集合的概念與表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解集合的基本概念，并能夠掌握集合的三個(gè)特征（確定性、互異性、無(wú)序性）與表示方法（重點(diǎn)）根據(jù)集合中元素個(gè)數(shù)有限與否對(duì)集合進(jìn)行分類、以針對(duì)不同數(shù)學(xué)對(duì)象采用不同方法表示集合（難點(diǎn)）【導(dǎo)學(xué)流程】元素與集合的相關(guān)概念元素：一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，常用小寫(xiě)的a,b,c拉丁字母等表示集合：把一些元素組成的總體叫做集合，常用大寫(xiě)的拉丁字母A,B,C等表示。集合相對(duì)：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，記作A=B。集合中元素特性特性確定性互異性無(wú)序性特性解讀是指作為一個(gè)集合的元素必須是明確的，不能確定的對(duì)象不能構(gòu)成集合，也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素是確定的對(duì)于給定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的對(duì)象歸入同一個(gè)集合時(shí)只能算作集合的一個(gè)元素對(duì)于給定的集合，其中的元素是不考慮順序的.如元素1,2,3與元素3,2，1構(gòu)成的集合是同一個(gè)集合元素與集合的關(guān)系1.屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A,記作a∈A2.不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于A,記作a?解讀：a∈A與a?A三、常見(jiàn)的數(shù)集及表示符號(hào)數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NNZQR集合的表示方法列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法。（如集合A={2，3，5，7}）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合元素所具有的共同特征。一般格式為：xPx。（如A圖示法：Venn圖法：用一條封閉曲線的內(nèi)部表示集合，如：集合A可表示為下圖的形式。A五、集合的分類(1)空集不含任何元素的集合，記作?(2)非空集合的分類①有限集：含有有限個(gè)元素的集合；②無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合。六、區(qū)間設(shè)a，b為兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a<b，則集合x(chóng)aa,b稱為閉區(qū)間，a,b稱為開(kāi)區(qū)間，如a,b,a,+∞【思維拓展】問(wèn)題一：設(shè)置一個(gè)情景，高一開(kāi)學(xué)第一天，學(xué)校通知下午三點(diǎn)高一全體班主任召開(kāi)班主任會(huì)議，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)通知的對(duì)象有哪些？這些對(duì)象能構(gòu)成一個(gè)集合嗎？答：通知的對(duì)象為高一全體班主任，這些對(duì)象可以構(gòu)成一個(gè)集合問(wèn)題二：“中華中學(xué)今年入學(xué)的愛(ài)好數(shù)學(xué)的學(xué)生可以組成一個(gè)集合”這句話對(duì)嗎？如果錯(cuò)了，它錯(cuò)在哪里？答：錯(cuò)了，集合具有確定性，而愛(ài)好數(shù)學(xué)的學(xué)生是泛指，并沒(méi)有一定的標(biāo)準(zhǔn)衡量問(wèn)題三：A=xy=x2,x答：集合A與集合B所含元素分別為x的取值和y的取值，它們的元素都為數(shù)字，所以屬于數(shù)集；而集合C的元素為不同的點(diǎn)，故屬于點(diǎn)集。三、我的困惑與質(zhì)疑【基礎(chǔ)練習(xí)】1.下列集合中表示同一集合的是(

)A.M={(3,2)}，N={3,2}B.M={5,6}，N={5,7}C.M={(4,5)}，N={(5,4)}D.M={2,1}，N={1,2}答案：D2.用“∈”或“?”填空12N;3Z;5Q;0答案：?3.下列命題正確的是(

)A.很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合B.集合y|y=x2-C.自然數(shù)集N中最小的數(shù)是1D.空集是任何集合的子集答案：D4.小于2的自然數(shù)集用列舉法可以表示為(

)A.0,1,2 B.1 C.0,1 D.1,2答案：C5.集合{1,3,5,7,9}描述法表示為(

)A.{x|x是不大于9的非負(fù)奇數(shù)} B.{x|1?x?9}C.{x|x≤9,x答案：A6.將集合A={x|1<x?3}用區(qū)間表示正確的是(

)A.(1,3) B.(1,3] C.[1,3) D.[1,3]答案:B【題型專練】一、集合的概念：?？家唤M對(duì)象能否組成集合，做題時(shí)利用集合的三個(gè)特性進(jìn)行判斷。1.下列元素的全體不能組成集合的是(

)A.中國(guó)古代四大發(fā)明 B.地球上的小河流C.方程x2-1=0的實(shí)數(shù)解【答案】B

【分析】本題考查集合的含義，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)集合中元素的確定性判斷．【解析】解：∵地球上的小河流沒(méi)有一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，∴無(wú)法構(gòu)成集合，故選：B．2.（多選）下列對(duì)象能構(gòu)成集合的有()A.接近于2025的所有正整數(shù) B.小于3的實(shí)數(shù)C.未來(lái)10年內(nèi)的房?jī)r(jià)趨勢(shì) D.點(diǎn)M(3,4)與點(diǎn)N(4,3)【答案】BD

【分析】本題考查集合的定義，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)集合的定義依次判斷即可．【解析】解：對(duì)于A，接近于2025的所有正整數(shù)標(biāo)準(zhǔn)不明確，不能構(gòu)成集合．對(duì)于B，小于-3對(duì)于C，未來(lái)10年內(nèi)的房?jī)r(jià)趨勢(shì)不明確，不能構(gòu)成集合．對(duì)于D，點(diǎn)M(3,2)與點(diǎn)N(4,3)是兩個(gè)不同的點(diǎn)，是確定的，能構(gòu)成集合．故選BD．二、判斷元素與集合關(guān)系1.給出下列關(guān)系：①12∈R；②2A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B

【分析】本題考查元素與集合的關(guān)系及特殊集合的表示方法，利用∈和?的定義，逐一分析求解即可．【解析】解：對(duì)于①，12為實(shí)數(shù)，而R表示實(shí)數(shù)集，所以12∈R對(duì)于②，2為整數(shù)，而Z表示整數(shù)集合，所以2∈Z，即②對(duì)于③，|-3|=3為正自然數(shù)，而N*表示正自然數(shù)集，所以|-對(duì)于④，因?yàn)閨-3|=3為無(wú)理數(shù)，故選B．2.已知元素a∈{0,1,2,3}，且a?{0,1,2}，則A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D

【解析】解：因?yàn)樵豠∈0,1,2,3，且a?故選：D．三、根據(jù)集合中元素特性求值解題步驟：1.根據(jù)集合中元素的確定性求解2.根據(jù)集合中元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn)1.已知集合A={a,a2-a}，且2【答案】-1【分析】本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，考查了元素的互異性，屬于基礎(chǔ)題．分a2-a=2【解析】解：因?yàn)榧螦={a,a2-所以a2-a=2當(dāng)a2-a=2時(shí)，解得a=當(dāng)a=-1時(shí)，當(dāng)a=2時(shí)，不滿足元素互異性，舍去，顯然當(dāng)a=2時(shí)，不符合題意，綜上所述，a=-故答案為：-1四、集合的表示法1.用描述法表示下列集合：(1)比1大且比10小的實(shí)數(shù)組成的集合;(2)不等式3x+4≥2x的所有解組成(3)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)組成的集合;(4)正奇數(shù)集M．【答案】解：(1)可以表示成{x∈(2)可以表示成{x|3x+4≥2x}，即(3)可以表示成{(x,y)|x±(4)設(shè)x∈M，故全體奇數(shù)可用式子x=2n+1，n∈Z表示，但此題要求為正奇數(shù)，故【當(dāng)堂檢驗(yàn)】1.下列說(shuō)法正確的是(

)A.我校很喜歡足球的同學(xué)能組成一個(gè)集合B.聯(lián)合國(guó)安理會(huì)常任理事國(guó)能組成一個(gè)集合C.數(shù)1,0,5,13,D.由不大于4的自然數(shù)組成的集合的所有元素為1，2，3，4【答案】B

【分析】本題考查了集合的定義，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)題意，由集合的定義逐一判斷，即可得到結(jié)果．【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)楹芟矚g足球的同學(xué)沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合的確定性，所以不能組成一個(gè)集合，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槁?lián)合國(guó)安理會(huì)常任理事國(guó)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，符合集合的確定性，所以能組成一個(gè)集合，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)榇嬖?3=46對(duì)于D，由不大于4的自然數(shù)組成的集合的所有元素為0，1，2，3，4，故D錯(cuò)誤．故選：B．2.下列說(shuō)法中正確的是(

)A.與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)不能構(gòu)成集合B.由“title”中的字母構(gòu)成的集合中元素的個(gè)數(shù)為5C.一個(gè)集合中有三個(gè)元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△D.高中學(xué)生中的游泳能手能構(gòu)成集合【答案】C

【分析】本題考查了集合的定義，屬基礎(chǔ)題．根據(jù)集合的定義逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：與定點(diǎn)A、B等距離的點(diǎn)為線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)，故能組成集合，故A錯(cuò)誤；由“title”中的字母構(gòu)成的集合為{t,i,l,e}，有4個(gè)元素，故B錯(cuò)誤；若△ABC是等腰三角形，故a、b、c中有兩個(gè)相等，則由a、b、c高中學(xué)生中的游泳能手不具有確定性，不能構(gòu)成集合，故D錯(cuò)誤．故選C．3.已知集合A={1,m+2,m2+3}，若2∈AA.-1 B.0 C.1 D.【答案】B

【分析】本題考查元素與集合的關(guān)系，集合中元素的確定性、互異性、無(wú)序性，屬于基礎(chǔ)題．依據(jù)題設(shè)條件得到關(guān)于m的方程并進(jìn)行求解，然后依據(jù)集合元素的互異性檢驗(yàn)即可求得結(jié)果．【解答】解：因?yàn)?∈若m+2=2，解得m=0，若m2當(dāng)m=0時(shí)，A={1,2,3}，滿足條件．故選：B．4.下列說(shuō)法正確的是(

)A.0與{0}的意義相同B.高一(1)班個(gè)子比較高的同學(xué)可以形成一個(gè)集合C.集合A={(x,y)|D.方程x2【答案】D

【分析】本題考查集合的定義，考查集合中元素的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．關(guān)鍵是理解集合的定義以及集合中元素的特點(diǎn)．逐一判斷得出結(jié)論．【解答】解：A.0是元素，而{0}是集合，兩者的意義不同，故A錯(cuò)誤；B.高一(1)班個(gè)子比較高沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合元素的確定性，不能形成一個(gè)集合，故B錯(cuò)誤；C.集合A={(x,y)|3x+y=2，x∈N}的元素是直線3x+y=2上的點(diǎn)，且x可以取所有自然數(shù)，是無(wú)限集，故C錯(cuò)誤；D.方程x2+2x+1=0的解為x=-1，故其解集中只有一個(gè)元素，故故選：D．5.下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是(

)A.-1∈N B.0?【答案】B

【分析】根據(jù)集合N，N*，Q，R【解答】解：選項(xiàng)A：因?yàn)榧螻中沒(méi)有負(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B：因?yàn)榧螻*選項(xiàng)C：因?yàn)榧螿表示所有有理數(shù)，故C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D：R為實(shí)數(shù)集，25故選：B．6.下面能組成一個(gè)集合的是(

)A.橫峰中學(xué)高一年級(jí)聰明的學(xué)生 B.3C.直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn) D.所有奇數(shù)【答案】CD

【分析】本題考查集合的含義，屬于基礎(chǔ)題．由集合元素的確定性逐個(gè)判斷即可．【解答】解：橫峰中學(xué)高一年級(jí)聰明的學(xué)生，3直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，所有奇數(shù)所指元素明確．故選：CD．7.集合A中含有三個(gè)元素2，4，6，若a∈A，且6-a∈A.2 B.-2 C.4 D.【答案】AC

【解析】本題考查集合與元素的關(guān)系的應(yīng)用屬基礎(chǔ)題．根據(jù)題意逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：若a=2，2∈A，則若a=-2，若a=4，4∈A，這若a=0，0?故選AC．8.下列對(duì)象中，能夠組成集合的有

．①比較小的數(shù)；②不大于10的非負(fù)偶數(shù)；③所有三角形；④直角坐標(biāo)平面內(nèi)橫坐標(biāo)為零的點(diǎn)；⑤高個(gè)子男生；⑥某班17歲以下的學(xué)生．【答案】②③④⑥

【分析】本題主要考查集合的概念.屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)集合的定義直接判斷即可求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)集合的定義，能夠組合集合的有：②③④⑥，①⑤都不滿足集合中元素的確定性．故答案為②③④⑥．9.給定下列敘述：①難解的題目；

②方程x2③平面直角坐標(biāo)系中第四象限內(nèi)的一些點(diǎn)；

④很多多項(xiàng)式．其中能組成集合的是

(填序號(hào))【答案】②

【分析】本題考查集合元素的確定性，屬于基礎(chǔ)題．解決這類題目要從集合中元素的特征“確定性、互異性”出發(fā)，顯然，①③④不符合集合中元素的確定性這一特征．【解答】解：①對(duì)于難題沒(méi)有一個(gè)明確標(biāo)準(zhǔn)，所以構(gòu)不成集合；②方程x2+2=0的實(shí)數(shù)解可以構(gòu)成集合，給定一個(gè)實(shí)數(shù)，是不是方程的③平面直角坐標(biāo)系中第四象限內(nèi)的一些點(diǎn)，沒(méi)有明確標(biāo)準(zhǔn)，構(gòu)不成集合；④很多多項(xiàng)式，沒(méi)有明確標(biāo)準(zhǔn)，構(gòu)不成集合．故答案為②．10.已知集合A={1,a-2,a2-a-1}【答案】0

【分析】本題主要考查集合與元素的關(guān)系、集合中元素的互異性等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)題意，利用元素與集合的關(guān)系得到關(guān)于a的方程，結(jié)合元素的互異性算出答案．【解答】解：因?yàn)锳={1,a-2,a所以a-2=-①當(dāng)a-2=-1時(shí)，②當(dāng)a2-a-1=-1綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為0．故答案為：0．11.(1)已知