

.由古典概型的知識，得X的分布列為

.課堂探究2.如果采用不放回抽樣，那么抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X是否也服從二項分布？如果不服從，那么X的分布列是什么？

一般地,假設(shè)N件產(chǎn)品中有M件次品,隨機抽取n件(不放回)，恰有X件次品,則X的分布列為超幾何分布

如果X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.課堂探究概念強化

3.“任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取，用組合數(shù)列式.1.(1)在超幾何分布的模型中“任取n件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取n件”.(2)若隨機變量X滿足①試驗是不放回地抽取n次；②隨機變量X表示抽取到的“次品”

件數(shù)，則該隨機變量服從超幾何分布.(3)超幾何分布的特點：①不放回抽樣；②考察對象分兩類；③已知各類對象的個數(shù)；

④從中抽取若干個個體，考察某類個體個數(shù)X的概率分布列．2.公式

中個字母的含義N—總體中的個體總數(shù)

M—總體中的特殊個體總數(shù)(如次品總數(shù))n—樣本容量

k—樣本中的特殊個體數(shù)(如次品數(shù))

課堂探究例題解析例1.(1)在產(chǎn)品抽樣檢驗中，從含有5件次品的100件產(chǎn)品中，不放回地任取3件，其中恰有2件次品的概率為________.(2)在產(chǎn)品抽樣檢驗中，從含有5件次品的100件產(chǎn)品中，有放回地任取3件，其中恰有2件次品的概率為________________.（用式子表示即可）解：(1)抽取的方式為不放回抽取，符合超幾何分布，故不放回地任取3件，則其中恰好有2件次品的概率為.(2)抽取的方式為有放回抽取，符合二項分布，故有放回地任取3件，其中恰有2件次品的概率為.課堂探究例2.從50名學(xué)生中隨機選出5名學(xué)生代表,求甲被選中的概率.解:設(shè)X表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)（只能取0或1),則X服從超幾何分布,且N=50，M=1,n=5.因此，甲被選中的概率為.課堂探究例3.

一批零件共有30個，其中有3個不合格，隨機抽取10個零件進(jìn)行檢測，求至少有1件不合格的概率.解:設(shè)抽取的10個零件中不合格品數(shù)為X,則X服從超幾何分布,且N=30,M=3,n=10,至少有1件不合格的概率為P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)課堂探究方法規(guī)律1.判斷隨機變量是否服從超幾何分布;2.根據(jù)已知條件，確定M,N,n對應(yīng)的值;3.代入超幾何分布的概率公式，求出結(jié)果.課堂探究跟蹤訓(xùn)練學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會，已知有4名候選人來自甲班.假設(shè)每名候選人都有相同的機會被選到，求:(1)甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率,(2)甲班至多1名同學(xué)被選到的概率.解：(1)設(shè)甲班恰有X名同學(xué)被選到,則X服從超幾何分布,且

N=12,M=4,n=4,則(2)課堂探究問題2：服從超幾何分布的隨機變量的均值是什么?超幾何分布均值

若X服從超幾何分布,

若X服從超幾何分布,課堂探究解:例4.一個袋子中有100個大小相同的球,其中有40個黃球、60個白球,從中隨機地摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數(shù).

(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列;(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差的絕對值不超過0.1的概率.(1)對于有放回摸球,由題意知X~B(20,0.4),X的分布列為對于不放回摸球,由題意知X服從超幾何分布，X的分布列為課堂探究(2)分別就有放回和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.采用不放回摸球估算的結(jié)果更可靠些課堂探究0.0500.100.150.200.25

兩種摸球方式下,隨機變量X分別服從二項分布和超幾何分布，這兩種分布的均值相等都等于8.但從兩種分布的概率分布圖看,超幾何分布更集中在均值附近.當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時，每次抽取一次后，對N的影響很小，此時，超幾何分布可以用二項分布近似.課堂探究方法規(guī)律：二項分布與超幾何分布的關(guān)系1.區(qū)別

一般地,超幾何分布的模型是“取次品”是不放回抽樣,而二項分布的模型是“獨立重復(fù)試驗”對于抽樣,則是有放回抽樣.2.聯(lián)系

當(dāng)次品的數(shù)量充分大,且抽取的數(shù)量較小時,即便是不放回抽樣,也可視其為二項分布.課堂探究1.一工廠生產(chǎn)的100個產(chǎn)品中有90個一等品，10個二等品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機抽取4個，則其中恰好有一個二等品的概率為()A.B.C.D.D2.已知100件產(chǎn)品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為________．0.33.有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取得次品的個數(shù)，則

等于()A.B.C.D.1C評價反饋4.在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：(1）不放回抽樣時，抽取的次品數(shù)ξ的均值；(2）放回抽樣時，抽取的次品數(shù)η的均值．ξ012P(2)由題意知，每次取到次品的概率為

，∴η～B(3,)，∴E(η)＝3×

＝

.評價反饋3.超幾何分布的均值1.超幾何分布課堂小結(jié)2.求超幾何分布列的步驟(1)驗證隨機變量是否服從超幾何分布,并確定參數(shù)N，M，n；(2)