第1章§4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.結(jié)合教材實(shí)例了解利率、利息、存款、分期付款等問題與數(shù)列的關(guān)系.2.能利用等差、等比數(shù)列知識(shí)解決與數(shù)列有關(guān)的問題.3.能利用等差、等比數(shù)列知識(shí)解決與數(shù)列相關(guān)的綜合性問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)

數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用1.銀行存款計(jì)息方式(1)單利:單利的計(jì)算是僅在

上計(jì)算利息,對(duì)本金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算利息,其公式為

利息=本金×利率×存期.以符號(hào)P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金與利息和(簡(jiǎn)稱本利和),則有S=

.

(2)復(fù)利:復(fù)利是指一筆資金除本金產(chǎn)生利息外,在下一個(gè)計(jì)息周期內(nèi),以前

產(chǎn)生的利息也計(jì)算利息的計(jì)息方法,復(fù)利的計(jì)算公式是S=

.

原有本金

P(1+nr)各計(jì)息周期內(nèi)

P(1+r)n2.幾種存款模型(1)零存整取模型:每月定時(shí)存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金,這是零存;到約定日期,可以取出全部本利和,這是整取.規(guī)定每次存入的錢不計(jì)復(fù)利,若每月存入金額為x元,月利率r保持不變,存期為n個(gè)月,那么到期整取時(shí)本利和為(2)定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存模型:儲(chǔ)戶某日存入一筆1年期定期存款,1年后,如果儲(chǔ)戶不取出本利和,則銀行按存款到期時(shí)的一年期定期存款利率自動(dòng)辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù),第2年的本金就是第1年的本利和.如果儲(chǔ)戶存入定期為1年的P元存款,定期年利率為r,連存n年后,那么儲(chǔ)戶所得本利和為Q=

.

P(1+r)n3.分期付款模型分期付款中,一般規(guī)定每次付款額相同,每期付款的時(shí)間間隔相同,每月利息按

計(jì)算,各期所付的款額連同到最后一次付款時(shí)所產(chǎn)生的利息和等于商品售價(jià)及從購買到最后一次付款的利息和.

復(fù)利

思考辨析分期付款購買售價(jià)為a元的商品,分n次經(jīng)過m個(gè)月還清貸款,每月還款x元,月利率為p,則每次應(yīng)還款多少元?提示

商品售價(jià)及從購買到最后一次付款的利息和為a(1+p)m.各期所付的款額連同到最后一次付款時(shí)所產(chǎn)生的利息和為自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)銀行存款的計(jì)息方式有單利和復(fù)利兩種.(

)(2)單利計(jì)息方式是以等差數(shù)列為數(shù)學(xué)模型計(jì)算的.(

)(3)復(fù)利的計(jì)息方式是以等比數(shù)列為數(shù)學(xué)模型計(jì)算的.(

)√√√2.按復(fù)利計(jì)算,存入一筆5萬元的三年定期存款,年利率為4%,則3年后支取可獲得利息為(

)A.(5×0.04)3萬元B.5×(1+0.04)3萬元C.3×(5×0.04)萬元D.[5×(1+0.04)3-5]萬元D解析

3年后的本利和為5×(1+0.04)3萬元,利息為[5×(1+0.04)3-5]萬元.3.某彩電價(jià)格在去年6月份降價(jià)10%之后經(jīng)10,11,12三個(gè)月連續(xù)三次回升到6月份降價(jià)前的水平,則這三次價(jià)格平均回升率是

.

解析

設(shè)6月份降價(jià)前的價(jià)格為a,三次價(jià)格平均回升率為x,則a·90%×(1+x)3=a,重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一單利與等差數(shù)列模型【例1】

(1)王先生為今年上高中的女兒辦理了“教育儲(chǔ)蓄”,已知當(dāng)年“教育儲(chǔ)蓄”存款的月利率是0.36%.①若每月存500元,則3年后,能一次支取本息多少元?②欲在3年后一次支取本息合計(jì)2萬元,王先生每月大約存入多少元?(精確到1元)解

①每月存500元,3年后的利息為500×(36×0.36%+35×0.36%+…+2×0.36%+1×0.36%)=1

198.8≈1

199(元),所以3年后的本息和為500×36+1

199=19

199(元).②設(shè)王先生每月存入x元,則有x(36+×0.36%)=20

000,x≈521元,故王先生每月大約存521元.(2)某工廠用分期付款的方式購買40套機(jī)器設(shè)備,共需1150萬元,購買當(dāng)天先付150萬元,以后每月這一天都交付50萬元,并加付欠款利息,月利率為1%,若交付150萬元后的第1個(gè)月開始算分期付款的第1個(gè)月,問分期付款的第10個(gè)月應(yīng)付多少錢?全部按期付清后,買這40套機(jī)器設(shè)備實(shí)際花了多少錢?解

因?yàn)橘徺I設(shè)備時(shí)已付150萬元,所以欠款為1

000萬元,依據(jù)題意,知其后應(yīng)分20次付款,則每次付款的數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列{an},且a1=50+1

000×1%=60,a2=50+(1

000-50)×1%=59.5,a3=50+(1

000-50×2)×1%=59,…,an=50+[1

000-50(n-1)]×1%=60-0.5(n-1)(1≤n≤20,n∈N+),所以數(shù)列{an}是以60為首項(xiàng),-0.5為公差的等差數(shù)列,所以a10=60-9×0.5=55.5,所以全部按期付清后,買這40套機(jī)器設(shè)備實(shí)際共花費(fèi)了1

105+150=1

255(萬元).故分期付款的第10個(gè)月應(yīng)付55.5萬元,全部按期付清后,買這40套機(jī)器設(shè)備實(shí)際花了1

255萬元.規(guī)律方法

“零存整取”是單利計(jì)息方式,解答關(guān)鍵是理解所有的利息和為等差數(shù)列求和問題.變式訓(xùn)練1某人從1月起每月第一天存入100元,到12月最后一天取出全部本金和利息,已知月利率是0.165%,按單利計(jì)息,那么實(shí)際取出多少錢?解

實(shí)際取出的錢=本金+利息.到12月最后一天取款時(shí):第1個(gè)月存款利息:100×12×0.165%,第2個(gè)月存款利息:100×11×0.165%,…第11個(gè)月存款利息:100×2×0.165%,第12個(gè)月存款利息:100×1×0.165%,所以S12=100×12×0.165%+100×11×0.165%+…+100×2×0.165%+100×1×0.165%=100×0.165%×(1+2+3+…+12)=100×0.165%×=12.87.所以實(shí)際取出100×12+12.87=1

212.87(元).探究點(diǎn)二復(fù)利與等比數(shù)列模型【例2】

某大學(xué)教授年初向銀行貸款20萬元用于購房,銀行貸款的年利息為10%,按復(fù)利計(jì)算(即本年的利息計(jì)入次年的本金生息).若這筆款要分10次等額還清,每年年初還一次,并且在貸款后次年年初開始?xì)w還,問每年應(yīng)還多少萬元?(參考數(shù)據(jù):1.110≈2.594)解

(方法一)設(shè)每年還款x萬元,需10年還清,那么每年還款情況如下:第10年還款x萬元,這次還款后欠款全部還清;第9年還款x萬元,過一年欠款全部還清時(shí),所付款連同利息之和為x(1+10%)萬元;第8年還款x萬元,過2年欠款全部還清時(shí),所付款連同利息之和為x(1+10%)2萬元;……第1年還款x萬元,過9年欠款全部還清時(shí),所付款連同利息之和為x(1+10%)9萬元.依題意得x+x(1+10%)+x(1+10%)2+…+x(1+10%)9=20(1+10%)10,解得x=≈3.255(萬元).即每年應(yīng)還3.255萬元.(方法二)第1次還款x萬元之后還欠銀行20×(1+10%)-x=20×1.1-x,第2次還款x萬元后還欠銀行[20×(1+10%)-x](1+10%)-x=20×1.12-1.1x-x,……第10次還款x萬元后,還欠銀行20×1.110-1.19x-1.18x-…-x,依題意得,第10次還款后,欠款全部還清,故可得20×1.110-(1.19+1.18+…+1)x=0,即每年應(yīng)還3.255萬元.規(guī)律方法

“定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存”是復(fù)利計(jì)息方式,是等比數(shù)列模型,在計(jì)算本息和時(shí)應(yīng)分清首項(xiàng)(本金)與公比(1與利率和).變式訓(xùn)練2程先生買了一套總價(jià)為80萬元的住房,首付30萬元,其余50萬元向銀行申請(qǐng)貸款,貸款月利率0.5%,從貸款后的第一個(gè)月后開始還款,每月還款數(shù)額相等,30年還清.問程先生每月應(yīng)還款

元(精確到0.01元).(參考數(shù)據(jù):1.005360≈6.0226)

(注:如果上個(gè)月欠銀行貸款a元,則一個(gè)月后,程先生應(yīng)還給銀行固定數(shù)額x元,此時(shí)貸款余額為a(1+0.5)%-x元)

2997.75

解析

設(shè)程先生在第n個(gè)月還款后還欠銀行貸款an萬元,每月固定還款x萬元,則an=an-1(1+0.5%)-x,a0=50,設(shè)an+k=1.005(an-1+k),即an=1.005an-1+0.005k,所以0.005k=-x,即k=-200x,{an-200x}是公比為1.005的等比數(shù)列,即an-200x=(a0-200x)·1.005n.由a360=0得0-200x=(50-200x)·1.005360.解得x≈0.299

775,即每月還款2

997.75元.探究點(diǎn)三分期付款模型【例3】

某人原計(jì)劃攢夠錢了再買房,但房?jī)r(jià)飛漲,只好選擇向銀行貸款買房,他準(zhǔn)備向銀行貸款100萬元,20年還清,償還貸款的方式為:分20次等額歸還,每年還一次,若20年期貸款的年利率為6%,且年利息均按復(fù)利計(jì)算,那么此人每年應(yīng)還多少元?(計(jì)算結(jié)果精確到1元)(參考數(shù)據(jù):1.0619≈3.0256,1.0620≈3.2071,1.0621≈3.3996)解

設(shè)每年還款x元,則第1次償還的x元,在貸款全部付清時(shí)的價(jià)值為x(1+6%)19,第2次償還的x元,在貸款全部付清時(shí)的價(jià)值為x(1+6%)18,…,第19次償還的x元,在貸款全部付清時(shí)的價(jià)值為x(1+6%);第20次償還的x元,在貸款全部付清時(shí)的價(jià)值為x元,于是還款的本利和為規(guī)律方法

分期付款問題突破的關(guān)鍵

變式訓(xùn)練3小王在2018年初向銀行貸款50萬元用于購房,銀行貸款的年利率為4%,按復(fù)利計(jì)算,要求從貸款開始到2027年底分10年還清,每年年底等額歸還且每年1次,每年至少要還多少錢(保留兩位小數(shù))?(提示:(1+4%)10≈1.48)解

(方法一)設(shè)每年還x萬元,第n年年底欠款為an,則2018年底:a1=50×(1+4%)-x,2019年底:a2=a1(1+4%)-x=50×(1+4%)2-(1+4%)·x-x,……2027年底:a10=a9(1+4%)-x=50×(1+4%)10-(1+4%)9·x-…-(1+4%)·x-x即每年至少要還6.17萬元.(方法二)50萬元10年產(chǎn)生本息和與每年存入x萬元的本息和相等,故有購房款50萬元10年的本息和:50×(1+4%)10,本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)單利與等差數(shù)列模型.(2)復(fù)利與等比數(shù)列模型.(3)分期付款模型.2.方法歸納:數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模.3.常見誤區(qū):不能正確地建立數(shù)列模型;分不清求數(shù)列中的項(xiàng)還是求和.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.某工廠去年產(chǎn)值為a,計(jì)劃今后5年內(nèi)每年比上年產(chǎn)值增加10%,則從今年起到第5年,這個(gè)廠的總產(chǎn)值為(

)A.1.14a

B.11×(1.15-1)aC.1.15a

D.10×(1.16-1)aB123452.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,其中有這樣一個(gè)問題:“某賈人擅營,月入益功疾(意思是:某商人善于經(jīng)營,從第2個(gè)月開始,每月比前一月多入相同量的銅錢),3月份入25貫,全年(按12個(gè)月計(jì))共入510貫”,則該人1月份的入貫數(shù)為(

)A.5 B.10 C.12 D.15D解析

設(shè)每個(gè)月的收入為等差數(shù)列{an},公差為d.則a3=25,S12=510.∴a1+2d=25,12a1+d=510.解得a1=15,d=5.故1月份的入貫數(shù)為15.123453.某公司今年獲利5000萬元,如果以后每年的利潤(rùn)都比上一年增加10%,那么總利潤(rùn)達(dá)3億元時(shí)大約還需要(

)(參考數(shù)據(jù):lg1.01≈0.004,lg1.06≈0.025,lg1.1≈0.04,lg1.6≈0.20)A.4年

B.7年

C.12年

D.50年A解析

根據(jù)題意,每年的利潤(rùn)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列{an},其中首項(xiàng)a1=5

000,公比q=1+10%=1.1,Sn=30

000,于是得到

=30

000,整理,得1.1n=1.6,兩邊取對(duì)數(shù),得nlg

1.1=lg

1.6,123454.小王每月除去所有日常開支,大約結(jié)余a元.小王決定采用零存整取的方式把余錢積蓄起來,每月初存入銀行a元,存期1年(存12次),到期取出本金和利息.假設(shè)一年期零存整取的月利率為r,