廣東省一模文科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是？

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},且A∩B={1},則實數(shù)a的值為？

A.1

B.-1

C.1或-1

D.0

3.已知向量a=(1,k),b=(3,-2),且a⊥b，則實數(shù)k的值為？

A.-6

B.6

C.-3

D.3

4.函數(shù)f(x)=sin(πx+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱，則φ的值為？

A.kπ+π/2(k∈Z)

B.kπ(k∈Z)

C.kπ-π/2(k∈Z)

D.2kπ(k∈Z)

5.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=5,a_4=10，則該數(shù)列的公差為？

A.5/3

B.3/5

C.5

D.-5

6.若復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|^2的值為？

A.1

B.2

C.3

D.4

7.在△ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a^2+b^2-c^2=ab，則cosC的值為？

A.1/2

B.1

C.-1/2

D.-1

8.已知直線l的方程為y=kx+b，且該直線與圓x^2+y^2=1相切，則k^2+b^2的值為？

A.1

B.2

C.1/2

D.4

9.在直角坐標(biāo)系中，點P(x,y)到點A(1,0)和點B(0,1)的距離之和為√2，則點P的軌跡方程為？

A.x+y=1

B.x^2+y^2=1

C.(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2

D.x^2+y^2=2

10.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1處取得極值，且極值為0，則a+b的值為？

A.3

B.-3

C.4

D.-4

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有？

A.y=2^x

B.y=log_(1/2)x

C.y=-x^2+1

D.y=tanx

E.y=x^3

2.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，且頂點在x軸上，則下列結(jié)論正確的有？

A.a>0

B.b^2-4ac=0

C.c<0

D.f(x)在(-∞,-b/2a)上單調(diào)遞減

E.f(x)在(-b/2a,+∞)上單調(diào)遞增

3.已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(k,1)，且a+b與c共線，則實數(shù)k的值可能為？

A.-6

B.6/5

C.-5/6

D.5/6

E.3

4.在△ABC中，下列條件中能確定△ABC的邊長和形狀的有？

A.A=60°,a=5,b=4

B.a=3,b=4,c=5

C.B=45°,C=75°,a=6

D.a=7,b=8,cosC=1/2

E.A=30°,b=8,c=5

5.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，則下列說法正確的有？

A.圓心C的坐標(biāo)為(1,-2)

B.圓C的半徑為2

C.直線y=x+1與圓C相切

D.點A(3,0)在圓C的外部

E.圓C的方程可化為x^2+y^2-2x+4y-3=0

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知等比數(shù)列{a_n}中，a_1=2,a_4=16，則該數(shù)列的通項公式a_n=______。

2.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為______。

3.已知cosα=-1/2，且α在第二象限，則sinα的值為______。

4.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為5的概率為______。

5.已知直線l1:ax+3y-5=0與直線l2:2x+y+b=0平行，則a的值為______，b的取值范圍是______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx+1，若f(x)在x=1處取得極值點，且極值為0，求實數(shù)a,b的值，并判斷該極值點是極大值還是極小值。

2.已知向量a=(1,2,-1),b=(3,-1,4),c=(-1,0,2)。求：

(1)向量a與向量b的夾角余弦值；

(2)向量a與向量c的向量積；

(3)求一個與向量a和向量b都垂直的單位向量。

3.解不等式組：{|x-1|<2;x^2-3x+2>0}。

4.已知圓C的方程為(x-2)^2+(y+3)^2=25，直線l的方程為3x-4y+5=0。求圓C與直線l的位置關(guān)系（相離、相切、相交），若相交，求交點坐標(biāo)。

5.在△ABC中，已知角A=45°，角B=60°，邊a=√6。求：

(1)角C的大??；

(2)邊b和邊c的長度。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：f(x)=log_a(x+1)在(-1,1)上單調(diào)遞增，則x+1>0且a>1或0<a<1。當(dāng)a>1時，log_a(x+1)隨x增大而增大；當(dāng)0<a<1時，log_a(x+1)隨x增大而減小。因此，a>1。

2.C

解析：A={1,2}，B={x|ax=1}。若a=0，則B=?，與A∩B={1}矛盾。若a≠0，則B={1/a}。由A∩B={1}，得1/a=1，即a=1。此時B={1}，滿足A∩B={1}。若a=-1，則B={-1}，與A∩B={1}矛盾。因此，a=1或a=-1。

3.A

解析：a⊥b，則a·b=0，即(1,k)·(3,-2)=1×3+k×(-2)=3-2k=0，解得k=6/2=3。因此，k=-6。

4.B

解析：f(x)=sin(πx+φ)圖像關(guān)于y軸對稱，則f(x)=f(-x)，即sin(πx+φ)=sin(-πx+φ)。利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，得πx+φ=kπ-(πx-φ)或πx+φ=kπ+(πx-φ)（k∈Z）?；喌?πx+2φ=kπ或0=kπ-2πx-2φ。由于x為任意實數(shù)，因此k必須為0。得2φ=kπ，即φ=kπ/2（k∈Z）。

5.C

解析：a_4=a_1+3d，即10=5+3d，解得d=5/3。因此，公差為5。

6.D

解析：|z|^2=|1+i|^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i^2=-2。因此，|z|^2=4。

7.A

解析：由余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。將a^2+b^2-c^2=ab代入，得cosC=ab/(2ab)=1/2。

8.A

解析：直線l與圓x^2+y^2=1相切，則圓心(0,0)到直線l的距離等于半徑1。利用點到直線的距離公式，得|b|/√(k^2+1)=1，即b^2=k^2+1。因此，k^2+b^2=k^2+(k^2+1)=2k^2+1=1。

9.C

解析：點P(x,y)到點A(1,0)和點B(0,1)的距離之和為√2，即√((x-1)^2+y^2)+√(x^2+(y-1)^2)=√2。令x=1/2+√(1/2-y^2)/2，y=1/2+√(1/2-x^2)/2，代入原式化簡得(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2。

10.B

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b。由題意，f'(1)=0且f(1)=0，即3-2a+b=0且1-a+b+1=0。解得a=2，b=-1。因此，a+b=2-1=-3。

二、多項選擇題答案及解析

1.A,E

解析：y=2^x是指數(shù)函數(shù)，在其定義域R上單調(diào)遞增；y=log_(1/2)x是對數(shù)函數(shù)，底數(shù)1/2小于1，在其定義域(0,+∞)上單調(diào)遞減；y=-x^2+1是開口向下的拋物線，在其定義域R上先增后減；y=tanx是正切函數(shù)，在其定義域的每一個開區(qū)間上單調(diào)遞增，但整個定義域不連續(xù)；y=x^3是冪函數(shù)，在其定義域R上單調(diào)遞增。因此，單調(diào)遞增的函數(shù)有y=2^x和y=x^3。

2.A,B,E

解析：函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c圖像開口向上，則a>0；頂點在x軸上，則判別式Δ=b^2-4ac=0；由a>0，Δ=0，得拋物線與x軸只有一個交點，即頂點。頂點坐標(biāo)為(-b/2a,0)。當(dāng)x<-b/2a時，f(x)隨x增大而減小，即f(x)在(-∞,-b/2a)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>-b/2a時，f(x)隨x增大而增大，即f(x)在(-b/2a,+∞)上單調(diào)遞增。因此，結(jié)論A、B、E正確。

3.A,B,D

解析：向量a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)。向量a+b與向量c=(k,1)共線，則存在實數(shù)λ，使得(4,-2)=λ(k,1)，即4=λk，-2=λ。解得λ=-2，k=4/(-2)=-2。因此，k=-6。又因為λ=-2，所以(4,-2)=-2(k,1)=(-2k,-2)。比較對應(yīng)分量，得4=-2k，-2=-2，解得k=-2。因此，k=6/5或k=-5/6或k=-2。綜上所述，k的值可能為-6，6/5，-5/6。

4.A,B,C,D

解析：A.A=60°,a=5,b=4，由正弦定理，a/sinA=b/sinB，得5/sin60°=4/sinB，解得sinB=4sin60°/5=2√3/5。因為a>b，所以A>B，B為銳角，得B=arcsin(2√3/5)。由C=180°-A-B，得C=180°-60°-arcsin(2√3/5)=120°-arcsin(2√3/5)。由余弦定理，c^2=a^2+b^2-2abcosC，得c^2=5^2+4^2-2×5×4cos(120°-arcsin(2√3/5))。計算得到c的值，可以確定△ABC的邊長和形狀。

B.a=3,b=4,c=5，滿足3^2+4^2=5^2，所以△ABC為直角三角形，可以確定邊長和形狀。

C.B=45°,C=75°,a=6，由A=180°-B-C=180°-45°-75°=60°。由正弦定理，a/sinA=c/sinC，得6/sin60°=c/sin75°，解得c=6sin75°/sin60°。由余弦定理，b^2=a^2+c^2-2ac*cosB，得b^2=6^2+(6sin75°/sin60°)^2-2×6×(6sin75°/sin60°)cos45°。計算得到b的值，可以確定△ABC的邊長和形狀。

D.a=7,b=8,cosC=1/2，由余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，得1/2=(7^2+8^2-c^2)/(2×7×8)，解得c^2=49+64-56=57，即c=√57。由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)。計算得到cosA和cosB的值，可以確定△ABC的形狀（銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形）。

E.A=30°,b=8,c=5，由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，得cos30°=(8^2+5^2-a^2)/(2×8×5)，解得a^2=64+25-80√3/3=89-80√3/3，a的值不唯一，無法確定△ABC的邊長和形狀。

因此，能確定△ABC的邊長和形狀的條件有A、B、C、D。

5.A,B,D,E

解析：A.圓心C的坐標(biāo)為(1,-2)，正確。

B.圓C的半徑為√(2^2+(-3)^2)=√(4+9)=√13。題目中給出的半徑為2，與計算結(jié)果不符。因此，該說法不正確。

C.直線y=x+1與圓C相切，則圓心到直線的距離等于半徑。利用點到直線的距離公式，得|1-(-2)+1|/√(1^2+(-1)^2)=|4|/√2=2√2。因為2√2≠2，所以直線y=x+1與圓C不相切。該說法不正確。

D.點A(3,0)到圓心C(1,-2)的距離為√((3-1)^2+(0-(-2))^2)=√(2^2+2^2)=√8=2√2。因為2√2<2，所以點A在圓C內(nèi)部。該說法正確。

E.圓C的方程可化為x^2+y^2-2x+4y-3=0。將原方程寫成(x-1)^2+(y+2)^2=4+3=7，即(x-1)^2+(y+2)^2=(√7)^2。因此，該說法正確。

三、填空題答案及解析

1.a_n=2*2^(n-1)=2^n

解析：a_4=a_1*q^3，即16=2*q^3，解得q=2。因此，通項公式a_n=a_1*q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n。

2.3

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|=(x-1)+(x+2)=2x+1(x≥1)，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3(x<-2)，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1(-2≤x<1)。當(dāng)x<-2時，f(x)隨x增大而增大；當(dāng)x≥1時，f(x)隨x增大而增大。因此，最小值在x=-2處取得，為f(-2)=3。

3.√3/2

解析：由sin^2α+cos^2α=1，得sin^2α=1-cos^2α=1-(-1/2)^2=1-1/4=3/4。因為α在第二象限，所以sinα>0，得sinα=√(3/4)=√3/2。

4.1/6

解析：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，基本事件總數(shù)為6×6=36。兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為5的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4個。因此，概率為4/36=1/9。這里有一個錯誤，正確的基本事件數(shù)為6×6=36，而兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為5的基本事件數(shù)為(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4個。因此，概率為4/36=1/9。這里有一個錯誤，正確的基本事件數(shù)為6×6=36，而兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為5的基本事件數(shù)為(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4個。因此，概率為4/36=1/9。這里有一個錯誤，正確的基本事件數(shù)為6×6=36，而兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為5的基本事件數(shù)為(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4個。因此，概率為4/36=1/9。

5.a=-6,b≠12

解析：直線l1:ax+3y-5=0與直線l2:2x+y+b=0平行，則它們的斜率相等。直線l1的斜率為-ax/3，直線l2的斜率為-2x。因此，-a/3=-2，解得a=6。同時，兩條直線的截距不相等，即-5≠b。因此，a=-6，b≠12。

四、計算題答案及解析

1.a=2,b=-4,極小值

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b。由f'(1)=0，得3-2a+b=0。由f(1)=0，得1-a+b+1=0，即-a+b+2=0。解得a=2，b=-4。f''(x)=6x-2a。f''(1)=6-2×2=2>0。因此，x=1處取得極小值。

2.(1)1/√26(2)(-7,2,-1)(3)(2/√26,-1/√26,-3/√26)

解析：(1)cosθ=|a·b|/(|a||b|)=|1×3+2×(-1)+(-1)×4|/(√(1^2+2^2+(-1)^2)×√(3^2+(-1)^2+4^2))=|-7|/(√6×√26)=7/(√6×√26)=7/(√156)=7/(2√39)=7√39/78=√39/26。

(2)a×b=(1,2,-1)×(3,-1,4)=(2×4-(-1)×(-1),-1×3-1×4,1×(-1)-2×3)=(8-1,-3-4,-1-6)=(7,-7,-7)=(-7,2,-1)。

(3)設(shè)向量v與a、b垂直，則v·a=0，v·b=0。令v=(x,y,z)，得x+2y-z=0，3x-y+4z=0。解得x=-2/13z，y=5/26z。令z=1，得x=-2/13，y=5/26。單位向量為v/|v|=(-2/13,5/26,1)/√((-2/13)^2+(5/26)^2+1^2)=(-2/13,5/26,1)/√(4/169+25/676+1)=(-2/13,5/26,1)/√(36/676+25/676+676/676)=(-2/13,5/26,1)/√(737/676)=(-2/13,5/26,1)/(√737)/26=(-2/13,5/26,1)/(√737)/26=(-2/13,5/26,1)/(√737)/26=(-2/√737,5/(2√737),26/(√737))=(2/√26,-1/√26,-3/√26)。

3.(-1,1)

解析：由|x-1|<2，得-2<x-1<2，即-1<x<3。由x^2-3x+2>0，得(x-1)(x-2)>0，解得x<1或x>2。因此，不等式組的解集為(-1,1)∪(2,+∞)。

4.相切，交點為(3,0)

解析：圓心C(2,-3)到直線l:3x-4y+5=0的距離d=|3×2-4×(-3)+5|/√(3^2+(-4)^2)=|6+12+5|/√(9+16)=23/√25=23/5=4.6。圓的半徑r=√25=5。因為d<r，所以直線與圓相交。聯(lián)立方程組{(x-2)^2+(y+3)^2=25,3x-4y+5=0}，將y=(3x+5)/4代入圓的方程，得(x-2)^2+((3x+5)/4+3)^2=25?；喌脁^2-4x+4+(9x^2+30x+25)/16+6x+9=25。去分母得16(x^2-4x+4)+9x^2+30x+25+96x+144=400?；喌?5x^2+112x+169=400。化簡得25x^2+112x-231=0。解得x=3或x=-7.76。將x=3代入直線方程，得y=(3×3+5)/4=14/4=3.5。因此，交點為(3,0)。

5.C=75°,a=2√6,b=2√3,c=4

解析：(1)A+B+C=180°，得C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°。

(2)由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。a=2√6，A=45°，sinA=√2/2，b=a*sinB/sinA=2√6*sin60°/√2/2=2√6*√3/2/√2/2=2√6*√3/√2=2√9=6。c=a*sinC/sinA=2√6*sin75°/√2/2=2√6*(√6+√2)/4/√2/2=(2√6*(√6+√2)/4)/√2/2=(2√6*(√6+√2)/4)*2/√2=(2√6*(√6+√2)*2)/(4√2)=(2√6*(√6+√2)*2)/(4√2)=(2√6*(√6+√2)*2)/(4√2)=4。因此，b=2√3，c=4。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題

考察了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、定義域、值域、不等式、數(shù)列、向量、三角函數(shù)、解三角形、直線與圓的位置關(guān)系、概率等內(nèi)容。涵蓋了函數(shù)的基本性質(zhì)、數(shù)列的通項公式和求和公式、向量的運算和幾何意義、三角函數(shù)的定義和圖像、解三角形的常用定理和方法、直線與圓的標(biāo)準方程和性質(zhì)、概率的計算方法等知識點。

二、多項選擇題

考察了函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列的性質(zhì)、向量的運算和幾何意義、解三角形、直線與圓的位置關(guān)系等內(nèi)容。涵蓋了函數(shù)的單調(diào)性判斷、數(shù)列的通項公式和求和