人教版八年級數(shù)學上13.4課題學習最短路徑問題學習目標1.掌握利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.（難點）2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．

（重點）溫故知新1.如圖，連接A、B兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因為兩點之間，線段最短2.如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因為垂線段最短情境導入

“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各

點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題.

本節(jié)我們將通過探究數(shù)學史的著名的“牧馬人飲馬問題”及“造

橋選址問題”來體會如何運用所學知識選擇最短路徑。AB①②③PlABCD合作探究

問題1如圖，牧馬人從點A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后

到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C（動點）轉(zhuǎn)化成ABl數(shù)學問題所求問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.實際問題ABl合作探究思考1：由以上問題，我們假設點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？請說明理由.AlBC理由：“兩點之間，線段最短”連接AB,與直線l相交于一點C，點C即為所求.合作探究思考2：當點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點，又應該如何解決？ABl利用軸對稱，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′這樣我們就將同側(cè)問題轉(zhuǎn)化為了異側(cè)問題。

如何將點B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB=CB′？

合作探究作法：（1）作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l

相交于點C．則點C即為所求．ABlB′C合作探究思考3：你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，∴AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．ABlB′CC′合作探究點A,B分別在直線l異側(cè)AlBC歸納總結(jié)：點A,B分別在直線l同側(cè)ABlB′C小試牛刀1.如圖，P、Q是兩個居民小區(qū)，快遞公司準備在公路l上選取點M建一個服務中心，使PM+QM最短，下面四種選址方案符合要求的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD小試牛刀2.如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上的動點，E是AC邊上一點，若AE=3，當EF+CF取最小值時，∠EBF的度數(shù)為（）A．15°B．30°C．45°D．22.5°B合作探究

問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？ABNM轉(zhuǎn)化成所求問題：在a、b上分別求作M、N,使AM+MN+NB最短問題.BAba合作探究BA●●?NMNMNM

如圖，假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？由于河寬是固定的，因此當AM+NB最小時，AM+MN+NB最小，那么點N在直線b的什么位置，AM+NB最?。縜b能否通過圖形的變化（軸對稱、平移等），把圖形轉(zhuǎn)化為兩點在直線異側(cè)的問題？合作探究BAA1MN如圖，將AM移沿與河岸垂直的方向平移，點M移到點N，點A移到A1，則AM=A1N，AM+NB=A1N+NB.ab問題就轉(zhuǎn)化為：當點N在直線b的什么位置時，A１N+NB最小？MN合作探究BAA1MN理由:另任作橋M1N１，連接AM１，BN１，A１N１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知：AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△A１N１B中，因為A1N1+BN1＞A1B.因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN.思考2：你能用所學的知識證明AM+MN+NB最短嗎？合作探究解決最短路徑問題的方法:

在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.小試牛刀1.如圖，荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到B處，須經(jīng)兩座橋：DD′,EE′（橋?qū)挷挥嫞O護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B小試牛刀解：作AF⊥CD,且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF,與河岸相交于E′,D′.作DD′,EE′即為橋.理由：由作圖法可知，AF//DD′，AF=DD′，則四邊形AFD′D為平行四邊形，于是AD=FD′,同理，BE=GE′，由兩點之間線段最短可知，GF最小.AD′CC′EE′BFGD實戰(zhàn)演練

1.在平面直角坐標系中有兩點A、B，要在y軸上找一點，使它到兩點的距離之和最小，現(xiàn)在有如下四種方案，其中正確的是（）

D實戰(zhàn)演練2.如圖，點P事∠AOB內(nèi)任意一點，且∠AOB=40°，點M、N分別是射線OA和射線OB上的動點，當△PMN周長取最小值時，則∠MPN的度數(shù)為

.100°ABPONM實戰(zhàn)演練3.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=B