第1章2.2第2課時等差數(shù)列前n項和的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及其應(yīng)用.2.掌握等差數(shù)列前n項和的最值的求法.3.掌握等差數(shù)列各項絕對值的和的求法.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

等差數(shù)列前n項和的函數(shù)特征

等差數(shù)列的前n項和公式與二次函數(shù)的關(guān)系令A(yù)=,B=a1-,則Sn=An2+Bn.①當(dāng)A=0,B=0(即d=0,a1=0)時,Sn=0是關(guān)于n的常數(shù)函數(shù),{an}是各項為0的常數(shù)列.②當(dāng)A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)時,Sn=Bn是關(guān)于n的正比例函數(shù),{an}為各項非零的常數(shù)列.③當(dāng)A≠0(即d≠0)時,Sn=An2+Bn是關(guān)于n的二次函數(shù)(常數(shù)項為0)受n的取值的限制,畫出的圖象為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一串點

名師點睛1.等差數(shù)列{an}的前n項和Sn,有下面幾種常見變形:2.求等差數(shù)列前n項和最值的方法(1)二次函數(shù)法:用求二次函數(shù)最值的方法來求其前n項和的最值,但要注意n∈N+,結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值,更加直觀.3.求等差數(shù)列{an}的前n項的絕對值之和,關(guān)鍵是找到數(shù)列{an}的正負(fù)項的分界點.思考辨析1.若數(shù)列{an}的通項公式an=2n-37(n∈N+),則當(dāng)n為何值時Sn取得最小值?

2.等差數(shù)列的前n項和Sn取得最大或最小值時的n唯一嗎?提示

由通項公式易知,a1,a2,…,a18都小于0,所以當(dāng)n=18時Sn取得最小值.提示

不一定.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)等差數(shù)列的前n項和一定是常數(shù)項為0的關(guān)于n的二次函數(shù).(

)(2)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn=An2+Bn,則數(shù)列{an}的公差為2A.(

)(3)若等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=An2+Bn(A≠0),則其最大值或最小值一定在n=取得.(

)(4)若等差數(shù)列{an}的公差d>0,則{an}的前n項和一定有最小值.(

)×√√×2.[人教B版教材習(xí)題]等差數(shù)列14,11,8,…前多少項的和最大?為什么?解

前5項和最大,因為前5項均是正數(shù),從第6項開始為負(fù)數(shù);也可以用二次函數(shù)的最值解決.知識點2

等差數(shù)列{an}的前n項和Sn的性質(zhì)1.若{an}是等差數(shù)列,則

也成等差數(shù)列,其首項與{an}首項相同,公差是{an}的公差的

.2.關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質(zhì):an是中間項

思考辨析1.若{an}是公差為d的等差數(shù)列,那么a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是否也是等差數(shù)列?如果是,公差是多少?提示

(a4+a5+a6)-(a1+a2+a3)=(a4-a1)+(a5-a2)+(a6-a3)=3d+3d+3d=9d,(a7+a8+a9)-(a4+a5+a6)=(a7-a4)+(a8-a5)+(a9-a6)=3d+3d+3d=9d.∴a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差為9d的等差數(shù)列.2.在等差數(shù)列{an}中,其前n項和為Sn,前2n項和為S2n,前3n項和為S3n,試探索Sn,S2n-Sn,S3n-S2n之間的關(guān)系.提示

S2n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a2n=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd)=2Sn+n2d,同樣發(fā)現(xiàn)S3n=3Sn+3n2d,可以發(fā)現(xiàn)S2n-Sn=Sn+n2d,S3n-S2n=Sn+2n2d,…,是一個公差為n2d的等差數(shù)列.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為2n-1,前n項和為Sn,則Sn=(2n-1)an.(

)(2)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+1,則{an}不是等差數(shù)列.(

)√√2.已知一個等差數(shù)列的前12項的和為354,前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32∶27,則該數(shù)列的公差為

.

53.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S3=10,S6=30,求S9和S12的值.解

(方法一)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,∴S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列,∴2(S6-S3)=S3+S9-S6,∴40=10+S9-30,∴S9=60.又S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差數(shù)列,∴2(S9-S6)=S6-S3+S12-S9,∴2×30=20+S12-60,∴S12=100.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用(2)等差數(shù)列{an}的前m項和為30,前2m項和為100,求數(shù)列{an}的前3m項的和S3m.解

(方法一)在等差數(shù)列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列,∴30,70,S3m-100成等差數(shù)列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.規(guī)律方法

等差數(shù)列前n項和Sn的有關(guān)問題中,如果關(guān)于Sn的性質(zhì)運用得當(dāng),可以達(dá)到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果.B解析

因為等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別是Sn,Tn,(2)等差數(shù)列{an}的前10項和為100,前100項和為10,求前110項之和.(3)項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列,奇數(shù)項之和為44,偶數(shù)項之和為33,求這個數(shù)列的中間項及項數(shù).解

(方法一)設(shè)此等差數(shù)列為{an},公差為d,Sn為其前n項和,S奇、S偶分別表示奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和.由題意知項數(shù)為奇數(shù),可設(shè)為(2n+1)項,則奇數(shù)項為(n+1)項,偶數(shù)項為n項,an+1為中間項.由性質(zhì)知S奇-S偶=an+1,∴an+1=11.又S2n+1=S奇+S偶=44+33=77,∴(2n+1)a1+d=77.∴(2n+1)(a1+nd)=77.又a1+nd=an+1=11,∴2n+1=7.故這個數(shù)列的中間項為11,項數(shù)為7.∴項數(shù)為2n+1=7.又由S奇-S偶=a中,得a中=44-33=11.故中間項為11,項數(shù)為7.探究點二

等差數(shù)列前n項和的綜合運用

角度1.等差數(shù)列前n項和的最值問題【例2】

(1)(多選題)在等差數(shù)列{an}中,首項a1>0,公差d≠0,前n項和為Sn(n∈N+),則下列說法正確的是(

)A.若S3=S11,則必有S14=0B.若S3=S11,則S7是{Sn}中的最大項C.若S7>S8,則必有S8>S9D.若S7>S8,則必有S6<S9ABC解析

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),若S3=S11,則S11-S3=4(a7+a8)=0,則a7+a8=0,S14==7(a7+a8)=0,選項A正確;根據(jù)Sn的圖象,當(dāng)S3=S11時,∵

=7,且d<0,∴S7是最大值,選項B正確;若S7>S8,則a8<0,且d<0,所以a9<0,所以S9-S8<0,即S8>S9,選項C正確;S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,即S6>S9,選項D錯誤.故選ABC.(2)在等差數(shù)列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.(方法二)同方法一,求出公差d=-2.∴an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.∵a1=25>0,(方法三)同方法一,求出公差d=-2.∵S9=S17,∴a10+a11+…+a17=0.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13+a14=0.∴a13>0,a14<0.∴當(dāng)n=13時,Sn有最大值,即S13=13×25+×(-2)=169.(方法四)同方法一,求出公差d=-2.設(shè)Sn=An2+Bn.∵S9=S17,∴當(dāng)n=13時,Sn取得最大值,即S13=13×25+×(-2)=169.規(guī)律方法

1.等差數(shù)列前n項和Sn最大(小)值的情形:①若a1>0,d<0,則Sn存在最大值,即所有非負(fù)項之和.②若a1<0,d>0,則Sn存在最小值,即所有非正項之和.2.求等差數(shù)列前n項和Sn最值的方法:①尋找正、負(fù)項的分界點,可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用

來尋找.②運用二次函數(shù)求最值.變式訓(xùn)練2[2024四川成都期中]已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,其中a4=-5,S4=-32.(1)求{an}的通項公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.

解得a1=-11,d=2,故an=-11+(n-1)×2=2n-13.故當(dāng)n=6時,Sn取得最小值S6=62-12×6=-36.角度2.含絕對值的等差數(shù)列求和問題【例3】

(1)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a8=6,S21=0,則數(shù)列{|an|}的前12項和T12為

.

112解析

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,所以an=20+(n-1)×(-2)=-2n+22.令an=-2n+22≥0,解得n≤11,所以當(dāng)n≤11時,an≥0,則|an|=an;當(dāng)n=12時,an<0,此時|an|=-an,所以T12=|a1|+|a2|+…+|a12|=a1+a2+…+a11-a12=110-(-2)=112.當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=-3n+104.∵n=1也適合上式,∴數(shù)列{an}的通項公式為an=-3n+104(n∈N+).由an=-3n+104≥0,得n≤34.即當(dāng)n≤34時,an>0;當(dāng)n≥35時,an<0.★(2)已知數(shù)列{an}的前n項和,求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.(2)當(dāng)n≥35時,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn變式探究

在本例(2)中,若將條件改為“等差數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-23”,求數(shù)列{|an|}的前n項和.規(guī)律方法

已知等差數(shù)列{an},求{|an|}的前n項和的步驟(1)確定通項公式an;(2)根據(jù)通項公式確定數(shù)列{an}中項的符號,即判斷數(shù)列{an}是先負(fù)后正,還是先正后負(fù);(3)去掉數(shù)列{|an|}中各項的絕對值,轉(zhuǎn)化為{an}的前n項和求解,轉(zhuǎn)化過程中有時需添加一部分項,以直接利用數(shù)列{an}的前n項和公式;(4)將{|an|}的前n項和寫成分段函數(shù)的形式.探究點三等差數(shù)列求和的實際應(yīng)用【例4】

7月份,有一新款服裝投入某市場.7月1日該款服裝僅售出3件,以后每天售出的該款服裝都比前一天多3件,當(dāng)日銷售量達(dá)到最大(只有1天)后,每天售出的該款服裝都比前一天少2件,且7月31日當(dāng)天剛好售出3件.(1)問7月的哪一天該款服裝銷售最多?最多售出幾件?(2)按規(guī)律,當(dāng)該市場銷售此服裝達(dá)到200件時,社會上就開始流行,而日銷售量連續(xù)下降并低于20件時,則不再流行.該款服裝在社會上流行幾天?解

(1)設(shè)7月n日售出的服裝件數(shù)為an(n∈N+,1≤n≤31),最多售出ak件.∴7月13日該款服裝銷售最多,最多售出39件.(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,∵S13=273>200,∴當(dāng)1≤n≤13時,由Sn>200,得12≤n≤13,當(dāng)14≤n≤31時,日銷售量連續(xù)下降,由an<20,得23≤n≤31,∴該款服裝在社會上流行11天(從7月12日到7月22日).規(guī)律方法

應(yīng)用等差數(shù)列解決實際問題的一般思路

變式訓(xùn)練3某地去年9月份曾發(fā)生流感,據(jù)統(tǒng)計,9月1日該地區(qū)流感病毒的新感染者有40人,此后,每天的新感染者人數(shù)比前一天新感染者人數(shù)增加40.從9月11日起,該地區(qū)醫(yī)療部門采取措施,使該種病毒的傳播得到有效控制,每天的新感染者人數(shù)比前一天的新感染者人數(shù)減少10.(1)分別求出該地區(qū)在9月10日和9月11日這兩天的流感病毒的新感染者人數(shù).(2)該地區(qū)9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人?

解

(1)由題意,知該地區(qū)9月份前10天每天新感染者人數(shù)構(gòu)成一個首項a1=40,公差d=40的等差數(shù)列{an},所以9月10日的新感染者人數(shù)為a10=40+(10-1)×40=400.從9月11日起,每天的新感染者人數(shù)比前一天的新感染者人數(shù)減少10,所以9月11日的新感染者人數(shù)為400-10=390.(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人數(shù)的和為9月份后20天每天新感染者人數(shù)構(gòu)成一個首項b1=390,公差d1=-10的等差數(shù)列{bn},又因為b20=390-10×19=200,所以后20天流感病毒的新感染者人數(shù)的和為

,所以該地區(qū)9月份流感病毒的新感染者共有2

200+5

900=8

100(人).本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用.(2)等差數(shù)列前n項和的綜合應(yīng)用.(3)等差數(shù)列求和的實際應(yīng)用.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化化歸、整體代換.3.常見誤區(qū):(1)對公式Sm,S2m-Sm,S3m-S2m不理解亂用出錯;(2)求數(shù)列{|an|}前n項和問題對分段形式不理解而出錯.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123451.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為d>0,且Sn為其前n項和,