廣東汕頭一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在集合論中，集合A包含于集合B，記作______。

A.A=B

B.A?B

C.A?B

D.A?B

2.函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像是一條拋物線，當(dāng)______時(shí)，拋物線開(kāi)口向上。

A.a>0

B.a<0

C.b>0

D.b<0

3.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在區(qū)間[a,b]上______。

A.必有最大值和最小值

B.必有最大值，但未必有最小值

C.未必有最大值，但必有最小值

D.未必有最大值，也未必有最小值

4.極限lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(5x^2+4x-3)的值為_(kāi)_____。

A.0

B.1/5

C.3/5

D.∞

5.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,b)到原點(diǎn)的距離為_(kāi)_____。

A.a+b

B.√(a^2+b^2)

C.|a|+|b|

D.a^2+b^2

6.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a，公差為d，則第n項(xiàng)an的表達(dá)式為_(kāi)_____。

A.a+nd

B.a-nd

C.a+(n-1)d

D.a-(n-1)d

7.在三角函數(shù)中，sin(π/2-θ)等于______。

A.sinθ

B.-sinθ

C.cosθ

D.-cosθ

8.已知圓的方程為(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，則圓心坐標(biāo)為_(kāi)_____。

A.(h,k)

B.(-h,-k)

C.(h,-k)

D.(-h,k)

9.在概率論中，事件A和事件B互斥，則P(A∪B)等于______。

A.P(A)+P(B)

B.P(A)-P(B)

C.P(A)×P(B)

D.1-P(A)-P(B)

10.已知矩陣A為2×2矩陣，且|A|=2，則矩陣A的逆矩陣A^-1的行列式|A^-1|等于______。

A.1/2

B.2

C.1/4

D.4

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有______。

A.y=2x+1

B.y=x^2

C.y=e^x

D.y=log(x)

2.在空間幾何中，下列命題正確的有______。

A.過(guò)一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面垂直于已知直線

B.兩條平行直線一定共面

C.三條平行線一定共面

D.過(guò)一點(diǎn)有且僅有一個(gè)直線平行于已知平面

3.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且可導(dǎo)，如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)f'(x)>0，則______。

A.f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增

B.f(x)在區(qū)間(a,b)上取得最小值

C.f(x)在區(qū)間[a,b]上取得最大值

D.f(x)在區(qū)間(a,b)上沒(méi)有極值點(diǎn)

4.在線性代數(shù)中，下列關(guān)于矩陣的說(shuō)法正確的有______。

A.如果矩陣A可逆，則|A|≠0

B.如果矩陣A和矩陣B都是可逆矩陣，則AB也可逆

C.如果矩陣A和矩陣B都是可逆矩陣，則A+B也可逆

D.如果矩陣A的秩為n，則A是可逆矩陣

5.在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，下列關(guān)于隨機(jī)變量的說(shuō)法正確的有______。

A.設(shè)X是隨機(jī)變量，若E(X)=0，則X是退化分布

B.設(shè)X是隨機(jī)變量，若D(X)=0，則X是常數(shù)

C.設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若COV(X,Y)=0，則X和Y不相關(guān)

D.設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若X和Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax^3-3x+1在x=1處取得極值，則a的值為_(kāi)_____。

2.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(3,π/3)的直角坐標(biāo)為_(kāi)_____。

3.已知向量a=(1,2,-1)，向量b=(2,-1,1)，則向量a與向量b的夾角的余弦值為_(kāi)_____。

4.設(shè)事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且P(A∪B)=0.8，則事件A和事件B的獨(dú)立性是______。

5.已知某隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，且P(X≤μ)=0.5，則μ的值為_(kāi)_____。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2。

2.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

3.求解線性方程組：

\[

\begin{cases}

2x+y-z=1\\

x-y+2z=2\\

x+y+z=3

\end{cases}

\]

4.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求函數(shù)的極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的極值。

5.計(jì)算二重積分?_D(x^2+y^2)dA，其中區(qū)域D由直線y=x和y=x^2圍成。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C.A?B

解析：集合論中，A包含于B表示A是B的子集。

2.A.a>0

解析：二次函數(shù)的開(kāi)口方向由二次項(xiàng)系數(shù)a決定，a>0時(shí)開(kāi)口向上。

3.A.必有最大值和最小值

解析：根據(jù)極值定理，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值。

4.B.1/5

解析：分子分母同除以x^2，極限為系數(shù)之比。

5.B.√(a^2+b^2)

解析：點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。

6.C.a+(n-1)d

解析：等差數(shù)列通項(xiàng)公式。

7.C.cosθ

解析：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式。

8.A.(h,k)

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中(h,k)為圓心坐標(biāo)。

9.A.P(A)+P(B)

解析：互斥事件概率加法公式。

10.A.1/2

解析：逆矩陣行列式性質(zhì)|A^-1|=1/|A|。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A.y=2x+1,C.y=e^x

解析：一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增。

2.A.過(guò)一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面垂直于已知直線

解析：直線與平面垂直的判定定理。

3.A.f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增

解析：導(dǎo)數(shù)大于零則函數(shù)單調(diào)遞增。

4.A.如果矩陣A可逆，則|A|≠0

解析：可逆矩陣的必要條件是行列式不為零。

5.B.設(shè)X是隨機(jī)變量，若D(X)=0，則X是常數(shù)

解析：方差為零的隨機(jī)變量是常數(shù)。

C.設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若COV(X,Y)=0，則X和Y不相關(guān)

解析：協(xié)方差為零則不相關(guān)。

D.設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若X和Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)

解析：獨(dú)立隨機(jī)變量期望乘積性質(zhì)。

三、填空題答案及解析

1.-3

解析：f'(x)=3ax^2-3，f'(1)=0得a=1，代入f'(x)=6x-3，f'(1)=3≠0，故a=-3。

2.(√3,3)

解析：x=3cos(π/3)=3×1/2=3/2，y=3sin(π/3)=3√3/2。

3.1/3

解析：cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(1×2+2×(-1)-1×1)/(√6×√6)=-1/6。

4.不獨(dú)立

解析：P(B|A)=P(A∪B)/P(A)=0.8/0.6=4/3>0.7，故不獨(dú)立。

5.任何實(shí)數(shù)

解析：正態(tài)分布關(guān)于均值對(duì)稱，P(X≤μ)=0.5，故μ可以是任何實(shí)數(shù)。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：原式=lim(x→0)[1+x+x^2/2!+o(x^2)-1-x]/x^2

=lim(x→0)(x^2/2+o(x^2))/x^2

=lim(x→0)(1/2+o(1)/x^2)=1/2

2.解：原式=∫[(x^2+x)+(x+3)]/(x+1)dx

=∫(x+3)dx+∫1dx

=(x^2/2+3x+x+C=x^2/2+4x+C

3.解：增廣矩陣為(21-1|1)

(1-12|2)

(111|3)

初等行變換為(111|3)

(0-21|-1)

(0-11|1)

解得x=1,y=0,z=1。

4.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，駐點(diǎn)x=0,2

f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，極小值f(0)=2

f''(2)=6>0，極小值f(2)=-2

5.解：原式=∫_0^1∫_{x^2}^x(x^2+y^2)dydx

=∫_0^1[x^2y+y^3/3]_{x^2}^xdx

=∫_0^1(x^3-x^5+1/3-x^6/3)dx

=(x^4/4-x^6/6+x/3-x^7/21)|_0^1=11/42

知識(shí)點(diǎn)分類總結(jié)

1.函數(shù)與極限

-函數(shù)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性

-極限計(jì)算：洛必達(dá)法則、等價(jià)無(wú)窮小、夾逼定理

-連續(xù)性：閉區(qū)間最值定理

2.一元函數(shù)微分學(xué)

-導(dǎo)數(shù)計(jì)算：基本公式、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)

-微分中值定理：羅爾、拉格朗日、柯西

-函數(shù)性態(tài)：?jiǎn)握{(diào)性、極值、最值、凹凸性

3.一元函數(shù)積分學(xué)

-不定積分：基本公式、換元、分部

-定積分：計(jì)算、幾何意義、物理應(yīng)用

-積分技巧：有理函數(shù)分解、三角換元

4.空間解析幾何與向量代數(shù)

-向量運(yùn)算：線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積

-平面與直線：方程、位置關(guān)系

-曲面與二次曲面：方程與圖形

5.線性代數(shù)

-行列式：性質(zhì)、計(jì)算、應(yīng)用

-矩陣：運(yùn)算、秩、逆矩陣

-線性方程組：求解、判定

6.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

-基礎(chǔ)概念：隨機(jī)事件、概率

-隨機(jī)變量：分布、期望、方差

-多維隨機(jī)變量：獨(dú)立性、協(xié)方差

-常用分布：二項(xiàng)、正態(tài)、泊松

題型考察知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

1.選擇題

-考察基礎(chǔ)概念與性質(zhì)

-示例：向量運(yùn)算中數(shù)量積與向量積的區(qū)別

-題目設(shè)計(jì)：多概念交叉選擇題