數(shù)列和向量的題目及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2\)，則\(a_5\)的值為（）A.7B.9C.11D.132.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,x)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x\)的值為（）A.2B.-2C.1D.-13.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(a_3=5\)，\(S_5\)等于（）A.15B.20C.25D.304.向量\(\vec{a}=(3,4)\)，則\(\vert\vec{a}\vert\)等于（）A.5B.6C.7D.85.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2=2\)，\(a_4=8\)，則公比\(q\)為（）A.2B.-2C.\(\pm2\)D.46.已知向量\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec=(2,m)\)，若\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(m\)的值為（）A.-2B.2C.-1D.17.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式\(a_n=2n-1\)，則\(a_{10}\)是（）A.17B.18C.19D.208.向量\(\vec{a}=(-2,3)\)，\(\vec=(4,y)\)，且\(\vec{a}\)與\(\vec\)共線，則\(y\)為（）A.-6B.6C.4D.-49.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，則\(a_8\)的值為（）A.13B.15C.17D.1910.已知向量\(\vec{a}=(x,1)\)，\(\vec=(1,-2)\)，若\(\vec{a}+\vec=(3,-1)\)，則\(x\)的值為（）A.1B.2C.3D.4多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于向量的說法正確的是（）A.零向量與任意向量平行B.向量\(\vec{a}\)與\(-\vec{a}\)長(zhǎng)度相等C.若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}=\vec\)時(shí)\(x_1=x_2\)且\(y_1=y_2\)D.兩個(gè)單位向量一定相等2.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的性質(zhì)正確的有（）A.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)B.\(S_n\)，\(S_{2n}-S_n\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)成等差數(shù)列C.\(a_n=a_1+(n-1)d\)D.公差\(d\gt0\)時(shí)，數(shù)列遞增3.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足（）A.\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\)（\(q\)為常數(shù)）B.\(a_n=a_1q^{n-1}\)C.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)D.等比數(shù)列所有項(xiàng)不能為04.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,x)\)，則（）A.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(x=\frac{1}{2}\)B.若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x=-2\)C.\(\vec{a}+\vec=(0,2+x)\)D.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{5}\)5.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)通項(xiàng)公式\(a_n=3n-2\)，下列說法正確的是（）A.\(a_1=1\)B.是等差數(shù)列，公差\(d=3\)C.\(a_{10}=28\)D.\(S_n=\frac{n(1+3n-2)}{2}\)6.向量\(\vec{a}=(2,-3)\)，\(\vec=(x,6)\)，若（）A.\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x=-4\)B.\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(x=9\)C.\(\vec{a}+\vec=(2+x,3)\)D.\(\vert\vec\vert=\sqrt{x^{2}+36}\)7.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，則（）A.公差\(d=2\)B.\(a_1=1\)C.\(a_n=1+(n-1)\times2\)D.\(S_5=25\)8.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(q=2\)，則（）A.\(a_n=2^{n-1}\)B.\(a_3=4\)C.\(S_n=\frac{1-2^{n}}{1-2}=2^{n}-1\)D.\(a_5=16\)9.已知向量\(\vec{m}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{n}=(x_2,y_2)\)，則（）A.\(\vec{m}\cdot\vec{n}=x_1x_2+y_1y_2\)B.\(\vert\vec{m}\vert=\sqrt{x_1^{2}+y_1^{2}}\)C.若\(\vec{m}\parallel\vec{n}\)，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)D.若\(\vec{m}\perp\vec{n}\)，則\(x_1x_2+y_1y_2=0\)10.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^{2}\)，則（）A.\(a_1=1\)B.\(a_2=3\)C.\(a_n=2n-1\)D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列判斷題（每題2分，共10題）1.向量\(\vec{a}=(1,2)\)與向量\(\vec=(2,1)\)相等。（）2.常數(shù)列既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列。（）3.若向量\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角為\(90^{\circ}\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=0\)。（）4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(S_n\)表示前\(n\)項(xiàng)和，則\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）5.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，公比\(q\)可以為0。（）6.向量\(\vec{a}=(x,y)\)，則\(\vert\vec{a}\vert^2=x^{2}+y^{2}\)。（）7.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}-a_n=2\)，則\(\{a_n\}\)是等差數(shù)列。（）8.若向量\(\vec{a}=(1,-1)\)，\(\vec=(-1,1)\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)平行。（）9.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_2=2\)，則\(a_3=4\)。（）10.向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)滿足\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec\vert\)，則\(\vec{a}=\vec\)。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(d=2\)，求\(a_n\)與\(S_n\)。答案：\(a_n=a_1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1\)；\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(3+2n+1)}{2}=n(n+2)\)。2.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec=(-1,4)\)，求\(\vec{a}+\vec\)，\(\vec{a}-\vec\)，\(\vec{a}\cdot\vec\)。答案：\(\vec{a}+\vec=(2-1,3+4)=(1,7)\)；\(\vec{a}-\vec=(2+1,3-4)=(3,-1)\)；\(\vec{a}\cdot\vec=2\times(-1)+3\times4=10\)。3.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=8\)，求公比\(q\)與\(a_n\)。答案：由\(a_3=a_1q^{2}\)，即\(8=2q^{2}\)，得\(q^{2}=4\)，\(q=\pm2\)。當(dāng)\(q=2\)時(shí)，\(a_n=2\times2^{n-1}=2^{n}\)；當(dāng)\(q=-2\)時(shí)，\(a_n=2\times(-2)^{n-1}\)。4.已知向量\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec=(x,1)\)，且\(\vec{a}\perp\vec\)，求\(x\)的值及\(\vert\vec{a}+\vec\vert\)。答案：因?yàn)閈(\vec{a}\perp\vec\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，即\(1\timesx+(-2)\times1=0\)，解得\(x=2\)。\(\vec{a}+\vec=(1+2,-2+1)=(3,-1)\)，\(\vert\vec{a}+\vec\vert=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{10}\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論在實(shí)際生活中，數(shù)列和向量分別有哪些應(yīng)用場(chǎng)景？答案：數(shù)列在儲(chǔ)蓄利息計(jì)算、貸款還款計(jì)劃制定等場(chǎng)景應(yīng)用。如等額本息還款涉及等差數(shù)列。向量在物理中力的合成與分解、位移計(jì)算等方面常用。像求合力就需向量加法運(yùn)算。2.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列都有通項(xiàng)公式，對(duì)比兩者在推導(dǎo)通項(xiàng)公式過程中的方法和思路有何不同？答案：等差數(shù)列推導(dǎo)通項(xiàng)公式用累加法，基于相鄰兩項(xiàng)差值為常數(shù)，從首項(xiàng)逐步累加得到\(a_n\)。等比數(shù)列用累乘法，利用相鄰兩項(xiàng)比值為常數(shù)，從首項(xiàng)連乘得出\(a_n\)。思路上一個(gè)基于差，一個(gè)基于比。3.向量的平行和垂直關(guān)系在幾何問題中有什么作用？答案：向量平行可證明直線平行、三點(diǎn)共線等問題，利用平行向量坐標(biāo)關(guān)系判斷。垂直關(guān)系用于證明垂直問題、求直角三角形邊長(zhǎng)等，通過向量點(diǎn)積為0求解相關(guān)幾何量。4.數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式在解決實(shí)際問題時(shí)，需要注意哪些方面？答案：需注意確定數(shù)列類型，是等差還是等比，對(duì)應(yīng)正確公式。還要明確首項(xiàng)、公差或公比等參數(shù)值。實(shí)際問題中，要注意項(xiàng)