第六章3.1離散型隨機(jī)變量的均值基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過實(shí)例,理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì).2.會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值,并能解決實(shí)際問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)

離散型隨機(jī)變量的均值1.定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示:Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望).求均值的關(guān)鍵是能正確地求出隨機(jī)變量的分布列2.意義均值EX刻畫的是X取值的“中心位置”,反映了離散型隨機(jī)變量X取值的平均水平,是隨機(jī)變量X的一個重要特征.名師點(diǎn)睛對離散型隨機(jī)變量的均值的理解(1)均值是算術(shù)平均值概念的推廣,是概率意義下的平均數(shù).(2)離散型隨機(jī)變量的均值EX是一個數(shù)值,是隨機(jī)變量X本身固有的一個數(shù)字特征,它不具有隨機(jī)性,反映的是隨機(jī)變量取值的平均水平.(3)由離散型隨機(jī)變量的均值的定義可知,它與離散型隨機(jī)變量有相同的單位.(4)若Y=aX+b(a,b是常數(shù)),X是隨機(jī)變量,則Y也是隨機(jī)變量,它們的分布列為Xx1x2…xn…Yax1+bax2+b…axn+b…Pp1p2…pn…于是EY=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn+…=a(x1p1+x2p2+…+xnpn+…)+b(p1+p2+…+pn+…)=aEX+b,由此,我們得到了期望的一個性質(zhì):E(aX+b)=aEX+b.思考辨析某商場為滿足市場需求要將單價分別為18元/kg、24元/kg、36元/kg的3種糖果按3∶2∶1的比例混合銷售,其中混合糖果中每一顆糖果的質(zhì)量都相等,如何對混合糖果定價才合理?假如從這種混合糖果中隨機(jī)選取一顆,記ξ為這顆糖果的單價(元/kg),你能寫出ξ的分布列嗎?自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)隨機(jī)變量X的均值EX是個變量,其隨X的變化而變化.(

)(2)隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值相同.(

)(3)若隨機(jī)變量X的均值EX=2,則E(2X)=4.(

)(4)對于結(jié)論E(aX+b)=aEX+b,當(dāng)a=0時,Eb=b,即常數(shù)的均值就是這個常數(shù)本身.(

)××√√2.設(shè)ξ的分布列為

ξ1234P

又設(shè)η=2ξ+5,則Eη等于(

)D3.[人教A版教材習(xí)題]拋擲一枚硬幣,規(guī)定正面向上得1分,反面向上得-1分,求得分X的均值.解

X的分布列為

X-11P0.50.5所求均值為EX=-1×0.5+1×0.5

=0.4.[人教A版教材習(xí)題]甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同一種零件,它們生產(chǎn)的產(chǎn)量相同,在1h內(nèi)生產(chǎn)出的次品數(shù)分別為X1,X2,其分布列分別為甲機(jī)床次品數(shù)的分布列X10123P0.40.30.20.1乙機(jī)床次品數(shù)的分布列

X2012P0.30.50.2哪臺機(jī)床更好?請解釋你所得出結(jié)論的實(shí)際含義.

解

甲機(jī)床的平均次品數(shù)EX1=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,乙機(jī)床的平均次品數(shù)EX2=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9.由EX1=1,EX2=0.9可知,在1

h內(nèi),甲機(jī)床平均生產(chǎn)1個次品,乙機(jī)床平均生產(chǎn)0.9個次品,因此乙機(jī)床更好.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一求離散型隨機(jī)變量的均值★(2)[2021新高考Ⅰ,18]某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽,有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答,若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答,無論回答正確與否,該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分,否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).①若小明先回答A類問題,記X為小明的累計得分,求X的分布列;②為使累計得分的期望最大,小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.規(guī)律方法

求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟

變式訓(xùn)練1(1)口袋中有編號分別為1,2,3的三個大小和形狀相同的小球,從中任取2個,則取出的球的最大編號X的期望為

.

★(2)盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池,其中混有2節(jié)廢電池.現(xiàn)在不放回地每次取1節(jié)電池檢驗(yàn),直到取到好電池為止,求抽取次數(shù)X的分布列及均值.探究點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)【例2】

已知隨機(jī)變量X的分布列為

若Y=-2X,則EY=

.

變式探究本例條件不變,若ξ=aX+3,且Eξ=-,求a的值.規(guī)律方法

若給出的隨機(jī)變量ξ與X的關(guān)系為ξ=aX+b,a,b為常數(shù).一般思路是先求出EX,再利用公式E(aX+b)=aEX+b求Eξ.也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,關(guān)鍵由X的取值計算ξ的取值,對應(yīng)的概率相等,再由定義法求得Eξ.變式訓(xùn)練2已知隨機(jī)變量ξ和η,其中η=12ξ+7,且Eη=34,若ξ的分布列如下表,則m的值為(

)A探究點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量均值的實(shí)際應(yīng)用【例2】

已知隨機(jī)變量X的分布列為

若Y=-2X,則EY=

.

規(guī)律方法

1.實(shí)際問題中的期望問題期望在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用,如對體育比賽的成績預(yù)測,消費(fèi)預(yù)測,工程方案的預(yù)測,產(chǎn)品合格率的預(yù)測,投資收益的預(yù)測等方面,都可以通過隨機(jī)變量的期望來進(jìn)行估計.2.概率模型的三個解答步驟(1)審題,確定實(shí)際問題是哪一種概率模型,可能用到的事件類型,所用的公式有哪些.(2)確定隨機(jī)變量的分布列,計算隨機(jī)變量的期望.(3)對照實(shí)際意義,回答概率、均值等所表示的結(jié)論.變式訓(xùn)練3節(jié)日期間,某種鮮花進(jìn)貨價是每束2.5元,銷售價每束5元;節(jié)日賣不出去的鮮花以每束1.6元價格處理.根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測,節(jié)日期間這種鮮花的需求量X(單位:束)服從如下表所示的分布:X200300400500P0.200.350.300.15若進(jìn)這種鮮花500束,則利潤的均值為

.

706

解析

由分布列可以得到EX=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340(束),則利潤是(340×5+160×1.6)-500×2.5=706(元).學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123451.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為

則X的數(shù)學(xué)期望EX=(

)A123452.已知隨機(jī)變量ξ和η,其中η=10ξ+2,且Eη=20,若ξ的分布列如下表,則m的值為(

)A12345123452123454.利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決策.自然狀況方案盈利(單位:萬元)概率A1A2A3A4S10.255070-2098S20.3065265282S30.45261678-10應(yīng)選擇的方案是

.

A3解析

A1的均值為50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7,A2的均值為70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5,A3的均值為-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7,A4的均值為98×0.25+82×0.30