歷年考研試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.下列哪個(gè)是奇函數(shù)（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\lnx\)3.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.2D.不存在4.向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,4)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)等于（）A.5B.10C.11D.145.曲線\(y=x^3\)的拐點(diǎn)是（）A.\((0,0)\)B.\((1,1)\)C.\((-1,-1)\)D.無拐點(diǎn)6.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(\vertA\vert\)為（）A.-2B.2C.10D.-107.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂B.發(fā)散C.條件收斂D.絕對(duì)收斂8.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的全微分\(dz\)是（）A.\(2dx+2dy\)B.\(dx+dy\)C.\(4dx+4dy\)D.\(0\)9.方程\(x^2+y^2-2x+4y+5=0\)表示的圖形是（）A.圓B.點(diǎn)C.橢圓D.雙曲線10.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(e^{2x}\)，則\(f(x)\)等于（）A.\(e^{2x}\)B.\(2e^{2x}\)C.\(\frac{1}{2}e^{2x}\)D.\(e^{x}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)2.下列說法正確的是（）A.連續(xù)函數(shù)一定可導(dǎo)B.可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)C.可微函數(shù)一定可導(dǎo)D.可導(dǎo)函數(shù)一定可微3.關(guān)于矩陣運(yùn)算，正確的有（）A.\((AB)C=A(BC)\)B.\(A+B=B+A\)C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.\(AB=BA\)4.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\)5.向量組線性相關(guān)的判定方法有（）A.向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示B.向量組所構(gòu)成矩陣的秩小于向量個(gè)數(shù)C.向量組的行列式為0D.向量組中向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)6.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上滿足羅爾定理的條件有（）A.在\([a,b]\)上連續(xù)B.在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)C.\(f(a)=f(b)\)D.\(f(x)\)為單調(diào)函數(shù)7.下列曲線中，關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\vertx\vert\)8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2\)的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)9.對(duì)于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，以下說法正確的是（）A.偏導(dǎo)數(shù)存在則函數(shù)連續(xù)B.函數(shù)可微則偏導(dǎo)數(shù)存在C.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)則函數(shù)可微D.函數(shù)連續(xù)則偏導(dǎo)數(shù)存在10.下列積分中，值為0的有（）A.\(\int_{-a}^{a}x\sinxdx\)B.\(\int_{-a}^{a}x\cosxdx\)C.\(\int_{-a}^{a}x^2\sinxdx\)D.\(\int_{-a}^{a}x^2\cosxdx\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）2.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則\((AB)^T=A^TB^T\)。（）3.數(shù)列\(zhòng)(\{(-1)^n\}\)收斂。（）4.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定可微。（）5.齊次線性方程組\(Ax=0\)一定有解。（）6.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）7.曲線\(y=\lnx\)的凸區(qū)間是\((0,+\infty)\)。（）8.矩陣\(A\)的秩等于其行向量組的秩，也等于其列向量組的秩。（）9.函數(shù)\(z=x+y\)的駐點(diǎn)是\((0,0)\)。（）10.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述求函數(shù)極值的步驟。答案：先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0求出駐點(diǎn)，再求二階導(dǎo)數(shù)，將駐點(diǎn)代入二階導(dǎo)數(shù)判斷正負(fù)，二階導(dǎo)數(shù)大于0為極小值點(diǎn)，小于0為極大值點(diǎn)，最后求出極值。2.簡(jiǎn)述矩陣可逆的充要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)，此時(shí)\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^\)，其中\(zhòng)(A^\)是\(A\)的伴隨矩陣。3.簡(jiǎn)述定積分的幾何意義。答案：若\(f(x)\geq0\)，\(\int_{a}^f(x)dx\)表示由曲線\(y=f(x)\)，直線\(x=a\)，\(x=b\)及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形的面積；若\(f(x)\)有正有負(fù)，則定積分是各部分面積的代數(shù)和。4.簡(jiǎn)述向量組線性無關(guān)的定義。答案：設(shè)有向量組\(A:\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_m\)，如果存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使\(k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2+\cdots+k_m\vec{a}_m=\vec{0}\)不成立，即只有當(dāng)\(k_1=k_2=\cdots=k_m=0\)時(shí)上式才成立，則稱向量組\(A\)線性無關(guān)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x},x\neq0\\0,x=0\end{cases}\)在\(x=0\)處的可導(dǎo)性與連續(xù)性。答案：連續(xù)性：\(\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}x^2\sin\frac{1}{x}=0=f(0)\)，所以連續(xù)。可導(dǎo)性：\(f^\prime(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0\)，所以可導(dǎo)。2.討論\(n\)階方陣\(A\)相似于對(duì)角矩陣的條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)相似于對(duì)角矩陣的充要條件是\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無關(guān)的特征向量。充分條件如\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)不同的特征值時(shí)一定相似于對(duì)角矩陣。3.討論多元函數(shù)無條件極值與條件極值的區(qū)別與聯(lián)系。答案：區(qū)別：無條件極值是在定義域內(nèi)直接求極值；條件極值是在一定約束條件下求極值。聯(lián)系：都需要尋找可能的極值點(diǎn)，條件極值可通過拉格朗日乘數(shù)法轉(zhuǎn)化為無條件極值問題求解。4.討論冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\)的收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域的關(guān)系。答案：先求收斂半徑\(R\)，通過公式計(jì)算。收斂區(qū)間是\((x_0-R,x_0+R)\)。收斂域是在收斂區(qū)間基礎(chǔ)上，再判斷端點(diǎn)處的斂散性確定，收斂域可能是開區(qū)間、閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B