求函數(shù)微分的題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2\)的微分\(dy\)是（）A.\(2x\)B.\(2xdx\)C.\(x^2dx\)D.\(2dx\)2.若\(y=\sinx\)，則\(dy\)等于（）A.\(\cosx\)B.\(\cosxdx\)C.\(-\cosxdx\)D.\(-\sinxdx\)3.函數(shù)\(y=e^x\)的微分是（）A.\(e^x\)B.\(e^xdx\)C.\(xe^{x-1}dx\)D.\(e^{-x}dx\)4.若\(y=\lnx\)，則\(dy\)為（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(\frac{1}{x}dx\)C.\(xdx\)D.\(-\frac{1}{x}dx\)5.函數(shù)\(y=3x^3\)的微分\(dy\)是（）A.\(9x^2\)B.\(9x^2dx\)C.\(3x^2dx\)D.\(x^3dx\)6.對于函數(shù)\(y=\cos(2x)\)，\(dy\)等于（）A.\(-2\sin(2x)\)B.\(-2\sin(2x)dx\)C.\(2\sin(2x)dx\)D.\(\sin(2x)dx\)7.若\(y=\sqrt{x}\)，則\(dy\)是（）A.\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)B.\(\frac{1}{2\sqrt{x}}dx\)C.\(\sqrt{x}dx\)D.\(2\sqrt{x}dx\)8.函數(shù)\(y=x^4+1\)的微分\(dy\)為（）A.\(4x^3\)B.\(4x^3dx\)C.\((x^4+1)dx\)D.\(x^4dx\)9.已知\(y=\tanx\)，\(dy\)是（）A.\(\sec^2x\)B.\(\sec^2xdx\)C.\(-\sec^2xdx\)D.\(\cotxdx\)10.函數(shù)\(y=5^x\)的微分\(dy\)是（）A.\(5^x\ln5\)B.\(5^x\ln5dx\)C.\(x5^{x-1}dx\)D.\(5^xdx\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些函數(shù)的微分計算正確（）A.\(y=x^5\)，\(dy=5x^4dx\)B.\(y=\cos3x\)，\(dy=-3\sin3xdx\)C.\(y=\ln(2x)\)，\(dy=\frac{1}{x}dx\)D.\(y=e^{-2x}\)，\(dy=-2e^{-2x}dx\)2.關(guān)于函數(shù)\(y=\sin^2x\)的微分，下列說法正確的是（）A.先變形\(y=\frac{1-\cos2x}{2}\)再求微分B.用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，\(dy=2\sinx\cosxdx\)C.\(dy=\sin2xdx\)D.\(dy=(\sin^2x)^\primedx\)3.若\(y=f(x)\)可微，以下正確的有（）A.\(dy=f^\prime(x)dx\)B.\(\Deltay\approxdy\)（當(dāng)\(\Deltax\)很小時）C.函數(shù)的微分是函數(shù)增量的線性主部D.求微分就是求導(dǎo)數(shù)乘以\(dx\)4.下列函數(shù)中，求微分后形式正確的有（）A.\(y=\frac{1}{x^2}\)，\(dy=-\frac{2}{x^3}dx\)B.\(y=\arcsinx\)，\(dy=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)C.\(y=\arctanx\)，\(dy=\frac{1}{1+x^2}dx\)D.\(y=\secx\)，\(dy=\secx\tanxdx\)5.對于函數(shù)\(y=x\lnx\)的微分，說法正確的是（）A.用乘積求導(dǎo)法則，\(y^\prime=\lnx+1\)B.\(dy=(\lnx+1)dx\)C.先看成兩個函數(shù)乘積再求導(dǎo)求微分D.不能直接求微分6.以下函數(shù)求微分時，用到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的有（）A.\(y=\sqrt{1+x^2}\)B.\(y=\sin(x^3)\)C.\(y=e^{\cosx}\)D.\(y=\ln(\sinx)\)7.函數(shù)\(y=\frac{\sinx}{x}\)的微分，可能的計算步驟有（）A.用商的求導(dǎo)法則\(y^\prime=\frac{x\cosx-\sinx}{x^2}\)B.\(dy=\frac{x\cosx-\sinx}{x^2}dx\)C.先變形再求導(dǎo)求微分D.直接用乘積求導(dǎo)法則求微分8.已知函數(shù)\(y=\cos^3x\)，求微分正確的是（）A.看成復(fù)合函數(shù)\(y=u^3\)，\(u=\cosx\)B.\(y^\prime=3\cos^2x(-\sinx)\)C.\(dy=-3\cos^2x\sinxdx\)D.先變形為\(y=(\cosx)^3\)再求導(dǎo)求微分9.下列關(guān)于函數(shù)微分性質(zhì)正確的有（）A.\(d(C)=0\)（\(C\)為常數(shù)）B.\(d(u\pmv)=du\pmdv\)C.\(d(uv)=udv+vdu\)D.\(d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}\)（\(v\neq0\)）10.對于函數(shù)\(y=\ln(x^2+1)\)的微分，說法正確的是（）A.令\(u=x^2+1\)，\(y=\lnu\)B.\(y^\prime=\frac{2x}{x^2+1}\)C.\(dy=\frac{2x}{x^2+1}dx\)D.直接求導(dǎo)求微分三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x\)的微分\(dy=dx\)。（）2.若\(y=f(x)\)可微，則\(\Deltay=dy\)。（）3.函數(shù)\(y=\cosx\)的微分\(dy=\sinxdx\)。（）4.求函數(shù)\(y=2^x\)的微分，\(dy=2^x\ln2dx\)。（）5.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的微分\(dy=\frac{1}{x^2}dx\)。（）6.對于復(fù)合函數(shù)\(y=f(g(x))\)，\(dy=f^\prime(g(x))g^\prime(x)dx\)。（）7.函數(shù)\(y=\ln2\)的微分\(dy=\frac{1}{2}dx\)。（）8.已知\(y=x^3+1\)，\(\Deltax\)很小時，\(\Deltay\approx3x^2\Deltax\)。（）9.函數(shù)\(y=\tan^2x\)的微分\(dy=2\tanx\sec^2xdx\)。（）10.函數(shù)微分\(dy\)與自變量增量\(\Deltax\)無關(guān)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述求函數(shù)\(y=f(x)\)微分的一般步驟。答案：先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=f^\prime(x)\)，再根據(jù)微分定義\(dy=f^\prime(x)dx\)得出函數(shù)的微分。2.求函數(shù)\(y=x^2+3x\)的微分。答案：先求導(dǎo)，\(y^\prime=(x^2+3x)^\prime=2x+3\)，根據(jù)\(dy=y^\primedx\)，所以\(dy=(2x+3)dx\)。3.已知\(y=\sin(2x+1)\)，求其微分。答案：令\(u=2x+1\)，\(y=\sinu\)，先求\(y^\prime\)，\(y^\prime=\cosu\cdot2=2\cos(2x+1)\)，則\(dy=2\cos(2x+1)dx\)。4.求函數(shù)\(y=\frac{1}{x^3}\)的微分。答案：將函數(shù)寫成\(y=x^{-3}\)，求導(dǎo)得\(y^\prime=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}\)，所以\(dy=-\frac{3}{x^4}dx\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)微分與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)=\frac{dy}{dx}\)，微分\(dy=f^\prime(x)dx\)，導(dǎo)數(shù)是微分的商。區(qū)別：導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某點的變化率，微分是函數(shù)增量的線性主部，導(dǎo)數(shù)是一個數(shù)值，微分與\(dx\)有關(guān)。2.舉例說明復(fù)合函數(shù)求微分的方法及要點。答案：例如\(y=\cos(x^2)\)，令\(u=x^2\)，\(y=\cosu\)。要點是先明確復(fù)合結(jié)構(gòu)，分層求導(dǎo)再相乘。先求\(y^\prime_u=-\sinu\)，\(u^\prime_x=2x\)，則\(y^\prime=-\sin(x^2)\cdot2x\)，\(dy=-2x\sin(x^2)dx\)。3.如何利用函數(shù)微分進行近似計算？答案：當(dāng)\(\Deltax\)很小時，\(\Deltay\approxdy\)。已知\(y=f(x)\)，求\(x\)有增量\(\Deltax\)時\(y\)的增量近似值，先求\(dy=f^\prime(x)dx\)，用\(dy\)近似代替\(\Deltay\)。4.討論函數(shù)\(y=e^{ax+b}\)（\(a\)、\(b\)為常數(shù)）微分的特點。答案：令\(u=ax+b\)，\(y=e^u\)，\(y^\prime=e^u\cdota=ae^{ax+b}\)，\(dy=ae^{ax+b}dx\)。特點是微分形式與函數(shù)形式相似，系數(shù)與指數(shù)函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)有關(guān)，僅多了\(a\)這個系數(shù)