2023-2024學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．已知直角三角形中30°角所對的直角邊為2cm，則斜邊的長為（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2．如圖，圓O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB=90°，∠A=25°，過點(diǎn)C作圓O的切線，交AB的延長線于點(diǎn)D，則∠D的度數(shù)是（）A．25° B．40° C．50° D．65°3．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有兩個相等的實數(shù)根，則銳角α等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°4．下列計算正確的是（）A．； B．； C．； D．．5．sin30°的值為（）A． B． C． D．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA的值是（）A． B． C． D．7．如圖，下面圖形及各個選項均是由邊長為1的小方格組成的網(wǎng)格，三角形的頂點(diǎn)均在小方格的頂點(diǎn)上，下列四個選項中哪一個陰影部分的三角形與已知相似．（）A． B． C． D．8．將拋物線y＝向左平移2個單位后，得到的新拋物線的解析式是（）A． B．y＝C．y＝ D．y＝9．將0.000102用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．10．如圖，平行于x軸的直線與函數(shù)y1＝（a＞1，x＞1），y2＝（b＞1．x＞1）的圖象分別相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，在X軸上取一點(diǎn)C，使得△ABC的面積為3，則a﹣b的值為（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣311．某班7名女生的體重（單位：kg）分別是35、37、38、40、42、42、74，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）A．74 B．44 C．42 D．4012．下列方程是一元二次方程的是（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．在中，，,，則的長是__________．14．形狀與拋物線相同，對稱軸是直線，且過點(diǎn)的拋物線的解析式是________．15．如圖，將沿方向平移得到，與重疊部分（即圖中陰影部分）的面積是面積的，若，則平移的距離是__________．，16．如圖，為的直徑，則_______________________．17．2019年12月6日，某市舉行了2020年商品訂貨交流會，參加會議的每兩家公司之間都簽訂了一份合同，所有參會公司共簽訂了28份合同，則共有_____家公司參加了這次會議．18．如圖，△OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，)，B的坐標(biāo)為(4，0)；把△OAB沿x軸向右平移得到△CDE，如果D的坐標(biāo)為(6，)，那么OE的長為_____．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)(k＞0)的圖像交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A做x軸的垂線，垂足為M，△AOM面積為1.（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）在y軸上求一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P點(diǎn)坐標(biāo).20．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，AB∶BD＝.(1)求tan∠DAC的值.(2)若BD＝4，求S△ABC.21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從B出發(fā)，沿BC方向，以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)Q從A出發(fā)，沿AB方向，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動；若兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（t＞0），△BPQ的面積為S（cm2）．（1）t＝2秒時，則點(diǎn)P到AB的距離是cm，S＝cm2；（2）t為何值時，PQ⊥AB；（3）t為何值時，△BPQ是以BP為底邊的等腰三角形；（4）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值．22．（10分）在一個不透明的袋子里有1個紅球，1個黃球和個白球，它們除顏色外其余都相同，從這個袋子里摸出一個球，記錄其顏色，然后放回，搖均勻后，重復(fù)該試驗，經(jīng)過大量試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定于0.5左右，求的值.23．（10分）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3），拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若P是直線BC下方拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，設(shè)F為y軸一動點(diǎn)，當(dāng)線段PM長度最大時，求PH+HF+CF的最小值；（3）在第（2）問中，當(dāng)PH+HF+CF取得最小值時，將△OHF繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60°后得到△OH′F′，過點(diǎn)F′作OF′的垂線與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)R為拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)S，使得點(diǎn)D、Q、R、S為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)S的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．24．（10分）如圖，已知Rt△ABO，點(diǎn)B在軸上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過OA的中點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求△OCD的面積；（3）點(diǎn)P是軸上的一個動點(diǎn)，請直接寫出使△OCP為直角三角形的點(diǎn)P坐標(biāo).25．（12分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣4）和（﹣1，0）．（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）x在什么范圍內(nèi)，y隨x增大而減小？該函數(shù)有最大值還是有最小值？求出這個最值．26．如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點(diǎn)O，⊙O與AC相切于點(diǎn)D，BE⊥AB交AC的延長線于點(diǎn)E，與⊙O相交于G，F(xiàn)兩點(diǎn)．(1)求證：AB與⊙O相切；(2)若AB＝4，求線段GF的長．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【詳解】由題意可知，在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，所以斜邊=2×2=4cm.考點(diǎn)：含30°的直角三角形的性質(zhì).2、B【分析】首先連接OC，由∠A=25°，可求得∠BOC的度數(shù)，由CD是圓O的切線，可得OC⊥CD，繼而求得答案．【詳解】連接OC，∵圓O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB=90°，∴AB是直徑，∵∠A=25°，∴∠BOC=2∠A=50°，∵CD是圓O的切線，∴OC⊥CD，∴∠D=90°-∠BOC=40°．故選B．3、B【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴△=，解得：sinα=，∵α為銳角，∴α=30°．故選B．4、B【解析】分析：分別根據(jù)次根式的加減運(yùn)算法則以及合并同類項的法則、冪的乘方與積的乘方法則及同底數(shù)冪的除法法則對各選項進(jìn)行逐一判斷即可．詳解：A.與不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；B.，故本選項正確；C.，故本選項錯誤；D.，故本選項錯誤.故選：B.點(diǎn)睛：此題考查了二次根式的加減運(yùn)算以及合并同類項、積的乘方運(yùn)算和同底數(shù)冪的除法法則運(yùn)算等知識，正確掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.5、C【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值求出答案．【詳解】解：sin30°＝故選C此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．6、B【解析】根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊，可得答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，

由勾股定理，得AB==5cosA==故選：B．本題考查銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．7、A【分析】本題主要應(yīng)用兩三角形相似判定定理，三邊對應(yīng)成比例，分別對各選項進(jìn)行分析即可得出答案．【詳解】解：已知給出的三角形的各邊分別為1、、，只有選項A的各邊為、2、與它的各邊對應(yīng)成比例．故選：A．本題考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．8、A【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，進(jìn)而得出平移后拋物線的解析式即可．【詳解】解：將拋物線y＝向左平移2個單位后，得到的新拋物線的解析式是：．故答案為A．本題考查了二次函數(shù)圖像的平移法則，即掌握“左加右減，上加下減”是解答本題的關(guān)鍵.9、A【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10?n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【詳解】解：0.000102=1.02×10?4，

故答案為：．本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10?n，其中1?|a|<10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．10、A【分析】△ABC的面積＝?AB?yA，先設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)（其y坐標(biāo)相同），然后計算相應(yīng)線段長度，用面積公式即可求解．【詳解】設(shè)A（，m），B（，m），則：△ABC的面積＝?AB?yA＝?（﹣）?m＝3，則a﹣b＝2．故選A．此題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，以及圖象上點(diǎn)的特點(diǎn)，求解函數(shù)問題的關(guān)鍵是要確定相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，通過設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出相應(yīng)線段長度即可求解問題．11、C【解析】試題分析：眾數(shù)是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，在這組數(shù)據(jù)中42出現(xiàn)次數(shù)最多，故選C.考點(diǎn)：眾數(shù).12、C【解析】試題解析：A、，沒有給出a的取值，所以A選項錯誤；B、不含有二次項，所以B選項錯誤；C、是一元二次方程，所以C選項正確；D、不是整式方程，所以D選項錯誤．故選C．考點(diǎn)：一元二次方程的定義．二、填空題（每題4分，共24分）13、1【分析】根據(jù)∠A的余弦值列出比例式即可求出AC的長．【詳解】解：在Rt△ABC中，，∴AC=故答案為1．此題考查是已知一個角的余弦值，求直角三角形的邊長，掌握余弦的定義是解決此題的關(guān)鍵．14、或．【分析】先從已知入手：由與拋物線形狀相同則相同，且經(jīng)過點(diǎn)，即把代入得，再根據(jù)對稱軸為可求出，即可寫出二次函數(shù)的解析式．【詳解】解：設(shè)所求的二次函數(shù)的解析式為：，與拋物線形狀相同，，，又∵圖象過點(diǎn)，∴，∵對稱軸是直線，∴，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，所求的二次函數(shù)的解析式為：或．本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的系數(shù)和圖象之間的關(guān)系．解答時注意拋物線形狀相同時要分兩種情況：①開口向下，②開口向上；即相等．15、【分析】與相交于點(diǎn)，因為平移，由此求出,從而求得【詳解】解：由沿方向平移得到,本題考查了平移的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì).16、60°【分析】連接AC，根據(jù)圓周角定理求出∠A的度數(shù)，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到∠ACB=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：連接AC，

由圓周角定理得，∠A=∠CDB=30°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠CBA=90°-∠A=60°，

故答案為：60°．本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半、直徑所對的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．17、1【分析】每家公司都與其他公司鑒定了一份合同，設(shè)有x家公司參加，則每個公司要簽份合同，簽訂合同共有份．【詳解】設(shè)共有x家公司參加了這次會議，根據(jù)題意，得：x(x﹣1)=21，整理，得：x2﹣x﹣56=0，解得：x1=1，x2=﹣7(不合題意，舍去)，答：共有1家公司參加了這次會議．故答案是：1．考查了一元二次方程的應(yīng)用，甲乙之間互簽合同，只能算一份，本題屬于不重復(fù)記數(shù)問題，類似于若干個人，每兩個人之間都握手，握手總次數(shù)．解答中注意舍去不符合題意的解．18、7【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到AD＝BE＝6﹣3＝3，由B的坐標(biāo)為（4，0），得到OB＝4，根據(jù)OE=OB+BE即可得答案．【詳解】∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，），把△OAB沿x軸向右平移得到△CDE，∴AD＝BE＝6﹣3＝3，∵B的坐標(biāo)為（4，0），∴OB＝4，∴OE＝OB+BE＝7，故答案為：7本題考查圖形平移的性質(zhì)，平移不改變圖形的形狀和大?。粓D形經(jīng)過平移，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段相等．三、解答題（共78分）19、（1）y=；（2）最小值即為，P（0，）.【解析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得出，進(jìn)而得到反比例函數(shù)的解析式；（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，得到最小時，點(diǎn)的位置，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出最小值的長；利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，得到它與軸的交點(diǎn)，即點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，面積為1，，，，故反比例函數(shù)的解析式為：；（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，則最?。?，解得，或，，，，最小值．設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，時，，點(diǎn)坐標(biāo)為．考查的是反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題以及最短路線問題，解題的關(guān)鍵是確定最小時，點(diǎn)的位置，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和圖象的解析式是解題的關(guān)鍵．20、(1)；(2).【分析】（1）過D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)相似三角形的判定易證△BDE∽△BAC，可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=CD，利用等量代換即可得到tan∠DAC的值；（2）先利用特殊角的三角形函數(shù)得到∠CAD=30°，進(jìn)而得到∠B=30°，根據(jù)直角三角形中30°角所對直角邊為斜邊的一半得到DE的長，進(jìn)而得到CD與AC的長，再利用三角形的面積公式求解即可.【詳解】解：（1）如圖，過D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，在△BDE與△BAC中，∠BED=∠C=90°，∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC，∴，∵AD是∠BAC的平分線，∴DE=CD，∴，∴tan∠DAC；（2）∵tan∠DAC，∴∠DAC=30°，∴∠BAC=2∠DAC=60°，∴∠B=90°﹣∠BAC=30°，∴DE=BD=2，∴CD=DE=2，∴BC=BD+CD=6，∵，∴，∴S△ABC=.本題主要考查銳角三角函數(shù)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握根據(jù)角平分線的性質(zhì)作出輔助線.21、（1），；（2）；（3）；（4）S＝﹣t2+3t，S的最大值為．【分析】（1）作PH⊥AB于H，根據(jù)勾股定理求出AB，證明△BHP∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，求出PH，根據(jù)三角形的面積公式求出S；（2）根據(jù)△BQP∽△BCA，得到＝，代入計算求出t即可；（3）過Q作QG⊥BC于G，證明△QBG∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算，得到答案；（4）根據(jù)△QBG∽△ABC，用t表示出QG，根據(jù)三角形的面積公式列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，由勾股定理得，AB＝＝＝10cm，∴0＜t≤5，經(jīng)過ts時，BP＝t，AQ＝2t，則BQ＝10﹣2t，（1）如圖1，作PH⊥AB于H，當(dāng)t＝2時，BP＝2，BQ＝10﹣2t＝6，∵∠BHP＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，∴△BHP∽△BCA，∴＝，即＝，解得：PH＝，∴S＝×6×＝，故答案為：；；（2）當(dāng)PQ⊥AB時，∠BQP＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，∴△BQP∽△BCA，∴＝，即＝，解得，t＝，則當(dāng)t＝時，PQ⊥AB；（3）如圖2，過Q作QG⊥BC于G，∵QB＝QP，QG⊥BC，∴BG＝GP＝t，∵∠BGQ＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△QBG∽△ABC，∴＝，即＝，解得，t＝，∴當(dāng)t＝時，△BPQ是以BP為底邊的等腰三角形；（4）由（3）可知，△QBG∽△ABC，∴＝，即＝，解得，QG＝﹣t+6，∴S＝×t×（﹣t+6），＝﹣t2+3t，＝﹣（t﹣）2+，則當(dāng)t＝時，S的值最大，最大值為．本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用以及三角形的面積計算，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22、2【分析】根據(jù)“摸到白球的頻率穩(wěn)定于0.5左右”利用概率公式列方程計算可得；【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得答：的值是2.本題考查了用頻率估計概率和概率公式，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.23、（1）B（3，0），D（1，﹣4）；（2）；（3）存在，S的坐標(biāo)為（3，0）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，2）或（﹣1，﹣）【分析】（1）將A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，再配方即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)y＝0，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)BC的解析式和拋物線的解析式，設(shè)P（x，x2﹣2x﹣3），則M（x，x﹣3），表示PM的長，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得：當(dāng)x＝時，PM的最大值，此時P（，﹣），進(jìn)而確定F的位置：在x軸的負(fù)半軸了取一點(diǎn)K，使∠OCK＝30°，過F作FN⊥CK于N，當(dāng)N、F、H三點(diǎn)共線時，如圖2，F(xiàn)H+FN最小，即PH+HF+CF的值最小，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論；（3）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)確定Q的位置，與點(diǎn)A重合，根據(jù)菱形的判定畫圖，分4種情況討論：分別以DQ為邊和對角線進(jìn)行討論，根據(jù)菱形的邊長相等和平移的性質(zhì)，可得點(diǎn)S的坐標(biāo)．【詳解】（1）把A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，﹣3）代入拋物線y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴頂點(diǎn)D（1，﹣4），當(dāng)y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或﹣1，∴B（3，0）；（2）∵B（3，0），C（0，﹣3），設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b，則，解得：，∴直線BC的解析式為：y＝x﹣3，設(shè)P（x，x2﹣2x﹣3），則M（x，x﹣3），∴PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，當(dāng)x＝時，PM有最大值，此時P（，﹣），在x軸的負(fù)半軸了取一點(diǎn)K，使∠OCK＝30°，過F作FN⊥CK于N，∴FN＝CF，當(dāng)N、F、H三點(diǎn)共線時，如圖1，F(xiàn)H+FN最小，即PH+HF+CF的值最小，∵Rt△OCK中，∠OCK＝30°，OC＝3，∴OK＝，∵OH＝，∴KH＝+，∵Rt△KNH中，∠KHN＝30°，∴KN＝KH＝，∴NH＝KN＝，∴PH+HF+CF的最小值=PH+NH＝＝；（3）Rt△OFH中，∠OHF＝30°，OH＝，∴OF＝OF'＝，由旋轉(zhuǎn)得：∠FOF'＝60°∴∠QOF'＝30°，∴在Rt△QF'O中，QF'＝OF'÷=÷＝，OQ=2QF'=2×=1，∴Q與A重合，即Q（﹣1，0）分4種情況：①如圖2，以QD為邊時，由菱形和拋物線的對稱性可得S（3，0）；②如圖3，以QD為邊時，由勾股定理得：AD＝，∵四邊形DQSR是菱形，∴QS＝AD＝2，QS∥DR，∴S（﹣1，﹣2）；③如圖4，同理可得：S（﹣1，2）；④如圖5，作AD的中垂線，交對稱軸于R，可得菱形QSDR，∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），∴AD的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，﹣2），且AD＝2，∴DN＝，cos∠ADR＝，∴DR＝，∴QS=DR＝，∴S（﹣1，﹣）；綜上，S的坐標(biāo)為（3，0）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，2）或（﹣1，﹣）．本題主要考查二次函數(shù)和幾何圖形的綜合，添加合適的輔助線構(gòu)造含30°角的直角三角形，利用菱形的判定定理，進(jìn)行分類討論，是解題的關(guān)鍵.24、（1）；（2）面積為；（3）P（2，0）或（4，0）【分析】（1）解直角三角形求得AB，作CE⊥OB于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理和三角形中位線的性質(zhì)求得C的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；（2）補(bǔ)形法，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，S△OCD=S△AOB-S△ACD-S△OBD；（3）分兩種情形：①∠OPC=90°．②∠OCP=90°，分別求解即可．【詳解】解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=，∴AB=OB=2，作CE⊥OB于E，

∵∠ABO=90°，

∴CE∥AB，

∴OC=AC，

∴OE=BE=OB=，CE=AB=1，∴C（，1），∵反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過OA的中點(diǎn)C，∴1=，∴k=，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為；（2）∵OB=，∴D的橫坐標(biāo)為，代入得，y=，∴D（