第1頁(yè)共45頁(yè)2025年北師大版九年級(jí)下冊(cè)全冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總（精華版）第一章直角三角形邊的關(guān)系※一.正切：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即;①tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“∠”；②tanA沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中∠A的對(duì)邊與鄰邊的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；④初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，∠A是銳角的正切；⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大?！?正弦：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即;※三.余弦：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即;※余切：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記作cotA，即;※一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。0o30o45o60o90osinα01cosα10tanα01—cotα—10（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可以概括為：一個(gè)銳角的三角函數(shù)等于它的余角的余函數(shù)）用等式表達(dá)：若∠A為銳角，則①；②；※當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角※當(dāng)從高處觀測(cè)低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為俯角※利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，(1)當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值、余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1?！堑娜呛瘮?shù)間的關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系：tgα·ctgα=1。圖圖1※在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和二個(gè)銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形?！蛟凇鰽BC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有(1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；(2)兩銳角的關(guān)系：∠A＋∠B=90°；(3)邊與角之間的關(guān)系：(4)面積公式:(hc為C邊上的高);(5)直角三角形的內(nèi)切圓半徑(6)直角三角形的外接圓半徑◎解直角三角形的幾種基本類(lèi)型列表如下：◎解直角三角形的幾種基本類(lèi)型列表如下：圖2h圖2hi=h:llABC圖3圖4※如圖2，坡面與水平面的夾角叫做坡角(或叫做坡比)。用字母i表示，即◎從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OC的方位角分別為45°、135°、225°?！蛑副被蛑改戏较蚓€與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4，OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°，南偏東45°(東南方向)、南偏西為60°，北偏西60°。第二章二次函數(shù)※二次函數(shù)的概念：形如的函數(shù)，叫做x的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。是二次函數(shù)的特例，此時(shí)常數(shù)b=c=0.※在寫(xiě)二次函數(shù)的關(guān)系式時(shí)，一定要尋找兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍?！魏瘮?shù)y＝ax2的圖象是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。描述拋物線常從開(kāi)口方向、對(duì)稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點(diǎn)、拋物線與x軸的交點(diǎn)等方面來(lái)描述。①函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)；②拋物線的頂點(diǎn)在(0，0)，對(duì)稱軸是y軸(或稱直線x＝0)。③當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，并且向上方無(wú)限伸展。當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，并且向下方無(wú)限伸展。④函數(shù)的增減性：A、當(dāng)a＞0時(shí)B、當(dāng)a＜0時(shí)⑤當(dāng)｜a｜越大，拋物線開(kāi)口越小；當(dāng)｜a｜越小，拋物線的開(kāi)口越大。⑥最大值或最小值：當(dāng)a＞0，且x＝0時(shí)函數(shù)有最小值，最小值是0；當(dāng)a＜0，且x＝0時(shí)函數(shù)有最大值，最大值是0．※二次函數(shù)的圖象是一條頂點(diǎn)在y軸上且與y軸對(duì)稱的拋物線※二次函數(shù)的圖象是以為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)在（，）的拋物線。（開(kāi)口方向和大小由a來(lái)決定）※|a|的越大，拋物線的開(kāi)口程度越小，越靠近對(duì)稱軸y軸，y隨x增長(zhǎng)（或下降）速度越快；|a|的越小，拋物線的開(kāi)口程度越大，越遠(yuǎn)離對(duì)稱軸y軸，y隨x增長(zhǎng)（或下降）速度越慢?！魏瘮?shù)的圖象中，a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向，|a|決定拋物線的開(kāi)口程度大小，c決定拋物線的頂點(diǎn)位置，即拋物線位置的高低?！魏瘮?shù)的圖象與y＝ax2的圖象的關(guān)系：的圖象可以由y＝ax2的圖象平移得到，其步驟如下：①將配方成的形式；（其中h=，k=）；②把拋物線向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|個(gè)單位，得到y(tǒng)=a(x-h)2的圖象；③再把拋物線向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|個(gè)單位，便得到的圖象?！魏瘮?shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)配方成則拋物線的①對(duì)稱軸：x=②頂點(diǎn)坐標(biāo)：（，）③增減性：若a>0，則當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大。若a<0，則當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減小。④最值：若a>0，則當(dāng)x=時(shí)，；若a<0，則當(dāng)x=時(shí)，※畫(huà)二次函數(shù)的圖象：我們可以利用它與函數(shù)的關(guān)系，平移拋物線而得到，但往往我們采用簡(jiǎn)化了的描點(diǎn)法五點(diǎn)法來(lái)畫(huà)二次函數(shù)來(lái)畫(huà)二次函數(shù)的圖象，其步驟如下：①先找出頂點(diǎn)（，），畫(huà)出對(duì)稱軸x=；②找出圖象上關(guān)于直線x=對(duì)稱的四個(gè)點(diǎn)（如與坐標(biāo)的交點(diǎn)等）；③把上述五點(diǎn)連成光滑的曲線。¤二次函數(shù)的最大值或最小值可以通過(guò)將解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助圖象觀察。¤解決最大（?。┲祮?wèn)題的基本思路是：①理解問(wèn)題；②分析問(wèn)題中的變量和常量，以及它們之間的關(guān)系；③用數(shù)學(xué)的方式表示它們之間的關(guān)系；④做數(shù)學(xué)求解；⑤檢驗(yàn)結(jié)果的合理性、拓展性等。※二次函數(shù)的圖象(拋物線)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根※拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：>0<===>拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；=0<===>拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；<0<===>拋物線與x軸有0個(gè)交點(diǎn)（無(wú)交點(diǎn)）；※當(dāng)>0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，則這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離：化簡(jiǎn)后即為：這就是拋物線與x軸的兩交點(diǎn)之間的距離公式。第三章圓一.車(chē)輪為什么做成圓形※1.圓的定義：描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點(diǎn)O叫做圓心；線段OA叫做半徑；以點(diǎn)O為圓心的圓，記作⊙O，讀作“圓O”集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對(duì)圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；②圓由兩個(gè)條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長(zhǎng)）?！?.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則①點(diǎn)在圓上<===>d=r;②點(diǎn)在圓內(nèi)<===>d<r;③點(diǎn)在圓外<===>d>r.其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來(lái)證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，方法就是證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)、的距離相等。二.圓的對(duì)稱性:※1.與圓相關(guān)的概念：①弦和直徑：弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。②弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，用符號(hào)“⌒”表示，以CD為端點(diǎn)的弧記為“”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。)③弓形：弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形。④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓。⑤等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。⑥等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。⑦圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.※2.圓是軸對(duì)稱圖形，直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。※3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。說(shuō)明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō)，如果具備：①過(guò)圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)??；⑤平分弦所對(duì)的劣弧。上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。※4.定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)的弦心距相等。推論:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.三.圓周角和圓心角的關(guān)系:※1.1°的弧的概念:把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時(shí),每一份的角都是1°的圓心角,相應(yīng)的整個(gè)圓也被等分成360份,每一份同樣的弧叫1°弧.※2.圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等.這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等,而不是角與弧相等.即不能寫(xiě)成∠AOB=,這是錯(cuò)誤的.※3.圓周角的定義:頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.※4.圓周角定理:一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.※推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對(duì)的弧也相等；※推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；※四.確定圓的條件:※1.理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件:圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓,經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)也可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓,其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直平分線上.※2.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)作圓要分兩種情況:(1)經(jīng)過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.(2)經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn),能且僅能作一個(gè)圓.※定理:不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.※3.三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念:(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形:經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓,這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.(2)三角形的外心:三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.五.直線與圓的位置關(guān)系※1.直線和圓相交、相切相離的定義:(1)相交:直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相交,這時(shí)直線叫做圓的割線.(2)相切:直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相切,這時(shí)直線叫做圓的切線,惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn).(3)相離:直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相離.※2.直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征:設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d；①d<r<===>直線L和⊙O相交.②d=r<===>直線L和⊙O相切.③d>r<===>直線L和⊙O相離.※3.切線的總判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線是圓的切線.※4.切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.※推論1經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).※推論2經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.※分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系,可得如下結(jié)論:如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè),就可推出第三個(gè).①垂直于切線;②過(guò)切點(diǎn);③過(guò)圓心.※5.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心,這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.※6.三角形內(nèi)心的性質(zhì):(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.(2)過(guò)三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線:連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn),該線平分三角形的這個(gè)內(nèi)角.六.圓和圓的位置關(guān)系.※1.外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.(1)外離:兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn),并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí),叫做這兩個(gè)圓外離.(2)外切:兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn),并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外,每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí),叫做這兩個(gè)圓外切.這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(3)相交:兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)叫做這個(gè)兩個(gè)圓相交.(4)內(nèi)切:兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn),并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外,一個(gè)圓上的都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí),叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切.這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(5)內(nèi)含:兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn),并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí),叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個(gè)特例.※2.兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定:(1)兩圓外離<===>d>R+r(2)兩圓外切<===>d=R+r(3)兩圓相交<===>R-r<d<R+r(R≥r)(4)兩圓內(nèi)切<===>d=R-r(R>r)(5)兩圓內(nèi)含<===>d<R-r(R>r)※3.相切兩圓的性質(zhì):如果兩個(gè)圓相切,那么切點(diǎn)一定在連心線上.※4.相交兩圓的性質(zhì):相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.七.弧長(zhǎng)及扇形的面積※1.圓周長(zhǎng)公式:圓周長(zhǎng)C=2R(R表示圓的半徑)※2.弧長(zhǎng)公式:弧長(zhǎng)(R表示圓的半徑,n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù))※3.扇形定義:一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.※4.弓形定義:由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形.弓形弧的中點(diǎn)到弦的距離叫做弓形高.※5.圓的面積公式.圓的面積(R表示圓的半徑)※6.扇形的面積公式:扇形的面積(R表示圓的半徑,n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù))※弓形的面積公式:(如圖5)圖圖5(1)當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí),(2)當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí),(3)當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí),八.圓錐的有關(guān)概念:※1.圓錐可以看作是一個(gè)直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形,另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面,斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面.※2.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖與側(cè)面積計(jì)算:圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形,這個(gè)扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)、弧長(zhǎng)是圓錐底面圓的周長(zhǎng)、圓心是圓錐的頂點(diǎn).如果設(shè)圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長(zhǎng)(扇形半徑)是l,底面圓周長(zhǎng)(扇形弧長(zhǎng))為c,那么它的側(cè)面積是:¤九.與圓有關(guān)的輔助線1.如圓中有弦的條件,常作弦心距,或過(guò)弦的一端作半徑為輔助線.2.如圓中有直徑的條件,可作出直徑上的圓周角.3.如一個(gè)圓有切線的條件,常作過(guò)切點(diǎn)的半徑(或直徑)為輔助線.4.若條件交代了某點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí),連結(jié)圓心和切點(diǎn)是最常用的輔助線.¤十.圓內(nèi)接四邊形若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的特征:①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ);②圓內(nèi)接四邊形任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)錯(cuò)角.※十一.北師版數(shù)學(xué)未出現(xiàn)的有關(guān)圓的性質(zhì)定理1.切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。如圖6，∵PA，PB分別切⊙O于A、B∴PA=PB，PO平分∠APB__圖6_P_O_B_A2．弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。推論：如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等。如圖7，CD切⊙O于C，則，∠ACD=∠B__O_C_D_A_B3．和圓有關(guān)的比例線段：①相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等；_圖_圖7如圖8，AP?PB=CP?PD如圖9，若CD⊥AB于P，AB為⊙O直徑，則CP2=AP?PB4．切割線定理①切割線定理，從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)；②推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)