第19講角的概念與計算(5個模塊7個知識點8個題型）模塊導航模塊導航模塊一角與角的度量模塊二角的大小比較模塊三角的和差倍分模塊四余角與補角模塊五課后作業(yè)模塊一模塊一角與角的度量知識點1角的概念1.角的靜態(tài)定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的邊。2.角的動態(tài)定義：角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形。當射線的終止位置和起始位置成一條直線時，形成平角，繼續(xù)旋轉，當射線的終止位置和起始位置重合時，形成周角。注意：(1)角的邊是射線，我們畫出的角的邊是有限的，若不夠用，可以隨意延伸，不需要說“延長角的邊”。(2)角的大小與角的邊長(畫出的部分)無關，只與兩條射線張開的幅度有關。(3)平角的兩邊成一條直線,但不能說直線就是平角.周角兩邊重合成了同一條射線，但也不能說射線就是周角。(4)若沒有特別說明，我們所研究的角指的是小于平角的角。知識點2角的表示方法角用符號“∠”表示，讀作“角”，通常有以下幾種表示角的方法。(1)用三個大寫字母表示在這種表示方法中，表示頂點的字母必須寫在中間，另兩個字母不分順序，如圖(1)中的角有∠AOB、∠AOC、∠BOC。(2)用一個大寫字母表示在這種表示方法中，表示角的大寫字母必須是表示角的頂點的那個字母，且當兩個或兩個以上的角有同一個頂點時，不能用這種方法來表示其中的任何一個角，如圖(2)中的∠EBC也可以表示為∠E，∠ADC也可以表示為國∠D，但∠EAF，∠BAF都不能用∠A來表示。(3)用一個數(shù)字表示用數(shù)字表示角時，要在角的內(nèi)部頂點附近加上弧線，弧線旁邊寫上數(shù)字，如圖(2)中的∠EAF也可以表示為∠1；∠FCD也可以表示為∠2。(4)用一個小寫希臘字母(如α，β，γ)表示這種方法與用數(shù)字表示角的方法類似，也是在角的內(nèi)部頂點附近加上弧線，弧線旁邊寫上小寫希臘字母，如圖(3)中的∠AOB也可以表示為∠α。注意：角的計數(shù)(1)在觀察圖中有多少個角時，若沒有特別說明，則只考慮小于平角的角。(2)與線段計數(shù)類似，進行角的計數(shù)時，可運用分類計數(shù)的方法。(3)用阿拉伯數(shù)字表示角時，一定要在圖中標出該角的位置，畫出，小弧線。知識點3角的度量單位1.角度制的概念：度、分、秒是角的基本度量單位，這種角的度量制叫作角度制。2.角的換算：1°=60′，1′=60″；1′=（160）°，1″=（160）′；1直角=考點專訓考點專訓考點1角的概念與表示【例1】下列說法中正確的是（

）A．有公共端點的兩條線段組成的圖形叫做角B．兩條射線就組成了角C．角可以看成由一條射線繞著它的端點從起始位置旋轉到終止位置而形成的圖形D．角的兩邊越短，角越小【答案】C【分析】本題考查了角的相關定義，熟練掌握角的兩種定義是解答的關鍵，注意：角的兩邊是兩條射線，并非直線和線段．【詳解】解：A.有公共端點的兩條線段組成的圖形叫做角，這個說法是錯誤的，角是由兩條射線（不是線段）組成的，它們有一個公共端點，稱為角的頂點；B.兩條射線就組成了角，這個說法也不夠準確，兩條射線必須有一個公共端點才能組成角；C.角可以看成由一條射線繞著它的端點從起始位置旋轉到終止位置而形成的圖形，這個說法是正確的，角可以被看作是一條射線（稱為始邊）繞著它的端點旋轉到另一條射線（稱為終邊）所形成的圖形；D.角的兩邊越短，角越小，這個說法是錯誤的，角的大小與邊的長度無關，而是由兩條邊之間的夾角決定；因此，正確答案是C，故選：C．【變式1】下列四個圖中，能用∠1、∠ACB、∠C三種方法表示同一角的是（

）【答案】C【分析】本題考查角的定義及其表示方法，正確認識角和記憶角的表示方法是解決本題的關鍵．根據(jù)角的表示方法進行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)角的表示方法可知，選項C的∠1，故選：C．【變式2】下列四個圖中能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角的是（

）【答案】B【分析】本題考查了角的概念，準確識圖，熟練掌握角的表示方法是解題的關鍵．結合各選項中的圖形，根據(jù)角的表示方法即可得出答案．【詳解】解：A、圖中的∠1，還可以用∠AOB表示，不能用∠O表示，故該選項不符合題意；B、圖中的∠1，還可以用∠AOB表示，也能用∠O表示，故該選項符合題意；C、圖中的∠1，不可以用∠AOB表示，也不能用∠O表示，故該選項不符合題意；D、圖中的∠1，不可以用∠AOB表示，也不能用∠O表示，故該選項不符合題意；故選：B．【變式3】下列圖形中，能用∠O，∠1，∠AOB表示同一個角的是（

）【答案】A【分析】本題主要考查角的表示方法，解題的關鍵是要熟練掌握角的幾種表示方法；根據(jù)角的表示方法，逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：A．頂點O處有一個角，能同時用∠O，∠1，∠AOB表示，故本選項符合題意；B．頂點O處有四個角，∠1和∠AOB表示同一個角，不能用∠O表示，故本選項不符合題意；C．頂點O處有三個角，不能用∠O表示，故本選項不符合題意；

D．頂點O處有兩個角，不能用∠O表示，∠1和∠AOD表示得不是同一個角，無∠AOB，故本選項不符合題意；．故選：A．考點2角的度量【例1】已知∠α=24°15'，∠β=24.15°，則∠α∠β（填“>”，“<”或“【答案】>【分析】本題主要考查了度分秒的換算，首先根據(jù)1°=60'把24.15°化成24°9'，再比較【詳解】解：∵∠β=24.15°=24°9'∴∠α>∠β．故答案為：>．【變式1】填空：（1）0.65°=′；（2）32.43°=°′″；（3）120°36′（4）108°42′【答案】39322548120..71【分析】本題考查度分秒的換算，掌握度分秒的換算方法以及單位之間的進率是正確計算的前提．（1）根據(jù)度分秒1°=60（2）根據(jù)度分秒1°=60′，（3）根據(jù)度分秒1°=60′，（4）根據(jù)度分秒1°=60′，【詳解】解：（1）0.65°=0.65×60（2）32.43°；=32°+0.43°=32°+0.43×6=32°+25.=32°+2=32°+2=32°2（3）120°3=120°+3=120°+3=120°+=120°+0.615°=120.615°.（4）108°4=108°+4=108°+4=108°+=108°+0.71°=108.71°.故答案為：（1）39；（2）32，25，48；（3）120.615；（4）108.71．【變式2】關于度、分、秒的換算：（1）56°18′=（2）12°32′2（3）12.31°=°＇''．【答案】56.312.【分析】本題主要考查了度分秒的換算，關鍵是掌握將高級單位化為低級單位時，乘以60，反之，將低級單位轉化為高級單位時除以60．（1）將18′轉化為（2）將24″轉化為24×160′（3）將0.31°轉化為0.31×60′=18.6′【詳解】解：（1）56°18′=56°+18（2）12°32（3）12.31°=12°+0.31°=12°+18.6故答案為：56.312.54模塊二模塊二角的大小比較1.角的分類：等于90°的角是直角，小于直角的角是銳角，大于直角而小于平角的角是鈍角。2.角的比較方法：（1）疊合法：把要比較的兩個角的一條邊疊合在一起，通過觀察另外一條邊的位置比較兩個角的大小。（2）度量法：用量角器量出角的度數(shù)，在根據(jù)度數(shù)比較角的大小?？键c專訓考點專訓考點1角的比較【例1】在∠AOB內(nèi)任取一點C，作射線OC，那么一定有（

）A．∠AOB>∠AOC B．∠AOC>∠BOCC．∠BOC=∠AOB D．∠AOC=∠BOC【答案】A【分析】本題考查比較角的大小，角的和差，根據(jù)射線OC在∠AOB的內(nèi)部，得到∠AOB=∠AOC+∠BOC，進行判斷即可．【詳解】解：∵射線OC在∠AOB的內(nèi)部，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC，∴∠AOB>∠AOC,∠AOB>∠BOC，∠AOC,∠BOC的大小關系跟OC的位置有關，∠AOC可能大于、小于或等于∠BOC；故選A．【變式1】已知∠α=39°18′，∠β=39.18°，∠γ=39.3°，下面結論正確的是（A．∠α=∠γ>∠β B．∠γ>∠α=∠βC．∠α<∠β<∠γ D．∠γ<∠α<∠β【答案】A【分析】此題考查了角的大小的比較，掌握角的度，分，秒之間的轉化是解題的關鍵．將∠α=39°18′轉化為【詳解】解：由∠α=39°18又因為∠β=39.18°,∠γ=39.3°，所以∠α=∠γ>∠β．故選：A．【變式2】如圖，點B為∠AOC內(nèi)部一點，連接OB，關于角的描述錯誤的是（

）A．∠1與∠AOB表示同一個角 B．∠AOC=∠AOB+∠BOCC．∠β表示∠BOC D．∠AOC小于∠AOB【答案】D【分析】本題考查角的概念，結合圖形并根據(jù)角的概念即可求出答案．解題的關鍵是正確理解角的表示方法．【詳解】解：A．∠1與∠AOB表示同一個角，故此選項不符合題意；B．如圖，∠AOC=∠AOB+∠BOC，故此選項不符合題意；C．∠β表示∠BOC，故此選項不符合題意；D．如圖，∠AOC=∠AOB+∠BOC，則∠AOC大于∠AOB，故此選項符合題意．故選：D．【變式3】下列方法能判斷∠ABC>∠DEF的是（

）【答案】D【分析】此題考查三角形的邊角關系，關鍵是根據(jù)三角形的三邊得出角的大小比較解答．根據(jù)角的比較大小解答即可．【詳解】解：A、由圖可知，不符合題意；B、根據(jù)圖可知，不符合題意；C、根據(jù)圖可知，不符合題意；D、根據(jù)圖可知，符合題意；故選：D．【變式4】如圖所示的正方形網(wǎng)格中，點A、B、C是格點，則∠B2∠C．（填“>”，“<”或“=”）【答案】>【分析】本題考查了角的大小比較，熟練掌握網(wǎng)格特點和角的大小比較是解題關鍵．如圖（見解析），根據(jù)網(wǎng)格特點可得∠C=45°，∠CBD=90°，∠ABC>∠CBD，由此即可得．【詳解】解：如圖，由網(wǎng)格可知，∠C=45°，∠CBD=90°，∠ABC>∠CBD，則∠ABC>2∠C，故答案為：>．模塊三模塊三角的和差倍分知識點1角的和差一般地，如果一個角的度數(shù)是另兩個角的度數(shù)的和，那么這個角就叫作另兩個角的和；如果一個角的度數(shù)是另兩個角的度數(shù)的差，那么這個角就叫作另兩個角的差。兩個角的和或差仍是一個角。知識點2角的平分線1.角的平分線的概念：從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫作這個角的平分線。例如，如圖，OC就是∠AOB的平分線，∠AOC=∠BOC=12∠AOB，∠AOB=∠AOC+∠BOC=2∠AOC=2∠BOC2.角的n等分線：類似角的平分線，若從角的頂點引出的(n1)條射線將這個角分成相等的n個角,則這(n1)條射線叫作這個角的n等分線。注意：(1)角平分線是射線，不是線段或直線。(2)角平分線必須滿足三個條件：①是從角的頂點引出的射線；②在角的內(nèi)部；③將已知角平分?？键c專訓考點專訓考點1角的平分線【例1】已知OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，下列條件中不能確定射線OC平分∠AOB的是（

）A．∠BOC=12∠AOBC．∠AOC=∠BOC D．∠AOB=∠AOC+∠BOC【答案】D【分析】此題主要考查了角平分線的定義，正確把握角平分線的定義是解題關鍵．直接利用角平分線的定義分別分析得出答案．【詳解】解：A、∠BOC=12∠AOB，能確定OCB、∠AOB=2∠AOC，能確定OC平分∠AOB，故此選項不合題意；C、∠AOC=∠BOC，能確定OC平分∠AOB，故此選項不符合題意；D、∠AOB=∠AOC+∠BOC不能確定OC平分∠AOB，故此選項符合題意．故選：D．

【變式1】如圖，射線OC平分∠AOB．若∠AOB=58°，則∠COB的度數(shù)為（

）A．90° B．58° C．29° D．24°【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的定義，根據(jù)角平分線的定義可得∠AOB=2∠AOC=50°．【詳解】解：∵射線OC平分∠AOB，∠AOB=58°，∴∠COB=1故選：C．【變式2】如圖，已知O為直線AB上一點，∠COD=90°，OE平分∠BOD．若∠COE=22°，則∠AOD的大小為（

）A．46° B．44° C．68° D．22【答案】B【分析】本題主要考查了角平分線的定義及角的和差計算，鄰補角互補求角度等知識點．先由∠DOE=∠COD?∠COE求出∠DOE，再根據(jù)角平分線求出∠BOD，最后根據(jù)鄰補角求出∠AOD．【詳解】解：∵∠COD=90°，∠COE=22°，∴∠DOE=∠COD?∠COE=90°?22°=68°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOD=2∠DOE=136°，∴∠AOD=180°?∠BOD=44°，故選：B．【變式3】如圖，點O在直線AB上，OD平分∠AOC．若∠1=52°，則∠2的度數(shù)為（

）A．76° B．74° C．64° D．52°【答案】A【分析】本題考查了角平分線的定義，先根據(jù)OD平分∠AOC，得∠COD=∠1=52°，故∠2=180°?∠COD?∠1=76°，即可作答．【詳解】解：∵OD平分∠AOC，∴∠COD=∠1=52°，∴∠2=180°?∠COD?∠1=76°，故選：A．【變式4】如圖，∠AOB=90°，∠AOC=20°，OD是∠BOC的平分線，則∠AOD的度數(shù)為（

）A．35° B．55° C．40° D．60°【答案】B【分析】本題考查了角平分線定義，角度和差，先求出∠BOC=∠AOB?∠AOC=70°，又OD是∠BOC的平分線，則∠COD=12∠BOC=35°【詳解】解：∵∠AOB=90°，∠AOC=20°，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=70°，∵OD是∠BOC的平分線，∴∠COD=1∴∠AOD=∠AOC+∠COD=20°+35°=55°，故選：B．考點2角的和差倍分【例1】如圖，直線AB,CD相交于點O,EO⊥AB，垂足為O．若∠BOD=50°，則∠COE的度數(shù)為°．【答案】40【分析】本題考查幾何圖形中角度的計算，垂直得到∠BOE=90°，平角的定義，求出∠COE的度數(shù)即可．【詳解】解：∵EO⊥AB，∴∠BOE=90°，∵∠BOD+∠BOE+∠COE=180°，∠BOD=50°，∴∠COE=40°；故答案為：40．【變式1】如圖，直線AB，CD交于點O，EO⊥AB，垂足為O．已知∠BOD:∠DOA=1:8，求∠COE的度數(shù)．【答案】70°【分析】本題考查幾何圖形中角度的計算，設∠BOD=x，得到∠DOA=8x，根據(jù)平角的定義，列出方程求出x，再根據(jù)垂直和平角的定義，進行求解即可．【詳解】解：設∠BOD=x，∵∠BOD:∠DOA=1:8∴∠DOA=8x，∵∠BOD+∠DOA=180°，∴x+8x=180°，解得x=20°，∴∠BOD=20°，又∵EO⊥AB，∴∠COE=180°?90°?20°=70°．【變式2】如圖，∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，∠COD=18°，求∠AOB的度數(shù)．【答案】108°【分析】本題考查了角度計算問題、角平分線的定義、一元一次方程的應用，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵．由∠BOC=2∠AOC，設∠AOC=α，∠BOC=2α，則有∠AOB=∠AOC+∠BOC=3α，根據(jù)角平分線的定義可得∠BOD=12∠AOB=32α，利用【詳解】解：∵∠BOC=2∠AOC，∴設∠AOC=α，∠BOC=2α，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=3α，∵OD平分∠AOB，∴∠BOD=1∵∠BOC=∠BOD+∠COD，∴2α=3解得：α=36°，∴∠AOB=3α=3×36°=108°．【變式3】如圖，直線AB,CD相交于點O,OB平分∠EOD．(1)若∠AOC=35°，求∠EOC的度數(shù)；(2)若∠EOC:∠BOD=3:1，求∠AOC的度數(shù)．【答案】(1)110°(2)36°【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的相關計算，角平分線的相關計算，對頂角相等等知識．（1）根據(jù)OB平分∠EOD，得出∠BOD=∠BOE，由∠AOC=35°，結合對頂角相等得出∠BOD=∠BOE=∠AOC=35°，再根據(jù)平角定義即可求出∠EOC；（2）由∠EOC:∠BOD=3:1，設∠BOD=x，則∠EOC=3x，則∠AOC=∠BOD=∠BOE=x，由∠EOC+∠BOD+∠BOE=180°，列方程5x=180°，即可求解．【詳解】（1）解：∵OB平分∠EOD，∴∠BOD=∠BOE，由∠AOC=35°，∴∠BOD=∠BOE=∠AOC=35°，∴∠EOC=180°?∠BOD?∠BOE=110°；（2）解：由∠EOC:∠BOD=3:1，設∠BOD=x，則∠EOC=3x，則∠AOC=∠BOD=∠BOE=x，由∠EOC+∠BOD+∠BOE=180°，即5x=180°，∴x=36°，即∠AOC=36°．【變式4】如圖，直線AB與CD相交于點O，OE平分∠BOC．(1)當∠COE=27°時，求∠AOD的度數(shù)；(2)若OF⊥OE，試說明OF平分∠BOD．請你將它補充完整：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠_______（角平分線的定義），∵OF⊥OE，∴∠EOF=_______（垂直的定義），∴∠BOE+∠_______=90°,∠COE+∠DOF=90°，∴∠BOF=∠DOF（_______），∴OF平分∠BOD（角平分線的定義）．【答案】(1)54°；(2)COE，90°，BOF，同角的余角相等（或等量代換）．【分析】本題主要考查角度的和差計算，角平分線的定義及判定，互余、互補的概念及計算，掌握角度的和差，以及互余、互補的計算是解題的關鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義以及對頂角相等即可求解；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠BOE=∠COE，由垂直的定義，平角為180°，得到∠BOE+∠BOF=90°，∠COE+∠DOF=90°，再根據(jù)同角的余角相等得到∠BOF=∠DOF，由此即可求解．【詳解】（1）解：∵OE平分∠BOC，∠COE=27°，∴∠COE=∠BOE=27°，∴∠AOD=∠BOC=2∠COE=54°；（2）解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠COE（角平分線的定義），∵OF⊥OE，∴∠EOF=90°（垂直的定義），∴∠BOE+∠BOF=90°，∠COE+∠DOF=90°，∴∠BOF=∠DOF（同角的余角相等（或等量代換）），∴OF平分∠BOD（角平分線的定義）．故答案為：COE，90°，BOF，同角的余角相等（或等量代換）．模塊四模塊四余角與補角知識點1余角與補角1.余角和補角：一般地，如果兩個角的和等于90°，就說這兩個角互為余角，簡稱這兩個角互余，其中一個角是另一個角的余角，類似地，如果這兩個角的和等于180°，就說這兩個角互為補角，簡稱兩個角互補，其中一個角是另一個角的補角。2.余角和補角的性質：同角或等角的余角相等。同角或等角的補角相等。注意：(1)互余、互補是兩個角之間的關系，若三個角的和等于90°或180°,不能稱為互余或互補。(2)互余、互補只與兩個角的角度關系有關，與位置無關。(3)∠α的余角可以記作90°∠a，∠a的補角可以記作180°∠a。知識點2方位角方位角：以正北、正南方向為基準，描述物體運動的方向，即正北、正南方向與物體運動方向的夾角為方位角。注意：(1)方位角在敘述時，一般先說南北，后說東西，如南偏西20°，當與南北方向夾角為45°時，常簡稱為東北、東南、西北、西南，如北偏東45°為東北方向。(2)敘述方位角時，不僅要先說南北，后說東西，而且要選好基準點，即在某一點的南(北)偏東(西)多少度。拓展：鐘面角1分鐘：分針走6°，時針走0.5°；1小時：分針走360°，時針走30度?？键c專訓考點專訓考點1求余角和補角【例1】若∠α=35°27′，則∠α的余角的度數(shù)是【答案】54°3【分析】本題考查的是余角的概念：若兩個角的和等于90度，則這兩個角互余．掌握余角的概念是解題的關鍵．根據(jù)余角的性質進行計算可得答案.【詳解】解：∵∠α=35°27∴∠α的余角=90°?35°2故答案為：54°33【變式1】如果∠α=55°30'24''【答案】124°【分析】本題主要考查了補角的定義，角度的運算，掌握互補兩角和等于180°是關鍵．【詳解】解：180°?55°30則∠α的補角為124°故答案為：124°29【變式2】一個角比它的余角少10°，則這個角的度數(shù)為．【答案】40°/40度【分析】本題考查了余角和補角，熟練掌握相關定義是解題的關鍵．設這個角的度數(shù)為x°，表示它的余角，根據(jù)題意列方程即可．【詳解】解：設這個角的度數(shù)為x°，由題意得：x+10=90?x，解得x=40，故答案為：40°．【變式3】若一個角補角的大小是這個角余角大小的3倍，那么這個角的大小為．【答案】45°【分析】本題考查了補角，余角，解題關鍵是理解補角，余角的意義．設這個角的大小為x，根據(jù)題意列出方程求解．【詳解】解：設這個角的大小為x，則180°?x=390°?x解得：x=45°，故答案為：45°．【變式4】一個角的補角與它的余角的度數(shù)之比是4：1，則這個角的度數(shù)是【答案】60°#60度【分析】本題考查了一元一次方程的應用，與余角、補角有關的計算，正確掌握相關性質內(nèi)容是解題的關鍵．先設這個角的度數(shù)是x，根據(jù)“一個角的補角與它的余角的度數(shù)之比是4：1”，進行列方程，再解出【詳解】解：設這個角的度數(shù)是x，∵一個角的補角與它的余角的度數(shù)之比是4：∴180°?x：則490°?x∴360°?4x=180°?x，解得x=60°，故答案為：60°．考點2余角與補角的性質【例1】如圖，若AO⊥CO，BO⊥DO，則∠1=∠2的理由為（

）A．同角的余角相等 B．對頂角相等C．角平分線定義 D．同角的補角相等【答案】A【分析】本題考查了余角的性質，掌握同角的余角相等是解題的關鍵．根據(jù)同角的余角相等即可求解．【詳解】∵AO⊥CO，BO⊥DO，∴∠AOC=∠BOD=90°∴∠1+∠BOC=∠2+∠BOC∴∠1=∠2，∴∠1=∠2的理由為同角的余角相等．故選：A．【變式1】如圖，將一副三角板的直角頂點重合擺放在桌面上，若∠ACD=44°，則∠BCF等于（

）A．54° B．46° C．44° D．22°【答案】C【分析】本題考查了同角的余角相等，利用該性質可得∠BCF=∠ACD，熟知同角的余角相等是解題的關鍵．【詳解】解：∵∠ACB=∠DCF=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD+∠BCF=90°，∴∠ACD=∠BCF=44°．故選：C．【變式2】因為∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，所以∠B與∠C之間的關系是（

）A．∠B=∠C B．∠B+∠C=180° C．∠B+∠C=90° D．不確定【答案】A【分析】本題考查同角的補角，根據(jù)同角的補角相等，即可得出結論．【詳解】解：∵∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，∴∠B=∠C；故選A．【變式3】如圖，若∠AOB=∠COD=90°，則有∠AOC=∠BOD，其依據(jù)是（

）A．同角的余角相等 B．同角的補角相等C．互為余角的兩個角相等 D．互為余角的兩個角的和為90°【答案】A【分析】本題考查的是余角的概念和性質，熟知同角的余角相等是解題關鍵．根據(jù)余角的概念證明，即可得到答案．【詳解】解：∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∴∠BOC既是∠AOC的余角，又是∠BOD的余角，∴∠AOC=∠BOD，其依據(jù)是同角的余角相等，故選A．考點3方位角的應用【例1】如圖，某校綜合實踐活動小組在校園附近開發(fā)A、B兩塊菜地，一塊菜地A在學校（點O）的北偏東40°方向，另一塊菜地B在學校的南偏東30°方向，則∠AOB的度數(shù)為（

）A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】A【分析】本題考查了方向角，角的和差運算；由兩個方向角與所求的角為一個平角，即可求解．【詳解】解：由題意知，∠AOB=180°?40°?30°=110°；故選：A．【變式1】為推進城鄉(xiāng)融合發(fā)展，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)要修建一條鄉(xiāng)村公路，如圖所示，公路從A地沿著北偏東55°方向到B地，再從B地沿著南偏東35°方向到C地，然后從C地到D地．已知CD的方向與AB的方向一致，則公路從C地到D地修建的方向為（

）A．東偏北55° B．北偏東55°C．南偏東35° D．北偏西35°【答案】B【分析】本題考查了與方位角有關的計算題，根據(jù)CD的方向與AB的方向一致，且公路從A地沿著北偏東55°方向到B地，即可作答．【詳解】解：∵CD的方向與AB的方向一致，且公路從A地沿著北偏東55°方向到B地，∴公路從C地到D地修建的方向為北偏東55°，故選：B【變式2】如圖，已知從點A看點B，仰角為22°，嘉淇做一個數(shù)學游戲，把由仰角描述換成用方向角來描述，則點B位于點A的（

）A．南偏西68°方向上 B．南偏西22°方向上C．北偏東22°方向上 D．北偏東68°方向上【答案】D【分析】本題考查了仰角與方向角；過A作水平方向射線AC，垂直方向射線AD，則∠DAC=90°，∠BAC=22°；由此可求得∠DAB，從而可確定點B位于點A的方向．【詳解】解：過A作水平方向射線AC，垂直方向射線AD，則∠DAC=90°，∠BAC=22°；則∠DAB=90°?∠BAC=68°，∴點B位于點A的方向為北偏東68°方向上．故意選：D．【變式3】如圖，是小明家和學校所在地的簡單地圖，已知OA=2cm,OB=2.5cm,OP=4cm(1)圖中距小明家距離相同的是哪些地方？(2)商場、學校、公園、停車場分別在小明家的什么方位？哪兩個地方的方位是相同的？(3)若學校距離小明家400m，那么商場和停車場分別距離小明家多少米？【答案】(1)學校和公園(2)商場在小明家北偏西30°方向上，學校在小明家北偏東45°方向上，公園在小明家南偏東60°方向上，停車場在小明家南偏東60°方向上；公園和停車場的方位相同(3)500m；【分析】本題主要考查了用方位角和距離確定位置，正確讀懂圖示是解題的關鍵．（1）求出OC的長，得到OA=OC<OB<OP即可得到答案；（2）根據(jù)圖示結合方位角的表示方法求解即可；（3）根據(jù)題意可知地圖上1cm表示實際400×【詳解】（1）解：∵C為OP的中點，OP=4cm∴OC=PC=1∴OA=OC<OB<OP，∴圖中距小明家距離相同的是學校和公園；（2）解：由題意得，商場在小明家北偏西90°?60°=30°方向上，學校在小明家北偏東90°?45°=45°方向上，公園在小明家南偏東90°?30°=60°方向上，停車場在小明家南偏東90°?30°=60°方向上，∴公園和停車場的方位相同．（3）解：∵學校距離小明家400m，∴商場距離小明家400×2.52=500模塊五模塊五課后作業(yè)1．下列說法正確的是（

）A．周角就是一條直線B．一條直線便是一個平角C．由兩條射線組成的圖形叫作角D．由一條射線繞其端點旋轉，始邊與終邊重合而成的圖形叫作周角【答案】D【分析】本題考查了角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．根據(jù)角的定義進行判斷即可．【詳解】解：A、周角的兩邊重合成一條射線，而不能說周角就是一條直線，所以A選項錯誤；B、角有頂點，則一條直線不能說是一個平角，所以B選項錯誤；C、有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，所以C選項錯誤；D、由一條射線繞其端點旋轉，始邊與終邊重合而成的圖形叫作周角，所以D選項正確．故選：D．2．下列圖中，能用∠α、∠O、∠AOB三種方法表示同一角的圖形是（

）【答案】C【分析】本題主要考查了角的表示方法．根據(jù)角的表示方法對四個選項逐個進行分析即可．【詳解】解：A、圖中的∠AOB不能用∠O表示，故本選項不符合題意；B、圖中的∠AOB不能用∠O表示，故本選項不符合題意；C、圖中∠α、∠AOB、∠O表示同一個角，故本選項符合題意；D、圖中的∠AOB，∠O不能用∠α表示，故本選項不符合題意；故選：C．3．如圖1，圖2所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，則∠AOB的度數(shù)可能（

）A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】C【分析】本題考查了三角板的特點，正確得出∠AOB的取值范圍是解題的關鍵．根據(jù)三角板的特點可得30°<∠AOB<45°，結合選項即得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，可知30°<∠AOB<45°，所以選項A、B、D不符合題意，選項C符合題意．故選：C．4．如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，∠AOC=68°，則∠AOE的度數(shù)是（

）A．34° B．146° C．112° D．68°【答案】B【分析】根據(jù)題意，得∠BOD=∠AOC=68°，結合OE平分∠BOD，求得∠BOE=12∠BOD本題考查了平角的定義，角的平分線，對頂角相等，熟練掌握角的平分線，平角的定義是解題的關鍵．【詳解】解：∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=1∵∠BOD=∠AOC=68°，∴∠DOE=∠BOE=34°,∵∠BOE+∠AOE=180°，∴∠AOE=146°，故選：B．5．對于余角有下列三種說法：①36°角的余角的度數(shù)是64°；②互為余角的兩個角不可能相等；③同角或等角的余角一定相等．其中正確的說法有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．0種【答案】A【分析】本題主要考查了余角的定義和性質，根據(jù)余角的定義的性質一一判斷即可．【詳解】解：①36°角的余角的度數(shù)是：90°?36°=54°，故①錯誤，②當兩個角都是45°時，它們互余且相等，故②錯誤，③同角或等角的余角一定相等，故③正確，故正確的說法有1種，故選：A6．一艘輪船行駛在O處同時測得小島A,B的方向分別為北偏西30°和西南方向，則∠AOB的度數(shù)是（

）A．135° B．125° C．115° D．105°【答案】D【分析】本題考查方位角，涉及方位角的概念，根據(jù)題意，準確由方位角得到圖中各個角度求解即可得到答案，數(shù)形結合是解決問題的關鍵．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意，得∠AOC=30°，∠BOD=45°，∴∠AOB=180°?∠AOC?∠BOD=105°，故選：D．7．如圖，將一副三角尺按不同方式擺放，其中∠α與∠β一定互余的是（

）C． D．【答案】B【分析】本題考查余角，補角及平角的定義．根據(jù)同角的余角相等，平角的定義和三角板的度數(shù)對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A、根據(jù)等角的余角相等可得∠α=∠β，但∠α與∠β不一定互余，故本選項不符合題意；B、由圖知∠α+∠β=90°，即∠α與∠β一定互余，故本選項符合題意；C、由圖知∠α=∠β=180°?45°=135°，∠α與∠β不互余，故本選項不符合題意；D、由圖知∠α+∠β=180°，∠α與∠β互補，故本選項不符合題意；故選：B．8．30.5°30°5′．（填“>”，“<”或“【答案】>【分析】本題考查了角度的單位，將角度轉化是解題的關鍵．先根據(jù)度分秒之間的關系1°=60'將30.5°化為【詳解】解：∵1°=60∴30.5°=30°30∵30°30∴30.5°>30°5故答案為：>．9．如果∠A=55°，那么它的補角的度數(shù)為．【答案】125°【分析】本題主要考查了求一個角的補角，根據(jù)補角的定義求解即可．【詳解】解：它的補角的度數(shù)為180°?∠A=180°?55°=125°，故答案為：125°10．右圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，∠ABC∠DEF．(填“>”，“=”或“<”)【答案】＜【分析】本題主要考查了角度大小的比較，解題的關鍵是熟練掌握網(wǎng)格特點，得出∠DEF=45°，∠ABC<45°．【詳解】