初中幾何輔助線進(jìn)階訓(xùn)練——矩形的輔助線一、階段一（較易）1．如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，連接DE，BF垂直平分DE，垂足為F，點(diǎn)G在BE上，點(diǎn)H在AB上，且GH//（1）若BC=3，CE=2，求DF；（2）若GE=AD+BG，求證：GH=EF.2．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，GC＝98，AE平分∠BAG交BC于點(diǎn)E，E是BC的中點(diǎn)，則AG的長(zhǎng)為3．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個(gè)矩形，點(diǎn)B在EF邊上，若AB=2，AC=3，則矩形A．3 B．25 C．45 D4．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3，BC=33，∠CBD=30°，點(diǎn)M是射線BD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），連接AM，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AM交直線BC于點(diǎn)N，若△BMN是等腰三角形，則BN=5．如圖，已知在△OAB中AO＝BO，分別延長(zhǎng)AO，BO到點(diǎn)C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，連接AD，DC，CB．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）以AO，BO為一組鄰邊作平行四邊形AOBE，連接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度數(shù)．6．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的中線，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)F，連接AF，CF．（1）求證：四邊形ADCF為矩形；（2）若AD=BC，AB=25，求BF的長(zhǎng)．7．如圖，△ABC中，AB=AC，AD為BC上的高線，E為AB邊上一點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)F，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.已知EF=2，EG=3.則AD的長(zhǎng)為．8．已知，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，連接DE，DF，EF．（1）如圖①，當(dāng)CF＝2BE＝2時(shí)，試說(shuō)明△DEF是直角三角形；（2）如圖②，若點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，DE平分∠ADF，求BF的長(zhǎng)．9．如圖，在矩形ABCD中，BC＝4，AE⊥BD，垂足為E，∠BAE＝30°，那么△ECD的面積是（）A．23 B．43 C．83 D．410．如圖，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，點(diǎn)M在邊BC上，若MA平分∠DMB，則A．32 B．26 C．25 二、階段二（一般）11．如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)A，B分別落在A'，B'的位置，再沿AD邊將∠A'折疊到∠H處，已知∠1=54°，則∠AEF=°，∠FEH=12．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，有AE=AB=3BC且BC=a，點(diǎn)P是BE上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到邊AB，AC的距離之和A．有最大值a B．有最小值32a C．是定值12a13．矩形ABCD與矩形CEFG如圖放置，點(diǎn)B、C、E共線，點(diǎn)C、D、G共線，連接AF，取AF的中點(diǎn)H，連接GH.若BC=EF=3，CD=CE=1，則GH=A．2 B．3 C．2 D．414．如圖是一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，把△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，連接DF，EF.若MF=AB，則∠DAF=度15．AM∥BN，AB⊥BN，垂足為B，點(diǎn)C在直線BN上，AC⊥CD，AC=CD，DE⊥AM，垂足為E．（1）如圖①，求證：DE+BC=AB；（2）如圖②、圖③，請(qǐng)分別寫(xiě)出線段DE，BC與AB之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）、（2）的條件下，AC2=100，AB-BC=2，則線段DE=．16．如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AD上，連接CF交AE于點(diǎn)G，CG=GF=AF，若BD=43，則CD的值為17．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)G、H分別是EC、FD的中點(diǎn)，連接GH，若AB＝6，BC＝10，則GH的長(zhǎng)度為．18．如圖，點(diǎn)E為?ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，連接EB并延長(zhǎng)，使BF=BE，連接EC并延長(zhǎng)，使CG＝CE，連接FG．H為FG的中點(diǎn)，連接DH，AF．（1）若∠BAE＝65°，∠DEC＝40°，求∠ECD的度數(shù)；（2）求證：四邊形AFHD為平行四邊形；（3）連接EH，交BC于點(diǎn)O，若OC＝OH，求證：EF⊥EG．19．如圖，矩形ABCD中，M，N分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，BP⊥AN于P，CP的延長(zhǎng)線交AD于Q．下列結(jié)論：①PM=CN；②PM⊥CQ；③PQ=AQ；④DQ<2PN．其中結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)20．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)H，G分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，若AB＝6，BC＝8，則GH的長(zhǎng)度為（）A．2 B．52 C．732 D三、階段三（較難）21．如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CD上，連接BF交DE于點(diǎn)G，且BG=GF=DF，若AC=62，則BC的值是A．35 B．43 C．215 22．如圖：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有長(zhǎng)方形OABC，點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸上，點(diǎn)D(4，3)在AB上，點(diǎn)E在OC上，沿DE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，點(diǎn)C與點(diǎn)C1重合．若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，且△APC1面積是18，則點(diǎn)P23．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半如圖1，△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的中線．求證：BD＝12AC分析：要證明BD等于AC的一半，可以用“倍長(zhǎng)法”將BD延長(zhǎng)一倍，如圖2．延長(zhǎng)BD到E，使得DE＝BD．連接AE，CE．可證BE＝AC，進(jìn)而得到BD＝12AC（1）請(qǐng)你按材料中的分析寫(xiě)出證明過(guò)程；（2）如圖3，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，CD⊥AB，點(diǎn)E是線段CD上一點(diǎn)，分別連接AD，BE，點(diǎn)F，G分別是AD和BE的中點(diǎn)，連接FG．若AB＝12，CD＝8，CE＝3，則FG=．24．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=9，AD=14．點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在AD、BC上，且AE=CF=1，點(diǎn)G是DC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)．則EG+HG+HF的是小值是．25．在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，點(diǎn)P是直線AB上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合，連接CP，作等邊三角形PCE．（1）如圖1，若點(diǎn)P在線段AB上，連接DE，則線段PB，DE之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，連接AE，求證：EA＝EP；（3）如圖3，若點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上，順次連接四邊形ABCE各邊的中點(diǎn)，則所得四邊形的形狀是．26．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一條角平分線，AN為△ABC的外角∠BAM的平分線，BE⊥AN，垂足為E.已知AD＝4，BD＝3.（1）求證：四邊形ADBE是矩形；（2）如圖2，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)F，使AF＝AB，連接BF，G為BF的中點(diǎn)，連接EG，DG.求EG的長(zhǎng).（3）如圖3，在（2）問(wèn)的條件下，P為BE邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PG并延長(zhǎng)交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接CQ，H為CQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)P從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).27．如圖1，已知△ABC≌△EBD，∠ACB=∠EDB=90°，點(diǎn)D在AB上，連接CD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F，（1）猜想：線段AF與EF的數(shù)量關(guān)系為；（2）探究：若將圖1的△EBD繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)∠CBE小于180°時(shí)，得到圖2，連接CD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F，則（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）拓展：圖1中，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CB，垂足為點(diǎn)G.當(dāng)∠ABC的大小發(fā)生變化，其它條件不變時(shí)，若∠EBG=∠BAE，BC=6，直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng).28．將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)和矩形ABCD（AB＜BC）的對(duì)角線的交點(diǎn)O重合，如圖（①→②→③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn)．（1）圖①（三角板一直角邊與OD重合）中，連接DN，則BN與DN的數(shù)量關(guān)系是，進(jìn)而得到BN，CD，CN的數(shù)量關(guān)系是；（2）寫(xiě)出圖③（三角板一邊與OC重合）中，CN，BN，CD的數(shù)量關(guān)系是；（3）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．29．如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥CD于E，BF平分∠ABC與AD交于F.AE與BF交于G.（1）延長(zhǎng)DC到H，使CH＝DE，連接BH.求證：四邊形ABHE是矩形.（2）在（1）所畫(huà)圖形中，在CH的延長(zhǎng)線上取HK＝AG，當(dāng)AE＝AF時(shí)，求證：CK＝AD.30．如圖，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，點(diǎn)P在邊GF上，點(diǎn)Q在邊CE上，且PF＝CQ，連結(jié)AC和PQ，N，M分別是AC，PQ的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為（）A．3 B．6 C．372 D．

答案解析部分1．【答案】（1）解：如圖，連接BD，∵BC=3，CE=2，∴BE=5，∵BF垂直平分DE，∴BE=BD=5，DF=EF，∴CD=B∴DE=D∴DF=EF=5（2）證明：如圖，在DC上截取CN=BH，在CE上截取CM=BG，連接MN，在△BGH和△CMN中，BH=CN∠HBG=∠NCM=90°∴△BHG≌△CNM(SAS)，∴MN=HG，∠HGB=∠NMC，∴HG//又∵HG//∴MN//∴△CMN∽△CED，∴CM∵GE=AD+BG，BM=BC+CM，∴BM=GE，∴BG=ME，∴CM=ME=1∴MN=1∴MN=EF，∴HG=EF.2．【答案】733．【答案】B4．【答案】35．【答案】（1）證明：∵OC＝AO，OD＝BO∴四邊形ABCD是平行四邊形∴AC＝2AO，BD＝2BO又∵AO＝BO∴AC＝BD∴四邊形ABCD是矩形（2）解：如圖：連接OE與BD交于F∵四邊形AOBE是平行四邊形∴AE＝BO又∵AO＝BO∴AO＝AE∵CE⊥AE∴∠AEC＝90°∵OC＝OA∴OE＝12AC＝∴OE＝AO＝AE∴△AOE是等邊三角形，∴∠OAE＝60°∵∠OAE＋∠AOB＝180°，∴∠AOB＝120°．6．【答案】（1）證明：如圖：連接DF，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，∴AE=DE，BE=FE，∴四邊形ABDF為平行四邊形，∴BD=AF，BC∥AF，∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵AD為BC邊上的中線，∴BD=CD，AD⊥BC，∠ADC=90°∴CD=AF，∴四邊形ADCF為平行四邊形，∴四邊形ADCF為矩形（2）解：設(shè)AD=BC=x，則BD=12x在Rt△ABD中，AB2得(25)解得x=4或x=-4（舍去），∴AD=BC=4，∵四邊形ADCF為矩形，∴CF=AD=4，在Rt△BCF中，BF=BC7．【答案】3.58．【答案】（1）證明：∵CF=2BE=2，∴BE=1，∴AE=AB-BE=7．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=8，AD=BC=6，在RtΔADE中，DE2在RtΔDCF中，DF2在RtΔBEF中，EF2∴DF2∴ΔDEF是直角三角形，且∠DFE=90°；（2）解：作EH⊥DF于H，則∠A=∠DHE=90°．∵DE平分∠ADF，∴∠ADE=∠HDE，在ΔAED和ΔHED中，∠A=∠DHE∠ADE=∠HDEDE=DE∴ΔAED?ΔHED(AAS)，∴DA=DH=6，EA=EH=4，∴EH=EB=4，在RtΔEHF和RtΔEBF中，EF=EFEH=EB∴RtΔEHF?RtΔEBF(HL)，∴BF=HF．設(shè)BF=x，則HF=x，CF=6-x，∴DF=DH+HF=6+x，在RtΔCDF中，DC2∴82∴x=83即BF=839．【答案】A10．【答案】D11．【答案】117；912．【答案】D13．【答案】A14．【答案】1815．【答案】（1）證明：延長(zhǎng)ED交BN于點(diǎn)F，如圖所示：∵DE⊥AM，AB⊥BN∴∠AED=90?，∠ABC=90?∴∠BAC+∠ACB=90?∵AM∥BN∴∠DFC=180?-∠AED=90?∵AC⊥CD∴∠ACB+∠DCF=90?∴∠BAC=∠DCF∵AC=CD∴△ABC≌△CFD（AAS）∴BC=DF∵∠ABC=∠DFC=∠AED=90?∴四邊形ABFE是矩形∴AB=EF∵DE+DF=EF∴DE+BC=AB．（2）解：圖②結(jié)論：BC-DE=AB；理由如下：延長(zhǎng)ED交BN于點(diǎn)F，如圖所示：∵DE⊥AM，AB⊥BN∴∠AED=∠AEF=90?，∠ABC=90?∴∠BAC+∠ACB=90?∵AM∥BN∴∠DFC=∠AED=90?∵AC⊥CD∴∠ACB+∠DCF=90?∴∠BAC=∠DCF∵AC=CD∴△ABC≌△CFD（AAS）∴BC=DF∵∠ABC=∠DFC=∠AEF=90?∴四邊形ABFE是矩形∴AB=EF∵DE+EF=DF∴BC-DE=AB；圖③結(jié)論：DE-BC=AB；理由如下：設(shè)DE交CN于點(diǎn)F，如圖所示：∵DE⊥AM，AB⊥BN∴∠AED=90?，∠ABC=90?，∴∠BAC+∠ACB=90?∵AM∥BN∴∠DFC=∠AED=90?，即∠BFE=90°，∵AC⊥CD∴∠ACB+∠DCF=90?∴∠BAC=∠DCF∵AC=CD∴△ABC≌△CFD（AAS）∴BC=DF∵∠ABC=∠BFE=∠AEF=90?∴四邊形ABFE是矩形∴AB=EF∵DE=DF+EF∴DE-BC=AB．（3）2或1416．【答案】3017．【答案】342或18．【答案】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAE＝65°，∴∠BAE＝∠BCD＝65°，∵AD//BC，∠DEC＝40°，∴∠ECB=40°，∴∠ECD=∠BCD-∠ECB=65°-40°=25°；（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位線，∴BC∥FG，BC＝12FG∵H為FG的中點(diǎn)，∴FH＝12FG∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四邊形AFHD是平行四邊形；（3）證明：連接EH，CH，∵CE＝CG，F(xiàn)H＝HG，∴CH＝12EF，CH∥EF∵EB＝BF＝12EF∴BE＝CH，∴四邊形EBHC是平行四邊形，∴OB＝OC=12BC，OE＝OH=∵OC＝OH，∴BC=EH，∴平行四邊形EBHC是矩形，∴∠FEG＝90°，∴EF⊥EG．19．【答案】D20．【答案】B21．【答案】A22．【答案】(-173，0)或(23．【答案】（1）證明：如圖2，延長(zhǎng)BD到E，使得DE=BD．連接AE，則BD=1∵BD是斜邊AC上的中線，∴CD=AD，在△BCD和△EAD中，CD=AD∠BDC=∠EDA∴△BCD?△EAD(SAS)，∴BC=AE，∴BC∥AE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，又∵∠ABC=90°，∴平行四邊形ABCE是矩形，∴BE=AC，∴BD=1（2）1324．【答案】4125．【答案】（1）PB＝DE（2）證明：如圖，連接DE．∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA，∠ADC＝120°，CD∥AB．∴∠CBP＝∠BCD＝60°．∵△PCE是等邊三角形，∴EC＝EP＝CP，∠ECP＝60°．∴∠ECD＝∠BCP．∴△DCE≌△BCP．∴∠CDE＝∠CBP＝60°．∴∠ADE＝120°-60°=60°．∴∠ADE＝∠CDE．∵DE＝DE，AD=CD，∴△ADE≌△CDE，∴EA＝EC，∴EA＝EP．（3）矩形26．【答案】（1）證明：∵AB＝AC，AD是角平分線，∴AD⊥BC，∠ABC=∠C，∵AN為△ABC的外角∠BAM的平分線，∴∠MAN=∠BAN，∵∠BAM=∠ABC+∠C，∴∠MAN=∠C，∴AN∥BC，∴∠DAE=∠ADC=∠ADB=90°，∵BE⊥AN，∴∠AEB=∠DAE=∠ADB=90°，∴四邊形ADBE是矩形；（2）解：如圖，連接AG，∵矩形ADBE中，AD=4，BD=3，∴BE=AD=4，AE=BD=3，∠ADB=∠DBE=∠BDF=90°，∴AB=AD∴DF=1，∴BF=∵G是BF的中點(diǎn)，∴DG=BG=12∴∠BDG=∠DBG，∴∠ADG=∠EBG，∴△AGD≌△BEG，∴EG=AG，∵AG=∴EG=310（3）解：由題意知點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條線段，當(dāng)P與E重合時(shí)，Q的位置在Q1，當(dāng)P與B重合時(shí)，Q的位置在F，此時(shí)H分別在H1、H2∵BE∥AD，∴∠BEG=∠DQ1G∴△EBG≌△Q1FG∴Q1F=BE=4由題意知H1H2是△CQ∴H1H227．【答案】（1）AF=EF（2）解：仍舊成立，理由如下：延長(zhǎng)DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示設(shè)BD延長(zhǎng)線DM交AE于M點(diǎn)，∵△ABC≌△EBD，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，∴∠MDF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠MDF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延長(zhǎng)DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，AC=ED∠ACF=∠EDGCF=DG∴△ACF≌△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠A