專題13特殊三角形章末易錯(cuò)壓軸題型（20易錯(cuò)+10壓軸）易錯(cuò)題型一圖形的軸對(duì)稱1．壯麗祖國(guó)，一山一水皆是畫卷；秀美江山，一草一木皆是詩(shī)篇，一個(gè)符號(hào)一座城．下列四個(gè)省份的徽標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形．熟練掌握軸對(duì)稱圖形的概念，是解決問題的關(guān)鍵．如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念逐一判斷，即得．【詳解】A、不是軸對(duì)稱圖形，不合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，不合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，不合題意．故選：C．2．習(xí)近平主席提到“人不負(fù)青山，青山定不負(fù)人”，一語道出“人與自然和諧共生”的至簡(jiǎn)大道．如圖有關(guān)環(huán)保的四個(gè)圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是，（填序號(hào)）

【答案】①③④【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：①不是軸對(duì)稱圖形，符合題意；②是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；③不是軸對(duì)稱圖形，符合題意；④不是軸對(duì)稱圖形，符合題意；綜上：不是軸對(duì)稱圖形的有①③④；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的定義，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形：一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．3．如圖是由個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格圖，現(xiàn)已將其中的兩個(gè)涂黑．請(qǐng)你用四種不同的方法分別在下圖中再涂黑三個(gè)空白的小正方形，使整個(gè)圖形成為軸對(duì)稱圖形．【答案】見解析【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，正方形是軸對(duì)稱圖形，是四邊的垂直平分線，所以可以先找到正方形的對(duì)稱軸，在對(duì)稱圖形中找到相同的部分是軸對(duì)稱圖形．【詳解】解：如圖所示【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，請(qǐng)注意，要畫軸對(duì)稱圖形要先找對(duì)稱軸．易錯(cuò)題型二根據(jù)軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解【答案】B【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，結(jié)合與關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合三角形內(nèi)角和進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．故選：B．【答案】7【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的特征．根據(jù)“關(guān)于某直線對(duì)稱的圖形對(duì)應(yīng)邊相等”即可求得結(jié)果．故答案為：7．(1)圖中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)角是；【答案】(1)E，(2)3(3)【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱，成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的全等性：（1）觀察圖形可直接得出答案；∴圖中點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，的對(duì)應(yīng)角是；故答案為：E，．故答案為：3．易錯(cuò)題型三設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案7．下圖是由5張全等的正方形組成的，請(qǐng)你補(bǔ)上一個(gè)正方形，使它變成軸對(duì)稱圖形．（用3種不同的方法）【答案】見解析【分析】本題主要考查了設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就叫做對(duì)稱軸，據(jù)此設(shè)計(jì)圖案即可．【詳解】解：如圖所示，即為所求．8．下圖是由5個(gè)全等的正方形組成的，請(qǐng)你移動(dòng)其中一個(gè)正方形，使它變成軸對(duì)稱圖形．（在網(wǎng)格圖中畫出4種形狀不同的圖形，涂上陰影）【答案】見解析【分析】本題考查作圖—利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案．“軸對(duì)稱就是一個(gè)圖形的一部分，沿著一條直線折疊，能夠與另一部分重合，這樣的圖形就是軸對(duì)稱圖形”．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義畫出圖形即可．【詳解】解：圖形如圖所示：9．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，已有兩個(gè)正方形涂黑，請(qǐng)?jiān)賹⑵渲械囊粋€(gè)空白正方形涂黑，使涂黑部分圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形（最少三種不同方法）．【答案】見解析【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，結(jié)合題意，補(bǔ)充圖形即可【詳解】如圖：有5種方法：【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)題型四軸對(duì)稱中的實(shí)際問題10．一轎車的車牌在水中的倒影是

，則該車的牌照號(hào)碼為．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的定義求解，對(duì)稱軸取原圖象下方的水平直線．

．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的定義，理解軸對(duì)稱的定義是解題的關(guān)鍵．11．操作題：臺(tái)球桌的形狀是一個(gè)長(zhǎng)方形，當(dāng)母球被擊打后可能在不同的邊上反彈，為了使母球最終擊中目標(biāo)球，擊球者需作出不同的設(shè)計(jì)，確定擊球方向．如圖，目標(biāo)球從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)B點(diǎn)到C點(diǎn)，相當(dāng)于從點(diǎn)出發(fā)直接擊打目標(biāo)球C，其實(shí)質(zhì)上是圖形的軸對(duì)稱變換，關(guān)鍵是找母球關(guān)于桌邊的對(duì)稱點(diǎn)的位置．(2)在下圖中，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條路徑，使得球P依次撞擊臺(tái)球桌邊AB，BC反射后，撞到球Q．（不寫作法，保留作圖痕跡．）(2)見解析【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【答案】40°/40度故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)題型五等腰三角形的判定【答案】(1)證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定定理：等角對(duì)等邊，正確證明兩個(gè)三角形全等是關(guān)鍵．【答案】證明見解析

【答案】(1)見解析(2)12（2）是的中點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定定理．易錯(cuò)題型六等腰三角形的性質(zhì)(2)見解析【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形等邊對(duì)等角，三線合一．【答案】(1)見解析【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，周角的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求解；當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)，【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，利用分類討論的思想去解決問題．∴此時(shí)不符合題意；易錯(cuò)題型七格點(diǎn)中畫等腰三角形19．如圖，在方格紙中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，按要求畫一個(gè)三角形，使它的頂點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上．(1)在圖1中畫一個(gè)以為直角邊且面積為3的直角三角形．(2)在圖2中畫一個(gè)以為腰的等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型；（1）根據(jù)要求利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可；（2）根據(jù)等腰三角形的定義作出圖形(答案不唯一)．【詳解】（1）解：如圖即為所求；（2）解：如圖即為所求．(1)在圖1中，畫以為腰的三角形；(2)在圖2中，畫以為底的三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了在網(wǎng)格中畫等腰三角形，（1）根據(jù)題意畫出以為腰的三角形；（2）根據(jù)題意畫出以為底的三角形．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析．【分析】（1）作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再與點(diǎn)A、B首尾順次連接即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定，結(jié)合網(wǎng)格作圖即可；（3）根據(jù)等腰三角形的特點(diǎn)，結(jié)合網(wǎng)格作圖即可．∴△ABD是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查作圖軸對(duì)稱變換、全等三角形以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的定義和全等三角形的判定．易錯(cuò)題型八等邊三角形的判定【答案】見解析【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】（1）由題意可得，點(diǎn)在線段的垂直平分線與的交點(diǎn)，作出線段的垂直平分線即可；【詳解】（1）解：由題意可得：點(diǎn)在線段的垂直平分線與的交點(diǎn)，如下圖：（2）證明：連接，【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，尺規(guī)作圖－垂直平分線，等邊三角形的判定，等邊對(duì)等角等性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．【答案】見解析易錯(cuò)題型九等邊三角形的性質(zhì)A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了最短路徑問題，本題找到點(diǎn)E和F的位置是解題的關(guān)鍵．要使△PEF的周長(zhǎng)最小，通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決．∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，∴垂直平分，故選：A．恒成立的結(jié)論有．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）【答案】①②③⑤【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定以及性質(zhì)．故①正確；故②正確；故③正確；故④錯(cuò)誤；故⑤正確．∴正確的有：①②③⑤．故答案為：①②③⑤．【答案】(1)40°，50°；(2)見解析(3)120°【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求解即可；【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．易錯(cuò)題型十逆命題和逆定理A．該命題及其逆命題都是真命題B．該命題是真命題，其逆命題是假命題C．該命題是假命題，其逆命題是真命題D．該命題及其逆命題都是假命題【答案】B【分析】本題考查了判斷命題的真假，寫命題的逆命題，寫出逆命題并判斷真假即可．故選：B．29．“直角三角形的兩銳角互余．”的逆命題是，它是命題（填“真”或“假”）【答案】如果三角形有兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形真【分析】本題主要考查命題與定理，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．先根據(jù)逆命題的概念寫出原命題的逆命題，再根據(jù)直角三角形的判定判斷即可．【詳解】解：“直角三角形的兩銳角互余．”的逆命題是如果三角形有兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形，是真命題，故答案為：如果三角形有兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形；真．30．按要求解答下列各小題．(1)請(qǐng)寫出以下命題的逆命題：①相等的角是內(nèi)錯(cuò)角；(2)判斷（1）中①的原命題和逆命題是否互為逆定理．(2)不是【分析】本題考查原命題和逆命題的相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是明確逆命題的概念．（1）逆命題就是把原命題的題設(shè)和結(jié)論換成逆命題的結(jié)論和題設(shè)，進(jìn)而求解即可；（2）根據(jù)逆定理的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：①“相等的角是內(nèi)錯(cuò)角”的逆命題；如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，那么這兩個(gè)角相等．（2）解：因?yàn)槎ɡ硎紫仁钦婷}，而（1）中①的原命題與逆命題都是假命題，故（1）中①的原命題和逆命題不是互為逆定理．易錯(cuò)題型十一斜邊的中線等于斜邊的一半A． B． C． D．【答案】D故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能加以綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【答案】【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線定理，熟悉掌握斜邊上的中點(diǎn)等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)刻度尺得出的距離，再由直角三角形斜邊上的中線定理即可解答．故答案為：．【答案】(1)見解析又∵E為的中點(diǎn)，易錯(cuò)題型十二含30度角的直角三角形A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，含有度角的直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解含有度角的直角三角形的性質(zhì)并能運(yùn)用．故選：B．

【答案】2【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形30度的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法解決問題，屬于中考常考題型．故答案為：2．【答案】(1)見解析(2)6【詳解】（1）∵垂直平分，【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，等邊對(duì)等角，垂直平分線的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．易錯(cuò)題型十三勾股定理的證明方法37．勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端，下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（

）．【答案】A【分析】本題主要考查勾股定理的證明，先用不同方法表示出圖形中各個(gè)部分的面積，利用面積不變得到等式，變形再判斷即可．【詳解】解：A．大正方形的面積等于四個(gè)矩形的面積的和，以上公式為完全平方公式，∴A選項(xiàng)不能說明勾股定理，符合題意；B．由圖可知三個(gè)三角形的面積的和等于梯形的面積，∴B選項(xiàng)可以證明勾股定理，不符合題意；C．大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加小正方形的面積，∴C選項(xiàng)可以證明勾股定理，不符合題意；D，大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加小正方形的面積，∴D選項(xiàng)可以說明勾股定理，不符合題意．故選：A．38．在證明勾股定理時(shí)，甲乙兩位同學(xué)給出了下圖所示的兩種方案，則方案正確的是．（填“甲”或“乙”）【答案】乙【分析】本題考查了列代數(shù)式及勾股定理與完全平方公式的驗(yàn)證，理解題意，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．根據(jù)圖形列代數(shù)式即可得出結(jié)果．故答案為：乙．【深入思考】【答案】(1)詳見解析【分析】本題考查了勾股定理的驗(yàn)證和運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)與判定，理解勾股定理解決問題的關(guān)鍵．（2）證明：由題意得，第一種方法：第二種方法：易錯(cuò)題型十四勾股定理與網(wǎng)格問題【答案】A故選：．【答案】5【詳解】解：如圖，∴符合要求的C點(diǎn)有5個(gè)．故答案為：5．42．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．(2)7(3)是，理由見解析【分析】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，割補(bǔ)法求面積，勾股逆定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先分別運(yùn)用勾股定理算出每條邊的長(zhǎng)度，再根據(jù)周長(zhǎng)公式列式計(jì)算，即可作答．（2）運(yùn)用割補(bǔ)法進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．故答案為：；連接，如圖所示：易錯(cuò)題型十五用勾股定理解三角形【答案】B【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，求四邊形的面積，解題關(guān)鍵是通過連結(jié)對(duì)角線，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題求解．【詳解】解：連接，故選：B．【答案】【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，故答案為：．【答案】(1)見解析(2)13【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．答：的長(zhǎng)是13．易錯(cuò)題型十六勾股定理的逆定理【答案】D【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定解決此題．故選：D．【答案】(1)90(2)66【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的面積公式．勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．故答案為：90．故答案為：66．(1)求的長(zhǎng)；【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，對(duì)于（1），根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；易錯(cuò)題型十七勾股定理的應(yīng)用(1)求的長(zhǎng)；(2)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．50．【綜合與實(shí)踐】如圖，每個(gè)小方格的面積均為1，圖（1）（2）（3）中以直線三角形三邊向外作正方形A、B、C，圖中正方形的面積如下：ABC圖（1）448圖（2）______913圖（3）9______34（1）在表格中的橫線上填空．【提出問題】（2）根據(jù)圖（1）（2）（3）中三個(gè)正方形的面積關(guān)系，若直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，寫出a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系：______．【解決問題】（3）根據(jù)（2）中的發(fā)現(xiàn)，解決以下問題：一個(gè)垂直于地面的木桿在離地面6米處被折斷，木桿頂端落在離木桿底端8米處，木桿折斷之前有多高？【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理的證明：（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，結(jié)合正方形面積計(jì)算公式求解即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：（1）由題意得，圖（2）中正方形A的邊長(zhǎng)為2，則其面積為4；圖（3）中正方形B的邊長(zhǎng)為5，則其面積為25；故答案為：4；25；51．有一艘游輪即將靠岸，當(dāng)游輪到達(dá)點(diǎn)后熄滅發(fā)動(dòng)機(jī)，在離水面高度為的岸上，工作人員用繩子牽引靠岸，開始時(shí)繩子的長(zhǎng)為．（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào)）【分析】本題考查勾股定理解應(yīng)用題，讀懂題意，構(gòu)造直角三角形求解是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所示：易錯(cuò)題型十八最短路徑問題52．如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為，點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理，長(zhǎng)方體的展開圖，理解題意、掌握立方體的展開圖是解題關(guān)鍵．將長(zhǎng)方體展開，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可求解．【詳解】解：將長(zhǎng)方體展開，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，共有種情況：①如圖，②如圖，③如圖，螞蟻需要爬行的最短距離是．故選：B．【答案】13【分析】本題考查了圓柱的側(cè)面展開，軸對(duì)稱距離最短，勾股定理．將杯子側(cè)面展開，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即最短，利用勾股定理即可解答．【詳解】解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則即為最短距離，故答案為：13．(1)若要使得C、D兩活動(dòng)點(diǎn)到地點(diǎn)E的距離相等，則小明所在的E站應(yīng)在離A站多少處？【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及等角對(duì)等邊的性質(zhì)，利用勾股定理正確建立方程是解題關(guān)鍵．（2）作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，易錯(cuò)題型十九用HL證全等【答案】B【分析】本題考查運(yùn)用“”證明三角形全等，根據(jù)“”證明三角形全等的條件即可解答．故選：B【分析】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定方法“”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“”判定方法求解即可．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（1）由全等三角形的判定定理證得結(jié)論；易錯(cuò)題型二十全等的性質(zhì)與HL綜合【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．即的長(zhǎng)是3．【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見詳解；【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)直接證明即可；【答案】(1)見解析【分析】本題考查了直角三角形全等的判定，中垂線的性質(zhì)以及角平分線的判定，熟練掌握是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，壓軸題型一軸對(duì)稱中的折疊問題【答案】A【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．故選：A．【答案】或10當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，當(dāng)在的右側(cè)時(shí)，故答案為：或10【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平角的定義等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．故答案為：；壓軸題型二軸對(duì)稱中的最值問題【答案】A【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值，∵∠BAD＝120°，∴∠AA′M+∠A″＝60°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，∴∠AMN＝2∠AA′M，∠ANM＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2(∠AA′M+∠A″)＝2×60°＝120°，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查最短路線問題，三角形內(nèi)角和定理及其推論，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)確定M、N的位置是解題的關(guān)鍵．A．1.2 B．2 C．2.4 D．5【答案】C【分析】取點(diǎn)N關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，由軸對(duì)稱圖形或成軸對(duì)稱的性質(zhì)可推出MN=ME，從而得到CM+MN=CM+ME，當(dāng)點(diǎn)C、M、E在一條直線上且CE⊥AB時(shí)，CM+MN有最小值，最后利用等面積法求得CE的值即得．【詳解】解：取點(diǎn)N關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，如下圖：∵AD平分∠BAC∴點(diǎn)E在AB上∵點(diǎn)N與點(diǎn)E關(guān)于AD對(duì)稱∴AD是N點(diǎn)與E點(diǎn)所連線段的垂直平分線∴MN=ME∴CM+MN=CM+ME當(dāng)CE⊥AB時(shí)，CE有最小值，即CM+MN有最小值∴CM+MN最小值為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問題、軸對(duì)稱圖形或成軸對(duì)稱的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及等面積法，對(duì)稱轉(zhuǎn)化是解決最短路徑問題的常用方法，本題解題關(guān)鍵是將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為垂線段最短的問題．【答案】4點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，故答案為：4．壓軸題型三等腰三角形的判定與性質(zhì)【答案】或或故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題是對(duì)等邊三角形的考查，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)定理及分類討論是解決本題的關(guān)鍵.(1)直接寫出，的值，______，______；(2)詳見解析（2）證明：如圖2中，連接【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，因式分解，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.①根據(jù)以上作圖，請(qǐng)寫出一條正確結(jié)論：______．【分析】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積、折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．（1）①根據(jù)尺規(guī)作圖即可得出結(jié)論；（2）解：①如圖2，連接，交于點(diǎn)，②分兩種情況：壓軸題型四等邊三角形的判定與性質(zhì)70．央視科教頻道播放的《被數(shù)學(xué)選中的人》節(jié)目中說到，“數(shù)學(xué)區(qū)別于其它學(xué)科最主要的特征是抽象與推理”．幾何學(xué)習(xí)尤其需要我們從復(fù)雜的問題中進(jìn)行抽象，形成一些基本幾何模型，用類比等方法，進(jìn)行再探究、推理，以解決新的問題．(2)見解析【分析】（1）由全等三角形的判定可得出結(jié)論；設(shè)和交于點(diǎn)，71．【概念呈現(xiàn)】【性質(zhì)探究】【拓展應(yīng)用】②連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)H，∴垂直平分，【點(diǎn)睛】本題考查了新定義——“和合”三角形．熟練掌握新定義，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，是解題有關(guān)鍵．【答案】(1)證明見詳解(2)①【詳解】（1）證明：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，兩直線平行同位角相等，等邊對(duì)等角，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．壓軸題型五等腰（邊）三角形的存在性問題∵D，C是對(duì)稱點(diǎn)當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，，，三點(diǎn)在同一條直線上，如圖，【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．74．如圖所示，△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度是1厘米/秒的速度，點(diǎn)N的速度是2厘米/秒，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)多少秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得等邊三角形△AMN？（3）M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰△AMN，如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，如果不存在請(qǐng)說明理由．【答案】（1）10秒后M、N兩點(diǎn)重合；（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)秒后，可得到等邊三角形AMN；（3）M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，理由見詳解．【分析】（1）首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M，N的運(yùn)動(dòng)路程，N的運(yùn)動(dòng)路程比M的運(yùn)動(dòng)路程多10cm，列出方程求解即可；（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形AMN，然后表示出AM，AN的長(zhǎng)，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等邊三角形；（3）首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，表示出CM，NB的長(zhǎng)，列出方程，可解出未知數(shù)的值．【詳解】解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，x×1+10=2x，解得：x=10；∴10秒后M、N兩點(diǎn)重合；（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形AMN，如圖①，AM=t×1=t，AN=ABBN=102t，∵△AMN是等邊三角形，∴t=102t，∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)秒后，可得到等邊三角形AMN．（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，由（1）知10秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM=BN，設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間y秒時(shí)，△AMN是等腰三角形，∴CM=y10，NB=302y，CM=NB，y10=302y，解得：y=．故假設(shè)成立．∴當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以MN為底邊的等腰△AMN，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，理清線段之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)；壓軸題型六直角三角形的壓軸問題【答案】D∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，故選：D．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【詳解】解：的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，∴點(diǎn)A在的垂直平分線上，∵點(diǎn)在的垂直平分線上，∴垂直平分，故選：B．(2)證明見解析∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．壓軸題型七勾股定理中的折疊問題79．如圖，三角形紙片ABC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，把△ABD沿著AD翻折，得到△AED，DE與AC交于點(diǎn)G，連接BE交AD于點(diǎn)F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面積為，則點(diǎn)F到BC的距離為（）【答案】B【分析】首先求出ABD的面積．根據(jù)三角形的面積公式求出DF，設(shè)點(diǎn)F到BD的距離為h，根據(jù)?BD?h＝?BF?DF，求出BD即可解決問題．【詳解】解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝，∴S△ADE＝5，由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝5，∠BFD＝90°