專題訓練：數(shù)列綜合運用大題1．（2022·江蘇·鹽城市第一中學高二階段練習）有下列3個條件：①；②；③，，成等比數(shù)列.從中任選1個，補充到下面的問題中并解答問題：設數(shù)列的前項和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）的最小值并指明相應的的值．【答案】（1）；（2）=5或者6時，取到最小值.【解析】（1）因為,所以，即是公差為2的等差數(shù)列，選擇條件①：因為，所以，則，解得，所以；選擇條件②：因為，所以，解得，所以；選擇條件③：因為，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以；（2）由（1）可知，，所以，因為，所以當或者6時，取到最小值，即2．（2022·江蘇·星海實驗中學高二階段練習）已知數(shù)列的前項和為，___________，.在下面三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.①；②；③注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，是數(shù)列的前項和，若對任意的，，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）選擇①，由知，當時，，由，得，即，當時，，解得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故.選擇②，由知，當時，由，得，在中，令，則，滿足上式，所以，即.選擇③，由知，當時，由，得，在中，令，則，滿足上式，所以.（2）由（1）知，，所以，所以數(shù)列的前項和為，對于任意的，，所以，即.設所以恒成立，即，所以單調(diào)遞減，所以，于是有，故實數(shù)的取值范圍為.3．（2022·福建·莆田第二十五中學高二階段練習）從條件①，②，③，中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列的前項和為，___________.（1）求的通項公式；（2）設，記數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)使得.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析【解析】（1）若選擇①，因為，所以，兩式相減得，整理得,即，所以為常數(shù)列，而，所以；若選擇②，因為，所以，兩式相減，得，因為，所以是等差數(shù)列，所以；若選擇③，由變形得，，所以，由題意知，所以，所以為等差數(shù)列，又，所以，又時，也滿足上式，所以；（2）若選擇①或②，，所以所以，兩式相減得，則，故要使得，即，整理得，，當時，，所以不存在，使得.若選擇③，依題意，，所以，故，兩式相減得：，則，令，則，即，令，則，當時，，又，故，綜上，使得成立的最小正整數(shù)的值為5.4．（2022·河北·邢臺市第二中學高二階段練習）①為等差數(shù)列，且；②為等比數(shù)列，且.從①②兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答．在數(shù)列中，，________.（1）求的通項公式；（2）已知的前n項和為，試問是否存在正整數(shù)p，q，r，使得？若存在，求p，q，r的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，，，﹒【解析】（1）若選①：設等差數(shù)列的公差為d，則，∴，即．若選②：設等比數(shù)列的公比為q，則，∴，即；（2），，則兩式相減得，，∴．∵，∴存在正整數(shù)p，q，r，使得，且，，．5．（2022·吉林·長春市第二中學高二階段練習）已知數(shù)列，其中前項和為，且滿足，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式及其前項和．【答案】（1）證明見解析；（2），，．【解析】（1）證明：由題意，兩邊同時加3，可得，，數(shù)列是以8為首項，2為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）可得，則，，故．6．（2021·廣西·鐘山中學高二階段練習）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，，.（1）求數(shù)列?的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）設數(shù)列的公比為，則，所以，所以，所以；（2），所以.7．（2022·福建三明·高二階段練習）已知數(shù)列的前項和為，滿足，是以為首項且公差不為0的等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由，取可得，又，所以，則.當時，由條件可得，兩式相減可得，，又，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，因為，設等差數(shù)列的公差為，則，由成等比數(shù)列，所以，又，所以解得，故，（2），，.相減得，所以，所以所以.8．（2022·陜西·府谷縣府谷中學高二階段練習（文））已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，因為成等比數(shù)列，所以，解得或（舍去）.故.（2）由（1）可得，故9．（2022·陜西·長安一中高二階段練習（文））已知數(shù)列的前項和為，，常數(shù)，且對一切正整數(shù)都成立.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，，當為何值時，數(shù)列的前項和最大？【答案】（1）；（2）6.【解析】（1）取，得，，，則，當時，，，上述兩個式子相減得：，所以數(shù)列是等比數(shù)列,當，則.（2）當，且時，令，所以，所以，單調(diào)遞減的等差數(shù)列（公差為）則當時，故數(shù)列的前6項的和最大.10．（2022·廣東·饒平縣第二中學高二階段練習）已知為等差數(shù)列的前項和，若，．（1）求；（2）記，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）＝；（2）【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，則，解得，故；（2）因為，所以，故.11．（2022·廣東·南海中學高二階段練習）已知數(shù)列中，，（，），數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求；（3）求數(shù)列中的最大項和最小項，并說明理由．【答案】（1）；（2）；（3），，理由見解析【解析】（1）證明：，又，∴數(shù)列是為首項，1為公差的等差數(shù)列．∴.（2）由，得，即時，；時，，∴.（3）由，得又函數(shù)在和上均是單調(diào)遞減．由函數(shù)的圖象，可得：，.12．（2022·山西省渾源中學高二階段練習）表示等差數(shù)列的前項的和，且，.（1）求數(shù)列的通項及；（2）求和【答案】（1），；（2）【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，由可得，因為，解得，所以，，.（2），當且時，；當且時，.綜上所述，.13．（2021·江蘇省灌南高級中學高二階段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，．（1）求的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，求．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，由，可得，即；又因為，取，所以，即；故可得．故的通項公式為.（2）由，當時，，上述兩式作差可得，又滿足上式，綜上；所以．當n為偶數(shù)時….∴．當n為奇數(shù)時，∴．故．14．（2022·江蘇省蘇州實驗中學高二階段練習）已知數(shù)列是首項為4的單調(diào)遞增數(shù)列，滿足（1）求證：；（2）設數(shù)列滿足，數(shù)列前?和，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：由題意得，，即，即，∵數(shù)列是首項為4的單調(diào)遞增數(shù)列，，∴（2）由（1）得，即，即，所以數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，故，則，∴15．（2022·陜西·白水縣白水中學高二階段練習）在數(shù)列中，，當時，其前n項和滿足．（1）求證：是等差數(shù)列；（2）設，求的前n項和．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：∵當時，，，即：，又數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列（2）由（1）知：∴16．（2022·山東濰坊·高二階段練習）設數(shù)列的前n項和為，且滿足．（1）求；（2）設求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）當時，，當時，因為，所以，得，所以數(shù)列為首項為3，公比為3的等比數(shù)列，得；（2），當n為偶數(shù)時，，當n為奇數(shù)時，，所以17．（2022·湖北·石首市第一中學高二階段練習）已知數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列.（2）已知，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：當時，，則.因為，①所以，②由②①得，化簡可得，，所以數(shù)列是一個公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，化簡可得..所以.18．（2022·湖北省羅田縣第一中學高二階段練習）設等差數(shù)列的前n項和為，且，，（1）求數(shù)列的通項公式：（2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項和為．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設等差數(shù)列的首項為，公差為，由，，則，解得，所以；（2）因為，當時，即，當時，所以，即，當時也成立，所以，所以，，所以，所以.19．（2021·河北·邢臺一中高二階段練習）等差數(shù)列中，分別是如表所示第一、二、三行中的某一個數(shù)，且其中的任意兩個數(shù)不在表格的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）請選擇一個可能的組合，并求數(shù)列的通項公式.（2）記（1）中您選擇的的前n項和為Sn，判斷是否存在正整數(shù)k，使得成等比數(shù)列?若存在，請求出k的值;若不存在，請說明理由.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】（1）由題意可知，有兩種組合滿足條件.①，此時等差數(shù)列中，，公差d=4，所以數(shù)列的通項公式為②，此時等差數(shù)列中，，公差d=2，所以數(shù)列的通項公式為.（2）若選擇①，，則.若成等比數(shù)列，則，即，整理得，即此方程無正整數(shù)解，故不存在正整數(shù)，使成等比數(shù)列.若選擇②，，則.若成等比數(shù)列，則，即，整理得，因為k為正整數(shù)，所以.故存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列.20．（2022·廣東·佛山一中高二階段練習）已知數(shù)列是公差不為的等差數(shù)列，且數(shù)列是等比數(shù)列，其中，，.（1）求；（2）記，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知可得，則，，所以，，則，所以，，，則數(shù)列的公比為，所以，，所以，，所以，.（2），則，因此，.21．（2022·湖北·十堰東風高級中學高二階段練習）數(shù)列滿足：，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，為數(shù)列的前n項和，若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1），；（2）或【解析】（1）當，，①，，②①－②得（*）在①中令，得，也滿足（*），所以，，（2）由（1）知，，故，于是，因為隨n的增大而增大，所以，解得或所以實數(shù)m的取值范圍是或.22．（2021·河北保定·高二階段練習）已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求的通項公式.（2）令，，為數(shù)列的前n項和，求.（3）記.是否存在實數(shù)，使得對任意的，恒有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【解析】（1）當時，有，解得當時，由，得，兩式相減得，整理得，所以是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，故；（2）因為，所以，，所以；（3）因為，所以，由，得，即，進一步化簡得.當n為奇數(shù)時，恒成立，因為是增函數(shù)，所以；當n為偶數(shù)時，恒成立，同理，所以故且，即存在實數(shù)，使得對任意的，恒有.23．（2021·湖南·周南中學高二階段練習）已知數(shù)列中，，（），為數(shù)列的前n項和.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和；（3）在，之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項，，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這3項；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由見解析.【解析】（1）當時，，所以；又，所以對，有，故數(shù)列是1為首項3為公比的等比數(shù)列，通項公式為.（2）由（1）知，…①…②①?②得：，∴.（3）在數(shù)列不存在3項，，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.理由如下：由已知得假設在數(shù)列中存在，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，即，化簡得，又因為m，k，p成等差數(shù)列，所以，故上式可以化簡為，則，與已知矛盾.故在數(shù)列中不存在3項，,,（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.24．（2022·廣東·饒平縣第二中學高二階段練習）已知數(shù)列的前n項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）數(shù)列的前n項和為，，，當時，，則，而當時，，即得，因此，數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，則，所以數(shù)列的通項公式是：（2）由（1）知，，對任意恒成立設，則，當，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增，顯然有，則當時，取得最大值，即最大值是，因此，，所以實數(shù)k的取值范圍是25．（2022·山東·蘭陵四中高二階段練習）已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列.（2）設數(shù)列的前項和為，求，并求滿足的的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：因為數(shù)列滿足，，所以，因為，所以所以，數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，首項為.（2）由（1）知，所以，所以，，，所以，，所以，，所以，解得，.所以，滿足的的最大值為26．（2022·湖南·安仁縣第一中學高二階段練習）已知數(shù)列中，，當時，，記．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前n項和為，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由題意得，所以，即．當時，．當時，也符合．綜上，．（2）證明：由（1）得，當時；當時，，故當時，．綜上，．27．（2022·廣東·佛山市第四中學高二階段練習）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）設等比數(shù)列的公比為，因為，，可得，即，解得或（舍去），所以數(shù)列的通項公式為.（2）由，可得因為與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，可得，所以，所以，設數(shù)列的前項和為，可得，則，兩式相減，所以，因為，所以，所以，即.28．（2022·廣東·普寧市華僑中學高二階段練習）在等差數(shù)列中，，其前項和為，等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，公比為q，且.（1）求與；（2）證明：.【答案】（1），；（2）證明見解析【解析】（1）設數(shù)列的公差為d，因為，所以，解得或（舍），故，.（2）因為，所以.故，因為，所以，所以，所以，即.29．（2022·福建省寧德第一中學高二階段練習）設等比數(shù)列的公比為q，前n項和