1/3談方程思想的應用用方程或方程組可以解決數學中許多問題．運用方程思想解題，就是挖掘問題中已知與未知數量之間的等量關系，通過求解方程或方程組尋求解答，有時也利用方程為工具，通過一元二次方程的判別式或根與系數關系，找到解題思路．例1有一批商品共100件，按獲利10％定價出售，售出后將所得款項全部存入銀行，月利率為2.5％，一個月后總共獲利102元，求每件商品售價多少？分析解決本題的要點是弄清獲利、成本、月利率等概念．實際上，如果一件商品的成本為a元，按獲利10％的定價出售，則售出后共得a（1+10％）元．月利率為2.5％，則存入b元，一月后共得b（1+2.5％）元．把上述關系弄清楚了，就可以列方程解題了．解設每件商品的成本為x元．依題意有x（1+10％）×100×（1+2.5％）－100x=102．解這個方程得x=8．∴x·（1+10％）=8.8答：每件商品的售價為8.8元．說明通過列方程解題，雙基是基礎．只有把概念、關系弄清楚了，才能尋找到等量關系．例2已知二次函數y=ax2+bx+c經過點A（1，1）、B（α，β）、C（β，α），其中α、β是方程x2－x－1=0的兩個根．求二次函數的解析式．分析因為方程x2－x－1=0的兩個根可求，所以點B、C的坐標可知，問題轉化為已知三點求二次函數的解析式，可利用待定系數法來求解．觀察方程可知，α、β都是無理數．這就給計算帶來了困難．但α+β=1，αβ=－1，能否利用這些關系式來求出待定系數a、b、c呢？只需要對含有待定系數的關系式作一些變形即可．解∵點A、B、C在y=ax2+bx+c的圖象上，又∵α、β是方程x2－x－1=0的兩個根，∴a+b=－1，c=2．∴3a+b=1．∴a=－1，b=0．∴所求二次函數解析式為y=－x2+2．說明本題的所求為a、b、c，α、β只是兩個過渡的量，利用了根與系數的關系去簡化運算，從而使方法簡捷，解題效率高．例3已知：如圖，PA切⊙O于A，PO交⊙O于C，AB⊥OP于B，BO∶BC=3∶2，PA=4，求AC的長．分析求AC的長，首先要觀察圖中有無特殊角，能否利用等邊三角形或等腰三角形的性質；其次要觀察能否運用勾股定理，或相似三角形，或切割線定理等．因為OB、BC的和恰好是半徑，所以Rt△OAB與Rt△ABC的各邊之比都可求出．由于點A是切點，所以OA⊥PA，且PA=4，所以可根據∠AOB的三角函數值找到Rt△AOP三邊之間的關系，從而求出AC的長．解連結OA．設OB=3k，則BC=2k，OA=5k．∴AB=4k．又∵PA切⊙O于A，∴OA⊥PA．∴5k=3，運用方程思想解題，要具備一定的分析問題和解決問題的能力．要善于分析已知條件，能夠挖掘隱含條件，能找到問題之間的聯系．在一些問題中，常需要利用重要的定理、公式、法則來求等量關系．比如：勾股定理、比例關系、切割線定理、根與系數的