河北唐山高中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的定義域是（）

A.(-1,+∞)

B.(-∞,-1)

C.(-1,0)∪(0,+∞)

D.(-∞,-1]∪[0,+∞)

2.已知集合A={x|x2-5x+6≥0},B={x|2x-1>0},則A∩B等于（）

A.{x|x≤2或x≥3}

B.{x|2<x<3}

C.{x|x<2或x>3}

D.{x|2≤x≤3}

3.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z2+az+b=0(a,b∈R),則a+b的值為（）

A.-2

B.2

C.-1

D.1

4.已知等差數(shù)列{a?}中,a?=5,公差d=-2,則該數(shù)列的前n項(xiàng)和S?的最小值為（）

A.-10

B.-8

C.-6

D.-4

5.直線l:ax+by+c=0與圓O:x2+y2=1相切,則|a|+|b|的可能值為（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

6.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的圖像關(guān)于y軸對稱的解析式為（）

A.sin(2x-π/3)

B.-sin(2x+π/3)

C.sin(2x+π/3)

D.-sin(2x-π/3)

7.在△ABC中,若角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且a2+b2-c2=ab,則cosC的值為（）

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/5

8.拋擲兩個(gè)均勻的骰子,記事件A為"兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為5",則事件A的概率為（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

9.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1,則f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值之差為（）

A.4

B.8

C.12

D.16

10.在極坐標(biāo)系中,圓心在極點(diǎn),半徑為2的圓的方程為（）

A.ρ=2cosθ

B.ρ=2sinθ

C.ρ2=2ρcosθ

D.ρ2=2ρsinθ

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x?

B.f(x)=x3

C.f(x)=sin(x)

D.f(x)=e?

2.在等比數(shù)列{a?}中,若a?=6,a?=162,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?等于（）

A.2×3??1

B.3×2??1

C.2×3??1

D.3×2??1

3.直線l?:y=k?x+b?與直線l?:y=k?x+b?平行的充要條件是（）

A.k?=k?且b?≠b?

B.k?=k?且b?=b?

C.k?=-k?且b?≠b?

D.k?+k?=0且b?≠b?

4.已知點(diǎn)A(1,2),B(3,0),C(-1,-2),則下列結(jié)論正確的有（）

A.三角形ABC是等腰三角形

B.三角形ABC是直角三角形

C.三角形ABC是等腰直角三角形

D.三角形ABC是等邊三角形

5.對于命題p:"存在x?∈R,使得x?2-x?+1<0",則其否定?p為（）

A.對任意x∈R,都有x2-x+1<0

B.對任意x∈R,都有x2-x+1≥0

C.存在x∈R,使得x2-x+1≥0

D.對任意x∈R,都有x2-x+1>0

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|,則f(x)的最小值為________。

2.在△ABC中,若角A=45°,角B=60°,且邊a=√2,則邊c的長度為________。

3.不等式|3x-2|<5的解集為________。

4.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+1)2=4,則該圓的圓心坐標(biāo)為________,半徑長為________。

5.某校高三年級有1000名學(xué)生參加一次模擬考試,為了了解這次考試的情況,從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。在這個(gè)問題中,樣本容量是________,總體是________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程:2^(x+1)+2^(x-1)=20.

2.在△ABC中,已知a=3,b=√7,C=60°,求邊c的長度.

3.計(jì)算極限:lim(x→2)(x3-8)/(x-2).

4.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3,求函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值和最小值.

5.寫出函數(shù)y=sin(2x)在[0,π]上的所有零點(diǎn).

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：函數(shù)f(x)=log?(x+1)有意義需滿足x+1>0，解得x>-1，故定義域?yàn)?-1,+∞)。

2.B

解析：A={x|x≤1或x≥6}，B={x|x>1/2}，則A∩B={x|2<x<3}。

3.C

解析：z2=(1+i)2=1+2i-1=2i，代入z2+az+b=0得2i+a(1+i)+b=0，即(a+b)+(a+2)i=0，實(shí)部虛部分別為0，解得a+b=0,a+2=0，故a=-2,b=2，a+b=0。

4.A

解析：S?=na?+n(n-1)/2d=5n-n(n-1)=-n2+6n=-(n-3)2+9，當(dāng)n=3時(shí)，S?取得最大值9，但由于d<0，數(shù)列是遞減的，故從n=4開始S?遞減，S?=12,S?=10,S?=8,...，最小值為S?=10-2=8，但繼續(xù)看S?=6,S?=4,S?=2,S?=0,S??=-2，故最小值為S??=-2。

5.B

解析：直線與圓相切，則圓心(0,0)到直線的距離d等于半徑1，即|c|/√(a2+b2)=1，平方得a2+b2=c2=1，|a|+|b|的最大值為√(a2+(|b|+|a|)2)=√(a2+b2+2|a||b|+a2)=√(2a2+2|a||b|+b2)=√(2a2+2|a||b|+1-a2)=√(a2+2|a||b|+1)=√((|a|+|b|)2)=|a|+|b|=√2。

6.A

解析：sin(2x+π/3)圖像關(guān)于y軸對稱，需滿足f(-x)=f(x)，即sin(-2x+π/3)=sin(2x+π/3)，利用正弦函數(shù)奇偶性sin(-θ)=-sin(θ)，得-sin(2x-π/3)=sin(2x+π/3)，即sin(2x+π/3)=-sin(2x-π/3)，利用正弦函數(shù)性質(zhì)sin(α)=-sin(π-α)，得sin(2x+π/3)=sin(π-2x+π/3)，即2x+π/3=π-2x+π/3+2kπ或2x+π/3=π-(π-2x+π/3)+2kπ，解得x=kπ或x=kπ/2，故對稱軸為x=kπ/2，對應(yīng)解析式為sin(2x-π/3)。

7.A

解析：由余弦定理cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)，代入a2+b2-c2=ab，得cosC=ab/(2ab)=1/2。

8.A

解析：兩個(gè)骰子共有6×6=36種等可能結(jié)果，事件A包含的基本事件為(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4種，故P(A)=4/36=1/9。(注：此題選項(xiàng)有誤，正確概率為1/9)

9.C

解析：f'(x)=3x2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-1,f(-1)=3,f(0)=1,f(1)=-1,f(2)=3，故最大值為max{f(-1),f(2)}=3，最小值為min{f(-2),f(1)}=-1，最大值與最小值之差為3-(-1)=4。

10.C

解析：極坐標(biāo)系中，圓心在極點(diǎn)，半徑為ρ?的圓的方程為ρ=ρ?cosθ，故半徑為2的圓的方程為ρ=2cosθ。(注：選項(xiàng)C為ρ2=ρcosθ，即ρ=cosθ或ρ=0，不正確，正確應(yīng)為ρ=2cosθ)

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.BC

解析：f(x)=x3是奇函數(shù)，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)；f(x)=sin(x)是奇函數(shù)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)。f(x)=x?是偶函數(shù)，f(-x)=(-x)?=x?=f(x)。f(x)=e?是既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，f(-x)=e??≠±e?。

2.AB

解析：設(shè)公比為q，則a?=a?q3，即162=6q3，解得q3=27，故q=3。a?=a?q??2=6×3??2=2×3??1。a?=a?q??1=5×3??1。故AB正確。

3.AB

解析：兩條不重合的直線l?:y=k?x+b?與l?:y=k?x+b?平行的充要條件是它們的斜率相等且截距不相等，即k?=k?且b?≠b?。若k?=k?且b?=b?，則兩直線重合。若k?=-k?，則兩直線垂直。故AB正確。

4.AB

解析：|AB|=√((3-1)2+(0-2)2)=√(4+4)=2√2，|BC|=√((-1-3)2+(-2-0)2)=√(16+4)=2√5，|AC|=√((-1-1)2+(-2-2)2)=√(4+16)=2√5。因?yàn)閨BC|=|AC|，所以△ABC是等腰三角形。cosA=(|BC|2+|AC|2-|AB|2)/(2|BC||AC|)=(20+20-8)/(2×2√5×2√5)=32/40=4/5≠0，所以A不是直角。故AB正確。

5.B

解析：命題p:?x?∈R,使得x?2-x?+1<0，其否定?p為對所有x∈R,x2-x+1≥0。這是因?yàn)榇嬖诹吭~(?)的否定是全稱量詞(?)，命題的否定是結(jié)論的否定。故B正確。

三、填空題答案及解析

1.3

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)-2的距離之和。當(dāng)x在-2與1之間時(shí)，即-2≤x≤1，f(x)取得最小值，最小值為|-2-1|+|1-1|=3+0=3。

2.2

解析：由正弦定理a/sinA=c/sinC，得c=a*sinC/sinA=√2*sin60°/sin45°=√2*(√3/2)/(√2/2)=√3。

3.(-3/3,17/3)

解析：|3x-2|<5等價(jià)于-5<3x-2<5，解得-3<3x<7，即-1<x<7/3。

4.(-1,1);2

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)2+(y-k)2=r2，其中(h,k)是圓心，r是半徑。由(x-1)2+(y+1)2=4，可知圓心為(1,-1)，半徑為√4=2。

5.100;該校高三年級1000名學(xué)生參加這次模擬考試全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績（或成績的分布情況等）

四、計(jì)算題答案及解析

1.x=2

解析：原方程可化為2^(x+1)+2^(x-1)=22*2?+1/2*2?=4*2?+1/2*2?=(4+1/2)*2?=9/2*2?，即9/2*2?=20，兩邊同乘2/9得2?=40/9，故x=log?(40/9)=log?(10/9+30/9)=log?(10/9)+log?(10/3)=log?(10)-log?(9)+log?(10)-log?(3)=2log?(10)-log?(32)-log?(3)=2log?(10)-2log?(3)-log?(3)=2(log?(10)-log?(3))=2log?(10/3)。(檢查原題計(jì)算，20/9≈2.22,2^x=2.22->x≈log2(2.22)≈1.11，原答案x=2不正確，此處按正確計(jì)算過程給出)另解：設(shè)2?=t，則原方程變?yōu)?t+1/t=20，即2t2-20t+1=0，解得t=(20±√(400-8))/4=(20±√392)/4=(20±2√98)/4=(20±2√(49*2))/4=(20±14√2)/4=5±7√2/2，故2?=5±7√2/2，x=log?(5±7√2/2)。(更正：原方程應(yīng)為2^(x+1)+2^(x-1)=20，即4*2?+1/2*2?=20，5*2?=20，2?=4，x=2。)

2.c=√7

解析：由余弦定理c2=a2+b2-2ab*cosC=32+(√7)2-2*3*√7*cos60°=9+7-3√7=16-3√7，故c=√(16-3√7)。(檢查原題，a=3,b=√7,C=60°,c2=9+7-2*3*√7*1/2=16-3√7，c=√(16-3√7)，原答案c=√7=√(49)不正確)

3.4

解析：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2*2+4=4+4+4=12。(檢查原題，(x3-8)/(x-2)=(x-2)(x2+2x+4)/(x-2)=x2+2x+4，故極限為22+2*2+4=12。原答案4錯(cuò)誤)

4.最大值=7,最小值=0

解析：f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=2。f(x)在[1,4]上是連續(xù)的，且在(1,4)內(nèi)只有駐點(diǎn)x=2。f(1)=12-4*1+3=0，f(2)=22-4*2+3=4-8+3=-1，f(4)=42-4*4+3=16-16+3=3。比較f(1),f(2),f(4)的值，最大值為max{0,-1,3}=3，最小值為min{0,-1,3}=-1。(檢查原題，f(x)=x2-4x+3，f'(x)=2x-4，駐點(diǎn)x=2。f(1)=0,f(2)=-1,f(4)=3。最大值為3，最小值為-1。原答案最大值7，最小值0錯(cuò)誤)

5.x=0,x=π/2,x=π

解析：令sin(2x)=0，則2x=kπ,k∈Z，即x=kπ/2。在[0,π]上，k=0,1,2時(shí)，x=0,π/2,π。所以函數(shù)y=sin(2x)在[0,π]上的零點(diǎn)為x=0,π/2,π。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

選擇題：考察學(xué)生對基礎(chǔ)概念、性質(zhì)、定理的掌握程度和應(yīng)用能力。例如：

-函數(shù)定義域、奇偶性、周期性

-集合運(yùn)算

-復(fù)數(shù)運(yùn)算

-數(shù)列通項(xiàng)與求和

-直線與圓的位置關(guān)系

-三角函數(shù)圖像變換

-解三角形（正弦/余弦定理）

-概率計(jì)算

-極限計(jì)算

-函數(shù)最值

-極坐標(biāo)方程

示例：判斷函數(shù)f(x)=|x|在R上的單調(diào)性。考察絕對值函數(shù)的性質(zhì)，f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減，在[0,+∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在R上不是單調(diào)函數(shù)。

多項(xiàng)選擇題：考察學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的全面理解和辨別能力，需要選出所有符合題意的選項(xiàng)。

示例：判斷下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x?B.f(x)=x3C.f(x)=sin(x)D.f(x)=e?

考察奇偶性定義，f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)。B、C為奇函數(shù)，A、D為偶函數(shù)或非奇非偶函數(shù)。故選BC。

填空題：考察學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算的熟練程度，要求準(zhǔn)確填寫結(jié)果。

示例：計(jì)算lim(x→2)(x2-4)/(x-2)。

考察極限計(jì)算和因式分解，原式=lim(x→2)[(x-2)(x+2)]/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

計(jì)算題：考察學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力，需要寫出詳細(xì)的解題步驟和過程。

示例：在△ABC中，若a=3,b=4,C=60°，求cosA的值。

考察余弦定理和三角函數(shù)恒等式，cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=1/2，a2+b2-c2=ab，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(16+c2-9)/(8c)=(7+c2)/(8c)，由cos2A+sin2A=1，sinA=√(1-cos2A)，cosA=(7+c2)/(8c)，cos2A=(7+c2)2/(64c2)，sin2A=1-(7+c2)2/(64c2)=(64c2-(49+14c2+c?))/(64c2)=(50c2-c?-49)/(64c2)，(√(50c2-c?-49)/8c)2=(7+c2)/(8c)2，(50c2-c?-49)/64c2=(7+c2)2/64c?，50c2-c?-49=49+14c2+c?，0=2c?-36c2+98=c?-18c2+49=(c2-9)2，故c2=9，c=3（舍去負(fù)值），cosA=(7+9)/(8*3)=16/24=2/3。

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)：

一、集合與常用邏輯用語

-集合的表示法（列舉法、描述法）

-集合間的基本關(guān)系（包含、相等）

-集合的運(yùn)算（并集、交集、補(bǔ)集）

-命題及其關(guān)系（原命題、逆命