第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年寧夏銀川二中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=2i1?i，則復(fù)數(shù)z的虛部為(

)A.i B.?i C.1 D.?12.已知向量a=(?2,m)，b=(1,1+m)，則“a⊥b”是“m=1A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.袋子中有4個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球，2個(gè)白球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則兩次都摸到紅球的概率P=(

)A.18 B.16 C.144.在△ABC中，H為BC上異于B，C的任一點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，若AM=λAB+μAC，則λ+μ等于A.12 B.23 C.165.已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說(shuō)法正確的是(

)A.若m//α，n//α，則m//n B.若m⊥α，n?α，則m⊥n

C.若m6.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a2?b2=3A.30° B.60° C.90° D.120°7.已知一個(gè)直三棱柱的高為2，如圖，其底面ABC水平放置的直觀圖(斜二測(cè)畫法)為A′B′C′，其中O′A′=O′B′=O′C′=1，則此三棱柱的表面積為(

)A.4+42

B.8+42

C.8.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點(diǎn)，有四個(gè)結(jié)論：

①AP與CM是異面直線；

②AP，MN，DD1相交于一點(diǎn)；

③過(guò)A，M，PA.1

B.2

C.3

D.4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法正確的是(

)A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率是0.1

B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5

C.數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23

D.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1?1，210.設(shè)A，B，C是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的三個(gè)事件，且P(A)=13,P(B)=45,AA.若P(A+B)=1315，則P(AB)=215B.若事件A，B相互獨(dú)立，則P(AB)=41511.已知正四面體P?ABC的棱長(zhǎng)為2，則(

)A.正四面體P?ABC的外接球表面積為4π

B.正四面體P?ABC內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值

C.正四面體P?ABC的相鄰兩個(gè)面所成二面角的正弦值為13

D.正四面體S?EFG在正四面體P?ABC的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體S?EFG的體積最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a=(1,1)，b=(?2,1)，則b在a上的投影向量的坐標(biāo)為______．13.如圖，為測(cè)量某塔的高度，在地面上選擇一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，在C處測(cè)得A處的無(wú)人機(jī)和塔頂M的仰角分別為30°，45°無(wú)人機(jī)距地面的高度AB為45米，且在A處無(wú)人機(jī)測(cè)得點(diǎn)M的仰角為15°，點(diǎn)B，C，N在同一條直線上，則該塔的高度MN為______米.14.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.已知四面體P?ABC為鱉臑，且PA=AB，AC=BC，記二面角A?PB?C的平面角為θ，則sinθ=______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足2c+b?2acosB=0．

(1)求角A；

(2)若a=23，BA?AC=32，AD16.(本小題15分)

如圖所示，在四棱錐C?ABED中，四邊形ABED是正方形，點(diǎn)G，F(xiàn)分別是線段EC，BD的中點(diǎn)．

(1)求證：GF//平面ABC；

(2)H是線段BC的中點(diǎn)，證明：平面GFH//平面ACD．17.(本小題15分)

新高考實(shí)行“3+1+2”選科模式，其中“3”為必考科目，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，從物理、歷史中選擇一科；“2”為再選科目，從化學(xué)、生物學(xué)、地理、思想政治中任選兩科.某大學(xué)的某專業(yè)要求首選科目為物理，再選科目中化學(xué)、生物學(xué)至少選一科．

(1)寫出所有選科組合的樣本空間.從所有選科組合中隨機(jī)選一種組合，并且每種組合被選到的可能性相等，求所選組合符合該大學(xué)某專業(yè)報(bào)考條件的概率；(2)甲、乙兩位同學(xué)獨(dú)立進(jìn)行選科，求兩人中至少有一人符合該大學(xué)某專業(yè)報(bào)考條件的概率．18.(本小題17分)

隨著高校強(qiáng)基計(jì)劃招生的持續(xù)開展，我市高中生抓起了參與數(shù)學(xué)興趣小組的熱潮．為調(diào)查我市高中生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的喜好程度，從甲、乙兩所高中各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，記錄他們?cè)谝恢軆?nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間，并將其分成了6個(gè)區(qū)間：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如圖頻率分布直方圖：

(1)求圖1中a的值，并估計(jì)甲高中學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間的眾數(shù)；

(2)估計(jì)乙高中學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間的均值x乙?及方差s乙2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(3)若從甲、乙兩所高中分別抽取樣本量為m、n的兩個(gè)樣本，經(jīng)計(jì)算得它們的平均數(shù)和方差分別為：x?、s12與y?、s22，記總的樣本平均數(shù)為w?19.(本小題17分)

已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)P在底面ABCD上的射影是AC與BD的交點(diǎn)O，已知∠BAD=60°，△PDB是等邊三角形．

(1)求證：AC⊥PD；

(2)求點(diǎn)D到平面PBC的距離；

(3)若點(diǎn)E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)E在何處時(shí)，直線PE與平面PBC所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值時(shí)線段DE的長(zhǎng)．

答案解析1.【答案】C

【解析】解：∵z=2i1?i=2i(1+i)(1+i)(1?i)=?1+i，

∴z的虛部為1．

故選：2.【答案】B

【解析】解：由題當(dāng)a⊥b時(shí)，a?b=?2×1+m(1+m)=?2+m+m2=0，解得m=?2或m=1，

故“a⊥b”是“m=1”的必要不充分條件．

故選：3.【答案】B

【解析】解：2個(gè)紅球，設(shè)為A，B；2個(gè)白球，設(shè)為a，b.從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，

有{A,B}，{A,a}，{A,b}，{B,A}，{B,a}，{B,b}，{a,A}，{a,B}，{a,b}，{b,A}，{b,B}，{b,a}，共12種．

兩次都摸到紅球的情況為{A,B}，{B,A}，共2種．則概率P=212=16．

故選：B4.【答案】A

【解析】【分析】本題考查平面向量共線定理與三點(diǎn)共線問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)條件即可得出AH=2λAB+2μAC，然后根據(jù)B，H，C三點(diǎn)共線即可得出【解答】

解：∵M(jìn)為AH的中點(diǎn)，且AM=λAB+μAC，

∴AM=12AH=λAB+μAC，

∴AH=2λAB+2μAC，5.【答案】B

【解析】【分析】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

運(yùn)用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合線線的位置關(guān)系，判斷A，D；運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線線垂直，判斷B，C．【解答】解：若m/?/α，n/?/α，則m，n相交或平行或異面，故A錯(cuò)誤；

若m⊥α，n?α，則m⊥n，故B正確；

若m⊥α，m⊥n，則n/?/α或n?α，故C錯(cuò)誤；

若m/?/α，m⊥n，則n/?/α或n?α或n⊥α或n與α相交，故D錯(cuò)誤．

故選：B．6.【答案】C

【解析】【分析】此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，屬于一般題．

已知第二個(gè)等式利用正弦定理化簡(jiǎn)用b表示出c，代入第一個(gè)等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，將表示出的a與c代入求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)．【解答】

解：已知等式sinC=3sinB，由正弦定理化簡(jiǎn)得：c=3b，

代入a2?b2=3bc得：a2?b7.【答案】C

【解析】解：斜二測(cè)法的“三變”“三不變”得到直三棱柱的底面平面圖，如圖，

其中OA=2OB=2OC=2，

∴AB=AC=5，

∴此三棱柱的表面積為S=2×12×2×2+(2+25)×2=8+458.【答案】C

【解析】解：對(duì)于①，連接AC，PM，A1C1，如圖所示：

由M，P分別是C1D1，A1D1的中點(diǎn)，可得PM//A1C1//AC，

可得AP與CM共面，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，因?yàn)锳P?平面ACMP，M∈平面ACMP，M?AP，N?平面ACMP，

所以由異面直線的定義可得，AP與MN是異面直線，

則AP，MN，DD1不相交于一點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，由①知，過(guò)A，M，P的平面截正方體所得的圖形為四邊形ACMP，

而|PM|=12|AC|，故四邊形ACMP不是平行四邊形，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，如圖：

則過(guò)A，9.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，個(gè)體m被抽到的概率是550=0.1，故正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，1+2+m+6+7=4×5，∴m=4，

故S2=15×[(1?4)2+(2?4)2+(4?4)2+(6?4)2+(7?4)2]=5.2，

故錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C，∵8×70%=5.6，

∴數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是從小到大排序的第6個(gè)數(shù)，即為23，

故正確；

對(duì)于選項(xiàng)D，∵樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，

∴數(shù)據(jù)2x110.【答案】BD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，因?yàn)镻(A+B)=P(A)+P(B)?P(AB)，則P(A)=13，P(B)=45，P(A+B)=1315，

則有P(AB)=P(A)+P(B)?P(A+B)=13+45?1315=415，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，所以P(AB)=P(A)P(B)=415，所以B正確；

對(duì)于C，因?yàn)槭录嗀與C互斥，故P(AC)=0，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，P(AC?)=P(A)?P(AC)=111.【答案】BD

【解析】解：棱長(zhǎng)為2的正四面體P?ABC的外接球與棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球半徑相同，

設(shè)外接球的半徑為R，則2R=12+12+12=3，可得S=4πR2=3π，故A錯(cuò)誤；

設(shè)正四面體P?ABC內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離分別為d1，d2，d3，d4，

設(shè)正四面體P?ABC的高為d，

又S△ABC=S△ABP=S△APC=S△PBC=12×2×2×sin60°=32，

由等體積法可得13S(d1+d2+d3+d4)=13Sd，(S=S△ABC=S△ABP=S△APC=S△PBC)，

可得d1+d2+d3+d4=d為定值，故B正確；

如圖所示，設(shè)BC中點(diǎn)為D，連接PD，AD，則AD⊥BC，PD⊥BC，

故∠PDA為所求二面角的平面角，AP=2，PD=AD=62，

由余弦定理得cos∠PDA=AD2+PD2?AP22AD?PD=(62)2+(6212.【答案】(?1【解析】j解：由b在a上的投影向量為a?b|a|?a|a|=?2+1213.【答案】90

【解析】解：由題意，在Rt△ABC中，AC=ABsin30°=90，

在△ACM中，∠CAM=30°+15°=45°，∠ACM=180?45°?30°=105°，

可得∠AMC=30°，

由正弦定理ACsin∠AMC=MCsin∠CAM，得CM=ACsin30°?sin45°=902，

又在Rt△CMN中，MN=MC?sin45°=902×2214.【答案】6【解析】解：由題意設(shè)PA⊥AB，PA⊥AC，BC⊥AC，BC⊥PC，

取PB的中點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥PB交PC于點(diǎn)N，連接MN，AM，AN，如圖所示：

因?yàn)镻A=AB，PA⊥AB，點(diǎn)M是等腰直角三角形PAB斜邊PB上的中點(diǎn)，

所以AM⊥PB，

又因?yàn)镸N⊥PB，AM?平面PAB，MN?平面PBC，平面PBC∩平面PAB=PB，

所以二面角A?PB?C的平面角為θ就是∠AMN，

設(shè)AC=BC=1，則PA=AB=2，PB=2，PC=3，PM=AM=12PB=1，

所以∠BPC=30°，則MN=33，PN=233，

又cos∠APN=23=63，

所以AN2=2+43?2×2×233×6315.【答案】解：(1)因?yàn)?c+b?2acosB=0，由正弦定理可知：2sinC+sinB?2sinAcosB=0，

由C=π?A?B，故sinC=sin(π?A?B)=sin(A+B)，

所以2sin(A+B)+sinB?2sinAcosB=0，2cosAsinB+sinB=0(B∈(0,π)，sinB≠0)，

所以cosA=?12，又A∈(0,π)，所以A=23π；

(2)根據(jù)數(shù)量積的定義，由BA?AC=32，

得cbcosπ3=32?bc=3，又a=2【解析】(1)根據(jù)邊角轉(zhuǎn)化，將題干條件均化成角，結(jié)合誘導(dǎo)公式，三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)求值；

(2)利用AD=12AB+16.【答案】證明見解析；

證明見解析．

【解析】證明：(1)在四棱錐C?ABED中，四邊形ABED是正方形，點(diǎn)G，F(xiàn)分別是線段EC，BD的中點(diǎn)，

連接AE必與BD相交于中點(diǎn)F，

∴GF/?/AC，

∵GF?面ABC，AC?平面ABC，

∴GF/?/面ABC，得證；

(2)由點(diǎn)G，H分別為CE，CB中點(diǎn)，可得：GH/?/EB/?/AD，

∵GH?面ACD，AD?平面ACD，

∴GH/?/平面ACD，

又∵由(1)可知GF/?/平面ACD，

且GH∩GF=G，GH，GF?平面GFH，

∴平面GFH/?/平面ACD，得證．

(1)利用線面平行的判定定理證明；

(2)利用面面平行的判定定理證明．

本題考查了線面平行的判定以及面面平行的判定，考查了空間想象能力，屬于中檔題．17.【答案】解：(1)依題意，樣本空間為Ω={物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政}，n(Ω)=12，

記事件A=“所選組合符合該大學(xué)某專業(yè)報(bào)考條件”，則A={物化生，物化地，物化政，物生地，物生政}，n(A)=5，所以P(A)=n(A)n(Ω)=512．

(2)記事件M1=“甲符合該大學(xué)某專業(yè)報(bào)考條件”，

事件M2=“乙符合該大學(xué)某專業(yè)報(bào)考條件”，

事件M=“甲、乙兩人中至少有一人符合該大學(xué)某專業(yè)報(bào)考條件”，

由【解析】(1)根據(jù)古典概型相關(guān)知識(shí)可解；

(2)根據(jù)相互獨(dú)立事件相關(guān)知識(shí)可解．

本題考查古典概型和相互獨(dú)立事件相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．18.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可得(0.005+0.02+a+0.025+0.015)×10=1，

解得a=0.035，

甲高中學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間的眾數(shù)是30+402=35．

(2)x乙?=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.2+45×0.15+55×0.05=27.5，

s乙2=(5?27.5)2×0.1+(15?27.5)2×0.2+(25?27.5)2×0.3+(35?27.5)2×0.2+(45?27.5)2×0.15+(55?27.5)2【解析】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，方差、標(biāo)準(zhǔn)差，分層隨機(jī)抽樣的方差，分層隨機(jī)抽樣的樣本均值，屬于中檔題．

(1)利用頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為1可求得a的值，根據(jù)頻率分布直方圖可計(jì)算得出甲高中學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間